capitulo 2 sistemas de ecuaciones lineales
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GHO SEL - MA33A 1
Mtodos Numricos para Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Gonzalo Hernndez Oliva
Clculo Numrico MA-33A
Universidad de ChileDepartamento de Ingeniera Matemtica
-
GHO SEL - MA33A 2
MN para SEL: Temario1) Motivacin Aplicaciones SEL:
a) Interpolacin Polinomialb) Mnimos Cuadradosc) Mtodo Simplex Optimizacin Lineal
2) Definiciones y Resultados Bsicos
3) Mtodos de Pivoteo (Directos) para SEL: Gauss y Gauss-Jordan
4) Anlisis de Error del Mtodo de Gauss
-
GHO SEL - MA33A 3
5) Matriz Inversa y Determinante
6) Factorizacin de Matrices
7) Mtodos Iterativos para SEL a) Mtodo de Jacobi y Gauss-Seidelb) Mtodo de Relajacin SOR y Gradiente
Conjugadoc) Anlisis de Error de los Mtodos Iterativosd) Mtodos para Vectores y Valores Propios
MN para SEL: Temario
-
GHO SEL - MA33A 4
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 1: Interpolacin Polinomial
Dados (n+1) puntosEncontrar un polinomio de grado n tal que:
( ) 1,..., 1i ip x y i n= = +
xi
yip(x)
xx
x
xxx
x
x
x
0( )
nk
i i k ik
y p x a x=
= = ( , )i ix y
-
GHO SEL - MA33A 5
1 x1 x12 x1n1 x2 x22 x2n1 x3 x32 x3n 1 xn1 xn12 xn1n
a0a1a2an
y1y2y3yn1
0
( ) 1,..., ( 1)
( )
i in
ki i k i
k
y p x i n
y p x a x=
= = += =
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 1: Interpolacin Polinomial
-
GHO SEL - MA33A 6
xi
yi
Dados n puntos (xi , yi )Encontrar la recta que mejor los representa:
Nube de puntos con tendencialineal
[ ]0 1
20 1, 1
min ( )n
k kky x = +
0 1k ky x = +
++ +++ +
+ + ++ ++++
+
++++ +++
+
+++ +
++
++
+ +
+
++
++
++++++
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 2: Mnimos Cuadrados
-
GHO SEL - MA33A 7
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 2: Mnimos Cuadrados
-
GHO SEL - MA33A 8
coefici
entes
Sea . Se quiere determinar un polinomio de grado n segn MCC:
Ecuaciones Normales:
[ , ]f a b( )np x
[ ]2( )
min ( ) ( )n
b
T np xa
f x p x dx =
a
b x0dx a
b x1dx a
b x2dx a
b xndx
a
bx1dx
a
bx2dx
a
bx3dx
a
bxn1dx
a
bxndx
a
bxn1dx
a
bxn2dx
a
bx2ndx
a0a1an
a
b x0 fxdxa
bx1 fxdx
a
bxnfxdx
1 1
1
i j i j
ijb ai j
+ + + += + +
Matriz tipo Hilbert !
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 2: Mnimos Cuadrados
-
GHO SEL - MA33A 9
Sea . Determinemos polinomio de grado 3 segn MC:
( ) sin( )f x x= 3( )p x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
sin(pi*x) v/s -1/20+103/25x-103/25x2
s
i
n
(
p
i
*
x
)
v
/
s
p
3
(
x
)
1 1/2 1/3 1/41/2 1/3 1/4 1/51/3 1/4 1/5 1/61/4 1/5 1/6 1/7
a0a1a2a3
2/1/
2 4/32 6/3
23( ) 4.12 4.12 0.05p x x x= +
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 2: Mnimos Cuadrados
-
GHO SEL - MA33A 10
( ) sin( )f x x=
( ) sin( )f x x=
5,6
0( ) kk i
kp x a x
==
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 2: Mnimos CuadradosEjemplo 1:
-
GHO SEL - MA33A 11
7
0( ) kk i
kp x a x
==
2( ) 1xf x
x= +
9
0( ) kk i
kp x a x
==
Ejemplo 2:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
y=x/(x2+1) 7th degree 9th degree
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 2: Mnimos Cuadrados
-
GHO SEL - MA33A 12
Regin Factible
min
0
n
t
xc x
Ax bx
\
0Ax bx
1
nT
k kk
c x c x=
=
x2
x1
z
Vrtices
MN para Sist. de Ecs. Lineales:1) Motivacin 3: Programacin Lineal
-
GHO SEL - MA33A 13
Resolver un sistema de n ecuaciones lineales y n incgnitas consiste en determinar los valores de las variables: x1 , x2 , ... , xn tales que, dados: A = (aij) y b = (bi) (i =1,...,n ; j =1,...,n) se satisfagan las ecuaciones: Ax = b
......
