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Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática
Agustín Álvarez Marquina
Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid
- Tensión y corriente alterna. Funciones sinusoidales. Valores medio y eficaz. - Relación tensión corriente en los elementos de un circuito. Representación vectorial.
“Circuitos de Corriente Alterna”
Tensión y corriente alterna
Introducción. En este capítulo se va a estudiar la respuesta de los
circuitos lineales en régimen permanente sinusoidal (RPS).
Las fuentes de excitación tienen forma sinusoidal. Se puede considerar que llevan funcionando un tiempo
suficiente como para que el circuito esté en régimen permanente.
– Debe transcurrir un tiempo de funcionamiento hasta que la respuesta del circuito es debida exclusivamente a la excitación de los generadores sinusoidales.
» Las bobinas y condensadores son elementos capaces de almacenar energía.
2 Facultad de Informática, U.P.M.
Tensión y corriente alterna
Introducción. Las funciones sinusoidales constituyen la forma de
excitación más importante en los circuitos eléctricos. Ejemplos:
La energía eléctrica que llega a nuestras casas lo hace en la forma de una función sinusoidal.
En los sistemas de comunicaciones las señales portadoras son también sinusoides.
Pero además, en muchos otros casos las señales que aparecen pueden representarse como una combinación de funciones sinusoidales:
El movimiento de los planetas, la vibración de una cuerda, la propagación de la luz o del sonido, el movimiento de las mareas, etc.
3 Facultad de Informática, U.P.M.
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Representación de las funciones sinusoidales.
Las funciones sinusoidales están acotadas al rango [-1, +1] y se repiten cada t=2π/ω segundos (o equivalentemente cada ωt= 2π radianes).
4 Facultad de Informática, U.P.M.
)cos()()(sen)(
ttyttx
ωω
==
0 π/2ω
-1
-0.5
0
0.5
1
tπ/ω 3π/2ω 2π/ω−2π/ω −3π/2ω −π/ω −π/2ω
sen(ωt)
cos(ωt)
Figura. Representación de las funciones sinusoidales sen(ωt) y cos(ωt)
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Representación de las funciones sinusoidales.
Podemos comprobar que ambas funciones son realmente la misma pero desplazada en el tiempo:
– Es decir, el coseno está adelantado (ocurre antes), π/2 radianes (π/2ω segundos) respecto al seno.
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)2/cos()(sen πωω −= tt
)2/(sen)(c πωω += ttos
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Expresión general de una función sinusoidal.
donde
A0, B0: valor de pico o valor máximo de la función.
ω : pulsación o frecuencia angular en rad/s. t: variable independiente (tiempo en s).
φ, ϕ : fase inicial en radianes.
(ωt+φ), (ωt+ϕ): fases instantáneas en radianes. 6 Facultad de Informática, U.P.M.
)(sen)( 0 ϕω += tAtx
)(c)( 0 φω += tosBty
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Diferencia de fases entre dos funciones sinusoidales.
Decimos que la función x(t)=sen(ωt+φ1) está adelantada (ocurre antes) respecto de la función y(t)=sen(ωt+φ2) cuando la diferencia entre las fases de x(t) e y(t) está comprendida entre 0 y π.
– Si la diferencia de fases obtenida es un valor entre -π y 0, entonces es la función y(t) la que está adelantada respecto a x(t).
– En el caso de que la diferencia de fases que obtengamos sea superior a π (o inferior a -π), bastará con restar (o sumar) a esa diferencia de fases un número entero de veces 2π de modo que esa diferencia esté comprendida entre -π y π.
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Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Simetría de las funciones sinusoidales.
Si nos desplazamos ωt=π radianes en cualquiera de las funciones sen(ωt) y cos(ωt), aparece esa misma función invertida.
Este hecho se refleja en las siguientes igualdades:
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)(sen)(sen tt ωπω −=±
)(c)(c tostos ωπω −=±
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Propiedades de periodicidad.
Las funciones sinusoidales tienen una propiedad muy importante: son funciones periódicas.
– Si se desplaza la función un cierto valor de la variable independiente, se vuelve a observar exactamente la misma función.
De forma general podemos decir que la función y=f(t) es periódica de periodo T si:
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enteronytnTtftf ∀∀+= )()(
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Periodo de una señal T.
Es el desplazamiento en el tiempo que debemos realizar para observar los mismos valores de la señal.
– Al menor valor positivo de T que cumple la condición anterior se le denomina periodo fundamental.
– En el caso de las funciones sinusoidales tendremos:
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( )
)(22
)(2)(c)(c 00
sTT
TttTtosAtosA
ωπωπ
ϕωπϕωϕωϕω
=⇒=
++=++++=+
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Frecuencia de una señal f.
Es el número de veces por segundo que se repite la función.
Es la inversa del periodo y se mide en ciclos por segundo (hercios o Hz).
» Es habitual referirse a la pulsación ω como frecuencia, si
bien, en sentido estricto, la pulsación se mide en radianes por segundo y la frecuencia en hercios.
» Relación: ω=2πf
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)(1 HzT
f =
πω2
1==
Tf
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Valor medio una señal y(t)=A0 sen(ωt+φ).
