características dinámicas generalizadas
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Características Dinámicas Generalizadas
Abraham Chávez
Modelado de sistemas dinámicos
Se debe ser capaz de modelar sistemas dinámicos y analizar las características dinámicas. Un modelo matemático de un sistema se define como un conjunto de ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del sistema con precisión o al menos bastante bien.
La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, físicos, biológicos, económicos, sociales, etc. Se
describen en términos de ecuaciones diferenciales.
Características dinámicas
)(...)(... 0101 txbdt
xdb
dt
xdbtya
dt
yda
dt
yda
m
m
mn
n
n
La mayoría de los instrumentos médicos deben procesar señales que son funciones en el tiempo. Es por ello que se requiere considerar características dinámicas en el instrumento.
Características dinámicas
Introduciendo un operador diferencial o bien utilizando la transformada de Laplace se puede escribir la ecuación de la siguiente manera:
Ecuación diferencial lineal y no son funciones que dependan del tiempo o de la
entrada (invariantes).Tales propiedades nos dicen que los métodos de adquisición
y análisis de señales no cambian como función dependiente del tiempo o de la cantidad de la entrada.
)()...(
)()...(
01
01
sXbsbsb
sYasasam
m
nn
Linealización
La señal de entrada No existen restricciones generales para x(t), aunque
para aplicaciones particulares, se deben considerar limitantes en amplitud y frecuencia.
Transitorias: función escalón Sinusoidales: funciones periódicas tratadas a partir de
expansión de series de Fourier. Aleatoria: Ruido blanco de banda limitada
Función de transferencia
Función de transferencia. Matemáticamente expresa la relación entre la señal de
entrada y la señal de salida. Si es conocida la función de transferencia, la salida puede ser predicha a partir de cualquier entrada.
01
01
...
...
)(
)(
asasa
bsbsb
sX
sYn
n
mm
G(s)=Y(s)/U(s)
U(s) Y(s)
G(s)=Y(s)/U(s)
U(s) Y(s)
Función de transferencia
Método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.
Propiedad de un sistema independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación.
Incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo no proporciona información acerca de la estructura física del sistema.
Si se conoce la función de transferencia de un sistema se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada , con la intención de comprender la naturaleza del sistema.
Si se desconoce la función d transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida de un sistema
01
01
...)(
...)(
)(
)(
ajwajwa
bjwbjwb
jwX
jwYn
n
mm
1j w Frecuencia angular (rad/s)
La función de transferencia es una cantidad compleja que posee una magnitud que es el radio de la magnitud de salida hacia la magnitud de la entrada y el ángulo de fase Φ el cual es la fase de la salida Y(t) menos la fase de la entrada x(t).
El ángulo de fase para la mayoría de los instrumentos es negativo.
Modelado en espacios de estados
Mayor complejidad Entradas y salidas múltiples Pueden variar en el tiempo Lineales o no lineales Sistemas de control óptimo Diseño de sistemas más restrictivos en el desempeño
El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de éstas variables en t=to
)()()()()(
)()()()()(
tutDtxtCty
tutBtxtAtx
Orden cero
a) Potenciómetro linealb) Características
estáticas para éste sistema
c) Respuesta escalón es proporcional a la entrada
d) Respuesta de frecuencia sinusoidal constante con ningún cambio en la fase
Ka
b
jwX
jwY
0
0
)(
)(
sensitividad estática
Primer orden
a) Filtro RC pasabalasb) Sensitividad estática para
entradas constantesc) Respuesta en escalón para
grandes constantes de tiempo () y constantes de tiempo pequeñas ()
d) Respuesta en frecuencias sinusoidales para constantes de tiempo grandes y pequeñas
)()( 001 txbtyadt
yda
1)(
)(
s
k
sX
sY
Segundo Orden
a) Fuerza impuesta a una báscula de resorte
b) Sensitividad estáticac) Respuesta en escalón
debida a un caso sobre atenuado ξ=2 , caso críticamente atenuado ξ=1, y con atenuación baja ξ=0.5
d) Respuesta en frecuencia en estado estático sinusoidal ξ=2 , ξ=1 y ξ=0.5
)()( 0012
2
2 txbtyadt
yda
dt
yda
)(
)(
jwX
jwY1]2[][ 2
jwwjw
k
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0
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2 aa
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