......
MN para Sist. de Ecs. Lineales:2) Defs. y Resultados Bsicos 1
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
n n nn n n
a a a x ba a a x b
a a a x b
=
""
# % # # #"
-
GHO SEL - MA33A 14
Todo SEL se puede resolver bien numricamente ? Sea A mn invertible y b m. Entonces
es posible demostrar que si se perturba A o b se tiene:
MN para Sist. de Ecs. Lineales:2) Defs. y Resultados Bsicos 2
(1)
(2)
1
1
x AA A
x x A
x bA A
x b
+
-
GHO SEL - MA33A 15
La norma de C mn se define segn:
Se define el nmero de condicionamiento* de A segn:
Se tiene que: cond (A) 1.
11,..., 1,...,1 1 1max max ,...,
n n n
ij j nji n i nj j jC c c c = == = =
= =
MN para Sist. de Ecs. Lineales:2) Defs. y Resultados Bsicos 3
1( )cond A A A =
*Revisar clculo del cond(A) en Matlab
-
GHO SEL - MA33A 16
Veamos un ejemplo:0.550 0.423 0.127 1
0.484 0.372 0.112 -1
0.550 0.423 0.127 -0.4536
0.48 3 0.372 0.112 0.89
Se tiene: cond(A) = 0.9737833.3 = 7621.8 !!! El sistema es mejor condicionado si se tiene
que cond (A) esta cerca de 1 (Mat. de Hilbert)
A =
A+A =
b = x =
b = x =
MN para Sist. de Ecs. Lineales:2) Defs. y Resultados Bsicos 4
-
GHO SEL - MA33A 17
Sin Anulacin de Pivote: Parte 1: Eliminacin de variables
bajo la diagonal en las ecuaciones mediante operaciones elementales:Multiplicar una ecuacin por un real Sumar dos ecuaciones
Se entonces producen ceros bajo la diagonal. Parte 2: Sustitucin backward de las variables
en las ecuaciones
MN para Sist. de Ecs. Lineales3) Mtodo de Gauss 1
-
GHO SEL - MA33A 18
Sustitucin Backwards:
MN para Sist. de Ecs. Lineales3) Mtodo de Gauss 2
( 1)
( 1)1
1 ( 1), ...,1
n nn
nn
n
k k n kj jj kkk
ux
u
x u u x k nu
+
+= +
= = =
Veamos un ejemplo.
-
GHO SEL - MA33A 19
En la iteracin k de la primera etapa del mtodo de Gauss es posible que el pivote akii (elementos de la diagonal de la ecuacin i) se anule. En este caso se permuta la ecuacin i con la ecuacin m de mayor pivote en mdulo (pivoteo parcial):
| akmi | | akji | para todo j = i+1,,n Investigue la estrategia de pivoteo completo
...