Valor eficaz de una señal y(t)=A0 sen(ωt+φ).
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0=y⇒∫=T
dttyT
y0
)(1
[ ]∫=T
ef dttyT
y0
22 )(1 ⇒20Ayef =
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Corriente y tensión sinusoidales.
Uno de los casos más frecuentes que nos podemos encontrar en un circuito lineal es aquél en el que los generadores tienen una expresión sinusoidal.
– En este caso, lo más habitual será caracterizarlos a través de su pulsación ω (rad/s), además de por el valor de la amplitud de la tensión o corriente que proporcionen y de la fase de la señal que estén generando.
Sabemos que la pulsación y la frecuencia están relacionadas de la siguiente forma:
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fπω 2=
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Corriente y tensión sinusoidales.
Por tanto, la expresión de una tensión o corriente de tipo sinusoidal será:
– Donde V e I son los valores máximos de la tensión y de la corriente, ω es la pulsación del generador y φ es la fase.
» En este ejemplo hemos utilizado la función seno, pero podríamos haber empleado la función coseno, ya que como acabamos de ver ambas son la misma función desplazada π/2 radianes (90º).
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)(sen)( ϕω += tVtv
)(sen)( ϕω += tIti
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Otras propiedades de las funciones sinusoidales.
Las funciones sinusoidales tienen además otras dos propiedades que van a facilitar el estudio de los circuitos lineales:
» Tanto la derivada como la integral de una función sinusoidal son otra función sinusoidal de la misma frecuencia.
» La suma de dos funciones sinusoidales de la misma frecuencia es otra función sinusoidal de igual frecuencia.
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Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Integración de una función sinusoidal.
El efecto que se produce al integrar una función sinusoidal es el de dividirla por la pulsación ω y desfasarla un ángulo φ=-π/2 radianes.
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( ) )2/(sen1)cos(1)(sen πωω
ωω
ω −=−=∫ ttdtt
( ) )2/cos(1)(sen1)cos( πωω
ωω
ω −==∫ ttdtt
Tensión y corriente alterna
Funciones sinusoidales. Diferenciación de una función sinusoidal.
El efecto que se produce al derivar una función sinusoidal es multiplicarla por la pulsación ω y desfasarla un ángulo φ=π/2 radianes.
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( )2/sen)cos()(sen πωωωωω+== tt
dttd
( )2/c)(sen)cos( πωωωωω+=−= tost
dttd
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente resistivo. Consideremos que la tensión de la fuente es:
Aplicando las leyes de Kirchhoff
Por la ley de Ohm, la tensión en la resistencia será:
Por tanto:
Siendo:
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R
+ V vR
+
-
i(t)
tVtv ωcos)( 0=
tVtvvR ωcos)( 0==
iRvR = ⇒ tItR
VRvi R ωω coscos 0
0 ===
tIti ωcos)( 0=
RV
I 00 = RvRIV == 00⇒
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente resistivo. Representación gráfica
La corriente y la tensión están en fase.
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3π 2ω
2π ω
vR(t)
π ω
t
V0 I0
π 2ω 0
Diagrama vectorial
ωt
i(t)
V0 I0 ω
vR(t)
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente capacitivo. Tomamos:
Sabemos que:
Derivando respecto al tiempo:
– Donde:
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tVtv ωcos)( 0=
)(1 tqC
vC =
dtdq
CdtdvC 1
= ⇒
+ V vC
+
-
i(t) C
dtdvCti C=)(
vvC =
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente capacitivo. La corriente que se establecerá en el circuito será:
Por tanto:
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( ) )2/cos(cos)( 000 πωωωωω +=−== tCVtsenCVtVdtdCti
)2/cos()( 0 πω += tIti
CIVX C ω
1
0
0 ==
CC XIVV 00 ==⇒
+ V vC
+
-
i(t) C
Definiremos como reactancia capacitiva a:
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente capacitivo. Representación gráfica
La corriente se adelanta π/2 respecto a la tensión (o la tensión se retrasa π/2 respecto a la corriente).
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Diagrama vectorial
3π 2ω
2π ω
vC(t)
π ω
V0 I0
π 2ω 0 t
ωt
i(t)
V0= I0 XC= vC I0
vC(t)
ωt+π/2 ω
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente inductivo. Tomamos: En todo momento se cumplirá:
La relación entre la corriente y la tensión en una
inductancia es:
Integrando:
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tVvvL ωcos0==
dtdiLvL =
L +
V vL +
-
i(t)
⇒ didtvL L =1
∫=t
dttVL
ti0
0 )cos(1)( ω
tVtv ωcos)( 0=
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente inductivo.
Finalmente:
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)2/cos()( 0 πω −= tIti
LIVX L ω==
0
0
LL XIVV 00 ==⇒
Definiremos como reactancia inductiva a:
L +
V vL +
-
i(t)
)2/cos()()( 00 πωω
ωω
−== tL
VtsenL
Vti
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito puramente inductivo. Representación gráfica
La corriente se retrasa π/2 respecto a la tensión (o la tensión se adelanta π/2 respecto a la corriente).
