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cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Análisis de Tolerancias en Elementos Cónicos en Contacto
presentada por
Marcelo Rodríguez Alberto Ing. Mecánico por el I. T. de Ciudad Madero
como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Directores de tesis: Dr. Jorge Bedolla Hernández M.C. Claudia Cortés García
Cuernavaca, Morelos, México. 26 de febrero de 2009
cenidet
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico
Departamento de Ingeniería Mecánica
TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS
Análisis de Tolerancias en Elementos Cónicos en contacto
presentada por
Marcelo Rodríguez Alberto Ing. Mecánico por el I. T. de Ciudad Madero
como requisito para la obtención del grado de:
Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Directores de tesis: Dr. Jorge Bedolla Hernández M.C. Claudia Cortés García
Jurado: Dr. Dariusz S. Szwedowicz Wasik – Presidente
Dr. José María Rodríguez Lelis – Secretario M.C. Eladio Martínez Rayón – Vocal
Dr. Jorge Bedolla Hernández – Vocal Suplente
Cuernavaca, Morelos, México. 26 de febrero de 2009
AGRADECIMIENTOS
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Dirección General de
Educación Superior Tecnológica (DGEST), por el apoyo económico brindado a lo largo de
mis estudios de maestría.
Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (cenidet) y a todos sus
profesores, por permitir concluir mi estudios.
A mis asesores de tesis, Dr. Jorge Bedolla Hernández y M.C. Claudia Cortés García, por sus
observaciones, apoyo y tiempo dedicado en el desarrollo de este trabajo, muchas gracias.
A los miembros del comité revisor, Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik, Dr. José María Rodríguez
Lelis y M.C. Eladio Martínez Rayón, por sus valiosas aportaciones durante la revisión de este
trabajo de investigación.
A mis compañeros y amigos: Darío Tovar Chora, Iván Medina Agreda, Moisés Espinosa
Rodríguez, Jaime Hernández León, María Guadalupe Guzmán, Felipe Díaz, José Raúl
Alejandre, Dawin Jiménez Vargas, Iván Juárez Sosa, Mauricio Paz González, Juan Manuel
Jiménez, Javier Molina, Gabriel Cuevas, Vladimir Reyes, Edgar Vicente Macias, Karla
Aguilar, Lázaro Villa, por hacer mas grata la estancia en el cenidet.
Al profesor Simá, por sus enseñanzas durante el desarrollo de este trabajo.
A la esposa de mi carnalito Manuel, por ser una persona agradable y contribuir al crecimiento
de la familia.
A mis abuelos paternos y maternos, por crear siempre un ambiente agradable en la familia y
enseñarlo con el ejemplo.
A todas aquellas personas que por el momento se me escapa su nombre pero que de una u
otra forma contribuyeron para alcanzar esta meta. Gracias….
Contenido
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico i
CONTENIDO
Pág.
LISTA DE FIGURAS………………………………………………………………………….. ivLISTA DE TABLAS…………………………………………………………………………… viiRESUMEN……………………………………………………………………………………… viiiABSTRACT…………………………………………………………………………………….. ixINTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………. x
CAPÍTULO 1 Pág.
1. REVISIÓN DE LITERATURA……………………………………………………………… 1 1.1 Análisis de variación……………………………………………………………………. 1
1.1.1 Análisis de caso crítico…………………………………………………………….. 3
1.1.2 Análisis estadístico…………………………………………………………………. 4
1.2 Enfoques cinemáticos………………………………………………………………….. 6
1.3 Conclusión de la revisión de literatura……………………………………………….. 9
1.4 Objetivo general………………………………………………………………………… 10
CAPÍTULO 2
2. MÉTODO DE LAZO DE VECTOR………………………………………………………... 11 2.1 Acumulación de tolerancias…………………………………………………………… 11
2.1.1 Especificaciones de tolerancias en el ensamble……………………………….. 12
2.1.2 Marcos de referencia………………………………………………………………. 13
2.1.3 Juntas………………………………………………………………………………... 13
2.1.4 Lazos de vector…………………………………………………………………….. 14
2.2 Fuentes de variación en el ensamble………………………………………………… 15
2.2.1 Representación de las variaciones………………………………………………. 16
2.2.2 Descripción de la creación de un modelo de lazo de vector………………….. 17
2.2.3 Variaciones de característica geométrica……………………………………….. 21
Contenido
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ii
2.2.4 Estimación de las variaciones cinemáticas……………………………………… 23
2.3 Conclusiones……………………………………………………………………………. 25
CAPÍTULO 3
3.ENSAMBLE DE ELEMENTOS CÓNICOS……………………………………………….. 26 3.1 Elementos cónicos de ensamble……………………………………………………… 26
3.2 Metodología para generar y analizar elementos cónicos en contacto……………. 28
3.2.1 Generación del modelo de tolerancias en el ensamble………………………... 29
3.2.2 Análisis del modelo de tolerancias……………………………………………….. 30
3.3 Implementación del lazo de vector al ensamble de elementos cónicos………….. 31
3.4 Representación gráfica de los elementos cónicos en contacto…………………… 35
3.5 Estimación de los claros en el ensamble de elementos cónicos………………….. 37
3.6 Conclusiones……………………………………………………………………………. 40
CAPÍTULO 4
4. AJUSTES CÓNICOS Y VARIACIONES GEOMÉTRICAS…………………………….. 41 4.1 Sistema de ajuste………………………………………………………………………. 41
4.1.1 Ajustes cilíndricos………………………………………………………………….. 42
4.1.2 Ajustes cónicos……………………………………………………………………... 42
4.2 Ajuste con base en un desplazamiento axial…………………..……………………. 44
4.2.1 Desplazamiento axial nominal de las piezas cónicas individuales…………… 44
4.2.2 Desplazamientos axiales nominales en ensambles cónicos………………….. 46
4.2.3 Desplazamiento axial real…………………………………………………………. 48
4.2.4 Efecto de las tolerancias del ángulo……………………………………………… 49
4.3 Programa de ajustes cónicos………………………………………………………….. 51
4.4 Programa de Variaciones geométricas en ensambles de piezas cónicas……….. 54
4.5 Conclusiones……………………………………………………………………………. 57
Contenido
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico iii
CAPÍTULO 5
5. ANÁLISIS DE RESULTADOS…………………………………………………………….. 58 5.1 Verificación del programa de ajustes cónicos……………………………………….. 58
5.2 Criterio del cálculo del claro normal al eje…………………………………………… 62
5.3 Verificación del programa de variaciones geométricas……………………………. 64
5.4 Conclusiones……………………………………………………………………………. 70
CAPÍTULO 6
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………………………………………. 71 6.1 Recomendaciones……………………………………………………………………… 73
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………… 74APÉNDICE.……………………………………………………………………………………... 79
Lista de figuras
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico iv
LISTA DE FIGURAS
Figura Descripción Pág. Figura 2.1. Cadena de dimensiones en el ensamble………………………………………..... 12
Figura 2.2. Característica del componente y característica del ensamble…………………. 13
Figura 2.3. Marcos de referencia en un ensamble……………………………………………. 13
Figura 2.4. Juntas cinemáticas y tipos de marcos en el espacio 2-D……………………….. 14
Figura 2.5. Ajuste cinemático resultado de la variación de los componentes [28]………… 16
Figura 2.6. Ajuste cinemático resultado de la variación de forma geométrica [33]………... 17
Figura 2.7. Muestra de un modelo de ensamble basado en el lazo de vector [27]………... 18
Figura 2.8. Aproximación linealizada de una curva…………………………………………… 19
Figura 3.1. Elementos cónicos…………………………………………………………………... 26
Figura 3.2. Ensamble de elementos cónicos…………………………………………………... 27
Figura 3.3. Representación de los conos, a) cono externo contenido en el elemento
interno, b) cono interno contenido en el elemento externo…………………………………...
28
Figura 3.4. Esquema para generar el modelo de tolerancias en el ensamble de
elementos cónicos…………………………………………………………………………………
30
Figura 3.5. Esquema para analizar el modelo de tolerancias en el ensamble de
elementos cónicos…………………………………………………………………………………
31
Figura 3.6. Ensamble de piezas cónicas, donde a) representación del ensamble, b)
variables del ensamble y ampliación de la zona de contacto, c) superficies de contacto
de las piezas……………………………………………………………………………………….
32
Figura 3.7. Ensamble de elementos cónicos, a) cono exterior e interior con tolerancias
positivas y negativas, b) cono exterior e interior con tolerancias negativas y positivas, c)
mismas condiciones que b) considerando que no existe una fuerza para llegar a la
interferencia………………………………………………………………………………………...
36
Figura 3.8. Claro normal al eje de la pieza, primer contacto en el diámetro menor……….. 37
Figura 3.9. Claro normal a la superficie cónica, primer contacto en el diámetro menor….. 38
Figura 3.10. Interferencia normal al eje de la pieza, contacto en toda la superficie
iniciando el contacto en el diámetro mayor del cono exterior…………………………..........
38
Lista de figuras
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico v
Figura 3.11. Interferencia normal a la superficie cónica, contacto en toda la superficie
iniciando el contacto en el diámetro mayor del cono exterior…………………………..........
38
Figura 3.12. Claro normal al eje de la pieza, primer contacto en el diámetro mayor……… 39
Figura 3.13. Claro normal a la superficie cónica, primer contacto en el diámetro mayor... 39
Figura 4.1. Desviaciones fundamentales, a) agujero, b) eje…………………………………. 42
Figura 4.2. Ensamble de elementos cónicos, donde ZT es la zona de tolerancia………… 43
Figura 4.3. Ajuste de interferencia hecho por un desplazamiento axial relativo de las
piezas de la posición de partida Pa……………………………………………………………..
44
Figura 4.4. Desplazamiento axial nominal de piezas cónicas individuales respecto al
cono básico………………………………………………………………………………………...
45
Figura 4.5. Ensamble de piezas cónicas, a) elementos cónicos nominales, b)
dimensiones nominales…………………………………………………………………………...
46
Figura 4.6. Representación de las zonas de tolerancia………………………………………. 46
Figura 4.7. Desplazamiento axial para lograr un ajuste determinado, a) desplazamiento
axial relativo, b) ampliación de la zona del desplazamiento axial……………………………
48
Figura 4.8. Efecto de las tolerancias de los ángulos de las piezas con signos +/-………… 50
Figura 4.9. Efecto de las tolerancias de los ángulos de las piezas con el mismo signo….. 50
Figura 4.10. Variación angular máxima en la zona de tolerancia………………………….... 51
Figura 4.11. Proceso para calcular los desplazamientos axiales máximos relativos,
nominales y reales………………………………………………………………………………...
53
Figura 4.12. Proceso para determinar el punto donde ocurre el primer contacto y el claro
máximo de las piezas unidas…………………………………………………………………….
56
Figura 5.1. Posición axial relativa de los conos……………………………………………….. 59
Figura 5.2. Desplazamiento axial, a) representación del desplazamiento axial nominal
para lograr un ajuste especificado, b) zona donde ocurre el ajuste (sin
escala)………………………………………………………………………………………………
60
Figura 5.3. Desplazamiento axial actual, a) representación del desplazamiento axial real,
b) zona que representa el ajuste………………………………………………………………...
61
Figura 5.4. Claros en ensambles cónicos, a) claro normal al eje y a la superficie cónica
de las pieza, b) zona donde ocurre el claro…………………………………………………….
63
Figura 5.5. Claros máximos, resultado de las variaciones de las dimensiones de las
piezas…………………………………………………………………………………………........
63
Lista de figuras
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico vi
Figura 5.6. Ensamble de elementos cónicos, donde a) ensamble nominal, b) cono
externo y cono interno, c) zona de tolerancia de los elementos……………………………..
64
Figura 5.7. Superficies cónicas, donde a) cono externo, b) cono interno………………….. 65
Figura 5.8. Histograma del análisis considerando 1 000 muestras…………………………. 66
Figura 5.9. Histograma del análisis considerando 5 000 muestras…………………………. 66
Figura 5.10. Histograma del análisis considerando 10 000 muestras………………………. 67
Figura 5.11. Histograma de claro máximo con 100 000 muestras………………………….. 67
Figura 5.12. Histograma de claro máximo para una tolerancia H10 y h10…………………. 69
Figura A.1. Ensamble de cilindro y ranura, donde a) variables de manufactura y del
ensamble, b) lazo de vector que relaciona las variables en el ensamble…………………... 79
Lista de tablas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico vii
LISTA DE TABLAS
Tabla Descripción Pág. Tabla 2.1. Variaciones de traslación y rotación asociadas con las combinaciones
correspondientes de tolerancias de característica geométrica y tipo de junta cinemática
en 2-D, donde R es rotación y T traslación…………………………………………………….. 22
Tabla 3.1. Medidas nominales de los elementos cónicos…………………………………..... 27
Tabla 3.2. Dimensiones nominales del cono externo e interno……………………………… 28
Tabla 3.3. Ajustes resultantes máximos de los ensambles considerando solo variaciones
longitudinales……………………………………………………………………………………… 40
Tabla 5.1. Dimensiones nominales y magnitud de las zonas de tolerancia (ZT)………….. 65
Tabla 5.2. Claro máximo promedio para diferente número de muestras…………………… 68
Tabla A.1. Dimensiones manufacturadas……………………………………………………… 79
Tabla A.2. Variables cinemáticas del ensamble………………………………………………. 80
Resumen
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico viii
RESUMEN
Este trabajo de investigación se centra en el análisis de tolerancias en elementos cónicos en
contacto. Para llevar a cabo este análisis se consideraron las dimensiones nominales de aros
cónicos deformables. Se tomó en cuenta la variación angular y geométrica de las superficies
cónicas dentro de su zona de tolerancia, la manera que afecta una cadena de tolerancias a
una dimensión resultante del ensamble, y además la manera de cuantificarla.
Se desarrollaron dos programas para realizar el análisis de tolerancias en elementos cónicos
en contacto y cuantificar los posibles claros que se presentan en las superficies de unión.
Estos programas fueron codificados mediante MatLab. El primer programa de ajustes
cónicos se basa en los principios generales del método de lazo de vector, que es un método
para realizar análisis de tolerancias, basado en principios cinemáticos. El análisis se lleva a
cabo considerando un enfoque de caso crítico. En el segundo programa de variaciones
geométricas se considera que las superficies cónicas pueden variar de manera aleatoria
dentro de su zona de tolerancia. Los claros estimados al realizar un análisis de caso crítico
son alrededor de 50% mayores que tomando en cuenta variaciones geométricas dentro de la
zona de tolerancia. Estos programas son implementados al análisis de tolerancias en
elementos cónicos en contacto considerando coaxialidad de las piezas.
Abstract
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ix
ABSTRACT
This investigation is focused on tolerance analysis of contact conical elements. In order to
realize this analysis nominal dimensions of deformable conical rings were considered. For the
analysis geometric and angular variation of the conical surfaces into their tolerance zone was
taken into account, also how a tolerance chain affects to the resultant dimension of an
assembly and the way to quantify it.
Two computer programs were developed to carry out the tolerance analysis of contact
mechanical elements and to estimate the possible gaps which are presented between the
joint surfaces. The programs were encoded in MatLab. The first program for conical fits is
based in the general principles of the vector loop method, which is an approach to carry out
tolerance analysis, based in kinematic principles. To conduct the analysis an approach of
worst case was considered. In the second program of geometric variations, a consideration
that conical surfaces may vary randomly in their tolerance zone is made. The estimated gaps
making a worst case analysis are about 50% larger than taking into account geometric
variations in the tolerance zone. These programs are implemented for the tolerance analysis
of contact conical elements considering coaxiality of pieces.
Introducción
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico x
INTRODUCCIÓN
En el proceso de diseño mecánico las tolerancias constituyen un aspecto crítico, ya que las
decisiones relacionadas con las tolerancias pueden influir en la calidad y los costos del
producto. La utilización de tolerancias muy amplias puede ocasionar dificultades en el
proceso de ensamble, mientras que el empleo de tolerancias muy estrechas puede
incrementar el tiempo de fabricación y por ende el costo de producción. En este proceso, los
requerimientos funcionales se consideran como el modo mas adecuado para capturar las
intenciones funcionales del diseñador relacionado con las tolerancias, además de
considerarse como un vínculo de información entre las diferentes etapas que conforman el
ciclo de vida de la unión.
Cuando se realiza un ensamble, se asignan tolerancias a cada una de las piezas que lo
forman, sin embargo, en muchas ocasiones éstas no son cuantificadas en el requerimiento
funcional del ensamble. Esto tiene como resultado que la unión no cumpla con su función de
diseño. Con el análisis de tolerancias, la variación de estos requerimientos funcionales
puede ser cuantificada. El análisis de tolerancias es el proceso de asignar tolerancias a los
componentes del ensamble y verificar su acumulación en el mismo. De esta manera, llevar a
cabo un análisis de variación se justifica por la necesidad de cumplir con las expectativas del
mercado, generando así mayor aporte económico a la industria.
Se han desarrollado varias herramientas computacionales, basadas en diferentes métodos
analíticos, para la especificación de tolerancias. Sin embargo en el tema de conicidades el
conocimiento que se tiene es muy reducido, por lo que se requiere profundizar en este tema
con el fin de lograr un análisis detallado, especialmente en la zona de tolerancia, que en este
caso afecta el ensamble entre piezas cónicas, que sea compatible con la norma ASME
Y14.5.
