clase 04 teorema de castigliano

Carlos Alberto Riveros Jerez

Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental

Facultad de Ingeniería

Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Análisis Estructural

Teorema de Castigliano

Teorema de Castigliano

“La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía

interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada”.

Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

wP

P

∂∆ =∂ ( )

2 2 2 2

2 2 2 / 2

∂= + + + ∂ ∫ ∫ ∫ ∫

N M V Tdx dx dx dx

P AE EI G A GJα

Tomando como referencia:

Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

Teorema de Castigliano

1/ 2 .e i iw f D=

Calcular la rotación en el punto medio (c) de la viga en voladizo.

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Teorema de Castigliano

Ejemplo 1

∂ ∂= =∂ ∂∫C

w M Mdx

m EI mθ

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Teorema de Castigliano

Solución 1: corte 1-1

11 10; 0M Px M+ = + =∑

⌢

1M Px= −

0Mm

∂ =∂

Teorema de Castigliano

Solución 1: corte 2-2

Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

22 20; 0M Px m M+ = + + =∑

⌢

[ ]2M m Px= − +

1Mm

∂ = −∂

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Teorema de Castigliano

Solución 1

( ) ( ) ( ) ( )2

0 2

10 1

L L

CL

Px dx Px dxEI

θ = − + − − ∫ ∫

238C

PLEI

θ =

= × −

221

2 4C

P LL

EIθ

Ejemplo 2

Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w,

determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.

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∂ ∂∆ ↓= =∂ ∂∫w M M

c dxP EI P

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Solución 2

12

Mx

P∂ =∂

+ = − + × + +

∑⌢

2

11 10;

2 2 2wL P wx

x M

= + × −

2

1 2 2 2wL P wx

M x

( ) ∆ ↓= − ∫2

2

0

20.5

2 2

L

C

wL wx x x dx

EI

( ) ( ) ∆ ↓= −

3 4

2 224 3 4 4C

L LwL w

∆ ↓=35

384C

wLEI

Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga en

voladizo.

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Ejemplo 3

U M MB dx

P EI P

∂ ∂∆ ↓= =∂ ∂∫

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Solución 3

corte 1-1

211 10 : 0

2

wXM PX M∩

+ ∑ = + + =

2

1 2

wXM PX

= − +

MX

P

∂ = −∂

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Solución 3

( )2

0

1

2

L wXB PX X dx

EI

∆ ↓= − − −

∫

32

0

1

2

L wXPX dx

EI

= +

∫

3 4

0

1

3 8

LPX wX

EI

= +

3 41

3 8

PL wL

EI

= +

ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS

Si B se mueve todo se mueve y

no hay problema.

Si C se mueve , se tienen que

distribuir los esfuerzos en A y B.

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վ

վ

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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS

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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS

Indeterminada

Para convertirla en determinada: (Se quita el apoyo simple)

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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS

Una estructura es estáticamente indeterminada si no

pueden ser analizados sus aspectos internos y

reacciones por las ecuaciones de equilibrio estático.

• Método de carga unitaria

• Método de Castigliano

Cualquier estructura puede convertirse en

estáticamente determinada suprimiendo las acciones

sobrantes o híper estáticas.

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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS

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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS

3NE =4NR =4NN =

2GIE =

2 2= + − −GIE NE NR NN C

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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

Estructura primaria

'1 1 11 12

'2 2 21 22

0

0

∆ = = ∆ + ∆ + ∆

∆ = = ∆ + ∆ + ∆

(Se quitan P, Q w)

(Se quitan P, Q w)

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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

Definición coeficientes flexibilidad

11 11 1

12 12 2

21 21 1

22 22 2

X

X

X

X

∆ = ∂∆ = ∂∆ = ∂∆ = ∂

'1 11 1 12 2 0X X∆ + ∂ + ∂ =

'2 21 1 22 2 0X X∆ + ∂ + ∂ =

1m

2m

∧

∧

• Por Carga Unitaria:

• Por Método Castigliano

……

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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS

' 11

Mmdx

EI∆ = ∫

1 2 2 112 21

m m m mdx dx

EI EI∂ = ∂ =∫ ∫

1 1 2 211 22

m m m mdx dx

EI EI∂ = ∂ =∫ ∫

1 21 2

0 0w w

X X

∂ ∂∆ = = ∆ = =∂ ∂

nn

w

X

∂∆ =∂

' 22∆ = ∫

Mmdx

EI