capítulo coordenadas y cambio de base - eduardo chaves barboza

Curso 2006 lgebra Lineal II Unidad Didctica: Coordenadas y cambio de base

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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Escuela de Matemtica Ctedra de lgebra Lineal II Profesor: Eduardo Chaves Barboza

Ejemplos y ejercicios

1-) Sea { }1 2, ,..., nB v v v= una base de un espacio V. Demuestre que si

1 1 2 2 ... n nv a v a v a v= + + + 1 1 2 2 ... n nv b v b v b v= + + + , entonces { } 1,...,i ia b i n= . Solucin: Si 1 1 2 2 ... n nv a v a v a v= + + + 1 1 2 2 ... n nv b v b v b v= + + + entonces

1 1 1 2 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n n nv v a b v a b v a b v = + + + = . Dado que los vectores v1,v2,...,vn son linealmente independientes, entonces 1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) 0n na b a b a b = = = = . Luego

{ } 1,...,i ia b i n= . 2-) Sea ( ) ( ){ }1,0,0,0,0 ,..., 0,0,0,0,1B = la base ordenada cannica en IR5. Obtenga [ ]( , , , , ) Ba b c d e (el vector de coordenadas de (a,b,c,d,e) en la base ordenada B). 3-) Sea { }1,..., nB e e= , donde ie tiene un 1 en el i-simo componente y 0 en los dems, la base ordenada cannica en IRn. Obtenga [ ]1 2( , ,..., )n Bx x x . 4-) Sea ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1, 1, 1 , 1,1, 1,0 , 1,1,0,0 , 1,0,0,0B = una base ordenada en IR4. Obtenga [ ](1,4, 1,3) B . Solucin: Se escribe:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 1 2 1

1 2 3 4

1,4, 1,3 1,1, 1, 1 1,1, 1,0 1,1,0,0 1,0,0,01 , 4 , 1 , 3

3, 4, 3, 33

4Luego, (1,4, 1,3)

33

B

c c c cc c c c c c c c c c

c c c c

= + + +

= + + + = + + = =

= = = =

=

5-) Sea ( ) ( ){ }1,1 , 2, 1B = una base ordenada en IR2. Obtenga [ ]( , ) Bx y . Solucin: Se escribe: ( )

[ ]

1 2 1 2 1 2

23

1 23

, (1,1) (2, 1) 2

2 ( , )3 3

x y

B x y

x y c c x c c y c c

x y x yc c x y+

= + = + =

+ = = =

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6-) Demuestre que para { }2 21

1, 1,3 , se cumple que 5 2 52

BB x x x x

= + + =

.

7-) Demuestre que si V es un espacio vectorial y B es una base ordenada de V, entonces para todo v y para toda w en V se tiene que

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ],

, B B B

B B

v w v w

y para toda k IR kv k v

+ = +

=

8-) Sea V un espacio vectorial de dimensin n y sean

{ } { }1 2 1 2, ,..., ' ', ',... 'n nB v v v y B v v v= = dos bases ordenadas de V. 8.1- Escriba el elemento vj de la base B como una combinacin lineal de los elementos de la base B.

Solucin: 1

'n

j ij ii

v a v=

= 8.2- Para 1 1 2 2 ... n nw c v c v c v= + + + , escriba w como una combinacin lineal de los elementos de B. Solucin:

1 1 2 21 1 1 1 1 1 1

1 1 2 21 1 1 1 1

' ' ... ' ' '

' ' ' ... '

n n n n n n n

i i i i n in i j ij i ij j ii i i j i j i

n n n n n

ij j i j j j j nj j ni j j j j

w c a v c a v c a v c a v a c v

a c v a c v a c v a c v

= = = = = = =

= = = = =

= + + + = = =

= + + +

8-3 Determine [ ] 'Bw Solucin:

[ ]

11

11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 21

'

1 1 2 2

1

......

...

n

j jj

n nn

j j n nj

B

n n nn nn

nj jj

a c

a c a c a ca c a c a c a c

w

a c a c a ca c

=

=

=

+ + + + + + = = + + +

MM 8-4 Determine la matriz A de grado n tal que [ ] [ ]'B Bw A w= . Dicha matriz recibe el nombre de matriz de transicin o de cambio de base de la base B la base B.

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9-) Sean ( ){ } ( ){ }1,1,1 ,(1,1,0),(1,0,0) y 1,0,0 ,(0,1,0), (0,0,1)B B= = dos bases ordenadas de IR3. Obtenga la matriz A de transicin de la base B a la base B. Solucin:

1 1 11 1 01 0 0

A =

10-) Con los datos del ejercicio anterior, verifique que la matriz de transicin de la base B a la base B es A-1. Solucin:

1

0 0 10 1 11 1 0

A =

11-) Para las bases ordenadas { } { }2 2, 1,2 y ' 1, ,B x x x B x x= = , de P2. Verifique que la matriz de transicin de la base B a la base B es la inversa de la matriz de transicin de la base B a la base B. Solucin:

En efecto, la matriz 1 1 12 2 2

0 1 2 0 0 11 1 0 es la inversa de la matriz 0 1 1

1 0 0