cap
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Cap. 5Cap. 5
Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas de números realesde números reales
PrecálculoQuinta edición
Prof. Juan Serrano, MA
1© copywriter
Bosquejo
• Círculo unitario• Funciones trigonométricas de números reales• Gráficas trigonométricas• Más gráficas trigonométricas
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5.1 Círculo unitario
• En esta sección se estudian algunas propiedades del círculo unitario con radio 1 con centro en el origen.
• Círculo unitario
El conjunto de puntos a una distancia de 1 a partir del origen es un círculo de radio 1.
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© copywriter 4
CIRCULO UNITARIO
El círculo unitario es el que tiene un radio igual a 1 y su centro está en el origen de un plano xy. Su ecuació es:
122 =+ yx
1
1
-1
-1
0 x
y
• Ejemplo: Un punto en el círculo unitarioDemuestre que el punto está en el círculo unitario.
Solución:
P está en el círculo unitario.
© copywriter 5
3
6,
3
3P
19
6
9
3
3
6
3
322
=+=
+
• Ejemplo: Localización de un punto en el círculo unitario
El punto P está en el círculo unitario en IV. Encuentre su coordenada en y.
Solución: Puesto que el punto está en el círculo unitario, entonces;
© copywriter 6
y,
2
3
2
12
14
1
4
31
12
3
2
2
2
- y
y
y
y
=
±=
=−=
=+
CIRCULO UNITARIO
• Puntos sobre la circunferencia del círculo unitarioSuponga que t es un número real. Recorramos una distancia t a lo largo del círculo unitario, empezando en el punto (1, 0) y desplazándonos en sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positiva. Por otro lado si t es negativa, es a favor de las manecillas del reloj.
© copywriter 7
1
1
-1
-1
0 x
y
t > 0P(x, y)
1
1
-1
-1
0 x
y
t < 0
P(x, y)
Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t > 0. Punto P(x, y) sobre la circunferencia determinado por t < 0.
• Puntos sobre la circunferencia:
© copywriter 8
t = π/2 P(0, 1)
t = π
P(-1, 0)
t = 3π/2
P(0, -1)
t = 2π
P(1, 0)
• Determinación de los puntos sobre la circunferenciaCalcule el punto sobre la circunferencia del círculo unitario determinado por cada número real.
a) t = 3π b) t = - π c) t =
Solución:
a) El punto determinado por 3π: b) El punto determinado
por t = - π:
P(-1, 0)
© copywriter 9
2
π−
P(-1, 0)
© copywriter 10
t = - π/2
P(0, -1)
Determinación de los puntos sobre la circunferencia
c) t = 2
π−
Puntos Determinados por t
• Determinación de puntos sobre la circunferenciaCalcule el punto sobre la circunferencia determinada por cada número real dado t.
© copywriter 11
4 )
π−=ta
P(-1, 0)
Puntos sobre la circunferencia
4
3 )
π=tb
P(-1, 0)
Puntos sobre la circunferencia
6
5 )
π−=tc
P(-1, 0)
Puntos sobre la circunferencia
Uso de los números de referencia para los puntos sobre la circunferencia
Para determinar el punto P definido por cualquier valor de t, seguimos los pasos siguientes.
a) Encontrar el número de referencia.
b) Encontrar el punto sobre la circunferencia Q(a, b) definido por t.
c) El punto determinado por t es P(+ - a, + - b), donde los signos se eligen de acuerdo con el cuadrante en el cual está este puno sobre la circunferencia.
© copywriter 12
• Determinación de los números de referenciasEncuentre el número de referencia para cada valor de t:
© copywriter 13
48.080.52)
33
2)
44
72)
66
5
6
5)
≈−=
=−=
=−=
=−==
π
πππ
πππ
ππππ
td
tc
tb
ta
• Ejercicios 5.1:Página 406 y 407
© copywriter 14
5.2 Funciones trigonométricas de números reales• Ya estudiamos que una función es una regla que asigna a cada
número real otro número real.
