circuitos en corriente alterna
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8/2/2019 Circuitos en Corriente Alterna
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Universidad Nacional del Nordeste
Facultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura
Electricidad,
Magnetismo, ptica
y Sonido
Trabajo Prctico N 9:Circuitos en Corriente Alterna
Ao 2011.
Segundo Cuatrimestre.
Profesora titular: Dra. Noem Sogari.Profesor a cargo del grupo: Guillermo Cabral.
Grupo N3
Mircoles 14 -16 hs
Comisin: Integrantes:
Aristiqui, Mara Florencia; LU n42369.
Kallus, Claudia Silvina; LU n38690
Pen, Mara Gabriela; LU n39181
Peralta, Gabriela Guadalupe; LU n43037
Fecha de realizacin: 05 de octubre de 2011
Fecha de entrega: 12 de octubre de 2011
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Objeto de la experiencia:
Realizar mediciones en un circuito serie RLC, alimentado por una fuente de
corriente alterna y compararlo con los valores tericos.
Calcular el valor de la impedancia del circuito RLC y el ngulo de fase.
Introduccin
Los circuitos de corriente alterna se usan en los sistemas de distribucin de la energa
elctrica, en la radio, en la televisin y en otros dispositivos de comunicacin, as como
en una amplia variedad de motores elctricos. Se la denomina alterna porque la
corriente cambia de direccin, alternando peridicamente de una direccin a la otra. Por
lo general se trabaja con corrientes que varan sinusoidalmente con el tiempo, aunqueexisten ondas ms complejas cuyo comportamiento puede reducirse a una combinacin
de ondas sinusoidales. Por ello el comportamiento de los circuitos ms complejos puede
entenderse estudiando primero el comportamiento de los circuitos que tienen corrientes
que varan sinusoidalmente.
En este laboratorio se trabaja con un circuito RLC compuesto de un generador de
corriente alterna conectado en serie a una resistencia R, un condensador C y una
inductancia L. El principio bsico del generador es una consecuencia directa de la ley deFaraday. Cuando una bobina se hace girar en un campo magntico a frecuencia angular
constante se induce una fem sinusoidal en la bobina. Esa fem es igual a :
=V0. sin ( . t ) donde V0 es el voltaje de salida mximo del generador de corriente
alterna. La frecuencia angular est dada por = 2f = 2/T, donde f es la frecuencia y
T es el perodo. En Argentina la frecuencia de la corriente elctrica domiciliaria es 50
Hz.
Es til definir una corriente continua I que d la misma disipacin de potencia que la
corriente alterna. No se puede usar para ello el valor medio ya que ste es cero en cada
perodo.
Valor medio:Se llama valor medio de una tensin (o corriente) alterna al promedio de
todos los valores instantneo de tensin (o corriente), medidos en un cierto intervalo de
tiempo. Recordar que el valor medio de una funcin peridica se calcula mediante la
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siguiente expresin: i (t) =
1
T.
T
i0
(t) .dt.En una corriente alterna sinusoidal, el valor medio
durante un perodo es nulo: en efecto, los valores positivos se compensan con losnegativos.
Se usa entonces el valor eficaz de la corriente alterna: sta se define matemticamente
como la raz cuadrada del valor promedio del cuadrado de la corriente.
ief=(i2 (t) ) . Para una seal sinusoidal el valor de corriente eficaz es igual a
i0
2
siendo i0 el valor mximo de la corriente alterna.
Para estudiar un circuito RLC conviene estudiar primero como funcionan sus elementospor separado.
Una resistencia en un circuito de corriente alterna.
El circuito ms simple consiste en una resistencia conectada a un generador de corriente
alterna. En cualquier instante la cada de potencial que se produce sobre la resistencia es
igual a fem que proporciona la fuente. Por lo tanto, VR=0 o
=VR=V0 .sin (t) donde VR es la cada de potencial sobre la resistencia. Aplicando
la ley de Ohm se obtiene que la corriente que circula sobre el circuito es igual a:
iR=
VR
R=
V0. sin (t)
R. Grficamente esto se visualiza as:
Puede verse que la corriente y el voltaje estn en fase: alcanzan su valor mximo al
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mismo tiempo. Esto se visualiza mejor en un diagrama de fasores. En l la longitud del
fasor representa el valor mximo de la cantidad (corriente o voltaje) y su proyeccin
sobre el eje vertical da el valor instantneo de dicha cantidad.
Dividiendo ambos miembros por la raz de 2 se obtiene la corriente eficaz que circula
por el circuito.
iR/2=
V0.sin (t)
R .2 ief=
Vef
R
La potencia promedio disipada por este circuito es igual a .
P=ief2.R , ya que toda la potencia generada por la fuente se disipa en la resistencia.
Una inductancia en un circuito de corriente alterna.
