celosias 3d
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Celosías espaciales
J. T. Celigüeta
1
Celosía espacial. DefiniciónEstructura reticular. Barras rectas de sección despreciableBarras articuladas en las 3 direcciones del espacio en ambos extremos: rótulas esféricas.Sólo se transmiten 3 fuerzas entre el nudo y la barra (sin momentos)Por equilibrio de la barra:
No hay cortantes en sus extremos.Sólo hay esfuerzo axial N
XL
ZL
YL
N
N
X
Y
Z
2
Condiciones de estabilidad
A b+r < 3n InestableB
CIsostática b+r = 3nHiperestática b+r > 3n
Incógnitas= b + r Ecuaciones estática: 3n
Además de cumplirse B o C, la disposición de las barras debe evitar toda inestabilidad.
Es posible cumplir en B, y ser a la vez inestable e hiperestática
Ejemplo:
b=12, r=12 , n=8 b+r= 24 = 3n
Isostática-Estable Hiperestática-Inestable
3
Clasificación (1)Simples: malla de tetraedros adosados
A partir de un tetraedro base, añadir nuevos nudos añadiendo 3 nuevas barras. Nuevo nudo no en las caras del tetraedro.Cumplen b+6=3nIsostáticas y estables si r=6
4
Celosías espaciales simples. Ejemplos
5
Celosía espacial simple. Cálculo manualA
BC
D
E
F
G
1000 N
500 N
500 N
1000 N
X Y
Z
Secuencia de cálculo: . Nudo F: esfuerzos FA, FD, FE. Nudo E: esfuerzos EB, ED, EA. Nudo D: esfuerzos DA, DC, DB. Nudo A: esfuerzos AG, AC, AB
Cada nudo emplea 3 ecuaciones estáticas, función de los 3 cosenos directores de cada barra
Desarrollo completo en el libro. Ejercicio 3.11.2
6
Clasificación (2)Compuestas: unión de varias celosías simples mediante vínculos adecuados
Número de vínculos para unir dos celosías: 66 barras no concurrentes ni coplanaresUn nudo coincidente + 3 barrasDos nudos y una barraIsostáticas, estables.
a b c
7
Clasificación (3)Complejas: no corresponden a los tipos anteriores.
En cada nudo confluyen más de 3 barras
b=48 n=18
8
Mallas empleadas normalmentePara cubiertas de edificios civiles con grandes luces.Superficie directriz (plana o curva) definida por criterios arquitectónicosMalla dispuesta a ambos lados de la directriz.
Cara superior, cara inferior “parallelas” a la superficie media.Canto de la celosáa: distancia entre caras
Diagonales de conexión entre caras
9
Medios de uniónNudos articulados perfectos imposibles y caros de materializar.Habitualmente:
Esferas con uniones roscadas a las barrasExisten diversos métodos (patentados) de materializar la unión.La unión aporta cierta rigidez al giro, que no se tiene en cuenta en el cálculo habitualmente.
10
Malla semi octaédricaSemi octaedros (pirámide base cuadrada) alternados. Muy usada.Dos retículas de cuadrados decaladas en cada cara.M, N número de módulos en cada dirección
n=2 M N + M + N +1 b=8 M N
M N h (r=6)1 1 -1 Inest.2 1 -2 Inest2 2 -1 Inest.3 2 0 Isost.3 3 3 Hiper.5 5 23 Hiper.10 10 143 Hiper.20 10 311 Hiper.
11
Malla semi octaédrica
12
Malla semi octaédrica aligeradaMalla inferior girada 45º. Barras inferiores más largas (a tracción). Menos nudos
13
Malla tetraédricaMuy usada en los inicios. Actualmente no empleada. Más cara.