Como las funciones trigométricas se pueden definir en términos del círculo unitario, en ocaciones se les llama funciones circulares.
© copywriter 15
DEFINICION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Sea t un número real y sea P(x, y) el punto del círculo unitario determinado por t. Definimos
sen t = y cos t = x tan t = y / x (x ≠ 0)
csc t = 1 / y (y ≠ 0) sec t = 1 / x (x ≠ 0) cot t = x / y (y ≠ 0)
Ejemplo:
Evaluación de las funciones trigonométricas
Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.
a) t = a) t = ππ/3/3
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=
=
=
3tan
3cos
3
π
π
πsen
2
3=y
2
1=x
3
21
23
==x
y =
=
=
3cot
3sec
3csc
π
π
π3
321 =y
21 =x
3
3
232
1==
y
x
Calcule las seis funciones trigonométricas de cada número real.
b) t = b) t = ππ/2/2
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=
=
=
=
2cot
2csc
2cos
2
π
π
π
πsen 1=y
0=x
11
11 ==y
01
0 ==y
x
Las funciones; tantan π π/2/2 y sec sec π π/2/2 no están definidas porque x = 0, aparece en el denominador.
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DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCION DOMINIO
sen, cos Todos los números reales
tan, sec Todos los números reales diferentes de π/2 + nπ para cualquier entero n.
cot, csc Todos los números reales que no sean nπ para cualquier entero n.
Se puede observar que algunas de las funciones trigonométricas no estándefinidas para ciertos números reales. Así que necesitamos determinar sus dominios.
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Valores de funciones trigonométricas
Para calcular otros valores de las funciones trigonométricas tenemos que determinar los signos. Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante que se encuentre. VEAMOS. VEAMOS:
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICASCUADRANTE FUNCIONES POSITIVAS FUNCIONES NEGATIVAS
I TODAS NINGUNA
II SEN, CSC COS, SEC, TAN, COT
III TAN, COT SEN, CSC, COS, SEC IV COS, SEC SEN, CSC, TAN, COT
TodasSeno
Tangente Coseno
Ejemplo:
Evaluación de las funciones trigonométricas
Determine cada uno de los valores.
© copywriter 20
⇒
=
−
=
4
19)
3tan)
3
2cos)
π
π
π
senc
b
a2
1
3cos −=−⇒⇒ π
referenciax
33
tan −=−⇒⇒ πreferencia
x
y
Como (19π/4) - 4π = 3π/4 los puntos determinados por 19π/4 y 3π/4 son iguales. El número de referencia para 3π/4 es π/4. Entonces:
2
2
44
3 =+=== ππsenseny
Puntos Determinados por t
• Para realizar en el salón:Pág. 416Pág. 416Calcule el valor exacto de la función trigonométrica en el número real dado.
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=
=
=
π
π
π
15 tan c)
14 cos b)
13 ) )21 sena
0sen
1213
==−
ππππ
10 cos
01414
==− ππ
0n ta
1415
==−
ππππ
Referencia es π
Referencia es 0
Referencia es π
Ejemplo:
Uso de la calculadora para evaluar funciones trigonométricas
© copywriter 22
=
=
≈
≈
98.0csc)
28 cot)
1.1 cos)
2.2 )
d
c
b
sena 808496.0
453596.0
553286.328tan
1 −≈
204098.198.0
1 ≈sen
Si notas los valores son de manera aproximada.
