cicloide con excel
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Prof. Javier González Cázares Telesecundaria Secretaría de Educación, México
Septiembre 2013
CICLOIDE1 "Se me ocurrió describir esa línea arqueada hace más de 50 años,
la admiraba como una curva muy graciosa que debería ser apropiada para los arcos de un puente".
Galileo Galilei
La idea de encontrar la cuadratura2 y curvatura del círculo, viene desde
Arquímedes; El primero en interesarse por ella fue Nicolás de Cusa3 cuando trataba
de encontrar el área de un círculo por integración4, quien la creyó un medio
mecánico para lograr la cuadratura del círculo; luego, pensadores como Kepler y
Galilei, estudiaron en profundidad las propiedades de dicha curva.
La cuadratura del círculo llevó al estudio de la hipotrocoide5: curva trazada por un
punto P de un círculo que gira sin deslizamiento dentro de otro círculo fijo6.
fig. Hipotrocoide
Esta curva tiene dos propiedades básicas: tautócrona7 y braquistócrona8. Para Galileo la
tautócrona describía idóneamente la trayectoria de la punta de un péndulo en oscilación, cada
oscilación en tiempos iguales e independientes de su amplitud, la necesidad de resolver
matemáticamente este problema no fue por “calentura” intelectual, sino por una aplicación real y
1 Del griego, KuKAos significa circular y Ethos, forma; la más bella de las curvas, en literatura es considerada “La Helena
de las curvas”, en recuerdo de la mujer de Menelao, de quien se decía que por ella “se lanzaron al mar un millar de barcos”. 2 Consistía en encontrar un cuadrado de igual área que un círculo, también en hallar un segmento de recta con la misma longitud que una circunferencia. 3 Algunos autores afirman que fue Charles Bouvelles. 4 Consideró el movimiento rotatorio como la única y más directa reflexión del ser –es decir, del proceso de creación del
universo mismo– en el dominio visible de la forma y el movimiento. Esa correspondencia se demuestra, como posteriormente lo subrayó Cusa, por lo que se denomina la característica isoperimétrica o de acción mínima de la acción rotatoria.
5 Su nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante
a’, al que se le ha antepuesto la preposición que significa ‘debajo de. 6http://cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/historia/textos/La%20cicloide:%20un%20recorrido%20por%20sus%20propiedad
es.*Hern%C3%A1ndez%20Abreu,%20Domingo.*Union_012_011.pdf 7 Significa mismo tiempo. Es la curva de más rápido descenso por gravedad
8 Del griego brachistos, el más breve, cronos, tiempo; el menor tiempo. Es decir, el período de una pelota que rueda
hacia atrás y adelante dentro de esta curva no depende de la posición de salida la bola
fig.1 Nicolás de Cusa
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práctica, fue por la mejora de la exactitud de los relojes aplicados en áreas como la astronomía,
mecánica y navegación. La braquistócrona nace de encontrar la catenaria9 ideal para aplicaciones,
además se aceleró su solución debido al reto que lanzó uno de los hermanos Bernoulli10 a grandes
matemáticos de su época, y tiene una característica muy curiosa, si deja caer una bola en una
tabla (recta) inclinada, y otra en una cicloide, llega más pronto la bola en la cicloide, este problema
en particular fue resuelto por los Hermanos Bernoulli11, dando nacimiento al “Cálculo de
variaciones”.
TAUTÓCRONA
Las fórmulas se deducen a partir de la figura siguiente, cabe decir que son semejantes a las
propuestas por Bernoulli, sólo que se considera un desplazamiento, en sentido a la derecha con
respecto al origen según se mueve en la hoja Excel:
Fig. tautócrona
En la figura:
X1 = C – x
Y1 = k – y
Por trigonometría elemental:
Seno θ =
9 Esta curva está relacionada con la fuerza de gravedad, debido a la forma de un hilo de densidad homogénea sostenido
por dos puntos y sometido a la fuerza de gravedad. 10
Johann Bernoulli. 11 Este gran reto histórico fue resuelto por cinco grandes: Hermanos Bernoulli, L´Hópital, Newton y Leibniz.
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Coseno θ =
Finalmente:
Donde C es la circunferencia desplazada, r el radio de la circunferencia.
h y k son el centro de la circunferencia.
Δh y Δk el centro desplazado.
X1 e y1 la posición desplazada.
Θ ángulo
En una nueva hoja Excel, escriba las siguientes fórmulas:
Vincule una Barra de desplazamiento en la celda B1, mínimo de 0, máximo de 313.
Un ángulo inicial de 0, en la celda B2. Ángulo final en celda B3, con la fórmula =B1/10 (para
visualizar el número de grados en la celda B4 escriba =GRADOS(B3).
El número de celdas en la celda B5, de 200.
Radianes recorridos en celda B6 =B3/B5.
En celda A9 escribe 0, luego en celda A10 escribe: =A9+$B$6, copie y pegue hasta A209. En celda
B9 escribe =GRADOS(A9), copie y pegue hasta B209.
La circunferencia tiene relación con la proyección k, por lo que la fórmula a aplicar es:
Donde L: circunferencia
r: radio
α: ángulo
2, π, 360°: constantes
En celda G2 escriba el valor de k. La circunferencia recorrida para cada ángulo, en celda C9, la
fórmula =2*PI()*$G$2*B9/360; copie y pegue hasta C209.
En celda G1 escribe =2*PI()*G2*B4/360, para ver la distancia total recorrida.
La proyección x, se calculará en la columna D a partir de la celda D9, con =C9-$G$2*SENO(A9),
copie y pegue hasta D209.
La proyección y, de igual manera, pero en celda E9 con =$G$2-$G$2*COS(A9), copie y pegue hasta
E209.
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Una visualización de los cálculos figura 4:
fig.4
Modifique para ser más atractiva su presentación, de manera sencilla, figura 5:
fig.5
La cicloide debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un
tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por los
puntos A y B, pero el tiempo no depende solo de la longitud del camino sino también de la
velocidad de la partícula.
Ejercicio: Considere el movimiento de traslación de una bicicleta, describa la trayectoria de la
llanta movida por la acción de una persona, desprecie algunos parámetros para visualizar este
movimiento, como:
Velocidad de traslación.
Velocidad de rotación.
Centro de masas.
Considere los siguientes:
Posición angular.
Radio de la rueda.
Flechas, estrella, cadena, cuadro.
Dibujo de la persona.
Una presentación sería la siguiente:
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fig. 6
Otra presentación más animada es con alguien al volante:
fig. 7
La aplicación de la cicloide va más allá: para diseñar una bicicleta el ingeniero considera que el
análisis estático y lineal, el diseño biomecánico de la bicicleta debe proporcionar cadencia al
pedaleo12, momento del tobillo, actividad muscular, fuerzas de resistencia y propulsivas. Todo esto
para que el ciclista tenga sesiones de entrenamiento particulares que mejoren su técnica además
de su salud. Otras aplicaciones de la curva son el diseño de puentes colgantes, líneas de
transmisión de alto voltaje, en engranajes con perfil cicloidal13, en aeronáutica, entre otras.
Un estudio vectorial de todas las componentes del sistema, invita a la reflexión de sus usos no sólo
didácticos, sino a usos prácticos en nuestra vida cotidiana.
12
Gutiérrez,M.; Biomecánica y ciclismo, Departamento de educación física y deportiva, Universidad de Granada, Revista Motricidad, 1994. 13 La lubricación de los dientes cicloidales es, pues, algo más eficaz que la de los dientes de evolvente, y esta propiedad es útil en las transmisiones por tornillo sin fin que transmiten cargas importantes.
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