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Diagrama vectorial
ωt i(t)
V0= I0 XL= vL
I0
vL(t) ωt-π/2
ω
3π 2ω
2π ω
vL(t)
π ω
V0 I0
π 2ω 0 t
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito RLC. Tomamos: La corriente que se establecerá en el circuito tendrá la
forma de:
Las tensiones que provocará esta corriente en los elementos pasivos será:
– En la resistencia:
» donde:
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)cos()( 0 θω −= tIti
tVtv ωcos)( 0=
iRvR = ⇒ )cos(0 θω −= tRIvR
RIvR 0=
L +
V vL +
-
i(t)
vC + -
C
R
vR + -
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito RLC. – En la inductancia:
» donde:
– En la capacidad:
» donde: Observando el circuito , sabemos que en todo momento
se deberá de cumplir:
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dttdiLvL)(
= ⇒ )2/cos(0 πθω +−= tXIv LL
LL XIv 0=
∫= dttiC
vC )(1 ⇒ )2/cos(0 πθω −−= tXIv CC
CC XIv 0=
LCR vvvv ++=
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito RLC. Diagrama vectorial.
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ωt
V0 ω
VL=I0 XL
VC=I0 XC
ωt-θ θ I0 R
I0
I0 (XL–XC)= = I0 X= vL-vC
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito RLC. Si la anterior suma de tensiones la realizamos por
medio del diagrama vectorial, podemos destacar un triángulo rectángulo:
Donde X es la reactancia del circuito:
– Si X>0 predomina el carácter inductivo (XL>XC) – Si X<0 predomina el carácter capacitivo (XL<XC)
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CL XXX +=C
LXω
ω 1−=⇒
V0
θ I0 R
I0 (XL–XC)= I0 X I0Z
Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna
Circuito RLC. Definamos como impedancia del circuito a:
Triángulo de la impedancia:
θ es el ángulo que se retrasa la corriente del circuito respecto a la tensión de la fuente.
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22 XRZ +=
RC
L
RXX
RXtg CL ω
ωθ
1−
=−
==
⇒0
0
IVZ = ZIV 00 =
θcosZR =
θZsenXXX CL =−=
⇒ V0
θ R
(XL–XC)= X Z
Notación compleja
Un número complejo se puede representar de las siguientes formas: Forma algebraica:
Forma trigonométrica:
Forma polar:
Forma exponencial:
Siendo…
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jbaA +=ˆ
( )θθρθρθρ jsensenjA +=+= coscosˆ
θρ∠=Aθρ jeA =ˆ
1−=j22 ba +=ρ
abtg =θ
θ a
ρ b
Eje real
Eje imaginario
j
Notación compleja
Fórmulas de Euler:
Para el caso de θ=π/2
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je j +=2π
θ a
ρ b
Eje real
Eje imaginario
j
θθθ jsene j −=− cos
θθθ jsene j += cos
je j −=− 2π
Notación compleja
Para trabajar numéricamente con los circuitos de corriente alterna se utiliza la notación exponencial compleja.
Razones: Derivar una función exponencial equivale a la misma
exponencial multiplicada por jω (adelantar 90º).
Integrar una función exponencial equivale a la misma exponencial dividida por jω (retrasar 90º).
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Notación compleja
Transformación de las expresiones de tensiones y corrientes a notación exponencial compleja.
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Notación real Notación exponencial compleja
Notación fasorial
tVv ωcos0= º000ˆ jtjtj eeVeVv ⋅== ωω º0
00 º0ˆ jeVVV =∠=
)cos(0 θω −= tIi θω jtj eeIi −⋅= 0ˆ º
00ˆ θθ jeIII −=−∠=
)cos(0 θω −= tRIvR
)2cos(0 πθω +−= tIXv LL
)2cos(0 πθω −−= tIXv CC
iZiReIv Rjtj
RˆˆˆReˆ 0 ==⋅= θω
iZijXeeeIXv LLjjtj
LLˆˆˆˆ 2
0 =+=⋅⋅= +− πθω
iZijXeeeIXv CCjjtj
CCˆˆˆˆ 2
0 =−=⋅⋅= −− πθω
IRRIIV jR
ˆReˆ00 =−∠== − θθ
IjXIjXeIjXV LLj
LLˆˆ
00 =−∠== − θθ
IjXIjXeIjXV CCj
CCˆˆ
00 =−∠−=−= − θθ
20VVef = 2
0IIef =;
Impedancia compleja
Se define como:
Por tanto:
Siendo:
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θθθθ
jZeZIV
IV
iv
IVZ =∠=∠=
−∠∠
=== ººº
º0ˆˆ
ˆˆˆ
0
0
0
0
( ) jXRjsenZZeZ j +=+== θθθ cosˆ
θcosZR =
θsenZX =
Impedancia compleja
Por tanto:
donde:
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∑=++=−+=i
iCLRCL ZZZZjXjXRZ ˆˆˆˆˆ
RZR =ˆ
LjjXZ LL ω==ˆ
CjjXZ CC ω
1ˆ −=−=
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