Si se considera un circuito compuesto nicamente de una inductancia conectada a las
terminales de un generador de corriente alterna. Se desprecian para simplificar la
resistencia interna de la fuente y del inductor, es decir se considera un inductor ideal.
Aplicando la ley de lazos de Kirchoff se tiene que el voltaje sobre el inductor es igual al
voltaje generado por la fuente. Como el voltaje sobre la inductancia es igual a : L .di
dt
se tiene que la ecuacin resultante es:
V0.sin (t)=L. di
dt .
Para hallar el valor de la corriente i se despeja el valor de di:
di=V
0.sin (t) .dt
Ly se integra la expresin resultante:
di=
(
V0. sin (t).dt
L
)4
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i=V
0.cos (t) .dt
L
Aplicando la identidad trigonomtrica cos (t)=sin (t2 ) la ecuacin puede
expresarse as:
i=
V0.sin(t2 ) .dt
L
Grficamente:
Y mediante el diagrama de fasores:
Puede observarse que la corriente en un inductor siempre est atrasada 90 respecto del
voltaje .
La corriente llega a su valor mximo cuando sin(t 2 )=1 o sea:
i0=
V0
.L , si se despeja el valor del voltaje mximo se obtiene la expresin:
i0. . L=V
0 , anloga a i.R= V
XL= . L es la reactancia inductiva, el equivalente a la resistencia ejercida por el
inductor al paso de la corriente alterna.
Si se dividen ambos miembros por 2 se obtiene el valor eficaz de la corriente:
ief=V
ef
.L=V
ef
XL
La potencia promedio disipada por la inductancia es igual a:
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P=ief2. XL
Un condensador en un circuito de corriente alterna.
Si se conecta en serie un condensador a un generador de corriente alterna, por ley de
Kirchoff se tiene que la cada de potencial sobre el capacitor es igual al voltaje del
generador. Por definicin de capacidad C esa cada de potencial es igual a:
V0 .s in (t)=Q/C . De all se despeja el valor de la carga:Q=V0 . sin (t) .C Se ignora
la resistencia interna de la fuente y el condensador, una aproximacin bastante adecuada
a la descripcin de los condensadores reales.
Como la corriente i es igual a
i=dQ
dt para obtener el valor de la corriente sobre el condensador se deriva la expresin
Q=Vc.C respecto del tiempo:
ic=dQ
dt = .C.V0 .cos (t) . Aplicando la identidad trigonomtrica la ecuacin puede
expresarse as:
ic= .C .V
0. sin (t+ /2 )
Grficamente se visualiza as:
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Y mediante un diagrama de fasores:
Se observa que la corriente y el voltaje no estn en fase: el voltaje est retrasado 90 con
respecto de la corriente. Dicho de otro modo, la corriente siempre adelanta 90 con
respecto del voltaje del capacitor.
La corriente mxima en el circuito se alcanza cuando el seno de (t + /2) vale 1.Es decir,
i0= .C.V
0 V0= i0
.C .La expresin obtenida es anloga a la Ley de Ohm: V= i.R.
La expresin XC=1
.C se conoce como reactancia capacitiva y es equivalente a la
resistencia ejercida por el condensador al paso de la corriente alterna. Si se dividen
ambos trminos por 2 se tiene el valor eficaz de la corriente.
ief=X
cV
ef
La potencia promedio disipada sobre el condensador puede expresarse como :
P=ief2.Xc
Si se combinan los tres elementos se obtiene un circuito RLC :
Circuito RLC
Se parte del supuesto de que la corriente vara sinusoidalmente del siguiente modo:
it=i0 . sin (t ) donde es el denominado ngulo de fase entre la corriente y el
voltaje aplicado, y que el voltaje de la fuente est dado por: Vt=V0 . sin (t ) .
Como todos los elementos del circuito estn conectados en serie la corriente que circula
a travs de ellos es la misma. Por otra parte por la ley de mallas de Kirchoff la suma de
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la cadas de potencial sobre cada elemento del circuito es igual a la fem proporcionada
por el generador de corriente alterna.
Vt=V
R+V
c+V
L
Como: Vc=Q
C y V L=L .di /dt
Y usando: i= dQ/dt se obtiene una ecuacin diferencial lineal de segundo grado no
homognea de resolucin compleja:
Un planteo alternativo puede realizarse a partir del diagrama de fasores:
Como la corriente es la misma se puede representar con un solo fasor. Los voltajes
sobre cada elemento se representan como fasores que pueden sumarse vectorialmente
para obtener el valor del voltaje mximo aplicado.