En esta investigación, el análisis de tolerancias es de elementos cónicos en contacto y se
realiza para cuantificar los claros que se presentan en las superficies de unión, ya que con
base en estos se pueden determinar los desplazamientos axiales relativos de las piezas para
alcanzar un ajuste determinado. Para esto se desarrollaron dos programas en MatLab, el
Introducción
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico xi
primero considera la variación angular de las superficies de contacto dentro de la zona de
tolerancia y toma en cuenta el enfoque de lazo de vector para realizar el análisis. En el
segundo programa se consideró la variación geométrica dentro de la zona de tolerancia y se
determinó el claro promedio que se presenta en el ensamble.
El desarrollo de este trabajo se divide en seis capítulos. El primer capítulo corresponde a la
revisión de literatura, donde se muestra la información que forma el marco de referencia
para realizar el análisis de tolerancias. En este capítulo se presentan los trabajos realizados
respecto al análisis de variación en uniones mecánicas, y se muestran ventajas y
desventajas de los mismos.
En el capítulo dos se describen los principios básicos para realizar un análisis de variación,
se describe cómo afecta la acumulación de tolerancias en una dimensión resultante del
ensamble. En este capítulo se muestran las bases del método de lazo de vector que se tomó
como referencia para realizar el análisis.
En el capítulo tres se muestra la metodología implementada para realizar análisis de
tolerancias en elementos cónicos en contacto y cuantificar el claro que se presenta en las
superficies de unión. Se representa un ensamble de piezas cónicas y se determina la
dimensión resultante del ensamble, ésta se compara de manera gráfica para verificar los
resultados.
En el capítulo cuatro se presenta una alternativa de cuantificar los posibles claros que se
presentan en la unión de elementos cónicos y se muestran las consideraciones usadas para
el desarrollo de los programas de ajustes cónicos y variaciones geométricas.
En el capítulo cinco se dan a conocer los resultados de los programas implementados al
análisis de tolerancias en elementos cónicos en contacto desarrollados en MatLab, usando
los principios generales del método de lazo de vector y considerando la variación de las
superficies de contacto dentro de las zonas de tolerancias.
Finalmente en el capítulo seis, se dan a conocer las conclusiones y recomendaciones para
trabajos futuros relacionados al tema de investigación.
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 1
Capítulo 1
1. REVISIÓN DE LITERATURA
Todas las partes manufacturadas tienen algún tipo de desviación respecto a la forma ideal
nominal de planos técnicos. Esta desviación es aceptable en un cierto rango denominado
tolerancia, la cual es muy importante en el diseño mecánico para la producción de
ensambles, porque las zonas de tolerancia de las piezas por separado y su interacción
influyen directamente en la calidad final del mismo [1]. Las tolerancias de cada una de las
partes se acumulan y causan variación en los requerimientos funcionales del ensamble. El
análisis de variación en ensambles mecánicos es un paso importante en el diseño y
manufactura de productos de buena calidad. La asignación apropiada de las tolerancias de
las partes que forman el ensamble puede resultar en costos mas bajos de producción y una
mayor probabilidad de ajuste, reduciendo el número de ensambles con defecto, evitando así
volver a maquinar las partes [2]. Para garantizar que el ensamble de elementos funcione
apropiadamente es necesario analizar los efectos de la acumulación de tolerancias de las
partes individuales en los claros críticos de éste.
En este capítulo se muestra una breve descripción de trabajos de investigación relacionados
con el análisis de variación de tolerancias en elementos mecánicos en contacto. Esto con el
fin de tener un marco de referencia para la comprensión de este trabajo.
1.1 Análisis de variación
El objetivo de los enfoques del análisis de tolerancias es determinar la propagación y
naturaleza de la variación de la dimensión analizada o característica geométrica de interés
para un esquema de dimensionado y tolerado geométrico. En este trabajo de investigación,
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 2
el análisis de tolerancias se relaciona principalmente a elementos cónicos en contacto, éste
se lleva a cabo para cuantificar los claros críticos que se presentan en las superficies de
unión cuando se realiza el ensamble. La variación de la dimensión analizada surge de la
acumulación de las variaciones dimensionales y/o geométricas en la cadena de tolerancias.
En la actualidad existen numerosos enfoques e investigaciones relacionados con el análisis
de variación de tolerancias [3, 4, 5], donde a menudo se requiere un conocimiento detallado
de la geometría de las piezas que conforman el ensamble, y son aplicables en su mayoría en
las etapas avanzadas del proceso de diseño. Sin embargo, la información que se tiene
respecto al ensamble de elementos cónicos es muy reducida, ya que la verificación de la
región de tolerancia para estos elementos no es un proceso común, mientras que para
elementos cilíndricos, las variaciones de diámetro que representa su perfil, están dentro de
cierto orden de magnitud, que depende del diámetro y del ajuste, y pueden ser identificadas
de manera directa. Para los elementos cónicos, no se aprecia de forma directa la variación
del perfil dentro de la zona de tolerancia. Esto como resultado de las variaciones de diámetro
propias de la región cónica.
Los enfoques del análisis pueden ser clasificados de acuerdo a: la dimensionalidad; el
objetivo del análisis, el caso crítico (por ejemplo, rango de aceptación de 100%) y estadístico
(rango de aceptación menor que 100%); el tipo de variaciones incluidas, dimensional y
dimensional+geométrico; el nivel del análisis, nivel de parte y nivel de ensamble [3]. La
mayoría se restringe en dos casos: análisis y síntesis de tolerancias; solamente algunos de
ellos son aplicables a ambos casos. La solución para el primer caso es un conjunto de
ecuaciones que predice las tolerancias de un requerimiento funcional de diseño, dados
algunos valores de tolerancia de los elementos funcionales críticos en la cadena de
tolerancia. La solución para el segundo caso es un conjunto de ecuaciones que predice qué
valores de tolerancia de los elementos funcionales críticos deben ser dados para cumplir con
un requerimiento funcional de diseño [6]. La mayoría de los casos se aproxima de relaciones
no lineales entre las tolerancias a una relación lineal, para simplificar el análisis de variación
y disminuir el tiempo de cómputo al momento de realizar el estudio [7].
Los cálculos de las tolerancias han sido explorados en diversas situaciones de diseño. Por
ejemplo, en [8] y [9] se desarrollaron ecuaciones para calcular tolerancias de posición y
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 3
tamaño, para alcanzar una clase deseada y un grado de ajuste de cilindricidad entre partes
en contacto. Sin embargo, en ese enfoque se necesita de nuevas ecuaciones para cada
diseño. En [10] se presenta un análisis de tolerancias de caso crítico en un ensamble
industrial, en el cual se usó un paquete de análisis de tolerancia automatizado (GEOS por
sus siglas en ingles), desarrollado en el Centro de Investigación de Diseño de Rensselaer.
Una de las desventajas de este paquete es que los resultados varían de acuerdo a la
experiencia del usuario para crear el modelo y no cuenta con un enfoque matemático para la
caracterización de las tolerancias geométricas. A continuación se describe el análisis de
caso crítico que se usó de referencia para realizar el análisis y se presentan investigaciones
realizadas al respecto.
1.1.1 Análisis de caso crítico
Un análisis de tolerancias de caso crítico determina los valores extremos de la función de
diseño bajo cualquier posible variación permitida para las tolerancias. Este enfoque asume
que todas las dimensiones relacionadas están en sus condiciones extremas. El análisis de
caso crítico garantiza el ensamble y la función para la cual fue diseñado a pesar de la
variación de las dimensiones de las partes componentes del mismo. Esta técnica se requiere
cuando la seguridad es una parte importante en el ensamble, o cuando se requiera que
todos los ensambles cumplan con su función de diseño, evitando así pérdidas de material y
costos elevados en la producción. En tales casos, las decisiones en la asignación de las
tolerancias se basan en la suposición de que las condiciones extremas en el ensamble se
puedan presentar en la práctica [11]. Un análisis basado en este enfoque se describe en [4],
el análisis utiliza una técnica de diagramas de tolerancias. El analista posiciona las partes del
ensamble para representar cada uno de los casos críticos (mínimos o máximos valores de
las dimensiones analizadas). Este método es un procedimiento manual para cálculos de
acumulación en una dimensión, toma en cuenta tolerancias dimensionales y tolerancias
geométricas y es aplicable a nivel de parte y nivel de ensamble. Este método es uno de los
más utilizados en la industria, a causa de su fácil comprensión. Sin embargo, como se lleva a
cabo manualmente y a partir de que cada tipo de tolerancia se maneja separadamente, el
usuario debe recordar todas las reglas correctamente cuando se construyen los diagramas
para obtener resultados razonables, haciendo el proceso complicado y propenso a errores
en los cálculos. Otra limitante es que se tienen que construir diagramas separados para cada
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 4
caso crítico. A falta de una expresión algebraica para la dimensión analizada en términos de
las dimensiones de manufactura de las partes componentes del ensamble, no se puede
llevar a cabo un análisis estadístico, y el análisis solo es posible en 1-D. En [5] se presenta
un método de mapeo de tolerancias, el cual se basa en un modelo de dos niveles: el modelo
local y el modelo global. El modelo local se utiliza para representar variaciones de partes que
consideran la interacción de todos los controles geométricos (tamaño, forma, orientación y
posición), aplicado a la característica de interés. El modelo global relaciona todos los marcos
que controlan partes o ensambles. El mapeo de tolerancias es un espacio de puntos
euclidianos hipotéticos, de los cuales la forma y el tamaño refleja todas las posibles
variaciones de una característica de diseño. Éste es el rango de puntos que resulta de
mapear uno a uno todas las posibles variaciones de una característica dentro de su zona de
tolerancia. Sin embargo, este método no se ha desarrollado completamente. Las ecuaciones
que utiliza solo consideran el análisis de caso crítico y no se puede llevar a cabo un análisis
estadístico.
En [12] se presenta una síntesis de tolerancia de caso crítico con una ecuación de diseño
lineal, en la cual se suponen los límites para las variables de diseño y se utilizan para
obtener los límites de tolerancia de las variables de las partes componentes del ensamble.
Sin embargo en este análisis no se toma en cuenta variaciones geométricas. En [12] también
se presenta un análisis de tolerancia estadístico, que deriva una distribución de probabilidad
para las variables de diseño, usando las distribuciones de probabilidad asumidas de las
variables de las partes componentes y una ecuación de diseño. A continuación se
mencionan algunos enfoques estadísticos que se han utilizado para efectuar análisis de
variación.
1.1.2 Análisis estadístico
El análisis de tolerancias estadístico calcula la probabilidad de que el producto pueda ser
ensamblado y funcione bajo las tolerancias de las partes componentes del ensamble dadas;
a menudo, el análisis estadístico se realiza utilizando una técnica llamada método de Monte
Carlo.
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 5
La simulación de Monte Carlo es una herramienta para el análisis de tolerancias de
ensambles mecánicos. Se basa en el uso de un generador de números aleatorios para
simular los efectos de las variaciones de manufactura en ensambles. Esta técnica se acopla
bien a los casos donde las dimensiones de los componentes tienen otras distribuciones
diferentes a la normal, esto como resultado de que los números aleatorios pueden ser
modificados para representar cualquier otra clase de distribución. Este método también
maneja funciones de respuesta lineal y no lineal, a partir de que los valores de la función de
respuesta se calculan por simulación. La principal desventaja de este método es que, para
obtener buenos resultados, es necesario generar muestreos muy grandes, alrededor de
10.000 [13], y esto puede generar un tiempo considerable de cómputo. Una amplia revisión
de literatura referente a este método se encuentra en [14]. A continuación se muestran
investigaciones realizadas al respecto.
En [15] se utilizó la técnica de síntesis de tolerancia para realizar un análisis de variación en
el diseño de un ensamble de dos pernos unidos a dos agujeros. Se utilizó el método de
Monte Carlo para analizar este ensamble y se compararon los resultados con el análisis de
caso crítico. Sin embargo en este análisis solo se toma en cuenta la tolerancia de posición y
no cuenta para otro tipo de tolerancias. En los trabajos de [16, 17 y 18] se utiliza el método
estadístico para optimizar las tolerancias dimensionales, tal que haya un riesgo bajo
aceptable de falla en el ensamble para lograr la especificación, dados los costos de
manufactura. Las ecuaciones del ensamble son reemplazadas por ecuaciones lineales
equivalentes. En [19] se desarrolló una formulación matemática para abordar el problema de
variación, ésta se estableció en base a la descripción de las variables de las desviaciones
geométricas. Las relaciones entre las variables geométricas y las variables funcionales se
desarrollaron para mecanismos restringidos cinemáticamente y sobre restringidos. En ese
trabajo, se consideraron solamente desviaciones dimensionales y de posición al utilizar la
técnica del análisis estadístico. En [4] se utiliza un análisis de tolerancias paramétrico.
Basado en el diseño asistido por computadora, la forma y tamaño nominal se representa por
un conjunto de dimensiones explícitas y restricciones, de las cuales se obtiene un conjunto
de ecuaciones simultáneas. Resolviendo estas ecuaciones se obtiene uno o mas valores
para la dimensión resultante; las tolerancias se incorporan al permitir variaciones positivas y
negativas en las dimensiones. Este método es aplicable tanto al análisis de caso crítico como
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 6
al análisis estadístico, sin embargo, la aplicación se limita a partes poliédricas y no incluyen
tolerancias de forma y tampoco marcos de referencia.
Algunos métodos que se han utilizado para analizar la acumulación de tolerancias se basan
en principios cinemáticos. A continuación se muestra una descripción de estos métodos y las
bases en las cuales fueron desarrollados.
1.2 Enfoques cinemáticos Las tolerancias son pequeños desplazamientos lineales y angulares de un elemento
funcional respecto a su posición nominal, orientación y forma. Por lo tanto, se pueden
representar usando teorías de pequeños desplazamientos, las cuales se basan en principios
cinemáticos [6]. Srinkanth y Turner relacionaron los principios cinemáticos con el enfoque de
variación de tolerancias que incluyen las características de contacto entre las partes
individuales [20]. Las relaciones cinemáticas se combinan con información geométrica
creando un modelo completo del ensamble mecánico. Larsen [21] indica que los modelos de
análisis de tolerancias en ensambles deben contener las siguientes características:
• Traslación y rotación de cuerpo rígido relativo entre los componentes
• Propagación de las variaciones de tamaño
• Propagación de las variaciones de característica y forma
• Propagación de ajustes cinemáticos
• Acumulación de tolerancias
Rivest y Whitney [22, 23] describen un enfoque cinemático para modelar información y
acumulación de tolerancias. El enfoque se basa en la robótica, donde se usaron algunos
modelos para representar movimientos de juntas cinemáticas consecutivas, expresadas en
un marco de coordenadas globales. Los autores sugieren usar un esquema similar, por
ejemplo asociar marcos de coordenadas a los pares cinemáticos de un ensamble, para
modelar sus posibles movimientos y relacionarlos al análisis de tolerancias. El trabajo en [22]
modela pequeños movimientos que resultan de las desviaciones dentro de las zonas de
tolerancias predefinidas y en [23] una distribución estadística de las tolerancias acumuladas.
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 7
El movimiento de cuerpo rígido en ensambles es el movimiento resultante a causa de la
variación de las partes. Cada característica en una parte se desvía de su dimensión original.
Las variaciones de característica y forma también deben ser modeladas. Los ajustes
cinemáticos o ajustes al tiempo de ensamblar las partes, que son resultado de las
variaciones de las partes componentes, son una parte crucial al modelar las variaciones del
ensamble de manera precisa [23].
Ogot y Gilmore [24] discutieron la necesidad de un modelo cinemático de ensambles,
resaltaron que todos los ensambles mecánicos, aun aquellos con cero grados de libertad
obedecen a las leyes de la cinemática. Usaron un enfoque de lazo de vector para el análisis
del ensamble, diferenciaron entre dimensiones de partes, las cuales llamaron vectores
cruzados, y las dimensiones del ensamble, las cuales llamaron vectores de claro. Ogot y
Gilmore también reconocieron que los modelos de tolerancias cinemáticos deben contar con
restricciones cerradas. En otras palabras, el punto de inicio y el punto final se restringen para
que coincidan. En el trabajo realizado en [25], las dimensiones de las partes son
consideradas lógicamente como vectores, lo que es, las dimensiones tienen una referencia,
longitud y orientación. En [26] se desarrolló un método para describir los ensambles con
lazos de vector. Matemáticamente se diferenció entre ensambles de lazo abierto y
ensambles de lazo cerrado, y la manera en la cual pueden ser implementados estos lazos en
el análisis de variación de tolerancias. Chase [14, 27 y 28] usando matrices de
transformación, desarrolló un enfoque cinemático para el análisis de tolerancias. Cada
transformación representa un desplazamiento diferencial que comprende tres rotaciones y
tres traslaciones de la característica de la parte componente. Tres tipos de variaciones
(dimensional, geométrico y cinemático) se relacionan en un modelo de lazo de vector. En
este modelo, las dimensiones se representan por vectores, en los cuales la magnitud de la
dimensión es la longitud (Li) del vector. Las variaciones cinemáticas son pequeños ajustes
entre las juntas (relaciones de unión), las cuales ocurren en el tiempo del ensamble en
respuesta a las variaciones dimensionales y geométricas. Las tolerancias geométricas se
consideran al agregar grados de libertad a las partes en contacto en el ensamble. Existe una
serie de reglas para dibujar un lazo de vector y relacionarlo con el análisis de tolerancias. En
[4] Clement usó el mismo desplazamiento diferencial que puede representarse por torsores.