n=36 b= 103 r=6 h=37
14
Ventajas e inconvenientesVentajas:
Grandes lucesFormas curvas sofisticadasMenor peso comparada con estructura convencional
Menor costo. Muchos perfiles / nudos iguales
Fácil montaje, poca mano de obraFabricación automática (CAM)
InconvenientesCálculo requiere computadorNo apta para muy grandes cargas (puentes pesados)Logística de ensamblado compleja
15
Estudio de la barra articulada 3D (1)Solo esfuerzo axial. Deformada es una recta entre los nudos extremos
Deformación axial u lineal:
Deformaciones laterales v, w no producen esfuerzos
vuU1
V1
U2
V2
W1
W2w
P'
P
( )1 2 1 /u U U U x L= + −
Deformación unitaria longitudinal constante
2 1du U Udx L
ε−
= =
16
Estudio de la barra articulada 3D (2)Temperatura aplicada uniforme Tm. Deformación unitaria
Esfuerzo axial:
Tensión:
Energía acumulada en una barra:
0 Tε α=
0( )Eσ ε ε= −
duN dA A EA EA T
dxσ σ α= = = −∫
2*
2N L
U TLNEA
α= +
17
Método de flexibilidadConceptualmente es exactamente igual que en celosías planas
Cuáles son las dificultades ?
Hallar h. Fácil h=b+r-3n
Identificar las incógnitas X. Muy difícil.
Calcular los esfuerzos N en una estructura espacial. Laborioso
Imposible emplear este método
0j k jjk j
L Lf N N D N N
EA EA= =−∑ ∑
18
Propiedades de rigidez
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
IX IX
IY IY
IZ IZ
JX JX
JY JY
JZ JZ
P
P
P EAP L
P
P
δ
δ
δ
δ
δ
δ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
XL
X
Y
Z
PIY PIX
PIZ
PJX
PJY
PJZ
19
Rigidez en el sistema general
IXIX
IYIY
IZ IZ
JX JX
JY J
JZ
F
F
F EAF L
F
F
λλ λμ λν λλ λμ λν
μλ μμ μν μλ μμ μν
νλ νμ νν νλ νμ νν
λλ λμ λν λλ λμ λν
μλ μμ μν μλ μμ μν
νλ νμ νν νλ νμ νν
Δ⎧ ⎫ ⎡ ⎤− − −⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ Δ− − −⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − − − Δ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − − − Δ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ Δ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦
Y
JZ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
No depende de la orientación de los ejes locales Y, Z, sólo del XL
λ, μ, ν: orientación de XL
20
Ejemplo
8 m
8 m
8 m
4 m
4 m 5050
5050
20
40
40
20
20 20
Nudos: 8 Barras: 18Reacciones:12
h: 6
21
2
14
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
1314
15
16
3
1718
5
67
8X
Y
Z
1
1
1
2
21
2 2
3 3
4 3
3
4
4
4
x
y
z
x
y
z
Dx
y
z
x
y
z
⎧ ⎫Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Δ
ΔΔ
Δ
Δ
Ejemplo. Grados de libertad
22
Ejemplo: matriz de rigidez
Barra I J L λ μ ν
1 1 2 4 -1. 0. 0.
2 2 3 4 0. -1. 0.
3 3 4 4 1. 0. 0.
4 4 1 4 0. 1. 0.
5 5 1 8.485 -0.2357 -0.2357 0.9428
6 6 2 8.485 0.2357 -0.2357 0.9428… … … … … … …
17 3 1 5.657 0.7071 0.7071 0.
18 4 2 5.657 -0.7071 0.7071 0.
1 4 511 11 11 1 17 4
12 13 1412 13 1711 11 11
2 1 622 22 221 2 18
21 23 249 14 1822 22 22
3 2 733 33 3317 2 3
31 32 3410 15 1733 33 33
4 3 844 44 444 18 3
41 42 43
G G G
G G G
G G G
G G G
G G G
G G G
DD
G G G
G G G
G G G
G G G
G G G
+ +
+ + +
+ +
+ + +=
+ +
+ + +
+ +
+
K K KK K K
K K K
K K KK K K
K K KK
K K KK K K
K K K
K K KK K K
K11 16 1844 44 44G G G
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦K K
G
EA
L
λλ λμ λν λλ λμ λν
μλ μμ μν μλ μμ μν
νλ νμ νν νλ νμ νν
λλ λμ λν λλ λμ λν
μλ μμ μν μλ μμ μν
νλ νμ νν νλ νμ νν
⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦
K
23
Ejemplo: ecuación de equilibrio
7
3.826 0.723 0.04 2.5 0. 0. 0.884 0.884 0. 0. 0. 0.