V0=VR2+(VLVc )2 = V0=( (i0 .R )2+(i0 . X Li0 . Xc )2)
V0=i0 .(R2+( XLXc )2 )
Una vez ms se obtiene una expresin anloga a la ley de Ohm: V= i.R
La expresin Z=(R2+(X LXc )2) se denomina impedancia (en realidad este es el
mdulo de la impedancia, que es un nmero complejo).La impedancia en circuitos de
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CA (Z) es la equivalente a la resistencia (R) en los circuitos CC, y al igual que
R, tambin se expresa en ohmios.
Por eso la ecuacin V0=i0 .Z puede considerarse como la ley de Ohm aplicada a los
circuitos de corriente alterna. Si se divide la expresin por la raz cuadrada de 2, la
ecuacin queda expresada en funcin de los valores eficaces: Vef=ief. Z
Usando esos valores puede calcularse el valor de la potencia promedio disipada por el
circuito:
P=ief2.Z
En cuanto al ngulo de fase este tambin se deduce de diagrama de fasores: usando
las propiedades trigonomtricas puede verse que la tan( )= (X
L
Xc )R por lo que el
ngulo de fase es ( )=arctan( ( XLXc )R ) .
Si se observa la expresin del mdulo de la impedancia Z=(R2+(X LXc)2) , puede
verse que tiene su valor mnimo cuando las reactancias inductivas y capacitivas son
iguales y se neutralizan entre s: en ese momento se dice que el circuito est en
resonancia. Dado que las reactancias dependen de la frecuencia puede calcularse la
frecuencia a la que sucede este fenmeno: XL= . L y XC=1
.C
(XLXc )= . L1
.C
.L=1
.C 2=
1
L.C
R=
(1
L .C)Esta frecuencia se denomina frecuencia de resonancia y tambin frecuencia natural del
circuito: si la tensin de mantiene constante entre los bornes como la impedancia
disminuye hasta hacerse mnima la intensidad de la corriente aumentar hasta hacerse
mxima. Tambin la potencia se hace mxima en el frecuencia de resonancia, pudiendo
llegar a quemarse los elementos del circuito. Sin embargo el fenmeno de la resonancia
se aprovecha para usos prcticos como por ej: sintonizar una emisora de radio.
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Datos experimentales:
Grficas de voltaje:
DATOS SOBRE COMPONENTES UTILIZADOS:
Elementos
del circuito
(valor de
pico)
f R L C
Valor medido 5,004 V 1 Hz 10 8,2 mH 100 F
Circuito RLC
Valores mximos
.ddp en V
Impedancia
en
VR
VL
Vc
4,997 0,023 4,990 1591,53
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(tan ) =V
LV
c
VR
ngulo de fase=
arctan(VLVcVR
)
Tipo de circuito RLC
-0,9940 -44 49' 38,97'' Predominantemente
capacitivo
Para hallar el valor terico de Z se tiene en cuenta que segn la ecuacin:
Z=(R2+(X LXc)2) , como Xc=1
.C y Xc= . L y =2f
Z=(R2+(2f .L1
2fC)2
)Reemplazando por los valores correspondientes:
Z =( (10)2+(2Hz .8,2.103H 12Hz .104F)
2
)=1591,53
para calcular el ngulo de fase pueden usarse los valores medidos de ddp sobre los
diferentes elementos del circuito del siguiente modo:
(tan ) =V
LV
c
VR
y = arctan(VLVcVR
)
Reemplazando por sus valores se obtiene:=
arctan(0,023V4,990V
4,997V)=4449 '38,97 ' '
El desfasaje producido entre la corriente y el voltaje de la fuente por los elementos del
circuito se visualiza mejor en un diagrama de fasores:
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El ngulo de fase es de aproximadamente -45 . Es decir el voltaje est atrasado 45 con
respecto a la corriente o dicho de otro modo la corriente se adelanta 45, por lo que el
circuito se comporta como predominantemente capacitivo aunque sin llegar a ser
capacitivo puro.
Para la impedancia el diagrama de fasores queda as:
Se observa que la reactancia capacitiva domina sobre la inductiva, por ser esta ltima
muy pequea.
Cuestionario
1) Explique qu entiende por impedancia en un circuito de CA.
La impedancia Z en un circuito CA es la equivalente a la Resistencia R en los circuitos
CC y al igual que R se expresa en ohmios.
2) Qu desplazamiento de fase provoca una inductancia en un circuito de CA?
Por qu?
Una inductancia en un circuito CA provoca un desplazamiento de fase de tal manera
que la corriente est retrasada 90 respecto de la tensin. Esto puede deducirsematemticamente partiendo de un circuito puramente inductivo y aplicando la ley de
mallas de Kirchoff. Se tiene que el voltaje sobre el inductor es igual al voltaje generado
por la fuente. Como el voltaje sobre la inductancia es igual a : L .di
dt se tiene que la
ecuacin resultante es:
V0.sin (t)=L. di
dt .