Clement usó superficies elementales (esferas, cilindros, planos, etc.) para modelar los seis
pares cinemáticos más bajos; junto con Realeaux [4] realizó el modelado con la restricción
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 8
completa de un cuerpo rígido fijo, en una manera descrita por Hunt [4]. Ellos llamaron a estos
las siete superficies relacionadas tecnológicamente y topológicamente (TTRS por sus siglas
en inglés). Usaron teoría de grupos y torsores de desplazamiento para combinarlos en 28
relaciones geométricas diferentes posibles. Para cada tolerancia relacionada a TTRS, la
zona de tolerancia fue representada como un torsor que contiene rotaciones y traslaciones
invariantes. También demostraron el sistema mínimo de marcos de referencia dato (DRF’s
por sus siglas en inglés) que se necesita para cada tipo de tolerancia. Aunque elegante
matemáticamente, esta representación no incorpora tolerancias de forma, o los efectos de
modificadores de material. Desrocher [4] ha tratado de expresar las clases de tolerancias en
términos de TTRS, pero este objetivo no se ha alcanzado totalmente. Los torsores son
reemplazados con matrices de transformación geométrica con coordenadas homogéneas.
En [29] se desarrolló un algoritmo para el análisis de tolerancias cinemático funcional de
sistemas mecánicos planos generales con tolerancias paramétricas. El algoritmo se basa en
la técnica de caso crítico de sistemas de partes curvas con cambios en contacto, que
incluyen cadenas cinemáticas abiertas y cerradas. Éste calcula la variación cuantitativa y
ayuda al diseñador a detectar variaciones cualitativas. El algoritmo construye un modelo
variacional para cada par de partes que interactúa; un mapeo de las tolerancias de las partes
y las configuraciones de las variaciones cinemáticas del par. El análisis es en base a la
sensibilidad y programación lineal para derivar la variación del sistema de la configuración
dada. La variación relativa a la función del sistema nominal se calcula al muestrear la
variación del sistema.
Los trabajos mencionados anteriormente forman un marco de referencia para realizar el
análisis de variación de tolerancias. Algunos de ellos no son compatibles con la norma ASME
Y14.5 [30] al no cumplir la condición de material en el análisis de variación. Cada uno de
ellos es implementado al enfoque de acumulación de tolerancias bajo las restricciones con
las que fueron realizados. Sin embargo, de acuerdo a la unión que se modele, estos trabajos
solo se pueden implementar utilizando las restricciones propias del ensamblen en particular.
Por lo cual, algunas veces estos tienen que modificarse o agregar otra herramienta para
llevar a cabo el análisis de variación.
El análisis de tolerancias que se realiza en este trabajo de investigación es de elementos
cónicos en contacto. El requerimiento funcional para el cual se hace el análisis es el claro
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 9
que se forma en las superficies de unión. Una aplicación de estos elementos es en la unión
mecánica flecha-cubo de rueda, en la cual estos sirven como interfaz entre dichas piezas de
unión. El análisis de tolerancias entre estos elementos se usa para cuantificar los claros
cuando se realiza el ensamble, ya que esto influye en la fuerza de apriete necesaria para
eliminarlos [31]. Existen normas [32] para la determinación de ajustes que se presentan en
este tipo de ensambles, sin embargo éstas solo cubren elementos cónicos con una conicidad
de 1:3 a 1:5.
Los principios generales con los cuales se llevó a cabo el análisis de tolerancias en
elementos cónicos en contacto fueron los del enfoque de lazo de vector, sin embargo para
poder realizar el análisis fue necesario implementar otros parámetros que se describen en
capítulos posteriores. Este método fue implementado ya que describe la variación de la
dimensión nominal de diseño en función de las tolerancias de las dimensiones componentes
en el ensamble. Toma en cuenta variaciones dimensionales y de forma geométrica. Funciona
tanto para análisis de caso crítico como para análisis estadístico, y puede ser integrado con
un sistema CAD del cual se extraen los datos dimensionales. Es un método que requiere de
experiencia para implementar los lazos de vector en el ensamble e interpretar los resultados
[3]; sin embargo, los elementos con los cuales se trabaja para crear el modelo son de fácil
comprensión para los ingenieros de diseño, además de ser geométricamente simples [33].
1.3 Conclusión de la revisión de literatura Las decisiones de las tolerancias pueden impactar en la funcionalidad para la cual fue
diseñado el ensamble. Para obtener partes mecánicas de ensamble es necesario realizar
asignaciones de variaciones/desviaciones permitidas de dimensiones especificadas [34].
Estas variaciones deben ser cuantificadas, dado que los diferentes miembros son
ensamblados para obtener un producto final de trabajo que satisfaga los requerimientos de
funcionalidad, por lo que se han hecho diversos estudios de análisis de variación de
tolerancias en relación a elementos en contacto. Una limitación de los métodos encontrados
en la revisión bibliográfica es que la mayoría están acotados a problemas particulares; por lo
tanto, el ingeniero tiene que tomar la decisión de cual método implementar y bajo qué
condiciones de análisis. Sin embargo, los principios generales de estos trabajos de
investigación, pueden ser tomados como referencia para realizar el análisis de variación en
Capítulo 1. Revisión de literatura
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 10
el ensamble de elementos mecánicos. Con base en la bibliografía estudiada, la información
respecto al análisis de variación de elementos cónicos en contacto es muy reducida, ya que
la variación de los diámetros respecto a la forma ideal nominal se hace aún más difícil por las
diferencias de magnitud entre la inclinación de las superficies de contacto. Por lo que se
considera que se requiere la implementación de una metodología para analizar la tolerancia
resultante en el ensamble de elementos cónicos. A continuación se muestra el objetivo
general de esta investigación.
1.4 Objetivo general Analizar, proponer e implementar una metodología para describir la zona de tolerancia en
elementos cónicos en contacto que sea compatible con la norma ASME Y 14.5. El presente
trabajo tiene la finalidad de analizar las variaciones de los diámetros respecto a la forma ideal
de elementos cónicos en sus regiones cónicas, enfocado a conicidades mayores de 1:3.
Desarrollar una descripción matemática de las tolerancias en elementos cónicos y proponer
la aplicabilidad del método propuesto.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 11
Capítulo 2
2. MÉTODO DE LAZO DE VECTOR
En este capítulo se describe el concepto de acumulación de tolerancias y se representa una
cadena de dimensiones que causa la variación de un requerimiento funcional de diseño. Se
describe el método de lazo de vector y los elementos en los cuales se basa para realizar el
análisis de tolerancias de forma general.
2.1 Acumulación de tolerancias
La manera de representar un esquema de dimensionado para describir la geometría de un
ensamble y sus componentes se realiza tomando en cuenta todas las dimensiones que
afectan al mismo. La relación topológica entre estas dimensiones se refiere como una
cadena de tolerancias. Por ejemplo, un ensamble que consiste de dos componentes A y B
se muestra en la figura 2.1. Las dimensiones X1, X2, y X3 componen una cadena simple.
Similarmente, las dimensiones horizontales del ensamble componen otra cadena. El ancho
total del ensamble, X5, se relaciona con X4 y X2. La relación algebraica para estas cadenas
se muestra en la ecuación (2.1).
425
213
XXX
XXX
+=
+= (2.1)
En cada cadena existe una dimensión resultante que se deriva de las otras dimensiones. Los
tamaños nominales de las dimensiones de una cadena tienen la misma relación algebraica
que la ecuación de la cadena original. Sin embargo, las tolerancias de las dimensiones no
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 12
poseen las mismas características. Las variaciones incluidas en una dimensión resultante
son producto de todas las variaciones relacionadas en las dimensiones independientes. A
este fenómeno se le denomina acumulación de tolerancias [35].
X5
X3
X1 X2
X4
AB
2.1.1 Especificaciones de tolerancia en el ensamble Para asegurar la calidad del ensamble, los ingenieros de diseño especifican requerimientos
funcionales para los componentes y los ensambles. Estos pueden ser trasladados a límites
en cantidades geométricas, tal como rotaciones y traslaciones.
Los límites aplicados a las variaciones en la geometría del ensamble se llaman
especificaciones de tolerancia del ensamble. Las especificaciones de tolerancia del
ensamble definen la variación aceptable de las variables críticas del ensamble. A partir de
que las variaciones del ensamble son el resultado de la acumulación de las variaciones de
los componentes que forman el mismo, estas pueden ser modificadas al cambiar los
procesos usados para manufacturar los componentes. Las variaciones del ensamble son
medidas después de que las piezas se ensamblan [36]. La figura 2.2 compara las
características de los componentes y las características del ensamble.
Figura 2.1. Cadena de dimensiones en el ensamble.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 13
Característica del componente
Característicadel ensamble
2.1.2 Marcos de referencia Para distinguir entre las partes individuales y permitir el dimensionado referenciado a datos,
se crea un marco de referencia en cada parte que conforma el ensamble. Un marco de
referencia es un sistema de coordenadas local para cada parte. Este localiza las
características en una parte. Existen dos tipos de marcos: marcos centrales y marcos
rectangulares. La figura 2.3 muestra un ensamble de dos partes con marcos de coordenadas
definidos en cada parte. El marco A situado en el cilindro es un marco central, el marco B de
la ranura es un marco rectangular.
A
B
Figura 2.3. Marcos de referencia en un ensamble.
2.1.3 Juntas
Se llama juntas a los puntos de contacto entre las partes del ensamble. Kim Y Lee [37]
desarrollaron un sistema para derivar un modelo de ensamble solo por condiciones de
contacto. Una junta define un par cinemático el cual restringe el movimiento relativo entre las
Figura 2.2. Característica del componente y característica del ensamble.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 14
partes de contacto. Por ejemplo en la figura 2.3, el cilindro en una ranura forma dos juntas,
una en la parte superior y otra en la parte inferior. Este tipo de junta es de deslizamiento
cilíndrico y en un sistema coordenado 2-D tiene dos grados de libertad, una traslación y una
rotación. Existen seis tipos de juntas las cuales modelan una amplia variedad de condiciones
de ensamble 2-D. La figura 2.4 muestra este tipo de juntas y los marcos de referencia de la
figura 2.3.
Cada junta se localiza relativa al marco de referencia de ambas partes conectadas por ésta,
figura 2.3. La cadena de vectores que localiza la junta del marco de referencia se denomina
sendero. Cada vector en un sendero debe ser ya sea una dimensión componente, para la
cual el diseñador debe especificar una tolerancia, o una dimensión del ensamble cinemática,
la cual se ajusta al momento de ensamblar las piezas. Las dimensiones cinemáticas se
determinan por una cadena de dimensiones de las partes del ensamble. Estas son resultado
de la acumulación de las tolerancias de dimensiones componentes de la unión.
2.1.4 Lazos de vector
Las relaciones de las dimensiones de los componentes y las dimensiones cinemáticas que
representan el ensamble se obtienen al crear un conjunto de lazos de vector, los cuales
conectan las juntas que se presentan al momento de ensamblar las partes. Los lazos pueden
ser tanto abiertos como cerrados, a continuación se describe y se especifica qué representa
cada uno de ellos.
Figura 2.4. Juntas cinemáticas y tipos de marcos en el espacio 2-D.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 15
Lazo cerrado: los lazos cerrados empiezan y terminan en la misma posición y representan
restricciones cinemáticas en el ensamble. Por ejemplo, una restricción cinemática puede
requerir que todas las partes en el ensamble deben estar en contacto para que el modelo de
tolerancia sea válido. En la figura 2.3 se representa un lazo cerrado.
Lazo abierto: se usan para determinar variaciones de interés en el ensamble tal como un
claro, orientación y posición. Por ejemplo la puerta de un automóvil debe de mantener un
determinado claro para cumplir con el funcionamiento adecuado de la misma. En este trabajo solamente se consideran lazos cerrados, ya que se considera que los
elementos cónicos están en contacto. A continuación se describen las fuentes de variación
en un ensamble y cómo se relacionan con el análisis de tolerancias utilizando el método de
lazo de vector
2.2 Fuentes de variación en ensambles Para comprender el método de lazo de vector se deben analizar algunos conceptos antes de
comenzar con la descripción del mismo. El control de variación es la clave del análisis de
tolerancias. Las variaciones dimensionales que ocurren en cada parte que forma el
ensamble, afectan su requerimiento funcional de diseño. Los claros críticos resultantes y
ajustes, que afectan el funcionamiento del ensamble, son el sujeto de variación a causa de la
acumulación de las variaciones dimensionales. Existen tres fuentes de variación que deben
tomarse en cuenta para modelar ensambles mecánicos:
1. Variaciones dimensionales
2. Forma geométrica y variaciones de característica
3. Variaciones cinemáticas (pequeños ajustes entre las partes de contacto)
Las variaciones de forma y dimensionales (1 y 2) son resultado de variaciones en los
procesos de manufactura, o las materias primas usadas en la producción. Las variaciones
cinemáticas ocurren al momento de ensamblar las piezas, cuando pequeños ajustes entre
las partes de unión se requieren para acomodar las variaciones de forma y dimensionales.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 16
2.2.1 Representación de las variaciones
Los dos componentes del ensamble en la figura 2.5 muestran la relación entre las
variaciones dimensionales en un ensamble y los ajustes cinemáticos que ocurren al
momento de unir las piezas.
El ensamble tiene tres dimensiones que varían, dos en la ranura y una en el cilindro, como
se muestra en la figura 2.5. Las variaciones en las tres dimensiones tienen un efecto en la
distancia U1. Esta característica es importante para la función del ensamble y en este caso
se refiere a una dimensión resultante del ensamble.
Las partes son ensambladas al insertar el cilindro en la ranura hasta hacer contacto en las
dos superficies de unión. Para cada conjunto de partes U1 se ajustará para acomodar los
valores actuales de las dimensiones A, R, y θ. La resultante del ensamble U1 representa la
posición nominal del cilindro, U2 representa la posición del cilindro cuando la variación se
presenta. Esta ajustabilidad del ensamble describe una restricción cinemática, o una
restricción cerrada del ensamble.
Α θθθ
U1
U2
RR+ΔR
Α +
ΔΑ
La figura 2.6 ilustra el mismo ensamble con variaciones de características geométricas
exageradas. En este ensamble, el cilindro puede hacer contacto en un pico de la superficie
inferior de la ranura. Similarmente, la superficie mas baja de la ranura puede hacer contacto
con un lóbulo del cilindro. Las variaciones como éstas se propagan a través de un ensamble
y se acumulan como lo hacen las variaciones dimensionales. Por esta razón un modelo
Figura 2.5. Ajuste cinemático resultado de la variación de los componentes [28].
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 17
completo de ensamble debe tomar en cuenta las tres variaciones para asegurar resultados
reales y precisos [33].
Α
θ
U1
R
2.2.2 Descripción de la creación de un modelo de lazo de vector En modelos de tolerancia de lazo de vector, cada vector representa una parte, o una
dimensión componente. Los vectores son arreglados en lazos que representan aquellas
dimensiones que juntas se acumulan para determinar las dimensiones resultantes del
ensamble resultante. La ventaja de usar lazos de vector es que reducen la geometría a
solamente las dimensiones necesarias para realizar el análisis y la habilidad de usar
derivadas algebraicas de las funciones del ensamble.
Cada una de las tres fuentes de variación se representa en el lazo de vector. Las variaciones
dimensionales, que son resultado de los procesos de manufactura, se producen antes del
ensamble y por lo tanto son consideradas variables independientes. Las variaciones de
características geométricas, que proveen restricciones de tolerancias en forma, orientación y
localización de características de partes, también se consideran variables independientes.
Las variaciones cinemáticas que ocurren en el tiempo del ensamble, son una respuesta a las
dos fuentes de variación anteriores. A causa de que las variaciones ocurren cuando las
piezas se ensamblan, estas se consideran variables dependientes del ensamble. Estas son
dependientes de las variaciones geométricas y dimensionales [27].
Para linealizar las ecuaciones que se obtienen al crear el lazo, se utiliza el método de
linealización directa, el cual, se basa en las series de expansión de Taylor de primer orden
Figura 2.6. Ajuste cinemático resultado de la variación de forma geométrica [33].
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 18
de la ecuación de restricción cinemática del ensamble, con respecto a las variables de
manufactura y variables del ensamble. Las series de Taylor se resuelven usando álgebra
lineal, en términos de las variaciones de los componentes manufacturados. La restricción
cinemática para un ensamble se puede representar por un lazo cerrado o abierto. Cuando el
lazo traza las dimensiones del comienzo al final, las dimensiones de cada parte, como las
traslaciones y rotaciones de cada junta deben sumar cero para un lazo cerrado y un claro
para un lazo abierto.
