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UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS
MATEMATICA II
presentado por:
Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado
LAMBAYEQUE– PERU
2015
Dedicatoria
Para mis padres, Martha y Elıas; pa-
ra mi adorable esposa, Flor Angela
y para los mas grandes tesoros de mi
vida, mis hijas Alessandra Anghely
y Stefany Grace.
Introduccion
Antes de abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos
una pequena semblanza historica de la relacion entre el calculo diferencial y el integral.
Durante la segunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo
en la matematica de las magnitudes variables, al sentar las bases del calculo diferencial e
integral. “Este fue el verdadero comienzo del analisis, puesto que el objeto de este calculo
son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometrıa analıtica que
son las figuras geometricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa
cantidad inmensa de trabajo que habıan desarrollado hasta entonces muchos matematicos y
que se extendıa hasta los metodos de determinacion de areas y volumenes empleados por los
antiguos griegos”.
Aquı solo queremos llamar la atencion acerca de los orıgenes de este calculo, que fueron
principalmente los nuevos problemas de la mecanica y los viejos problemas de la geometrıa,
consistentes estos ultimos en la determinacion de tangentes a una curva dada y el calculo de
areas y volumenes. Estos problemas geometricos habıan sido ya estudiados por los antiguos
(basta mencionar a Arquımedes), y tambien por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del
siglo XV II. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relacion entre estos
dos tipos de problemas y la formulacion de un metodo general para resolverlos; tal fue la obra
de Newton y Leibniz.
Esta relacion, que permitio conectar los problemas de la mecanica con los de la geometrıa,
fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el metodo de coordenadas) de hacer
una representacion grafica de la dependencia de una variable respecto a la otra, o, en otras
palabras, de una funcion. Con la ayuda de esta representacion grafica es facil formular la
relacion antes mencionada entre los problemas de la mecanica y la geometrıa (relacion que
fue el origen del calculo diferencial e integral) y describir ası el contenido general de estos dos
tipos de calculo.
El calculo diferencial es, basicamente, un metodo para encontrar la velocidad de un movi-
miento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve
por “derivacion” y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la
curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el
instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t.
El calculo integral es en esencia un metodo para encontrar la distancia recorrida cuando se
i
ii Matematica II Walter Arriaga D.
conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la accion de una magnitud
variable. Evidentemente, este problema es recıproco del problema de calculo diferencial (el
problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por “integracion”. Resulta que el problema
de la integracion es en todo equivalente al de encontrar el area bajo la curva que representa
la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de
tiempo t1 a t2 es igual al area bajo la curva entre las rectas que corresponden en la grafica a
los valores t1 a t2.
Haciendo abstraccion de la formulacion mecanica de los problemas y operando con fun-
ciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los
problemas de calculo diferencial e integral en forma abstracta.
Fundamental para el calculo como para todo el desarrollo posterior del analisis, es el
concepto de lımite, que fue formulado algo mas tarde que los otros conceptos fundamentales
de variable y funcion. En los primeros dıas del analisis el papel que mas tarde desempenarıa el
lımite, corrio a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinitesimo. Los metodos para
el calculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivacion), y de
la distancia, conocida la velocidad (integracion), se basaban en la union del algebra con el
concepto de lımite. El analisis se origino por la aplicacion de estos conceptos y metodos a los
referidos problemas de la mecanica y la geometrıa (y tambien a otros problemas: por ejemplo,
los de maximos y mınimos). El analisis fue a su vez absolutamente necesario para el desarrollo
de la mecanica, en la formulacion de cuyas leyes ya se encontraban los conceptos analıticos
en forma latente. Por ejemplo la segunda Ley de Newton, tal como el la formulo, establece
que ”la variacion de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza actuante”(con mas
precision: el ritmo de variacion del impulso es proporcional a la fuerza). Por consiguiente, si
deseamos hacer uso de esta ley debemos estar en condiciones de definir el ritmo de variacion
de una variable, esto es, de derivarla. (Si establecemos la ley diciendo que la aceleracion es
proporcional a la fuerza, el problema es el mismo, porque la aceleracion es proporcional al
ritmo de variacion del impulso). Tambien esta perfectamente claro que, para establecer la ley
que rige un movimiento cuando la fuerza es variable (en otras palabras, cuando el movimiento
tiene lugar con aceleracion variable), es preciso resolver el problema inverso de encontrar una
magnitud dado su ritmo de variacion; en otras palabras, es preciso integrar. Ası, pues, se puede
decir que Newton se vio simplemente obligado a inventar la derivacion y la integracion con el
fin de poder desarrollar la mecanica”.
Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la
finalidad de mejorar su situacion. Empezo por observaciones, como hacemos hoy en dıa, y
siguio por la reunion de informacion y su aplicacion a la vida cotidiana.
La ciencia es hoy dıa algo mas compleja. Nuestra capacidad de observacion ha aumentado
enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten
ver diminutas partıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten
ver estrellas distantes en los lımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros
procesos de acopio de datos tambien se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de
Walter Arriaga D. Matematica II iii
medios muy rapidos para registrar informacion sino que, mediante el uso de calculadoras y
software, podemos recuperar la informacion en una fraccion de segundo. Sin embargo, mu-
chos de nosotros no tenemos todavıa la posibilidad de usar los ultimos inventos de la ciencia
moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van
a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los
cambios rapidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambien cambien a su compas los
conocimientos necesarios de matematica
Entre todas las disciplinas matematicas, la teorıa de las ecuaciones diferenciales es la
mas importante. Proporciona la explicacion de todas esas manifestaciones elementales de la
naturaleza que involucran al tiempo.
Esta obra es un intento para lograr que la ensenanza y el aprendizaje de la ciencia sean los
mas eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ensenar la Ciencia, esta publicacion
no pretende ser el non plus ultra de la ensenanza de la Matematica. Los profesores deben buscar
constantemente los mejores metodos para ellos mismos y para sus alumnos, ası como leer con
la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de
documento basico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han
especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ensenanza de esta
Ciencia.
Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educacion se centre en
crear las situaciones de aprendizaje mas eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este
texto esta destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenierıa como a docentes en ejercicio
ası como tambien a los futuros docentes de varios niveles academicos para que lo utilicen
en las situaciones mas diversas. Su finalidad es mejorar la ensenanza cotidiana de la ciencia
examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante.
Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas
de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formacion integral
de los estudiantes del presente siglo.
Se tiene siempre la esperanza de que una publicacion sea tan buena que haya demanda
de una segunda edicion. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones,
ası como anadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecera a
los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.
Notacion Simbolica
z N, conjunto de los numeros naturales.
z Z, conjunto de los numeros enteros.
z Z+, conjunto de los numeros enteros positivos.
z Z+0 , conjunto de los numeros enteros positivos incluyendo el cero.
z Z−, conjunto de los numeros enteros negativos.
z Z−0 , conjunto de los numeros enteros negativos incluyendo el cero.
z Z+i , conjunto de los numeros enteros impares positivos.
z Z+p , conjunto de los numeros enteros pares positivos.
z Q, conjunto de los numeros racionales.
z I, conjunto de los numeros irracionales.
z R, conjunto de los numeros reales.
v
Indice general
Prefacio I
Introduccion I
1. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. La antiderivada y la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6. Metodos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.1. Integracion por sustitucion o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.2. Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.3. Integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto . 10
1.6.4. Integracion de funciones trigonometricas e hiperbolicas . . . . . . . . . . 11
1.6.5. Integracion por sustitucion trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.6. Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.7. Integracion de funciones racionales trigonometricas . . . . . . . . . . . . 17
1.6.8. Integracion de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. LA INTEGRAL DEFINIDA 49
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3. Area de una region plana por sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1. Area bajo una curva a traves de sumas superiores e inferiores . . . . . . 52
2.4.2. Sumas superiores y sumas inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3. Integrales superiores e integrales inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.4. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5. Teoremas fundamentales del calculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6. Metodos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
vii
viii Matematica II Walter Arriaga D.
3. INTEGRALES IMPROPIAS 65
4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 67
4.1. Area de una region plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1. Area de una region plana en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . 67
4.1.2. Area de una region plana en coordenadas polares y ecuaciones pa-
rametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Volumen de un solido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.1. Volumen de un solido usando secciones transversales . . . . . . . . . . . 71
4.2.2. Volumen de un solido de revolucion en coordenadas cartesianas . . . . . 73
4.2.3. Volumen de un solido en coordenadas polares y ecuaciones parametricas 81
4.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1. Longitud de arco en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.2. Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones parametricas . . 82
4.4. Area de una superficie de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.1. Area de una superficie de revolucion en coordenadas cartesianas . . . . 82
4.4.2. Area de una superficie de revolucion en coordenadas polares y ecuaciones
parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5. Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Bibliografıa 91
Indice de Materias 93
1
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Objetivos
z Interpretar geometricamente la integral indefinida.
z Aplicar las propiedades de la integral indefinida de una funcion real de variable real.
z Aplicar las tecnicas de integracion para la solucion de las integrales indefinidas.