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PROPIEDADES DE LOS IMPARES
El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares; el coseno y la secante son funciones pares.
sen (- t) = - sen t sec (- t) = sec t = - y = - sen t = 1/x = sec t
cos (- t) = cos t cot (- t) = - cot t = x = cos t = 1/-y/x = - cot t
tan (- t) = - tan t csc (- t) = - csc t = - y/x = - tan t = 1/-y = - csc t
Ejemplo
Funciones trigonométricas pares e impares
Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares:
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=
−
=
−
4cos)
6)
π
π
b
sena parsen ⇒−=−2
1
6
π
par⇒=2
2
4cos
π
© copywriter 25
EjemploFunciones trigonométricas pares e impares
Solución: De acuerdo con las funciones pares e impares: Ejercicio 71, Pág. 417
xsenxxf )( )71 2=)(- )()( 2 xsenxxf −=
)(- )( 2 xsenxxf =xsenxxf )( 2−=
impar )()( xfxf −=csc (- t) = - csc t = 1/-y = - csc t
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IDENTIDADES FUNDAMENTALES
IDENTIDADES RECIPROCAS IDENTIDADES PITAGORICAS
tt
tt
sen tt
tan
1cot
cos
1sec
1csc
=
=
=
sen t
tt
t
sen tt
coscot
costan
=
=
tt
tt
ttsen
22
22
22
csccot1
sec1tan
1cos
=+
=+
=+
Por definición, cos t = x y sen t = y, donde x y y son las coordenadas de unP(x, y) en el círculo unitario. Puesto P(x, y) están sobre el círculo unitario, tenemos x2 + y2 = 1. Entonces:
tt
ción:Por defini
tt
tsen
tt
t
t
tsen
22
2
2
22
2
2
2
sec1tan
cos
11
cos
cos
1
cos
cos
cos
=+
=+
=+Por consiguiente si dividimos por sen2 t, (siempre que sen t ≠ 0) obtenemos:
tt
ción:Por defini
tsentsen
t
tsentsen
t
tsen
tsen
22
2
2
22
2
2
2
csccot1
1cos1
1cos
=+
=
+
=+
Ejemplo
Cálculo de todas las funciones trigonométricas a partir del valor de una.
Si cos t = 3/5 y t está en el cuadrante IV, calcule los valores de todas las funciones trigonométricas en t.
Solución: De acuerdo con las identidades pitágoricas tenemos.
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1cos ) 22 =+ ttsena
Este punto está en el cuadrante IV y sen t es negativo, entonces es -4/5.
15
32
2 =
+tsen
25
912 −=tsen
25
16
25
9
25
252 =−=tsen
5
4
5
4
25
16 −=±=±=tsen
© copywriter 28
Ahora podemos hallar las otras identidades recíprocas
1cos
tcos )22 =+ ttsen
b
1cos5
4 22
=+
− tt
25
161cos2 −=t
25
9
25
16
25
25cos2 =−=t
5
3
5
3
25
9cos =±=±=t
3
4
53
54
costan
tan t)
2
2
−=−
==t
tsent
c
4
5
5411
csc
tcsc )
2−=
−==
tsent
d
3
5
531
cos
1sec
tsec )
2===
tt
e
4
3
341
tan
1cot
cot t )
2−=
−==
tt
f
Ejemplo
Expresar una función trigonométrica en función de otra.
Escriba tan t en forma de cos t, donde t está en el cuadrante III.
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1cos
costérminostan )22 =+ ttsen
t de t en a
ttsen 22 cos1−=ttsen 2cos1 −±=
Como sen t es negativo en el cuadrante III, el signo negativo se aplica. Entonces:
t
t
t
tsent
cos
cos1
cos
tan
2−−==
Expresar una función trigonométrica en función de otra.
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Expresar una función trigonométrica en función de otra.
Pág. 417
tcos sen t, )531tcostsen 22 =+
t22 cos-1tsen =t2cos-1sen t ±=
t2cos-1sen t =
ttsent cos,sec )62 22 ⋅
( )tt
en 22
22 cos1cos
1tstsec −⋅=⋅
1cos
12
−=t
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Ejercicios 5.2:Pág. 416 y 417
Asignación para entregar:
Valor 10 ptsEjercicios 79, 80, 81, 82
5.3 Gráficas de funciones trigonométricas
Las gráficas de una función nos proporciona un mejor idea de su comportamiento. En esta sección estaremos graficando varias de estas funciones.