La figura 2.7 muestra un modelo de lazo de vector de un ensamble. Cada vector define la
rotación y traslación relativa del vector anterior. Si un vector representa una dimensión
componente, entonces su variación es la tolerancia especificada del componente. Si ésta es
una variable cinemática, su variación se determina al resolver la ecuación del vector. Si una
longitud o ángulo es una variable cinemática, ésta se determina por los grados de libertad de
la junta cinemática correspondiente, definida en los puntos de contacto entre las partes de
unión [27].
Un lazo de vector cerrado, tal como se muestra en la figura 2.7, define una restricción
cerrada cinemática para el ensamble. La ecuación de junta a junta se puede representar
matemáticamente por las matrices de transformación homogéneas. La ecuación de
restricción cinemática del ensamble cerrada se muestra al igualar el producto de todas las
matrices de transformaciones a la matriz identidad, como se muestra en la ecuación (2.2).
Las matrices de traslación y rotación de la ecuación (2.2) definen la posición relativa de los
Figura 2.7. Muestra de un modelo de ensamble basado en el lazo de vector [27].
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 19
vectores de la figura 2.7. La matriz H incluye las transformaciones necesarias para trasladar
y rotar cualquier marco de coordenadas de un vector a su nueva posición [27].
][]][][]......[][]....[][][][[ 2211 HRTRTRTRTR fnnii = (2.2)
Donde:
[Ri] Es la matriz de transformación rotacional o producto de matrices de transformación
rotacionales
[Ti] Es la matriz de traslación para el nodo i
[Rf] Es la rotación cerrada final
[H] Es la matriz que representa el claro final y su orientación.
La ecuación de restricción del ensamble de lazo cerrado es no lineal [36], pero como las
variaciones alrededor del valor nominal son de una magnitud menor que la dimensión
considerada, las soluciones pueden ser aproximadas al usar sus derivadas. Tomando en
cuenta la figura 2.8, si se conoce la derivada (pendiente) de la curva en el punto A, se puede
estimar el valor de la función en el punto B y C de la siguiente manera [38]:
dxdyxAFCF
dxdyxAFBF Δ−=Δ+= )()()()( (2.3)
Las tolerancias se pueden representar como Δx en la figura, y usar la sensibilidad para
estimar el valor de la función en los extremos de la tolerancia. De esta manera, las
soluciones de las ecuaciones de lazo se aproximan al usar las series de expansión de primer
orden de Taylor de las ecuaciones de restricción, por lo tanto solamente se necesitan las
derivadas parciales de cada una de las variables del lazo para linealizar las ecuaciones [38].
F(x)
Δx
Δx
A
A
F(C)F(A)
F(B)
X
y
Figura 2.8. Aproximación linealizada de una curva.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 20
Las ecuaciones linealizadas para lazos cerrados en un ensamble se pueden expresar en
forma de matriz [27].
}0{}]{[}]{[}{ =Δ+Δ=Δ UBXAH (2.4)
Donde:
}{ΔΗ Son las variaciones del claro o relación cerrada
}{ XΔ Son las variaciones de las variables manufacturadas
}{ UΔ Son las variaciones de las variables del ensamble
][Α Son las derivadas parciales con respecto de las variables manufacturadas
[B] Son las derivadas parciales con respecto a las variables del ensamble
Para mapear correctamente las derivadas en las matrices [A] y [B], se requiere que cada
traslación y rotación en el lazo sean identificadas ya sea como una variable dependiente o
independiente o una constante. Si la matriz [B] es cuadrada, las variaciones de las variables
del ensamble se obtienen al resolver la siguiente ecuación [33].
}]{[][}{ 1 ΔΧΑ−=Δ −BU (2.5)
En la ecuación (2.5) la matriz [A] describe la sensibilidad geométrica de las variaciones de
los componentes ΔX, y [B]-1 impone los ajustes entre los ejes de las juntas cinemáticas para
lograr cerrar el lazo. El significado de esta ecuación es que las variaciones del ensamble se
pueden obtener directamente de la geometría por operaciones de álgebra de matriz [33].
Una vez que las matrices han sido obtenidas, se pueden introducir valores de ΔX sin repetir
la solución. Si el ensamble tiene restricciones de lazo abierto, las series de expansión de
primer orden de las restricciones del ensamble son [33]:
}]{[}]{[}{ UDCV Δ+ΔΧ=Δ (2.6)
Donde:
{ΔU} Son las variaciones de las variables del ensamble de lazo abierto
[C] Son las derivadas parciales de las variables manufacturadas en el lazo abierto
[D] Son las derivadas parciales de las variables del ensamble en el lazo abierto
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 21
Si se sustituye {ΔU} de la ecuación (2.5) en la ecuación (2.6), entonces las variaciones de las
variables de lazo abierto se pueden expresar como [38]:
( ) }{][]][[][}{ 1 ΔΧ−=Δ − ABDCV (2.7) 2.2.3 Variaciones de característica geométrica Las variaciones de características geométricas definidas en la norma ASME Y14.5 pueden
ser modeladas tal que sus efectos se reflejen en el modelo de tolerancia del ensamble. Los
efectos de las variaciones geométricas en el ensamble o variables cinemáticas pueden ser
estimadas al analizar las ecuaciones de restricción del ensamble.
En el modelo de lazo de vector, esto se logra al modelar las variaciones de característica
geométrica con vectores de longitud cero que tienen variaciones especificadas o tolerancias,
colocadas en el punto de contacto entre las superficies de unión. Los vectores de longitud
cero se consideran fuentes de variación independientes para las variaciones independientes
en el ensamble. La dirección en la cual éstas introducen variación en el ensamble depende
en el tipo de contacto que existe entre las superficies. Por esta razón, las tolerancias de
característica geométrica de los componentes en un ensamble se relacionan con los tipos de
juntas. La manera en la cual las variaciones geométricas se propagan entre las superficies
de unión, depende de la naturaleza de contacto [28]. El tipo de junta cinemática y las
tolerancias de características geométricas en las partes en contacto son los elementos
claves en analizar los efectos de las tolerancias de las características geométricas en las
variaciones de los ensambles. En la figura 2.4 se muestra los tipos de juntas cinemáticas en
2-D.
Si la variación traslacional causada por la tolerancia de característica geométrica se
representa por T, y la variación rotacional por R, todas las posibles combinaciones de las
tolerancias de característica geométrica con los tipos de juntas cinemáticas se pueden
resumir en la tabla 2.1. Las celdas vacías en la tabla significan que la combinación de las
tolerancias de característica geométrica y la junta cinemática no aplica [28].
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 22
Tabla 2.1. Variaciones de traslación y rotación asociadas con las combinaciones correspondientes de tolerancias de característica geométrica y tipo de junta cinemática en 2-D, donde R es rotación y T traslación.
Las derivadas de la traslación y rotación se pueden incluir en la ecuación (2.2) para
variaciones de características geométricas como fueron utilizadas para variaciones
dimensionales. Al incluir las matrices de rotación y traslación debido a las variaciones
geométricas en la ecuación de restricción cinemática del ensamble y utilizando la
metodología anterior, las ecuaciones de restricción linealizadas para un ensamble se
especifican de la siguiente manera [28]:
Lazo cerrado:
{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0=Δ+Δ+Δ=Δ αFUBXAH (2.8)
Lazo abierto:
{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0=Δ+Δ+Δ=Δ αGUDXCV (2.9)
Donde:
{ }:αΔ Variaciones de las variables de características geométricas
[ ] [ ]:, GF Derivadas parciales con respecto a las variables de característica geométrica
Las demás literales se definieron en los párrafos anteriores.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 23
Resolviendo la ecuación (2.8) para ΔU, se determinan las variaciones del ensamble de lazo
cerrado:
{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }αΔ−Δ−=Δ −− FBXABU 11 (2.10)
Si se sustituye ΔU de la ecuación (2.10) en la ecuación (2.9), las variaciones para lazo
abierto se pueden expresar como [28]:
{ } [ ] [ ][ ] [ ]( ){ } [ ] [ ][ ] [ ]( ){ }αΔ−+Δ−=Δ −− FBDGXABDCV 11 (2.11)
2.2.4 Estimación de las variaciones cinemáticas La estimación de las variaciones cinemáticas en el ensamble se pueden obtener de la
ecuación (2.5) para las restricciones de lazo cerrado, y (2.7) para restricciones de lazo
abierto, ya sea por el modelo de caso crítico o análisis estadístico [27].
Caso crítico:
),.......1(1
miTdxSU DISDj
n
j
Diji =≤=Δ ∑
=
(2.12)
Modelo estadístico:
( ) ),........1(1
2 miTdxSU DIS
n
j
Dj
Diji =≤=Δ ∑
=
(2.13)
Donde m es el número de variables del ensamble, las cuales son críticas para el diseño, n es
el número de las variables manufacturadas contribuyentes, Djdx es la tolerancia de la j-ésima
dimensión manufacturada, TDIS es la especificación de diseño para la i-ésima variable, ΔUi
son las variaciones de las dimensiones del ensamble y DijS son los elementos de la matriz de
sensibilidad ][SD de la restricción del ensamble.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 24
Para restricciones de lazo cerrado [27]:
][][][ 1 ABS D −−= (2.14)
Para restricciones de lazo abierto:
][]][[][][ 1 ABDCS D −−= (2.15)
Si hay restricciones geométricas, la estimación de las variaciones cinemáticas se obtiene
como se muestra en las siguientes ecuaciones [4]:
Caso crítico:
),.......1(11
miTdxSdxSU DISGj
k
j
Gij
Dj
n
j
Diji =≤+=Δ ∑∑
==
(2.16)
Modelo estadístico:
( ) ( ) ),........1(1
2
1
2 miTdSdxSU DIS
k
j
Gj
Gij
n
j
Dj
Diji =≤+=Δ ∑∑
==
α (2.17)
Donde k es el número de variables de característica geométrica, Gdα y GS es el vector de
tolerancias para las variables de características geométricas y la matriz de sensibilidad para
las mismas respectivamente. Las demás literales quedan definidas en el párrafo anterior.
En este trabajo de investigación, solamente se utiliza la técnica de caso crítico para realizar
el análisis de variación en el ensamble de elementos cónicos, ya que, para realizar un
análisis estadístico se requiere conocer las desviaciones estándar que tienen los procesos al
manufacturar las partes componentes del ensamble. Sin embargo, se presenta una
alternativa para calcular el ajuste entre piezas cónicas, generando superficies aleatorias.
Esta representación se muestra en capítulos posteriores.
Capítulo 2. Método de lazo de vector
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 25
2.3 Conclusiones En este capítulo se describió una cadena de tolerancias en un ensamble. Esta forma de
expresar una dimensión resultante en función de una cadena de tolerancias sirve como base
para realizar el análisis de tolerancias en elementos cónicos en contacto, ya que relaciona
las dimensiones de las partes individuales y las dimensiones resultantes del ensamble. La
dimensión resultante es el claro que se presenta, resultado de la inconsistencia en el
contacto de las superficies y se cuantifica en base a las tolerancias asignadas a los
diámetros de las piezas por separado. El método de lazo de vector presenta limitaciones
para obtener el claro de manera directa, ya que no se encontró un lazo que lo relacionara
con las dimensiones de manufactura de las piezas. Para esto se tomó en cuenta el
comportamiento del ángulo de la superficie actual dentro de la zona de tolerancia, y la
manera de representar y verificar las variaciones geométricas dentro de ésta. Sin embargo,
para realizar el análisis se tomaron como base los principios generales de este método. En el
capítulo siguiente se presenta la metodología para crear el modelo del ensamble y analizarlo
utilizando las descripciones de los elementos y las bases descritas en este capítulo.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 26
Capítulo 3
3. ENSAMBLE DE ELEMENTOS CÓNICOS
En el capítulo anterior se describieron elementos como el marco de referencia, juntas y lazos
que se toman de base para analizar el ensamble de elementos cónicos. En este capítulo se
muestra una breve explicación de la implementación del modelo propuesto de tolerancias a
estos elementos y la manera de realizar el análisis de variación. Se toma en cuenta un
ensamble de elementos cónicos con el fin de calcular el claro de las superficies con cambio
de diámetros cuando las piezas se unen, y se compararan con un sistema CAD.
3.1 Elementos cónicos de ensamble
En la figura 3.1 se muestra un par de elementos cónicos, los cuales son ensamblados para
cumplir con una determinada función de diseño. El análisis de variación entre estos
elementos se hace para cuantificar los claros que se presentan en las superficies cónicas al
momento de ser ensamblados.
La figura 3.2 muestra el ensamble nominal entre estos elementos, donde Lc es la longitud de
contacto de las piezas.
Figura 3.1. Elementos cónicos.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 27
dθ
D
Elementoexterno
Elementointerno
Lc
l
La tabla 3.1 muestra las medidas nominales de las piezas del ensamble. Éstas se tomaron
como referencia de los aros elásticos marca Ringfeder RfN S8006 [39] para desarrollar el
análisis de tolerancias:
Tabla 3.1. Medidas nominales de los elementos cónicos.
Elementos cónicos Literal Medida nominal (mm)
D 25 d 20 L 6.3 l 5.3
θ 16.7° Tomando en cuenta que el elemento externo tiene una conicidad interna y el elemento
interno una conicidad externa, el nombre con el cual se referirán las piezas en esta
investigación son: cono interno y cono externo. En la figura 3.3 se muestra el cono interno
(que esta contenido en el elemento externo) y el cono externo (contenido en el elemento
interno) cuyas dimensiones nominales se obtuvieron de los elementos externo e interno
respectivamente. La tabla 3.2 muestra las dimensiones nominales de los conos [39].
Figura 3.2. Ensamble de elementos cónicos.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 28
Las designaciones De, de, Le y θe, representan: el diámetro mayor, el diámetro menor, la
longitud y el ángulo de la superficie cónica del cono externo respectivamente. Las
designaciones Di, di, Li y θi, representan: el diámetro mayor, el diámetro menor, la longitud y
el ángulo de la superficie cónica del cono interno respectivamente.
deDe diDi
Le Li
a) b)
Figura 3.3. Representación de los conos, a) cono externo contenido en el elemento interno, b) cono interno contenido en el elemento externo.
Tabla 3.2. Dimensiones nominales del cono externo e interno.
Cono externo (mm)
Cono interno (mm)
De 24.39 Di 23.79 de 21.21 di 20.61 Le 5.3 Li 5.3
θe 16.7 θi 16.7 3.2 Metodología para generar y analizar elementos cónicos en contacto Para realizar el análisis de tolerancias primero se genera un modelo del ensamble utilizando
partes, marcos de referencia, datos de características, juntas cinemáticas, tolerancias y lazos
de vector. Enseguida se realiza el análisis de variación utilizando las ecuaciones obtenidas
del los lazos del ensamble. A continuación se describe la metodología para realizar el
análisis de acumulación.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 29
3.2.1 Generación del modelo de tolerancias en el ensamble
Para representar el modelo de tolerancias propuesto para elementos cónicos en contacto
son necesarios los siguientes pasos:
1.- Dibujar el ensamble nominal en un sistema CAD. Este paso es muy importante, ya que
de éste se extrae la información nominal de las variables de manufactura y las variables
resultantes del ensamble.
2.- Localizar las variables de manufactura y del ensamble. Las variables de manufactura son
dimensiones componentes de las partes que intervienen en el ensamble y tienen efecto en
la acumulación de tolerancias. Las variables del ensamble son dimensiones dependientes de
las variables de manufactura, y se miden solo cuando las partes están en contacto.
3.- Definir los marcos de referencia. Cada parte debe tener su propio marco de referencia y
sirve para localizar las dimensiones características en una parte.
4.- Localizar los tipos de juntas en el ensamble. Las juntas relacionan los puntos de contacto.
Estas se localizan relativas a cada parte por medio de senderos dato o vectores.
5.- Crear los lazos de vector uniendo dimensiones relevantes en cadenas que describen las
dimensiones del ensamble resultante, en función de las variables de manufactura. Los lazos
de vector definen las restricciones del ensamble que localizan las partes en el mismo relativa
una respecto a la otra. Existe una restricción para determinar el número de lazos cerrados en
un ensamble, esta restricción esta en función de la siguiente ecuación, [38]:
1+−= PJL (3.1)
donde L es el número de lazos requerido para describir las variaciones del ensamble, J es el
número de juntas y P es el número de partes.
6.- Especificar las tolerancias de acuerdo al tipo de análisis, dimensional o
dimensional+geométrico.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 30
7.- Especificar los requerimientos funcionales del ensamble. Estos son los límites que se le
asigna a la dimensión resultante dependiendo de la funcionalidad del ensamble.
La figura 3.4 muestra el esquema para generar el modelo del ensamble.
Análisis del modelo de tolerancias 3.2.2 Análisis del modelo de tolerancias
Una vez que se generó el modelo del ensamble, utilizando todos los elementos mencionados
anteriormente, el análisis de variación se lleva a cabo de la siguiente manera:
1.- Generar las ecuaciones del ensamble. Éstas se obtienen del lazo que relaciona las
dimensiones resultantes y las dimensiones de manufactura. El lazo define una restricción
cerrada cinemática para el ensamble. La ecuación de junta a junta se representa
matemáticamente por las matrices de transformación homogéneas, de donde la ecuación de
restricción se obtiene al igualar el producto de todas estas matrices a la matriz identidad.
2.- Las ecuaciones del lazo, como se mencionó en el capítulo 2, son no lineales e implícitas.