1.1. Introduccion
En la presencia de fenomenos de cambio o movimiento, es a veces mas viable conocer o
deducir la ley de cambio a la que obedece la variacion relativa de las variables involucradas,
que la funcion misma entre esas variables. Es decir, a veces se conoce la derivada de la funcion
o relaciones que satisfacen las derivadas, pero no se conoce la funcion misma. Por ejemplo,
en el caso del movimiento de un automovil, es a menudo mas facil estimar la velocidad o la
aceleracion durante un cierto intervalo de tiempo, que la funcion de posicion del vehıculo en
cada instante. Una idea de la velocidad se puede tener, por ejemplo, observando el velocımetro
desde dentro del mismo vehıculo. Algo similar se tiene en el caso del movimiento que muestran
los cuerpos ante la presencia de una fuerza externa y que se manifiesta, segun las leyes del
movimiento de Newton, en terminos de variaciones de la velocidad del cuerpo con respecto al
tiempo en forma proporcional a la magnitud y direccion de la fuerza actuante. En este caso,
el problema consiste en deducir la posicion del cuerpo con respecto al tiempo a partir del
comportamiento de su segunda derivada. Al problema de determinar la forma y los valores de
una funcion a partir del conocimiento de su derivada o de una ecuacion que involucra a sus
derivadas se le llama problema de integracion y es el problema fundamental de la teorıa de las
ecuaciones diferenciales. En este sentido, el problema de integracion es el problema inverso al
de derivacion o de calculo de derivadas. En este capıtulo se inicia el estudio de los problemas de
integracion a partir del concepto de integral indefinida y se muestra como las distintas reglas
1
2 Matematica II Walter Arriaga D.
de derivacion dan lugar a metodos de integracion que permiten resolver problemas como los
arriba citados.
1.2. Un poco de historia
El calculo integral tiene sus orıgenes en problemas de cuadraturas en los que se trataba
de calcular areas de regiones planas limitadas por una o varias curvas. Se atribuye a Eudoxo
(ca. 370 A.C.) la invencion del metodo de exhaucion, una tecnica para calcular el area de una
region aproximandola por una sucesion de polıgonos de forma que en cada paso se mejora
la aproximacion anterior. Arquımides (287–212 A.C.) perfecciono este metodo y, entre otros
resultados, calculo el area de un segmento de parabola y el volumen de un segmento de
paraboloide, ası como el area y el volumen de una esfera.
Sorprende que, siendo tan antiguos sus orıgenes, la primera definicion matematica de in-
tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy (1789–1857). Una posible
explicacion es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integracion fue considerada como la
operacion inversa de la derivacion; el calculo integral consistıa esencialmente en el calculo
de primitivas. Naturalmente, se conocıa la utilidad de las integrales para calcular areas y
volumenes, pero los matematicos de la epoca consideraban estas nociones como dadas de for-
ma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significacion matematica. Los trabajos
de Joseph Fourier (1768–1830) sobre representacion de funciones por series trigonometricas
hicieron que el concepto de funcion evolucionara, desde la idea restrictiva de funcion como
formula, hasta la definicion moderna de funcion dada por Dirichlet en 1837. Para entender
el significado de la integral de estas nuevas funciones mas generales se vio la necesidad de
precisar matematicamente los conceptos de area y de volumen.
La originalidad de Cauchy es que unio dos ideas, la de lımite y la de area, para dar una
definicion matematica de integral. Poco despues Georg F.B. Riemann (1826–1866) generalizo la
definicion de integral dada por Cauchy. La teorıa de la integral de Riemann fue un avance
importante pero, desde un punto de vista matematico, insuficiente. Hubo que esperar hasta el
siglo XX para que Henri Lebesgue (1875–1941) estableciera en su libro Lecons sur l’integration
et la recherche des fonctions primitives (1904) los fundamentos de una teorıa matematicamente
satisfactoria de la integracion.
La integracion es una de las herramientas mas versatiles del Calculo, sus aplicaciones no
se limitan a calcular areas de regiones planas o volumenes de solidos, tambien se utiliza para
calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, areas de superficies,
para representar magnitudes fısicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presion, o la
energıa potencial en un campo de fuerzas.