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PROPIEDADES PERIODICAS DEL SENO Y EL COSENO
Las funciones seno y coseno tienen periodo 2π;
sen (t + 2π) = sen t cos (t + 2π) = cos t
Significa que las funciones seno y coseno repiten sus valores en cualquier intervalo de longitud 2π. Tenga presente que sen t es la coordenada y del
P(x, y) en el círculo unitario determinado por el número real t.
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Gráficas
tseny =
π•
π2
•to
0
Para trazar la gráfica con mayor exactitud, determinamos otros pocos de valores de sen t y cos t. (Tabla). Se podrían determinar más valores con la ayuda de una calculadora.
© copywriter 34
Gráficas
tseny =
π•
π2
•0
π3
•π4
•π5
•
Periodo 2π
π•
π2
•0
π3
•π4
•π5
•
Periodo 2π
ty cos=
Calculadora
EjemploCurvas del coseno
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Trace la gráfica de cada función
xxfa cos2)() +=
ty cos=π•
π2
•0
π3
•π4
•π5
•
xy cos2 +=
La gráfica es la misma que la de coseno, pero se desplaza dos lugares hacíaarriba 2 unidades.
© copywriter 36
EjemploCurvas del coseno
Trace la gráfica de cada función
xxfb cos)() −=
π•
π2
•0
π3
•π4
•π5
•
Periodo 2π
ty cos=
ty cos−=
Graficas
© copywriter 37
EjemploOtras gráficas
La gráfica de y = 2 sen x, multiplicamos la ordenada por cada pun to por 2.
π•
π2
•0
xseny 2=
xseny =
xseny 2
1=
En general, para las funciones y = a sen x y y = a cos x el número Ι a I se llama amplitud y es el valor más grande que alcanzan estas funciones.
Ejemplos: se trazarán las gráficas con calculadora gráfica.
Determine la amplitud de y = -3 cos x.
Amplitud y periódo
a) y = 4 cos 3x b) y = - 2 sen ½ x
Una curva seno desplazada
y = 3 sen 2(x – π/4)
Una curva seno desplazada
y = ¾ cos(2x + 2π/3)
ver texto
© copywriter 38
Gráficas
• Ejercicios 5.3– Pág. 429 y 430
• 1 al 74
• 75, 76, 77, 78 (Para entregar. Valor 10pts. )
Con proceso, cada uno de ellos
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5.4 Más gráficas trigonométricas
• En esta sección se estudian las funciones tangentes, cotangente, secante y cosecante y transformaciones de estas funciones.
© copywriter 40
PROPIEDADES PERIODICAS
Las funciones tangente y cotangente tienen periodo en π: tan (x + π) = tan x cot (x + π) = cot x
Las funciones cosecante y secante tienen periodo en 2π: csc (x + 2π) = csc x sec (x + 2π) = sec x
Gráficas: tangente y cotangente
© copywriter 41
Asíntota Vertical
Asíntota Vertical
6
π4
π3
π
4.1
2
π2
π−
xy tan=
Gráficas
6
π4
π3
π
14.0
2
π
3
2π4
3π6
5π3
0
1
Asíntota Vertical
xy cot=
π
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Gráfica: periodo de y = csc xy = csc x
π22
π π2
3π
Asíntota Asíntota Vertical Vertical
Asíntota Asíntota Vertical Vertical
Gráficas
sen xy =
xy csc=
xy csc=sen x
x1
csc =
© copywriter 43
Gráfica: periodo de y = sec xy = sec x
π2
2
π π2
3π
Asíntota Asíntota Vertical Vertical
Asíntota Asíntota Vertical Vertical
xy cos=
xy sec= x
xcos
1sec = xy sec=
xy sec=
Gráficas
Ejercicios 5.4Pág. 441 – 442
Ejercicios de aplicación
55, 56
© copywriter 44
© copywriter 45
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