Estas se linealizan al aplicar series de expansión de Taylor. Al desarrollar las derivadas
parciales de las ecuaciones se determinan los coeficientes del sistema lineal de ecuaciones.
Dibujo del ensamble
Variables de manufactura y del
ensamble
Marcos de referencia
Localización de Juntas
Lazos de vector Tolerancias Requerimientos funcionales
Figura 3.4. Esquema para generar el modelo de tolerancias en el ensamble de elementos cónicos.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 31
3.- Una vez linealizadas las ecuaciones, se resuelven para las sensibilidades de las
tolerancias.
4.- Analizar la acumulación de tolerancias por medio de enfoques críticos o estadísticos, las
ventajas y desventajas de cada enfoque se especifican en el capítulo 1.
La figura 3.5 muestra el esquema para realizar el análisis de variación en el ensamble de
elementos cónicos.
3.3 Implementación del lazo de vector al ensamble de elementos cónicos En la figura 3.6a se representa el ensamble de los elementos cónicos. En la figura 3.6b se
muestran las variables de manufactura nominales de cada una de las piezas que forman el
ensamble con sus respectivas variaciones (tolerancias), y las variables cinemáticas (ocurren
cuando las partes se ensamblan) con sus respectivas variaciones desconocidas. La figura
3.6c muestra las superficies de contacto de las piezas para la parte superior del ensamble,
donde Sci y Sce es la superficie del cono interno y cono externo respectivamente. Estas
varían de una parte a otra como resultado de las variaciones en los procesos de
manufactura. La variación de las dimensiones que resultan del ensamble es la que se
cuantifica cuando las piezas se unen. En la figura 3.6a se muestran estas dimensiones (b, g),
y en la figura 3.6b su valor nominal respectivamente. Al conocer las variaciones de las
dimensiones resultantes del ensamble se puede estimar el valor del claro que se forma
cuando las piezas se unen. Esto se explica posteriormente.
Generar ecuaciones del ensamble de los
lazos
Calcular derivadas y ecuaciones de matriz
de forma
Expresiones: caso crítico o estadístico
Resolver para las sensibilidades de
tolerancia
Evaluación e iteración del proceso
Figura 3.5. Esquema para analizar el modelo de tolerancias en el ensamble de elementos cónicos
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 32
Los marcos de referencia también se muestran en la figura 3.6a (M1 Y M2). Éstos se localizan
en el eje de las piezas que forman la unión. La finalidad de establecer los marcos en esta
posición es facilitar el definir los lazos de vector. Una vez localizadas las juntas cinemáticas
en el ensamble y establecidos los marcos de referencia se sobreponen los vectores
mostrados en la figura 3.6a para formar senderos dato. Un sendero dato es una cadena de
dimensiones que localiza las juntas en el ensamble con respecto a los marcos de referencia.
Por ejemplo la junta en la parte superior de la figura 3.6a se localiza con el marco de
referencia de las dos piezas y forma un sendero, de igual manera la junta en la parte inferior
del ensamble. Una vez que se forman los senderos dato se generan los lazos de vector al
unir estos senderos. De acuerdo a la ecuación (3.1) se necesita un lazo para realizar el
análisis de variación de las dimensiones b y g en el ensamble de elementos cónicos, ya que
solo hay dos partes y dos juntas en donde las superficies inclinadas hacen contacto. El lazo
se muestra en la figura 3.6a.
a
b
e
d
c
fg
h
Conoexterno
Conointerno
φ3
φ4
Variables de manufactura Variables cinemáticas de las partes (mm) del ensamble (mm)
Dimensión Nominal Tol. (±) Dimensión Nominal Tol. (±) a 12.195 0.010 b 1.044 ? c 5.533 0.009 g 1.044 ? d 10.305 0.010 e 10.305 0.010 f 5.533 0.009 h 12.195 0.010φ1=φ2=φ3=φ4 16.69° 0.0005 rad
cb
Conoexterno Cono
interno
Sce
Sci
a) b) c)
φ1 φ2
M1 M2
φ1
φ2
Figura 3.6. Ensamble de piezas cónicas, donde a) representación del ensamble, b) variables del ensamble y ampliación de la zona de contacto, c) superficies de contacto de las piezas.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 33
Una vez creado el modelo del ensamble que se muestra en la figura 3.6a, el siguiente paso
consiste en generar las ecuaciones que describen el movimiento de los vectores en el lazo a
causa de las variaciones en la dimensiones de manufactura. Las ecuaciones que se obtienen
del lazo son no lineales e implícitas ya que estas contienen productos y funciones
trigonométricas de las variables. Estas se linealizan al aplicar las series de expansión de
Taylor de primer orden [40]. Al realizar las derivadas parciales se obtienen los coeficientes
del sistema lineal de ecuaciones. Cada derivada se evalúa en el valor nominal de las
dimensiones que intervienen en el lazo. Los valores nominales se obtienen del modelo
realizado en CAD. En la ecuación (3.2) se muestran las ecuaciones linealizadas del lazo
donde intervienen todas las variables que se muestran en la figura 3.6b, δ representa el
cambio en la dimensión correspondiente
44
33
22
11
44
33
22
11
44
33
22
11
δφφ
δφφ
δφφ
δφφ
δδδδδδδδδ
δφφ
δφφ
δφφ
δφφ
δδδδδδδδδ
δφφ
δφφ
δφφ
δφφ
δδδδδδδδδ
θθθθ
θθθθθθθθθ
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
hhhh
hhh
ggh
ffh
eeh
ddh
cch
bbh
aah
h
hhhh
hhh
ggh
ffh
eeh
ddh
cch
bbh
aah
h
hhhh
hhh
ggh
ffh
eeh
ddh
cch
bbh
aah
h
yyyy
yyyyyyyyy
xxxx
xxxxxxxxx
(3.2)
Las ecuaciones de lazo linealizadas, se resuelven para las sensibilidades de las tolerancias
por álgebra matricial.
}0{}]{[}]{[}{ =ΔΒ+ΔΑ=ΔΗ UX (3.3)
La matriz [A] es la matriz que contiene las derivadas parciales con respecto a las variables
de manufactura de la restricción cerrada del lazo. Esta matriz describe la sensibilidad
geométrica de las variaciones de manufactura. La matriz [A] se muestra a continuación.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 34
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
43211
43211
43211
][
φφφφφ
φφφφφ
φφφφφ
θθθθθθθθθθθ hhhhhhh
fh
eh
dh
ch
ah
hhhhhhh
fh
eh
dh
ch
ah
hhhhhhh
fh
eh
dh
ch
ah
A yyyyyyyyyyy
xxxxxxxxxxx
Al evaluar las derivadas parciales con respecto a las variables de manufactura, que se
muestran en la figura 3.6b, de las ecuaciones del lazo del ensamble se obtienen los valores
de la matriz. Estos se muestran a continuación.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−
−−−=
11110000003.513.5112873.0112873.01
5899.129999.05899.12999.009578.0009578.00][A
La matriz [B] es la matriz que contiene las derivadas parciales con respecto a las variables
del ensamble de las ecuaciones del lazo, ésta se representa de la siguiente manera:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
=
gh
bh
gh
bh
gh
bh
B yy
xx
θθ
][
Al evaluar las derivadas parciales de la matriz [B] en sus valores nominales, los valores que
se obtienen se muestran a continuación. El procedimiento para obtener estas matrices se
muestra en el apéndice al final del trabajo de investigación.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=2873.02373.09578.09578.0
][B
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 35
Una vez obtenidas estas matrices y por medio de álgebra matricial se encuentra la matriz
que describe la sensibilidad de las tolerancias asignadas a las variables de manufactura. Los
valores de la matriz se muestran a continuación.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−−−−−−−−−−−
=5835.13923.80523.108967.17401.117401.17401.107401.18967.10523.103923.85835.17401.107401.17401.117401.1DS
Cuando todas estas matrices han sido obtenidas, se pueden introducir valores de ΔX
(tolerancias de las variables de manufactura) sin repetir la solución. Una vez aplicando las
tolerancias a las variables de manufactura y conociendo la matriz de sensibilidades, se
puede utilizar ya sea el enfoque de caso crítico o estadístico para obtener las variaciones
cinemáticas o del ensamble. Al realizar un análisis estadístico se requiere conocer las
desviaciones estándar que los procesos tienen al producir las dimensiones manufacturadas
de las piezas. Para conocer estos datos es necesario haber empezado la producción. Por
esta razón se utiliza el análisis de caso crítico para obtener las variaciones de las variables
cinemáticas o del ensamble, las cuales tienen los siguientes valores.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧±±
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
mmmm
gb
0905.00905.0
δδ
3.4 Representación gráfica de los elementos cónicos en contacto
Considerando que los diámetros de las piezas que se unen pueden variar de manera crítica,
es decir, pueden tomar el valor máximo o mínimo dentro de sus tolerancias, los ensambles
que se presentan se muestran en la figura 3.7. El cono externo y el cono interno de la figura
3.7a, tienen tolerancias mayores y menores respectivamente. Al hacer un ensamble con
estas piezas, el primer contacto ocurre en el diámetro menor del cono exterior y se presenta
un claro en la parte derecha de la unión, esto como resultado de la variación de las
dimensiones de manufactura de cada una de las piezas por separado. El claro que se
presenta puede ser medido normal a la superficie cónica de las piezas y normal al eje de las
mismas, en la figura 3.7a se representa de las dos maneras. En la figura 3.7b se muestra un
ensamble cuyas tolerancias son mayores para el cono interno y menores para el cono
externo. En este ensamble, cuando el diámetro menor del cono externo hace contacto con el
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 36
cono interno, las piezas ya están en interferencia. Esta interferencia que se presenta en el
lado izquierdo del ensamble en la figura 3.7b (medida normal a la superficie cónica de las
piezas y normal al eje de las mismas) es igual al claro que se presenta en la parte derecha
de la figura 3.7c, cuando ocurre el primer contacto en el diámetro mayor del cono interno. En
la sección posterior se presenta la zona aumentada de estos ensambles.
a) b) c) Figura 3.7. Ensamble de elementos cónicos, a) cono exterior e interior con tolerancias positivas y negativas, b) cono exterior e interior con tolerancias negativas y positivas, c) mismas condiciones que b) considerando que no existe una fuerza para llegar a la interferencia. Las dimensiones cinemáticas del ensamble, mostradas en la figura 3.6b, varían una cierta
cantidad, esto como resultado del cambio en las dimensiones de manufactura. Esta variación
se determinó analíticamente utilizando el enfoque crítico. Los ensambles utilizando este
mismo enfoque, que se muestran en la figura 3.7, sirven para comparar los resultados
analíticos. Gráficamente las variaciones de las dimensiones del ensamble con respecto a su
valor nominal se representan de la siguiente manera.
Las variaciones del ensamble obtenidas de manera analítica y gráfica difieren en un 2.85 %
tomando en cuenta las consideraciones al principio de la sección. A continuación se muestra
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧±±
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
mmmm
gb
088.0088.0
δδ
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 37
cómo las variaciones de las dimensiones del ensamble sirven para calcular el claro que se
presenta cuando las piezas se unen.
3.5 Estimación de los claros en los ensambles de los elementos cónicos Los claros que se presentan al momento de que las piezas se ensamblan son normales a la
superficie cónica, pero pueden ser indicados y medidos normal al eje del cono para
propósitos prácticos [32]. En este trabajo se estiman de las dos maneras para comparar los
resultados y analizar la diferencia entre estos
Tomando en cuenta que las dimensiones de las piezas pueden estar en sus valores
máximos y mínimos, de acuerdo a sus tolerancias, pero sin presentar variaciones de forma,
el claro que se presenta cuando las superficies cónicas hacen contacto y alcanza la posición
final del ensamble se determina de la siguiente manera: En un ensamble en el que el ángulo
del cono interior es más grande y el ángulo del cono exterior es más pequeño, el claro
normal al eje de la pieza se determina con base en la variación de la dimensión cinemática
“b” que se obtuvo en la sección anterior . La figura 3.8 es una representación de la zona
donde se considera el claro normal al eje de la pieza. Este claro se determina al conocer la
distancia “x”, la cual se obtiene al restar la variable cinemática “b”, que es la distancia mayor
que puede tener esta variable, de la dimensión mayor de la superficie de inclinación. Con la
distancia “x” y con el ángulo θ de la figura 3.8, que es la suma de las tolerancias de los
ángulos de las superficies cónicas de las piezas [32], y aplicando trigonometría se obtiene el
claro máximo normal al eje del cono.
θ
Conointerno
Eje
Conoexterno
xb
Clar
o
Figura 3.8. Claro normal al eje de la pieza, primer contacto en el diámetro menor.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 38
El claro normal a la superficie cónica de las piezas en contacto se obtiene de la misma
manera, al conocer la distancia “x” y el ángulo θ de la figura 3.9 y aplicando trigonometría,
podemos estimar el claro normal a la superficie.
θ
Conointerno
Eje
Conoexterno
xb
Clar
o
Figura 3.9. Claro normal a la superficie cónica, primer contacto en el diámetro menor.
En el ensamble en el que el ángulo del cono interior es más pequeño y el ángulo del cono
exterior es más grande, se presenta una interferencia en la posición final del ensamble. Esta
se determina de la misma manera que en el caso anterior, y también puede ser normal a la
superficie de contacto, o para propósitos prácticos, normal al eje de la pieza. Las figuras 3.10
y 3.11 representan la zona de contacto cuando se presenta una interferencia en la posición
final del ensamble.
θ
Conointerno Eje
Conoexterno
b
x
Inte
rf.
Figura 3.10. Interferencia normal al eje de la pieza, contacto en toda la superficie iniciando el contacto en el diámetro mayor del cono exterior.
θ
Conointerno Eje
Conoexterno
b
x
Inte
rf.
Figura 3.11. Interferencia normal a la superficie cónica, contacto en toda la superficie iniciando el contacto en el diámetro mayor del cono exterior.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 39
La interferencia que se describió en las figuras 3.10 y 3.11 se logra si se aplica una fuerza
para llegar a la posición final, ya que el primer contacto para esta configuración es en el
diámetro mayor del cono interno. Como en este análisis no se supone ninguna fuerza, el
claro que se presenta en la parte derecha del ensamble, tomando en cuenta que el primer
contacto es en el diámetro mayor, se aproxima a la interferencia mostrada anteriormente,
alrededor de 10-5, por lo tanto, para propósitos prácticos y considerando las dimensiones
nominales de los conos de la tabla 3.2 se puede considerar despreciable la diferencia. Las
figuras 3.12 y 3.13 muestran el claro que se forma cuando se presenta el primer contacto en
el diámetro mayor de la pieza cónica interna y el cono externo.
Conointerno
Eje
Conoexterno
Clar
o
θ
Figura 3.12. Claro normal al eje de la pieza, primer contacto en el diámetro mayor.
Conointerno
Eje
Conoexterno
θ
Clar
o
Figura 3.13. Claro normal a la superficie cónica, primer contacto en el diámetro mayor.
Los valores de los claros de los ensambles de piezas, se resumen en la tabla 3.3. Tomando
en cuenta que la superficie de contacto de cada una de las piezas, puede variar dentro de la
zona de tolerancia, pero sin tener defectos de forma y también considerando que al variar las
tolerancias de los diámetros de las piezas en una dirección (positiva o negativa) la longitud
varía en el mismo sentido.
Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 40
Tabla 3.3. Ajustes resultantes máximos de los ensambles considerando solo variaciones longitudinales.
Ensambles/tolerancias claro Primer contacto
en d Diferencia Primer contacto
en D DiferenciaElemento Elemento Analítico Gráfico (%) Analítico Gráfico (%)
externo interno (mm) (mm) (mm) (mm)
+ - Normal 0.00477 0.00478 0.21 al eje Normal 0.00457 0.00458 0.21
a la sup. - + Normal 0.00496 0.00495 0.20 al eje
Normal 0.00475 0.00474 0.21 a la sup.
Diferencia (%) 4.33 4.36 4.42 4.43
3.6 Conclusiones
En este capítulo se describió la metodología para realizar el análisis de tolerancias en
elementos cónicos en contacto. El análisis se realizó aplicando la metodología y se
compararon los resultados analíticos con los gráficos. Las variaciones de las dimensiones
resultantes del ensamble planteado utilizando esta metodología varían 2.85% de las
obtenidas gráficamente. Los claros normales a la superficie cónica de las piezas, que se
cuantificaron en relación a estas variaciones, pueden ser considerados normales al eje para
el ensamble descrito. La diferencia entre estos valores es alrededor de 4.43%. Se hizo esta
comparación tomando en cuenta que es más práctico medir el claro normal al eje, ya que el
medirlo de esta manera se considera el eje de las piezas fijo. Los resultados gráficos y
analíticos al calcular el claro en el ensamble de la figura 3.6 tienen una diferencia máxima de
0.21 % para las condiciones especificadas anteriormente.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 41
Capítulo 4
4. AJUSTES CÓNICOS Y VARIACIONES
GEOMÉTRICAS
En este capítulo se presenta una alternativa para cuantificar los posibles claros que se
presentan en ensambles. Se calcula el desplazamiento axial nominal máximo de las piezas
individuales para alcanzar un ajuste determinado inicialmente utilizando el método de lazo de
vector. Con este método las dimensiones con tolerancias unilaterales se convierten a
dimensiones con tolerancias bilaterales. Se toma en cuenta la variación de las superficies
cónicas dentro de su zona de tolerancia y se calcula el desplazamiento axial real para lograr
un ajuste determinado al variar el ángulo básico. Por último se realiza un análisis de
tolerancias en el cual se calcula el claro máximo de las piezas cuando están unidas.