En este curso vamos a estudiar la integracion desde un punto de vista esencialmente practi-
Walter Arriaga D. Matematica II 3
co. Nos interesa la integral como herramienta de calculo y para ese proposito es suficiente la
integral de Riemann.
1.3. La antiderivada y la integral indefinida
En el calculo diferencial, nos hemos interesado principalmente por este problema: dada
una funcion, hallar su derivada. No obstante, muchas aplicaciones importantes del calculo
estan relacionadas con el problema inverso: dada la derivada de una funcion, hallar la funcion
original.
Otro punto que merece ser aclarado es el siguiente. Cuando hablamos de resolver la integral
para una funcion f , lo que se esta pidiendo en realidad es hallar una primitiva F para f que se
exprese en terminos de funciones elementales (composiciones finitas de funciones aritmeticas,
trigonometricas, logarıtmicas, exponenciales, radicales y otras de igual estilo). El que esto sea
posible no esta garantizado por ningun teorema para funciones continuas y, mas aun, se ha
demostrado que existen funciones continuas elementales que no admiten primitivas en terminos
elementales; por ejemplo, la funcion f(x) = e−x2
. Estas razones establecen la filosofıa directriz
de los metodos de integracion: se clasifican las funciones conocidas que admiten primitivas
elementales en clases segun un patron general que sabemos resolver mediante una operacion
especıfica; cualquier otra funcion que no presente las caracterısticas de los elementos de alguna
de las clases establecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de estas mediante
un numero finito de manipulaciones. Pero, por lo antes dicho, el exito de este procedimiento no
esta garantizado y depende en gran medida de la destreza que solo se adquiere con la practica.
En este sentido integrar es un arte.
Definicion 1.3.1. Sea I un intervalo y sea f : I −→ R una funcion contınua. Se denomina
primitiva o antiderivada de f en I a la funcion definida F : I −→ R, tal que F ′(x) = f(x),
para todo x ∈ I, y se denota por: F (x) = Ant(f(x)).
Ejemplo 1.3.1. La funcion F (x) = x3 es una antiderivada de la funcion f(x) = 3x2 en R,
pues: F ′(x) = 3x2 = f(x), ∀x ∈ R. Se dice entonces que f es la derivada de F y que F es una
antiderivada de f .
Sin embargo, la funcion G(x) = x3+2 es tambien una antiderivada de la funcion f(x) = 3x2
en R, puesto que: G′(x) =d
dx(3x2 + 2) = 3x2 = f(x), ∀x ∈ R
En general, si F (x) es una antiderivada de f(x) en I, entonces F (x) + C tambien es una
antiderivada de la funcion f(x) en I, para cualquier constante C.
Teorema 1.3.1. Si F y G son dos funciones tales que F ′(x) = G′(x) para todos los valors de
x en el intervalo I, entonces existe una copnstante K tal que F (x) = G(x) + C, para todas
las x en I.
4 Matematica II Walter Arriaga D.
Demostracion. Sea H la funcion definida en I por H(x) = F (x)−G(x)
de tal manera que, para todos los valores de x en I, H ′(x) = F ′(x)−G′(x)
pero por hipotesis, F ′(x) = G′(x), por lo tanto, H ′(x) = 0, ∀x ∈ I
Ası el teorema del valor medio se aplica a la funcion H, y existe una constante C tal que
H(x) = C, ∀x ∈ I
Sustituyendo H(x) por F (x)−G(x) tenemos que F (x) = G(x) + C, ∀x ∈ I.
Definicion 1.3.2. Si F (x) es una antiderivada de f(x) en I, la integral indefinida de f(x) es
el conjunto de antiderivadas de f(x) en dicho intervalo y se denota por:
∫
f(x)dx, es decir:
∫
f(x)dx =
F (x) + C, C ∈ R
(1.1)
donde:∫
= signo integral.
f(x) = funcion integrando.
dx = diferencial de x.
F (x) = antiderivada.
C = constante de integracion.
Como consecuencia de la definicion se tiene que:d
dx
∫
f(x)dx = f(x).
Notacion
Isaac Newton usaba una pequena barra vertical encima de una variable para indicar inte-
gracion, o ponıa la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundıa facilmente con
x o x′ que Newton usaba para indicar la derivacion, y ademas la notacion “caja” era difıcil de
reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.