0.723 3.826 0.04 0. 0. 0. 0.884 0.884 0. 0. 2.5 0.
0.04 0.04 2.254 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.
2.5 0. 0. 3.826 0.723 0.04 0. 0. 0. 0.884 0.884 0.
0. 0. 0. 0.723 3.826 0.04 0. 2.5 0. 0.884 0.88
10
− − −
− − −
− − − −
− − − 4 0.
0. 0. 0. 0.04 0.04 2.254 0. 0. 0. 0. 0. 0.
0.884 0.884 0. 0. 0. 0. 3.826 0.723 0.04 2.5 0. 0.
0.884 0.884 0. 0. 2.5 0. 0.723 3.826 0.04 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.04 0.04 2.254 0. 0. 0.
0. 0. 0. 0.884 0.884 0. 2.5 0. 0. 3.826 0.723 0.04
0. 2
−
− − − −
− − − −
− −
− − −
−
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
.5 0. 0.884 0.884 0. 0. 0. 0. 0.723 3.826 0.04
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.04 0.04 2.254
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
− − −
−
⎧Δ⎪⎪⎪⎡ ⎤ ⎪Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎨⎢ ⎥ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ ⎪Δ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪⎢ ⎥ Δ⎪⎪⎢ ⎥⎣ ⎦Δ⎩
4
2
2
5
0
4
510
0
2
5
2
4
5
−
−
−
−
⎫⎪⎪⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭
Se obtienen las deformaciones de los 4 nudos
{ } 32.58 6.72 2.38 1.86 6.96 2.31 2.27 6.77 2.06 2.17 7.00 2.13 10D−− − − −=Δ
24
Ejemplo: deformada
12.579
1 6.7231 2.382
2 1.860
6.95822.30822.268
36.768
32.058
32.172
4 7.0034 2.133
4
D
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
Δ
Δ
Δ−
Δ
Δ
Δ −=
Δ
Δ−Δ
Δ
Δ−
Δ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Δ 310−
⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
1
2
3
4
5
6
7
8
25
Ejemplo: esfuerzos en la barra 4Nudo I: 4 Nudo J: 1
4
4
44 3
1
1
1
2.172
7.003
2.13310
2.579
6.723
2.382
x
y
z
x
y
z
−
⎧ ⎫Δ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
Δ
4
4
4
1
1
1
0 1 0 0 0 0 2.172
0 0 0 7.003
0 0 0 2.133
0 0 0 0 1 0 2.579
6.7230 0 0
2.3820 0 0
x
y y y y
z z z z
x
y y yy
z z zz
δ
δ λ μ ν
δ λ μ ν
δ
λ μ νδ
λ μ νδ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎩⎣ ⎦⎩ ⎭
4
43 3
1
1
7.003
10 106.723
y
z
y
z
δ
δ
δ
δ
− −
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎩ ⎭
4
4 4
4 46
1
11
11
7.00325 0 0 25 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 010
25 0 0 25 0 0 6.723
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
x
y y
z z
x
yy
zz
P
P
P
P
P
P
δ
δ
δ
δ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ − ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢− ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
3
7019
0
010
7019
0
0
−
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎪
26
Ejemplo: reacciones
5 9 1651 52 54 15
13 6 106 61 62 63 2
14 7 117 372 73 74
12 15 88 481 83 84
G G G
G G G
G G G
G G G
⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
K K 0 KR
R K K K 0
R 0 K K K
R K 0 K K
Δ
Δ
Δ
Δ
DD DF D D
FD FF FF
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
K K F
K K R0
Δ
ΔEquilibrio de todos los nudos:
F FD D=R K Δ
Hay que hallar esta nueva parte de la K, no hallada antes.
27
Ejemplo: reacciones
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
48920
56420
130000
28920
42310
90000
11260
17690
30000
8740
3580
1000
x
y
z
x
y
z
Fx
y
z
x
y
z
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
⎧ ⎫ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
R
0
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭48921
56420
130000
28921
42314
90000
1126417686
30000
87363580
10000
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