4.1 Sistema de ajuste Se denomina sistema de ajuste a la forma sistemática que se utiliza para realizar la
combinación del ajuste de dos piezas que se deben acoplar entre ellas, y tienen por objeto
facilitar la interpretación del tipo de ajuste que compongan ya sea forzado, deslizante u
holgado. Existen dos sistemas para nominar los ajustes:
Sistema de agujero único: representa un sistema de ajustes correspondientes a un tamaño
de agujero básico. La desviación fundamental es H.
Sistema de eje único: representa un sistema de ajustes correspondientes a un tamaño de eje
básico. La desviación fundamental es h.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 42
La magnitud de la zona o región de tolerancia es la variación en el tamaño de la pieza y es
igual para las dimensiones internas y externas. Las zonas de tolerancia se especifican en
números de grado de tolerancia internacional llamados números IT [41].
4.1.1 Ajustes Cilíndricos Se denomina ajuste a la diferencia entre las medidas antes del montaje de dos piezas que
han de acoplar. Las normas usan letras de posición de tolerancia, donde las letras
mayúsculas representan dimensiones de las piezas internas (agujero), y las letras
minúsculas, dimensiones de las piezas externas (pasadores). De este modo, los símbolos
que son utilizados para representar las tolerancias dimensionales tienen tres componentes:
dimensión nominal, una letra representativa y un número representativo [42]. La figura 4.1
representa las letras de posición o desviaciones fundamentales. Las letras mayúsculas
corresponden al agujero y las letras minúsculas al eje.
A B C D E F GH
J K M N P R S T U V X Y ZDim
ensi
ónno
min
alde
l agu
jero
Lineacero
+
-a b c d e f g h
j k m n p r s t u v x y z
Dim
ensi
ónno
min
alde
l eje
Lineacero
+
-
a) b)
Figura 4.1. Desviaciones fundamentales, a) agujero, b) eje
Para los ajustes cónicos, se toma en cuenta la misma configuración anterior y la elección de
la tolerancia del diámetro del cono se basa en el diámetro mayor del mismo. Esta se
selecciona del grado de tolerancia ISO y aplica sobre toda la longitud del cono [43].
4.1.2 Ajustes Cónicos
Las piezas cónicas de ensamble se manufacturan por separado de acuerdo a las zonas
indicadas por sus diámetros del cono básico. Como se mencionó en el capítulo anterior, los
claros que se forman al momento de ensamblar las piezas son normales a sus superficies
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 43
cónicas, pero para efectos prácticos, en este caso se cuantifican normales al eje de las
piezas. La figura 4.2 muestra el cono interno, el cono externo y la zona de tolerancia del
ensamble.
Conointerno
Conoexterno
ZT
ZT
Figura 4.2. Ensamble de elementos cónicos, donde ZT es la zona de tolerancia.
Para superficies cilíndricas el ajuste nominal aproximadamente se mantiene a una distancia
constante de la línea de centro del elemento, y es independiente de su longitud. Una
característica importante de los ajustes de conos es que el claro o interferencia se hace al
definir la posición axial relativa de las piezas externas e internas. Esta posición para obtener
el claro o interferencia requerida del ajuste de los conos en la posición final de las partes
ensambladas se puede realizar por diferentes métodos:
a) Por formación construccional
b) Por ubicación dimensional
c) Por desplazamiento axial
d) Por un desplazamiento axial actual con una fuerza del ensamble definida
En esta investigación para obtener el claro o interferencia requerida solo se considera el
ajuste hecho por desplazamiento axial, ya que se puede usar como una alternativa para
aplicar la fuerza de apriete en los aros, que en el intervalo elástico del material se supone
proporcional a la fuerza [44]. El análisis de fuerzas y deformaciones en la unión queda fuera
del alcance de este trabajo de investigación.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 44
4.2 Ajuste con base en un desplazamiento axial Es un ajuste hecho por un desplazamiento axial relativo de los conos por una cantidad fija,
comenzando en la posición de partida inicial. Para alcanzar el claro o interferencia requerido
del ajuste, se indica el desplazamiento axial necesario de la posición de partida. En la figura
4.3 se representa este desplazamiento axial relativo Xa de una pieza de su posición inicial
Pa (pieza sombreada) a la posición final Pf para alcanzar un ajuste de interferencia entre las
piezas.
Xa
Posiciónfinal
Posicióninicial
Pa Pf
Figura 4.3. Ajuste de interferencia hecho por un desplazamiento axial relativo de las piezas de la posición de partida Pa. 4.2.1 Desplazamiento axial nominal de las piezas cónicas individuales Para obtener un determinado ajuste nominal de la pieza individual, ésta se desplaza
axialmente respecto del cono básico, dependiendo del claro o interferencia que se requiera.
Para obtener un claro, la pieza se desplaza axialmente en sentido contrario del cono básico,
y para una interferencia, la pieza se desplaza axialmente hacia el cono básico. La ecuación
4.1 muestra el desplazamiento que se calcula de la desviación fundamental y el grado de
tolerancia requerido para un ajuste determinado inicialmente. Este esta en función de la
conicidad C de las piezas.
toleranciadeGradoC
lfundamentaDesviacionC
ENt ×+×=11
(4.1)
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 45
En la figura 4.4 se muestran los desplazamientos axiales relativos al cono básico
considerando un sistema de ajuste de agujero único. En la figura 4.4a se muestran las
posiciones de desviación del cono externo relativo al cono básico. El primer desplazamiento
axial de la pieza es determinado por la desviación fundamental de la a hasta g y el segundo
desplazamiento axial por el grado de tolerancia de la pieza. En la figura 4.4b se muestra la
posición de desviación del cono externo relativo al cono básico; el desplazamiento axial es
determinado solo por el grado tolerancia, ya que en la posición h, la desviación fundamental
es cero. La figura 4.4c muestra el desplazamiento axial del cono externo respecto al cono
básico para las posiciones de k hasta z. La figura 4.4d representa el desplazamiento axial del
cono interno respecto del cono básico para la posición H.
δ
D
Cono externo mas grande
Cono externo mas pequeño
ENt
Cono básico
ENe1 ENe2
DCono externo mas pequeño
Cono básico y cono externo mas grande
ENt
D
Cono externomas pequeño
Cono básico
δ
Cono externo mas grande
ENe1 ENe2
ENt
Cono básico y cono interno mas pequeño
Cono interno mas grande
D
ENt
Figura 4.4. Desplazamiento axial nominal de piezas cónicas individuales respecto al cono básico.
b) Cono externo: posiciones de desviación h.
c) Cono externo: posiciones de desviación de k a z.
d) Cono interno: posiciones de desviación de H.
a). Cono externo: posiciones de desviación de a hasta g.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 46
4.2.2 Desplazamientos axiales nominales en ensambles cónicos Los desplazamientos axiales relativos nominales de las piezas cónicas a ser ensambladas se
obtienen con el método del lazo de vector. Considérese el siguiente ensamble de elementos
cónicos de la figura 4.5, donde el cono interno y externo están contenidos en el elemento
externo e interno respectivamente. d
θ
DElementoexterno
Elementointerno
Ll
a) b)
Figura 4.5. Ensamble de piezas cónicas, a) elementos cónicos nominales, b) dimensiones nominales.
Tomando en cuenta que las tolerancias están dadas con base en el diámetro mayor de las
piezas y aplica en toda la longitud del cono [43], se considera una zona de tolerancia de H9
para el cono interno y h10 para el cono externo, con las medidas nominales de la figura 4.5b.
Con base en [41], la tolerancia para el cono interno IT 9 se aplica sobre la línea cero. La
tolerancia para el cono externo se aplica por debajo de la línea cero. La figura 4.6 representa
la zona de tolerancia para ambas piezas.
Cono interior
Cono exterior zona de tolerancia del
cono exterior
zona de tolerancia del cono interiorLinea
cero
Figura 4.6. Representación de las zonas de tolerancia.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 47
Cuando se asigna una tolerancia como en el párrafo anterior, las tolerancias generalmente
son unilaterales, es decir, solo pueden variar en una sola dirección para cumplir con el
ajuste. Cuando se utiliza el método de lazo de vector, todas las dimensiones con tolerancias
unilaterales se convierten a dimensiones con tolerancias bilaterales de la siguiente manera:
Tomando en cuenta la dimensión nominal del diámetro mayor del cono interior y la tolerancia
del ajuste H9, la tolerancia se especifica 052.0790.23 +
− ; ésta es una dimensión con una
tolerancia unilateral, la cual para poder ser implementada en el método del lazo del vector se
convierte a una dimensión con tolerancia bilateral. Los pasos para convertir las dimensiones
con tolerancias unilaterales a dimensiones con tolerancias bilaterales son: a) convertir la
dimensión al límite superior y al límite inferior (por ejemplo 24.842 límite mas alto y 23.79
límite mas bajo), b) se resta el límite más alto y el límite mas bajo, el resultado es la zona de
tolerancia total, c) se divide la banda de tolerancia entre dos para obtener una tolerancia
bilateral igual, d) el resultado se le resta al límite superior o se le suma al límite inferior para
obtener la dimensión media. De esta manera la dimensión media con su respectiva
tolerancia bilateral queda determinada como 23.816 026.0± . Lo mismo se hace con todas
las dimensiones que tienen tolerancias unilaterales, ya que el enfoque de lazo de vector
supone una distribución normal en la variación de la dimensión.
Una vez que se tienen todas las dimensiones con tolerancias bilaterales se determina el lazo
del ensamble, se generan las ecuaciones del lazo, se obtienen la matriz A de las variables
de manufactura y la matriz B (descritas en el capítulo 3) de las variables del ensamble. Una
vez obtenidas estas matrices se encuentra la matriz de sensibilidad del ensamble, se
multiplica por las tolerancias de las variables de manufactura y se obtienen las variaciones
de las variables del ensamble, las cuales tienen los siguientes valores
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧±±
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
mmmm
gb
1183.01183.0
δδ
Con estas variables se obtiene el desplazamiento axial relativo máximo de las piezas. De
esta manera, el desplazamiento axial máximo de las piezas para cumplir con el ajuste
asignado es de 0.2267 mm, que está en función del ángulo de las piezas y de las variaciones
de las dimensiones del ensamble mostradas anteriormente. La figura 4.7 representa el
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 48
desplazamiento axial relativo de las piezas. Xa es el desplazamiento axial nominal del
ensamble y Ca es el claro del ajuste.
Xa
Ca
Cono interno
Cono externo
Xa
Ca
a) b)
Figura 4.7. Desplazamiento axial para lograr un ajuste determinado, a) desplazamiento axial relativo,
b) ampliación de la zona del desplazamiento axial.
4.2.3 Desplazamiento axial real
La cantidad de desplazamiento axial está en función directa de la dimensión real dentro de
su zona de tolerancia. La aplicación de las tolerancias del diámetro del cono como se da en
la norma ISO 1947 [32], significa que cada cono interno y externo debe conformar en sus
respectivas fronteras de condición de material máximo y condición de material mínimo, sobre
toda la longitud del cono. Sin embargo, en estas fronteras el ángulo real difiere del nominal,
lo cual puede tener efectos para el primer contacto de las piezas y puede existir un claro
inicial cuando las piezas están en contacto en su posición inicial; por tal razón, el
desplazamiento axial relativo real de las piezas es diferente al nominal. De esta manera, es
importante conocer en qué dirección se mueve el ángulo real del nominal, porque con base
en ello se determina dónde se presenta el primer contacto (ya sea diámetro mayor o menor
de las piezas o en toda la superficie), y qué cantidad máxima se tienen que desplazar las
piezas reales, una con respecto de la otra para lograr el ajuste de diseño.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 49
La variación máxima del ángulo del ajuste, por ejemplo la posible variación del ángulo del
ajuste entre el cono interno y el cono externo, que se presenta cuando las piezas están en
contacto en su posición inicial, está en función de las tolerancias de los ángulos nominales
de cada una de las piezas, y el primer contacto depende en qué dirección varía el ángulo
real de las piezas en el ensamble.
4.2.4 Efecto de las tolerancias del ángulo
Como se mencionó en la sección anterior, el primer contacto entre las piezas cónicas a ser
ensambladas depende del ángulo del cono real de las mismas, y ocurre ya sea en el
diámetro mayor o menor del cono. Si en el dibujo se indica la variación del ángulo básico del
cono externo e interno, y si estas variaciones son indicadas con el mismo signo, ya sea mas
menos (+/-), mas (+) o menos (-) y con la misma cantidad de tolerancia, la variación máxima
del ángulo del ajuste de las piezas es 2AT. La figura 4.8 y 4.9 ilustra dónde ocurre el primer
contacto al asignar este tipo de tolerancias. Cuando las superficies cónicas presentan este
tipo de variaciones, se presentan claros en la parte opuesta del contacto inicial, lo que hace
que el desplazamiento axial de las piezas para lograr un ajuste sea diferente al nominal.
α/2
α/2
+ATi/4-ATi/4
+ATe/4-ATe/4
α/2
α/2
+ATi/4
-ATe/4
Cuando se indica:
Cono externo: 2
eAT±α
Cono interno: 2
iAT±α
Caso 1: Si el ángulo del cono real interno es mayor que el ángulo real del cono externo.
Cono externo: 2
eAT−
Cono interno: 2
iAT+
El primer contacto es en el diámetro menor del cono o en toda la superficie cónica, dependiendo del ángulo del cono real.
Pueden ocurrir los siguientes ensambles límite:
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 50
α/2
α/2+
ATe/4
-ATi/4
α/2
α/2
+ATi/2
+ATe/2
α/2
α/2
-ATi/4
-ATe/2
Figura 4.9. Efecto de las tolerancias de los ángulos de las piezas con el mismo signo.
Caso 2: si el ángulo del cono interno es menor que el del cono externo.
Cono externo: 2
eAT+
Cono interno: 2
ATi−
El primer contacto es en el diámetro mayor del cono o en toda la superficie cónica, dependiendo del ángulo del cono real.
Cuando se indica: Cono externo: eAT+α
Cono interno: iAT+α El primer contacto se puede presentar en el diámetro menor o mayor de las piezas o en toda la superficie cónica, dependiendo del ángulo real de los conos.
Cuando se indica: Cono externo: eAT−α
Cono interno: iAT−α El primer contacto se puede presentar en el diámetro menor o mayor de las piezas o en toda la superficie cónica
Figura 4.8. Efecto de las tolerancias de los ángulos de las piezas con signos +/-.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 51
Además de los casos mostrados en el párrafo anterior, se tiene el caso particular en el que la
variación angular es máxima dentro de la zona de tolerancia, lo cual se representa en la
figura 4.10. El primer contacto puede ocurrir en el diámetro mayor, menor o en toda la
superficie cónica de las piezas, dependiendo del ángulo real de los conos.
Dm
in
Dm
ax
TD
Øm
ax
Øm
in
α/2
-ATi/
2
+AT
e/2
-ATe
/2
α/2
α/2
α/2+AT
i/2
Cono interno: α - ATe
Cono externo: α + ATi
El primer contacto es en el diámetro mayor del cono oen toda la superficie conica, dependiendo del ángulo real del cono.
Cono interno: α + ATe
Cono externo: α - ATi
El primer contacto es en el diámetro menor del cono oen toda la superficie conica, dependiendo del ángulo real del cono.
Figura 4.10. Variación angular máxima en la zona de tolerancia.
4.3 Programa de ajustes cónicos
Tomando en cuenta el análisis anterior, se obtienen los desplazamientos axiales reales del
ensamble de las piezas para lograr el ajuste predeterminado, es decir, los desplazamientos
cuando ocurren variaciones en las dimensiones nominales de las piezas dentro su zona de
tolerancia. Estos desplazamientos son diferentes, ya que, cuando las piezas están en
contacto en su posición inicial, existe un pequeño claro inicial como resultado de las
variaciones de los ángulos nominales de las piezas.
La consideración que se hizo para obtener los desplazamientos reales máximos para lograr
el ajuste especificado fue que la dimensión real de la superficie cónica de las piezas varía en
toda la zona de tolerancia dada por las tolerancias de los diámetros de las piezas. Es decir,
la tolerancia del diámetro de las piezas incluye la tolerancia del ángulo de los conos, tanto
interior como exterior. Al hacer esta consideración, el primer contacto puede ocurrir en el
diámetro mayor o menor de las piezas o en toda la superficie, dependiendo del ángulo real
del cono. Tomando como base esta consideración se implementó un programa para calcular
el desplazamiento axial nominal de las piezas, y el desplazamiento axial real. En forma
general el procedimiento se expresa en los siguientes pasos.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 52
1.- Especificar las dimensiones nominales de cada pieza, diámetro mayor, diámetro menor y
la longitud. También se especifican los ajustes correspondientes con base en el sistema ISO
286.
2.- Se calculan las zonas de tolerancia de las superficies cónicas en contacto y el claro
máximo del ajuste de las piezas.