MN para Sist. de Ecs. Lineales:3) Mtodo de Gauss 3Estrategias de Pivoteo
-
GHO SEL - MA33A 20
Una medida de la eficiencia de un algoritmo es el tiempo que demora en ejecutarse, el cual es proporcional al nmero de operaciones aritmticas (ops)
Ops_Gauss(n) = i=1
n-1
(n - i)(2n - 2i + 6)
MN para Sist. de Ecs. Lineales:3) Mtodo de Gauss 4: # de Ops
, ,
Parte 1O(n3)
i=1
(2i - 1)n
+Parte 2O(n2)
-
GHO SEL - MA33A 21
El mtodo de Gauss Jordan consiste en aplicar 2 veces la primera parte del mtodo de Gauss, es decir: triangularizar superior e inferiormente la matriz A
Ops_G-J(n) = i=1
n-1
(n - i)(2n - 2i + 6)
MN para Sist. de Ecs. Lineales:3) Mtodo de Gauss - Jordan:
, , i=1
4i + nn-1
+
Parte 1
O(n3)
Parte 2
O(n2)
-
GHO SEL - MA33A 22
Es posible hacer un anlisis de propagacin de errores, que se obtienen al realizar las operaciones aritmticas de la primera y segunda etapa del mtodo de Gauss o Gauss Jordan Se demuestra que esta propagacin de
errores disminuye si se utiliza alguna tcnica de pivoteo (parcial o completo)
MN para Sist. de Ecs. Lineales:4) Anlisis de Error del M. de Gauss:
-
GHO SEL - MA33A 23
Matriz inversa A: Se aplica el mtodo de Gauss Jordan al SEL aumentado con las columnas de la matriz identidad
MN para Sist. de Ecs. Lineales:5) Matriz Inversa y Determinante 1:
a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann
1 0 00 1 0 0 0 1
-
GHO SEL - MA33A 24
El det(A) se puede definir recursivamente mediante la frmula de Laplace:
Frmula vlidapara cualquierfila i o columna j
Matriz Cofactor ij de ASe obtiene eliminandofila i y columna j
1det( ) ( 1) det( )
ni j
ij ijj
A a A+=
=
MN para Sist. de Ecs. Lineales:5) Matriz Inversa y Determinante 2:
-
GHO SEL - MA33A 25
Propiedades del Determinante:a) Si todos los coeficientes de una fila o
columna de A son ceros det(A) = 0b) Si dos o ms filas o columnas de A son
linealmente dependientes det(A) = 0c) Si se reemplaza la fila i (Fi) por la fila j (Fj)
donde i j entonces det(A) = -det(A)d) Si se reemplaza la fila i (Fi) por (Fi + Fj)
donde i j entonces det(A) = det(A)
MN para Sist. de Ecs. Lineales:5) Matriz Inversa y Determinante 3:
-
GHO SEL - MA33A 26
Propiedades del Determinante:e) Si A y B son dos matrices cuadradas de
igual tamao: det(AB) = det(A)det(B)f) det(At) = det(A)g) Si A es invertible: det(A-1) = 1/det(A)h) Si A es una matriz triangular inferior,
superior o diagonal:
1
det( )n
kkk
A a=
=
MN para Sist. de Ecs. Lineales:5) Matriz Inversa y Determinante 4:
-
GHO SEL - MA33A 27
Para calcular el det(A) se aplica el mtodo de Gauss y la descomposicin A = LU:
Efectivamente, si se puede triangularizar la matriz A, entonces:
PA = LU det(A) = det(PTLU)det(A) = det(PT)det(L)det(U) = det(PT)det(U)
1
det( )n
kkk
U u=
=
MN para Sist. de Ecs. Lineales:5) Matriz Inversa y Determinante 5:
-
GHO SEL - MA33A 28
Descomposicin A = LU (Alg. Gauss)
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Factorizacin de Matrices 1: A=LU
mnn-1
1
00
0m32m31
1mn2mn1
01m21
001
0
un-1n-1
u2n-1
u1n-1
00
unn00
u2nu220u1nu12u11
L UA = LU
-
GHO SEL - MA33A 29
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Factorizacin de Matrices 2: Crout Una matriz A cuadrada es tridiagonal si sus
coeficientes no nulos se ubican en las diagonales principal y secundarias
A
a 11 a12 0 0 0a 21 a22 a 23 0 00 a32 a 33 a34 00 0 a 43 a44 0 0 0 0 ann1 ann
-
GHO SEL - MA33A 30
Una matriz A cuadrada tridiagonal puede ser factorizada segn A=LU donde:l 11 0 0 0 0l 21 l22 0 0 00 l32 l 33 0 00 0 l 43 l44 0 0 0 0 l nn1 l nn
1 u 12 0 00 1 u23 00 0 1 0 u n1n0 0 0 1
L U
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Factorizacin de Matrices 3: Crout
-
GHO SEL - MA33A 31
Mtodo de Crout para matrices tridiagonales:l11 a11u12 a12l11
Paso 1:
Paso 2: Para i=2,,n-1
Paso 3:
l ii1 a ii1l ii a ii l ii1u i1i
u ii1 a ii1l iilnn1 ann1lnn ann lnn1u n1n
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Factorizacin de Matrices 4: Crout
-
GHO SEL - MA33A 32
Una matriz cuadrada A es definida positiva si y solo si: xtAx > 0 para todo x n
Teorema: Si A es definida positiva:a) det(A) 0b) akk > 0 para todo k=1,,n
c)
d)
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Fact. de Matrices 5: Cholesky
1 , 12
max max
( ) kj kkk j n k n
ij ii jj
a a
a a a i j
<
-
GHO SEL - MA33A 33
Teorema: A es definida positiva si y solo si los determinantes de las matrices cofactores principales son positivos: det(Akk) > 0 para todo k=1,,n.