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Para hallar el valor de la corriente i se despeja el valor de di:
di=V
0.sin (t) .dt
Ly se integra la expresin resultante:
di=(V
0. sin (t).dt
L
)
i=V
0.cos (t) .dt
L
Puede observarse que la corriente en verdad depende del cos (t) . Es decir
que la corriente y el voltaje no estn en fase ya que dependen de diferentes funciones
peridicas. Aplicando una identidad trigonomtricacos (t)=sin (t /2)
seobtiene el valor del desfasaje entre corriente y voltaje que en este caso es de -90.
3)Qu desplazamiento de fase provoca un capacitor en un circuito de CA?
Por qu?
Para un condensador la intensidad de corriente ic est adelantada 90 respecto
a la diferencia de potencial Vc. Para llegar a esa conclusin se arma un circuito
puramente capacitivo y se lo analiza. Por ley de Kirchoff se tiene que la cada de
potencial sobre el capacitor es igual al voltaje del generador. Por definicin de
capacidad C esa cada de potencial es igual a:
V0.s in (t)=Q/C . De all se despeja el valor de la carga: Q=V0 . sin (t) .C Se ignora
la resistencia interna de la fuente y el condensador, una aproximacin bastante adecuada
a la descripcin de los condensadores reales.
Como la corriente i es igual ai=
dQ
dt para obtener el valor de la corriente sobre el condensador se deriva la expresin
Q=Vc.C respecto del tiempo:
ic=
dQ
dt= .C.V
0. cos (t) . Se observa ya que existe un desfasaje entre la
corriente y el voltaje porque las funciones dependen una del seno de un ngulo y otra
del coseno de dicho ngulo. Aplicando la identidad trigonomtrica
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cos (t )=sin (t+ /2) se obtiene el valor de desfasaje entre corriente y voltaje que en
este caso es de +90.
4) Qu valores de tensin y corrientes midi con el multitester; Valor
Eficaz, Valor Mximo o Valor Medio?
Para el desarrollo del trabajo se midieron valores mximos de tensin (valores
de pico).
5) Cundo se dice que un circuito RLC est en resonancia? Expresar
matemticamente la condicin.
-El circuito RCL est en resonancia cuando Xc = Xl, y por lo tanto Z = R. Si se
mantiene constante la tensin la corriente alcanza su valor mximo (I = E/R) al igual
que la potencia del circuito. En un circuito de este tipo dicha circunstancia siempre se
podr dar y ello ocurre con una frecuencia muy determinada , especficamente cuando
= 1L .C (recordemos la dependencia de Xc y Xl respecto de la frecuencia angular dela tensin de alimentacin). Cuando tal cosa ocurre decimos que el circuito est
resonancia, y la frecuencia para que ello ocurra se llama frecuencia de resonancia.
Xc = Xl = = 1L.C f=/2= 1L .C. 2
f=1
L .C. 2
A la frecuencia de resonancia el circuito se comportara como resistivo puro, ya
que los efectos capacitivos e inductivos se anulan mutuamente.
6) Calcule la frecuencia de resonancia del circuito que utiliz.
-La frecuencia de resonancia ser f=1
(8,2 .103H.106F).1
2 =175,76 Hz (se trabaj
con una frecuencia de 1 Hz, un valor muy alejado de la frecuencia de resonancia)
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7)Explique cmo podra determinar experimentalmente el valor de la inductancia L de
una bobina en un circuito RL en serie.
-Si no se conoce el valor de una inductancia L estando en un circuito en serie RL de
CA, se puede conocer su valor midiendo la tensin suministrada al circuito, la corrienteque circula por el circuito y el valor de la resistencia usando para ello un multmetro.
Con el valor de la corriente i y el voltaje V medidos puede hallarse el valor de la
impedancia del circuito Z usando para ello la expresin Z=V/i Sabiendo que en un
circuito RL la impedancia es igual a R2+XL2 , y conociendo el valor de R puede
despejarse de la ecuacin el valor de la reactancia inductiva. Si se conoce adems la
frecuencia del voltaje de la fuente, puede calcularse el valor de la inductancia mediante
la frmula
L=XL
2f .
Conclusin
Habindose tomados los datos correspondientes a un circuito serie RLC, no se
pudieron comparar los valores tericos con los experimentales por faltar el valor de la
corriente, pero se obtuvo el valor terico de la impedancia que result igual a 1591,53
ohmios y el ngulo de fase, cercano a -45 (4449' 39'') llegndose a la conclusin de
que el circuito RLC con el que se trabaj se comporta como predominantemente
capacitivo, debido a que la reactancia capacitiva es muy superior a la inductiva.
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BIBLIOGRAFA:
Resnick- Halliday- Fsica Parte 2 - CECSA
Sears, F."Electricidad y magnetismo", Editorial Aguilar
Serway - Fsica- Tomo II- Mc Graw Hill
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