3.- Convertir tolerancias unilaterales a tolerancias bilaterales para realizar el análisis con el
método implementado de lazo de vector.
4.- Con los datos de entrada, el programa genera el lazo para realizar el análisis con el
método de lazo de vector, y asigna las variables de manufactura y del ensamble. Se calculan
las matrices [A], [B] y se determina la matriz de sensibilidad de tolerancias (descrita en el
capítulo 3). Una vez determinadas estas matrices y con los ajustes de entrada se determinan
las variaciones de las dimensiones del ensamble, b y g. Con estas dimensiones y el ángulo
de inclinación de la superficie cónica se calcula el desplazamiento axial nominal máximo
relativo de las piezas para lograr un ajuste especificado.
5.- Se considera que la dimensión real de la superficie de contacto de las piezas varía de
manera crítica, es decir, se considera que el ángulo de esta superficie puede ser máximo o
mínimo dentro de la zona de tolerancia. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores
se calcula el desplazamiento axial real considerando que el primer contacto de las piezas es
en el diámetro menor de las piezas.
6.- Se repite el paso cinco pero ahora considerando que el primer contacto es en el diámetro
mayor de las piezas, ya que éste puede ocurrir en ambos.
7.- Los resultados son los desplazamientos axiales nominales relativos de las piezas de
acuerdo a un ajuste determinado y los desplazamientos axiales actuales, tomando en cuenta
que el primer contacto puede ser ya sea en el diámetro mayor o menor de las piezas. En el
programa también se calcula el claro inicial cuando las piezas están en contacto sin
interferencia.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 53
La figura 4.11 muestra el proceso para calcular los desplazamientos axiales relativos tanto
nominales como actuales de las piezas de acuerdo al ajuste especificado.
Figura 4.11. Proceso para calcular los desplazamientos axiales máximos relativos, nominales y reales.
Caso 1: Xaxiald
Ai=TDint=Tdint Ae=TDext=Tdext Ymax=TDint + TDext
δb, δg
Xnom
Caso 2: XaxialD
Xnom Xaxiald XaxialD
TDintbil TDextbil
Di, di, Li y Ai
De, de, Le y Ae
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 54
4.4 Programa de variaciones geométricas en ensambles de piezas cónicas Al considerar que las superficies de contacto de las piezas de unión pueden tener
variaciones de ondulación, se implementó un programa que calcula el claro máximo que se
presenta cuando las piezas están ensambladas. Cada una de las superficies de contacto de
las piezas es generada de manera aleatoria para realizar el análisis. La siguiente secuencia
muestra de manera general el procedimiento para realizar este análisis.
1.- Especificar las dimensiones nominales de las piezas. Estas dimensiones son: diámetro
mayor, diámetro menor y longitud. También se especifican las tolerancias de los diámetros
de las piezas para determinar la zona de tolerancia en la cual varía la superficie de contacto.
2.- Generar las superficies aleatorias dentro de la zona de tolerancia determinada por las
tolerancias de los diámetros de cada una de las piezas. Los puntos de control para generar
la superficie aleatoria se especifican de acuerdo a la longitud de ondulación especificada en
[45]. Para realizar este análisis, se consideró que las superficies superiores e inferiores
tienen la misma variación.
3.- Se construye una matriz [R] que representa la resta de todos los puntos de control de la
superficie fija y la superficie móvil.
4.- Se considera que una de las piezas se desplaza hacia otra fija. En este caso la pieza fija
es el cono interior. Cada una de las diagonales desde la parte izquierda hasta la diagonal
principal de esta matriz representa un desplazamiento de la superficie móvil hacia la
superficie fija. Los elementos de estas diagonales dentro de la matriz [R] representan los
claros entre la superficie aleatoria fija y la superficie aleatoria móvil.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 55
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
R
........................
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
5.- Un elemento negativo dentro de la diagonal de la matriz, significa que la pieza móvil hizo
contacto con la fija. El ciclo se detiene si se encuentra una diagonal con esta característica.
El programa también toma en cuenta que en un desplazamiento del cono exterior, éste
podría estar tocando sin que exista una interferencia, es decir un elemento dentro de la
matriz podría ser cero y los demás elementos positivos.
6.- Se localizan los elementos negativos, se simula un desplazamiento en sentido contrario al
cono interno para lograr que las piezas hagan contacto sin que exista interferencia, es decir,
se encuentra el punto en el cual las piezas están tocando en la posición inicial de contacto.
En caso que los elementos de la diagonal de la matriz tengan valores de cero o valores
positivos y de cero, este paso se omite.
7.- Una vez que las piezas están en contacto sin que exista interferencia, se calcula el claro
máximo entre las piezas y se registra este valor. El paso 1 se repite tantas veces como se
requiera y se muestran los resultados obtenidos.
La figura 4.12 muestra el proceso para calcular el punto de contacto cuando las piezas están
ensambladas y el claro máximo que se presenta en el ensamble.
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 56
Figura 4.12. Proceso para determinar el punto donde ocurre el primer contacto y el claro máximo de las piezas unidas.
Di, di, Li y Ai De, de, Le y Ae
y1fijo y2móvil
Xrelat
0≤diag
[R]
Si
No
xcont
Cmax
Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 57
4.5 Conclusiones Para obtener un ajuste cónico determinado inicialmente, no solo es necesario tomar en
cuenta las piezas nominales, sino las variaciones que se pueden presentar en sus
superficies de contacto, resultado de los procesos de manufactura. Cuantificar los claros que
se presentan en el contacto inicial es una manera de determinar el desplazamiento real
relativo de las piezas para lograr el ajuste especificado. Para determinar estos
desplazamientos, se consideró que las superficies cónicas de los elementos pueden variar
de manera crítica dentro de su zona de tolerancia. En base a esta consideración, se calculó
el desplazamiento relativo de las piezas con el programa de ajustes cónicos, iniciando el
desplazamiento en la posición inicial en la cual existe contacto sin interferencia. El ajuste
especificado inicialmente no se logra al aplicar el desplazamiento axial nominal, varía como
resultado de los claros iniciales que se presentan en el ensamble. En el siguiente capítulo se
muestran los resultados de este trabajo de investigación.
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 58
Capítulo 5
5. ANÁLISIS DE RESULTADOS
En este capítulo se describen los resultados que se obtuvieron de los programas de ajustes
cónicos y variaciones geométricas respectivamente. El programa de ajustes cónicos toma en
cuenta la variación de la superficie cónica dentro de la zona de tolerancia de manera crítica.
Éste calcula el claro inicial cuando las piezas están ensambladas y el desplazamiento axial
para lograr un ajuste especificado. El programa de variaciones geométricas considera la
variación de las superficies cónicas de manera aleatoria y calcula el claro inicial entre estas.
Estos programas fueron realizados en MatLab.
5.1 Verificación del programa de ajustes cónicos
El programa de ajustes cónicos desarrollado en este trabajo de investigación, mediante el
programa MatLab, tiene el objeto de calcular el desplazamiento axial nominal y real relativo
de las piezas de trabajo para lograr un ajuste determinado.
Como se mencionó en el capítulo anterior, el claro o interferencia entre dos superficies
cónicas es función de la posición axial relativa de las piezas, y puede ser cuantificado
tomando como referencia el sistema de ajustes basado en la norma ISO 286. Para lograr un
ajuste determinado, las piezas se desplazan relativamente una de otra, como se muestra en
la figura 5.1. Sin embargo, normalmente el desplazamiento relativo de las piezas se realiza
considerando que éstas no tienen variaciones en los diámetros. Con base en la revisión de
literatura del capítulo uno, la manufactura de una pieza puede producir variaciones en las
dimensiones nominales, y esto trae como consecuencia que el desplazamiento axial relativo
real de las piezas no cumpla con el ajuste requerido o sea diferente al nominal. De esta
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 59
manera, el programa descrito en el capítulo 4, determina el desplazamiento axial nominal y
real de las piezas para lograr este ajuste.
Conointerno
Conoexterno
Desplazamientoaxial relativo delas piezas
Figura 5.1. Posición axial relativa de los conos.
Al considerar el ensamble nominal de la figura 4.6, el cual tiene un ajuste H9 para el cono
interno y h10 para el cono externo, tomado como referencia de la norma ISO 286, y
considerando un sistema base agujero, se calcula el desplazamiento axial nominal relativo
de las piezas para lograr este ajuste. Las dimensiones nominales de las piezas se muestran
en la figura 4.5b, y estas se determinaron de los elementos cónicos marca Ringfeder RfN
S8006 [40] que se utilizan como interfaz en la unión mecánica flecha-cubo de rueda. De
acuerdo a los datos mencionados, el desplazamiento axial nominal de las piezas es de
0.2267 mm. Con este desplazamiento se logra el ajuste especificado nominalmente. Sin
embargo, si se presentan variaciones de forma en las superficies de contacto, resultado de
los procesos de manufactura, este desplazamiento no cumple con el ajuste especificado,
esto como resultado de los claros iniciales que se presentan en la posición de contacto
inicial, ya que, al aplicar este desplazamiento, el ajuste entre las piezas es mayor que el
nominal. En la figura 5.2 se muestra una representación del desplazamiento axial nominal
relativo de las piezas. El cono externo se desplaza relativamente respecto al cono interno, es
decir, se considera el cono externo móvil y el interno fijo. Aplicando el desplazamiento axial
nominal resulta en un ajuste mayor al planteado originalmente. El ajuste máximo planteado
inicialmente, con base en la designación H9 cono interno y h10 cono externo, es de 0.068
mm. El ajuste máximo obtenido aplicando el desplazamiento axial nominal, y considerando
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 60
las variaciones de las superficies de contacto es de 0.1216 mm. Los resultados indican que
aplicando el desplazamiento axial nominal relativo de las piezas reales, el ajuste está fuera
del límite planteado originalmente. En la figura 5.2a se muestra el desplazamiento axial
nominal relativo de las piezas y el ajuste que resulta de este desplazamiento. En la figura
5.2b se muestra una ampliación de esta zona.
0,12
2
0,227
Conointerno
Conoexterno
Ajus
te
final
Desplazamientoaxial nominal
Punto de contactoinicial
Posición finalde la pieza
Clar
o
inic
ial
Dirección del desplazamiento
a) b)
Figura 5.2. Desplazamiento axial, a) representación del desplazamiento axial nominal para lograr un
ajuste especificado, b) zona donde ocurre el ajuste (sin escala).
De esta manera, el desplazamiento axial relativo de las piezas debe ser menor para lograr el
ajuste especificado. El programa de ajustes cónicos, descrito en el capítulo 4, determina este
desplazamiento considerando que las superficies de contacto pueden variar de manera
crítica dentro de la zona de tolerancia. Utilizando la secuencia mostrada en el capítulo cuatro
se encuentra el desplazamiento axial actual, el cual tiene un valor de 0.043 mm, que es
menor al nominal. En la figura 5.3a se muestra el ajuste determinado por este
desplazamiento. Se verifica que con este desplazamiento el ajuste obtenido es igual al
planteado originalmente. En la figura 5.3b se muestra la zona donde ocurre el ajuste (sin
escala). Se representa la posición inicial de contacto y el claro que se presenta en esta
posición, resultado de la inconsistencia de las superficies, que se produce al manufacturar
los elementos.
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 61
Conointerno
Conoexterno Aj
uste
inic
ial
Desplazamientoaxial nominal
Punto de contactoinicial
Posición final
de la pieza
Clar
o
inic
ial
Dirección del desplazamiento
0,06
8
0,043
a) b)
Figura 5.3. Desplazamiento axial actual, a) representación del desplazamiento axial real, b) zona que
representa el ajuste.
Con base en los resultados, mostrados en el párrafo anterior, el desplazamiento axial real,
considerando que las superficies de contacto de las piezas en el ensamble varían respecto al
valor nominal, es menor que el desplazamiento axial nominal. Esto como resultado de los
claros iniciales que se presentan cuando las piezas están en contacto en su posición inicial,
es decir, cuando las piezas están unidas sin que exista interferencia. Para el ajuste
especificado en la sección anterior, el claro inicial que se presenta en el ensamble cuando
las piezas están en su posición inicial es de 0.0553 mm. Los claros que se presentan cuando
las dimensiones de las piezas a unir presentan variaciones respecto al valor nominal, es
importante cuantificarlos cuando se requiere un ajuste con interferencia, ya que, con base en
estos se puede determinar si el desplazamiento axial especificado permite contacto en toda
la zona potencial de las piezas de unión. Por esta razón es importante conocer, antes de
maquinar las piezas, las tolerancias que se les asigna a cada uno de los elementos, ya que
con base en éstas, se puede determinar el desplazamiento axial relativo de las piezas para
lograr un ajuste especificado. Sin embargo, dependiendo del desplazamiento, las piezas
quedan o no dentro del intervalo elástico del material. En la siguiente sección se discute la
suposición de medir el claro normal al eje de las piezas.
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 62
5.2 Criterio del cálculo del claro normal al eje
En capítulos anteriores se mencionó que para efectos prácticos el claro que se presenta al
momento de ensamblar las piezas puede ser medido normal al eje de las mismas. Sin
embargo, para hacer esta suposición se tienen que tomar en cuenta consideraciones
mostradas posteriormente.
En el caso de análisis de la sección anterior, el claro medido normal al eje de las piezas,
donde el ángulo es de 16.7°, es una buena aproximación del claro medido normal a la
superficie, donde realmente se encuentra. Sin embargo cuando el ángulo de las superficies
cónicas de las piezas es mayor, esta suposición no es tan aproximada. Cuando se mide el
claro normal al eje de las piezas se tiene que tomar en cuenta el ángulo nominal de las
superficies de contacto y la zona en la cual le es permitido variar a dichas superficies. Lo
anterior es como resultado de que a mayor ángulo nominal de las superficies de contacto,
menor es la aproximación del claro normal al eje de las piezas con el normal a la superficie
de contacto de las mismas. Por ejemplo considérese el ensamble de la figura 5.4. Las
dimensiones de los claros medidos normales al eje y a la superficie cónica de las piezas,
resultado de las variaciones de las dimensiones nominales de cada una de las mismas en el
ensamble, se muestran en la parte superior izquierda del ensamble en la figura 5.4a. La
dimensión del claro normal a la superficie cónica es de 0.055 mm y la del claro normal al eje
de las piezas es de 0.053 mm. En la figura 5.4b se muestra la zona donde ocurren los claros
(sin escala), donde θ es el ángulo nominal de las superficies de contacto, CNS es el claro
normal la superficie cónica y CNE el claro normal al eje. Para un ángulo nominal de 16.69°,
una zona de tolerancia para el cono externo de 0.084mm y 0.052 mm para el cono interno,
los claros medidos normal a la superficie y normal al eje de las piezas son aproximados,
tiene una diferencia de 0.002 mm, lo cual equivale a un error relativo alrededor del 4%. Por lo
cual se puede establecer un criterio basado en el ángulo nominal de las superficies de
contacto, al considerar la comparación de los claros medidos normal al eje y normal a la
superficie. Para esto, se analiza el siguiente ensamble.
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 63
0,05
5
0,05
3
16,6
99°
16,9
57°
16,2
82°
ConointernoCono
externo
Conointerno
Conoexterno
θ
CNECN
S
a)
b)
Figura 5.4. Claros en ensambles cónicos, a) claro normal al eje y a la superficie cónica de las piezas, b) zona donde ocurre el claro.
Considerando las mismas zonas de tolerancia tanto para el cono interno como para el cono
externo, y con un ángulo nominal de 33.36°, los valores de los claros normales al eje y a la
superficie cónica tienen una diferencia de 0.01 mm, lo que equivale a un error relativo del
16.66 %. La figura 5.5 muestra el claro normal al eje y normal a la superficie para un ángulo
nominal de 33.36°. Por lo tanto, al aproximar el claro normal al eje de las piezas con el
normal a la superficie se puede hacer bajo el siguiente criterio. Para ángulos menores a 20°
esta comparación se considera aceptable, para ángulos mayores la diferencia es
considerable, mayor al 5%.
0,06
0,05
33,3
65°
Conointerno
Conoexterno
Figura 5.5. Claros máximos, resultado de las variaciones de las dimensiones de las piezas.
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 64
5.3 Verificación del programa de variaciones geométricas
El segundo programa que se desarrolló en este trabajo de investigación, toma en cuenta las
variaciones geométricas que se presentan en las superficies de contacto de las piezas de
unión dentro de su zona de tolerancia. El programa se desarrolló mediante MatLab. Éste
calcula el claro mayor que se presenta cuando las piezas están ensambladas y sus
superficies presentan variaciones geométricas. En el capítulo 4 se describe la secuencia
para realizar este análisis. Para analizar los resultados de este programa se toma en cuenta
el ensamble de la figura 5.6a. En el ensamble se supone que una pieza se desplaza hacia la
otra para lograr la unión. En este análisis el elemento que se desplaza es el cono externo, y
el elemento que permanece fijo es el cono interno. En la figura 5.6b se muestra el ensamble
nominal del cono externo y el cono interno, y en la figura 5.6c se muestran las zonas de
tolerancia donde puede variar la superficie cónica de cada una de las piezas. ZTe es la zona
de tolerancia para el cono externo y ZTi para el cono interno. Las dimensiones nominales del
cono externo y del cono interno se muestran en la tabla 3.2.