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Fact. de Matrices 6: Cholesky
akkak1
a1ka11Akk =
Matriz cofactor principal k
-
GHO SEL - MA33A 34
Teorema: A es definida positiva si y solo si puede factorizarse como A = LLT donde L es una matriz triangular inferior con lii > 0 para todo i=1,,n.
En este caso para resolver un SEL Ax = b se debe aplicar la sustitucin forward -backward
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Fact. de Matrices 7: Cholesky
-
GHO SEL - MA33A 35
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Fact. de Matrices 8: Met. CholeskyPaso 1: l11 a 11
Paso 2: Para j=2,,n
Paso 3: Para i=2,,n-1 l ii aii k1
i1lik2
1/2
Para j=(i+1),,n l ji aji
k1
i1ljk l ik
lii
l j1 aj1 /l11
Paso 4: lnn ann k1
n1lnk2
1/2
-
GHO SEL - MA33A 36
Factorizacin QR:A = QRQ matriz ortogonal: QtQ = I (Gram-Schmidt)R = QtA
Factorizacin SVD:Anxm = USVt
Unxn , Vmxm matrices ortogonalesSnxm matriz valores singulares (raz v.p. At*A)
MN para Sist. de Ecs. Lineales:6) Fact. Matrices 9: Ortogonalizacin
-
GHO SEL - MA33A 37
Mtodos Iterativos:x(0) n
x(k+1) = F(x(k)) k 0Los mtodos para SEL son de la forma:
F(x(k)) = Bx(k) + h
donde B nn , h n
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 1:
-
GHO SEL - MA33A 38
En general se construyen B y h de la siguiente forma:Sean M y N nn tales que:M es invertible y A = M N Entonces:Ax = b Mx = Nx + b x = M-1Nx + M-1b
Esto sugiere definir:B = M -1N y h = M -1b
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 2:
-
GHO SEL - MA33A 39
Luego, si descomponemos A = (aij ) invertible segn:
A = diag(A) + low(A) + up(A)
Donde diag(A) , low(A) , up(A) nn se definen segn:
aij si i = jdiag(A)ij =
0 si i j
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 3:
-
GHO SEL - MA33A 40
aij si i > jlow(A)ij =
0 si i j aij si i < j
up(A)ij = 0 si i j
En base a estas definiciones se tienen los mtodos de Jacobi y Gauss - Seidel
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 4:
-
GHO SEL - MA33A 41
Jacobi: define M y N segn:M = diag(A)
N = -[low(A) + up(A)]
B = - diag(A)-1 [low(A) + up(A)]
h = diag(A)-1 b
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 5:
-
GHO SEL - MA33A 42
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 6: Si x(k) = (xi(k)) i = 1,,n es el vector de la
iteracin k del mtodo de Jacobi, entonces satisface la siguiente frmula iterativa:
( 1)
1( ) 1 , 1,2,3...