Conointerno
Conoexterno
Conointerno
Conoexterno
ZTi
ZTe
a) b) c)
Figura 5.6. Ensamble de elementos cónicos, donde a) ensamble nominal, b) cono externo y cono
interno, c) zona de tolerancia de los elementos.
Los perfiles de las superficies cónicas se generan teniendo como límite las zonas de
tolerancia determinadas por las variaciones de los diámetros de las piezas. Considérese una
tolerancia H9 y h10, donde la zona de tolerancia para el cono interno es de 0.052mm y para
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 65
el cono externo de 0.084 mm. La figura 5.7 muestra los perfiles aleatorios generados dentro
de estas zonas de tolerancia. Estos perfiles son solo una representación, ya que un perfil
real con las dimensiones mencionadas anteriormente, la magnitud de variación es menor. La
figura 5.7a muestra el perfil aleatorio del cono externo y la figura 5.7b muestra el perfil del
cono interno, estos son generados a lo largo de la longitud del cono de 5.3 mm.
ZTe
ZTi
Le Li
a) b)
Figura 5.7. Superficies cónicas, donde a) cono externo, b) cono interno.
En la tabla 5.1 se resumen las dimensiones nominales y las zonas de tolerancia de cada una
de las piezas.
Tabla 5.1. Dimensiones nominales y magnitud de las zonas de tolerancia (ZT).
Cono Dimensiones nominales (mm) ZT De de Le θe (mm)
Externo 24.39 21.21 5.3 16.7° 0.084 Interno 23.79 20.61 5.3 16.7° 0.052
Una vez que se generan estos perfiles el programa realiza el ensamble y encuentra el punto
inicial donde las piezas hacen contacto sin que exista interferencia. Cuando se localiza este
punto, el programa calcula el claro máximo que se presenta en el ensamble. Para verificar
los resultados del programa se hicieron análisis con diferente número de muestras, los
cuales se muestran a continuación.
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 66
La figura 5.8 muestra el histograma de un análisis de 1,000 muestras. Se representan los
claros máximos que se obtienen en el ensamble de piezas con variaciones geométricas.
También se muestra el promedio del claro máximo Cp.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
50
100
150
200
250
Claro (mm), 1000 muestras
Frec
uenc
ia
Cp=0.0297
Figura 5.8. Histograma del análisis considerando 1 000 muestras.
La figura 5.9 muestra el histograma del claro máximo para un análisis de 5,000 muestras.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
200
400
600
800
1000
1200
Claro (mm), 5000 muestras
Frec
uenc
ia
Cp=0.0292
Figura 5.9. Histograma del análisis considerando 5 000 muestras.
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 67
La figura 5.10 muestra los claros máximos para un análisis de 10,000 muestras, donde Cp es
el claro promedio máximo del ensamble.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
500
1000
1500
2000
2500
Claro (mm), 10000 muestras
Frec
uenc
ia
Cp=0.0292
Figura 5.10. Histograma del análisis considerando 10 000 muestras.
Para comparar los resultados y verificar que estos ya no varían significativamente al
aumentar el número de muestras se realizó un análisis tomando en cuenta 100,000
muestras. La figura 5.11 muestra el histograma y el valor del claro máximo promedio.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
0.5
1
1.5
2
2.5x 104
Claro (mm), 100000 muestras
Frec
uenc
ia
Cp=0.0293
Figura 5.11. Histograma de claro máximo con 100 000 muestras.
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 68
La tabla 5.2 muestra el claro máximo promedio para cada número de muestras. Estos
resultados son del ensamble de piezas cónicas cuyas dimensiones nominales y tolerancias
se especifican en la tabla 5.1.
Tabla 5.2. Claro máximo promedio para diferente número de muestras.
Número de Cp Muestras (mm)
1000 0.0297 5000 0.0292 10000 0.0292
100000 0.0293
De la tabla 5.2 se determina que para el análisis de tolerancias en elementos cónicos en
contacto con las condiciones mostradas al inicio de la sección, los resultados son
independientes del tamaño de muestras para un número superior a 10,000.
Con base en los resultados obtenidos del ensamble, el claro promedio que se presenta al
tomar en cuenta variaciones geométricas, es menor que cuando se consideran solamente
variaciones angulares. Esto se debe a que cuando se consideran variaciones angulares se
toma la máxima variación que puede tener la superficie cónica dentro de su zona de
tolerancia. Por otro lado cuando se presentan variaciones geométricas dentro de esta misma
zona, las superficies se acomodan cuando se ensamblan y esto hace que la variación de la
dimensión dependiente sea menor.
Al realizar un análisis de caso crítico, el ensamble siempre cumplirá con el requerimiento al
asignar tolerancias basadas en este enfoque. Sin embargo, algunas veces al asignar
tolerancias basadas en el enfoque de caso crítico, estas deben ser menores en comparación
con las tolerancias asignadas basándose en un enfoque aleatorio, para cumplir con un
requerimiento funcional. Por ejemplo, considere que el claro del ensamble debe estar en un
rango de 0.055 mm. Al especificar una tolerancia H9 para el cono interno y h10 para el cono
externo, es decir con una zona de tolerancia para cono externo de 0.084 mm y para el cono
interno de 0.052 mm, y haciendo un análisis de caso crítico, se está dentro de este rango. Si
se realiza un análisis donde se considera que las superficies pueden variar aleatoriamente,
la tolerancia que se asigna puede ser mayor, por ejemplo de H10 y h10, que representa una
zona de tolerancia para el cono interno de 0.084 mm y para el cono externo de 0.084 mm, y
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 69
aun cumplir con el claro especificado. El valor medio de estos claros se muestra en el
histograma de la figura 5.12.
El histograma de la figura 5.12 muestra cómo la distribución de los claros asemeja una
distribución normal. Los resultados mostrados con el ejemplo de esta sección son para las
condiciones nominales y zonas de tolerancia de la tabla 5.1, sin embargo, estos se pueden
extrapolar a piezas con diferentes condiciones nominales y diferentes zonas de tolerancias al
realizar el análisis de variación, ya que al realizar el estudio, las superficies se generan de la
misma manera que el caso mostrado en esta sección. Además, al generar las superficies de
las piezas cónicas se puede considerar otro tipo de distribuciones como una distribución
rectangular, al suponer que la superficie actual tiene la misma probabilidad de producirse en
toda la zona de tolerancia, o una distribución lognormal al considerar que la superficie actual
tiende a producirse de manera asimétrica dentro de la zona de tolerancia. La consideración
del tipo de distribución depende del conocimiento que se tenga de la manufactura de estas
piezas.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
500
1000
1500
2000
2500
Claro (mm), 10000 muestras
Frec
uenc
ia
Cp=0.0349
Figura 5.12. Histograma de claro máximo para una tolerancia H10 y h10.
En resumen, el enfoque de caso crítico sirve para realizar un análisis de tolerancias en el
cual la seguridad del ensamble sea prioridad y se requiera que éste cumpla con el
requerimiento funcional al 100 %. Sin embargo, si es más viable asignar tolerancias mayores
Capítulo 5. Análisis de resultados
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 70
a las piezas por separado, el análisis de superficies aleatorias es una opción para realizar el
análisis, tomando en cuenta que pueden ocurrir defectos en el ensamble.
5.4 Conclusiones En este capítulo se presentaron los resultados obtenidos de los programas mencionados en
el capítulo cuatro. Con base en el primer programa, para realizar un ajuste cónico
determinado inicialmente, es necesario considerar las variaciones de las superficies cónicas
dentro de la zona de tolerancia, ya que al realizar el desplazamiento relativo nominal de las
piezas reales, el ajuste no cumple con el especificado originalmente. Es decir, para el
ensamble con la especificación H9 y h10, el ajuste real varía alrededor de 79 % en
comparación con el determinado inicialmente, tomando en cuenta el desplazamiento
nominal. Considerando el programa de variaciones geométricas, el claro medio que se
presenta cuando las piezas están en contacto sin interferencia, es menor que considerando
el análisis de caso critico, alrededor de 47%. Por lo cual, si se especifica un límite para el
claro, las tolerancias asignadas mediante este análisis pueden ser mas amplias y aun
cumplir con el requerimiento de diseño. Por lo tanto, este programa puede ser utilizado para
cuantificar los claros que se presentan en el ensamble de elementos cónicos en función de
las tolerancias asignadas a los mismos.
Capítulo 6. Conclusiones y recomendaciones
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 71
Capítulo 6
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este trabajo de investigación, se analiza el claro entre las superficies de contacto de
piezas cónicas. Para realizar el análisis, se incluyeron métodos de análisis de variación. A
partir de los cuales se establece el marco teórico del trabajo, así como los principios
generales del método de lazo de vector. Se analizó cómo la acumulación de tolerancias
afecta a una dimensión resultante del ensamble y se establecen alternativas para
cuantificarla. Con base en éstas se calculó el claro en el ensamble de elementos cónicos. La
cuantificación de los claros se realizó por medio de dos programas codificados en MatLab. El
programa de ajustes cónicos determina el desplazamiento axial relativo nominal y real de las
piezas para lograr un ajuste especificado. Con las pruebas realizadas con este programa se
concluye lo siguiente.
• Con base en los resultados obtenidos y tomando en cuenta el ensamble de la figura
5.2, el ajuste obtenido por el desplazamiento nominal de los elementos cónicos con
variaciones superficiales puede tener una diferencia de 79 % respecto al determinado
inicialmente. Esta variación es resultado de los claros iniciales entre las piezas.
• La aplicación del programa se acota a problemas donde las superficies cónicas
varían de manera crítica dentro de la zona de tolerancia y considerando coaxiabilidad
entre las piezas.
• El análisis de caso crítico asegura una funcionalidad del ensamble de 100% y es
factible utilizarlo cuando la seguridad del ensamble es una prioridad.
Capítulo 6. Conclusiones y recomendaciones
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 72
• El enfoque crítico se aplica a situaciones donde no se tiene conocimiento acerca de
los procesos de manufactura para producir las partes del ensamble, con lo cual se
garantiza que las tolerancias asignadas con base en este enfoque cumplirán con las
especificaciones de diseño de la union.
Una manera de realizar un análisis de variación en el ensamble de elementos cónicos es
considerando que las superficies de las piezas varían de manera aleatoria. A partir de esto
se desarrolló un programa para cuantificar el claro que se presenta entre estas superficies
tomando en cuenta variaciones geométricas y cinemáticas, del cual se concluye lo siguiente:
• El claro promedio que se presenta al considerar variaciones geométricas dentro de la
zona de tolerancia es 47% menor que considerando análisis de caso crítico.
• El programa de variaciones geométricas aplica a situaciones donde se requiera
realizar un análisis de variación de manera directa, es decir, cuando no se cuente con
datos de entrada para llevar acabo el estudio, como la desviación estándar de las
máquinas que producen las piezas.
• Una ventaja del programa de variaciones geométricas es que al realizar el análisis de
tolerancias se puede implementar el tipo de distribución, dependiendo del
conocimiento del diseñador en relación a la producción de estas piezas, para generar
las superficies de contacto.
Finalmente, los programas desarrollados en este trabajo de investigación son una
herramienta que el ingeniero puede utilizar para llevar a cabo el análisis de variación en
elementos cónicos en contacto y cuantificar los claros que se presentan en las superficies de
unión de los mismos. Estos programas se desarrollaron bajo una metodología que considera
desviaciones de diámetros respecto al valor nominal a lo largo de la longitud de las piezas
cónicas, como se muestra en la sección 5.3. Pueden ser implementados al control de calidad
de la unión al determinar si las tolerancias asignadas a las piezas por separado cumplen
con el requerimiento para el cual fue diseñado el ensamble. En la metodología planteada
para realizar el análisis de tolerancias en elementos cónicos en contacto, se consideró la
máxima variación angular de la dimensión real en la zona de tolerancia de las superficies de
Capítulo 6. Conclusiones y recomendaciones
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 73
contacto y las variaciones geométricas que se presentan dentro de ésta. Con esto se
pretende cubrir un amplio rango de desviaciones dentro de la zona de tolerancia. Sin
embargo, los programas implementados para realizar el análisis solo pueden ser utilizados
considerando que existe coaxialidad en las piezas.
Los programas desarrollados en este trabajo pueden ser utilizados en trabajos futuros para
estimar los valores de fuerzas en la eliminación de claros, que son resultado de las
imperfecciones de las superficies de contacto de las piezas en el ensamble.
6.1 Recomendaciones Al desarrollar la investigación surgieron algunas observaciones que pueden contribuir a
ampliar la investigación respecto al análisis de tolerancias en elementos cónicos en contacto.
Esto con el objeto de extender la representación del análisis de variación en el ensamble de
estos elementos.
• Considerar los efectos de coaxialidad en las piezas cónicas al llevar a cabo el análisis
de variación. Esto se puede lograr generando dos superficies aleatorias diferentes en
cada pieza al realizar el análisis.
• Realizar un acopio de desviaciones estándar representativas de los procesos de
manufactura que se utilizan para producir elementos cónicos, para ser usadas como
datos de entrada al realizar el análisis de variación entre estos elementos.
• Llevar a cabo un análisis de variación completo en la unión mecánica flecha-cubo de
rueda, donde se incluya la interacción entre parámetros como: la fuerza de apriete
necesaria para eliminar los claros, la deformación de las piezas y la carga a transmitir
en la unión.
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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 74
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No. 11.
Apéndice
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 79
APÉNDICE
El apéndice de esta sección ejemplifica la obtención de las matrices que contienen las
derivadas parciales de las variables del ensamble. La figura A.1 muestra el ensamble de un
cilindro y una ranura. Las partes se ensamblan al insertar el cilindro en la ranura hasta hacer
contacto en las dos superficies de unión. La figura A.1a muestra las variables de
manufactura y cinemáticas. La figura A.1b muestra el lazo de vector para determinar las
variables cinemáticas en función de las de manufactura. Se puede observar que el lazo de
vector solamente pasa a través de las dimensiones de manufactura (A, R, θ) y las
dimensiones del ensamble (U1, U2, Ø). En la figura A.1b también se muestran los marco de
referencia de cada una de las partes en el ensamble (a y b).
U2
RU1
ARa
bR
U2
θ
U1
θ
φ
a) b)
Figura A.1. Ensamble de cilindro y ranura, donde a) variables de manufactura y del ensamble, b) lazo de vector que relaciona las variables en el ensamble.
Las tablas A.1 y A.2 muestran las variables de manufactura y las del ensamble con sus
valores nominales y tolerancias respectivamente.
Tabla A.1. Dimensiones manufacturadas
Variable Descripción Dim. nominal Tolerancia +/- A Altura de la ranura 40 mm 0.3 mm R Radio del cilindro 32.92 mm 0.3 mm θ Angulo superior de ranura 113.57° 0.5°
Apéndice
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 80
Tabla A.2. Variables cinemáticas del ensamble
Variable Descripción Dim. nominal Tolerancia +/-U1 Posición horizontal del cilindro 57.78 mm ? U2 Distancia angular al punto de contacto 66.12 mm ? Ø Angulo de contacto 23.57° ?
A continuación se muestran las ecuaciones del ensamble del lazo de vector de la figura A.1b.
Estas se obtienen al sumar las componentes de los vectores (x y y), y la rotación de los
vectores conforme se traza el lazo.
°+°−−−+°−°=
°+°+++°−+°=°+°+++°−+°=
90909018090
180270)270()90(90180cos270cos)270cos()90cos(90cos
21
21
φθ
φθφθ
θh
senURsenRsensenUAsenhURRUAh
y
x
Aplicando el método de lazo de vector, se obtienen las matrices que contienen derivadas
parciales con respecto a las variables del ensamble [A] y [B].
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
=
θ
θ
θ
θθθ hRh
Ah
hRh
Ah
hRh
Ah
A yyy
xxx
][
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−++−−++
=
100959.52916.11105.23399.00
][
100)90cos(270)270(90)90(270cos)270cos(90cos
][ 1
1
A
UsensensensenU
A θφθφ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
=
φ
φ
φ
θθθ hUh
Uh
hUh
Uh
hUh
Uh
B yyy
xxx
21
21
21
][
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−+−−
=
100166.130399.0179.301916.0
][
100)270cos(180)90()270(180cos)90cos(
][
B
RsensenRsen
B φθφθ
Apéndice
Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 81
Una vez que se obtienen las matrices [A] y [B] se calcula la matriz de sensibilidad del
ensamble.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−= −
1.0000 0 0 144.4941- 4.7928 2.2921- 165.3656- 4.7928 2.5008-
][][][ 1 ABS D
Con la matriz de sensibilidad conocida y las tolerancias asignadas a las variables de
manufactura, se calculan las variaciones de las dimensiones que resultan del ensamble al
aplicar la ecuación (2.12). Estas tienen los siguientes valores.
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
°=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
ΔΔΔ
05.0907.3626.3
2
1
φUU
El ejemplo anterior muestra una manera de calcular las matrices de las derivadas parciales
con respecto a las variables del ensamble y una alternativa para calcular las variaciones de
las dimensiones resultantes del ensamble. El análisis mostrado, se puede extrapolar a
ensambles más complejos, donde el número de variables es mayor y se requiere de
experiencia del diseñador para generar los lazos que relacionan las variables en la unión.
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