nk
ij j ijj ik
iii
a x b
x i n ka
=
+ = =
-
GHO SEL - MA33A 43
Gauss - Seidel: define M y N segnM = [diag(A) + low(A)] N = - up(A)
B = - [diag(A) + low(A)]-1 [up(A)]
h = [diag(A) + low(A)]-1 b
J y G-S convergen x0 si A es estrictamente diagonal dominante:
1, 1,...,nkk kjj j ka a k n= > =
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 7:
-
GHO SEL - MA33A 44
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 8: Si x(k) = (xi(k)) i = 1,,n es el vector de la
iteracin k del mtodo de Gauss-Seidel, satisface la siguiente frmula iterativa:
1( ) ( 1)
1 1( ) 1 ,
1,2,3...
i nk k
ij j ij j ij j ik
iii
a x a x bx i n
ak
= = +
+ = =
-
GHO SEL - MA33A 45
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 9: Si x(k) = (xi(k)) i = 1,,n es el vector de la
iteracin k del mtodo de SOR, satisface la siguiente frmula iterativa:
1( ) ( 1)
1 1( ) ( 1)(1 )
1 , 1,2,3...
i nk k
ij j ij j ij j ik k
i iii
a x a x bx x
ai n k
= = +
+ = + =
-
GHO SEL - MA33A 46
Para matrices tridiagonales y definidas positivas, el valor ptimo de est dado por la frmula:
Donde:
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 10:
21 1T
1
1
[ ( )] ( ( ) ( ))
[ ( ) ( )] ( )J
G
T Diag A Low A Up AT Diag A Low A Up A
= += +
-
GHO SEL - MA33A 47
Si A es definida positiva, el mtodo del gradiente conjugado est dado por:
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 11:
12min ( )n
t t
xq x x Ax x b Ax b
= =
\
0 0 0 0 0, ,nx g Ax b d g = = \
1k k k kx x d+ = +
Paso 0:
Paso 1:
Paso 2:
( )( )
k t kk
k t k
g dd Ad
=
-
GHO SEL - MA33A 48
1( )( )
k t kk
k t k
g Add Ad
+
=
Mtodo del gradiente conjugado:
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 12:
Paso 4:
1 1k k k kd g d+ += +Paso 5: Si no hay errores de redondeo el mtodo
del gradiente conjugado converge en a lo ms n iteraciones.
1 1k kg Ax b+ += Paso 3:
-
GHO SEL - MA33A 49
Anlisis de Error de los Mtodos Iterativos Es posible hacer un anlisis de propagacin
de errores que se obtienen al realizar las operaciones aritmticas de las iteraciones del mtodo de Jacobi y Gauss Seidel Si x(k) es la iteracin k de J o G-S y Ax = b:
cond(A)
( ) ( )1
k kx x b AxA A
x b
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 13:
-
GHO SEL - MA33A 50
Si A es una matriz cuadrada, el polinomio en definido por:
p() = det(A- I)es el polinomio caracterstico de A
El polinomio p es de grado n y tiene a lo ms n races distintas (complejas). Estas races de p se denominan valores propios de A.
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 14:
-
GHO SEL - MA33A 51
Definicin: El radio espectral de A: (A) se define como:
(A) = max | i |donde i es un valor propio de A
Proposicin: Si A es una matriz cuadrada:a) || A ||2 = (AtA)b) (A) || A ||
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 15:
i=1,,n
-
GHO SEL - MA33A 52
La relacin entre mtodos iterativos para SEL y valores propios la establece los siguientes resultados:
Proposicin: Si xk es la iteracin k de un mtodo iterativo para un SEL que tiene la forma:
xk+1 = Txk + c y Ax = bEntonces:
|| xk x || (T)k || x0 x || Para k
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 16:
-
GHO SEL - MA33A 53
MN para Sist. de Ecs. Lineales:7) Mtodos Iterativos para SEL 17:
Proposicin: Si xk es la iteracin k de un mtodo iterativo para un SEL que tiene la forma:
xk+1 = Txk + c y Ax = bEntonces: xk x ssi (T) < 1
Proposicin: Si los mtodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen se tiene que:
0 (TGS) < (TJ) < 1
-
GHO SEL - MA33A 54
Bibliografa
1) R. Burden & J. D. Faires, Anlisis Numrico, Sptima Edicin, ThomsonLearning, 2002.
2) J. Stoer & R. Burlisch, Introduction toNumerical Analysis, Second Edition, Springer, 1992.
3) G. Hernndez O.: Apuntes de Clculo Numrico 2007
/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False
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