La notacion moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en
1675. Para indicar summa (en latın, “suma” o “total”), adapto el sımbolo integral,∫, a partir
de una letra S alargada. La notacion moderna de la integral definida, con los lımites arriba y
abajo del signo integral, la uso por primera vez Joseph Fourier en Memoires de la Academia
Francesa, alrededor de 1819 a 1820, reimpresa en su libro de 1822. En la notacion matematica
en arabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido.
1.4. Propiedades de la integral indefinida
Si f y g son funciones que admiten antiderivadas en I, entonces:
a)
∫
[kf(x)]dx = k
∫
f(x)dx, k = constante.
Walter Arriaga D. Matematica II 5
b)
∫
[f(x)± g(x)]dx =
∫
f(x)dx±∫
g(x)dx
c)
∫[
n∑
i=1
kifi(x)
]
dx =n∑
i=1
[
ki
∫
fi(x)dx
]
, mas precisamente:
∫
[k1f1(x)+k2f2(x)+ · · ·+knfn(x)]dx = k1
∫
f1(x)dx+k2
∫
f2(x)dx+ · · ·+kn
∫
fn(x)dx
Teorema 1.4.1. Si
∫
f(u)du = F (u) + C, entonces
∫
f [g(x)]g′(x)dx = F [g(x)] +C
Demostracion. como F ′(u) = f(u), entonces:∫
f [g(x)]g′(x)dx =
∫
F ′[g(x)]g′(x)dx
=
∫
dF [g(x)]
= F [g(x)] + C
por lo tanto ∫
f [g(x)]g′(x)dx = F [g(x)] + C
Nota: Haciendo u = u(x) = g(x) se tiene que:∫
f [u(x)]u′(x)dx =
∫
f(u)du
este es el cambio de variable en una integral indefinida.
1.5. Integrales inmediatas
De la derivacion de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales lla-
madas inmediatas.
FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION
1.
∫
du = u+ c
2.
∫du
u= ln |u|+ c
3.
∫
undu =un+1
n+ 1+ c, n 6= −1
4.
∫
eudu = eu + c
5.
∫
au =au
ln a+ c
6 Matematica II Walter Arriaga D.
6.
∫
senudu = − cos u+ c
7.
∫
cos udu = senu+ c
8.
∫
tanudu = ln | sec u|+ c
9.
∫
cot udu = ln | senu|+ c
10.
∫
sec udu = ln | sec u+ tan u|+ c
11.
∫
csc udu = ln | csc u− cot u|+ c
12.
∫
sec2 udu = tanu+ c
13.
∫
csc2 udu = − cot u+ c
14.
∫
sec u tanudu = sec u+ c
15.
∫
csc u cot udu = − cscu+ c
16.
∫
senhudu = coshu+ c
17.
∫
coshudu = senhu+ c
18.
∫
tanhudu = ln | cosh u|+ c
19.
∫
coth udu = ln | senhu|+ c
20.
∫
sechudu = arctan(senhu) + c
21.
∫
cschudu = ln
(
tanh
(x
2
))
+ c
22.
∫
sech2udu = tanhu+ c
23.
∫
csch2udu = − coth u+ c
24.
∫
sechu tanh udu = −sechu+ c
Walter Arriaga D. Matematica II 7
25.
∫
cschu coth udu = −cschu+ c
26.
∫du
a2 + u2=
1
aarctan
u
a+ c, (a > 0)
27.
∫du
u2 − a2=
1
2aln
∣∣∣∣
u− a
u+ a
∣∣∣∣+ c, (a > 0)
28.
∫du
a2 − u2=
1
2aln
∣∣∣∣
u+ a
u− a
∣∣∣∣+ c, (a > 0)
29.
∫du√
a2 − u2= arcsen
u
a+ c, (a > 0)
30.
∫du√
u2 ± a2= ln |u+
√
u2 ± a2|+ c
31.
∫du
u√u2 − a2
=1
aarcsec
|u|a
+ c, (a > 0)
32.
∫√
a2 − u2 =1
2
[
u√
a2 − u2 + a2arcsenu
a
]
+ c, (a > 0)
33.
∫√
u2 + a2 =1
2
[
u√
u2 + a2 + a2 ln(u+√
u2 + a2 )
]
+ c
34.
∫√
u2 − a2 =1
2
[
u√
u2 − a2 − a2 ln |u+√
u2 − a2 |]
+ c
1.6. Metodos de integracion
Dado que los procesos de derivacion y de calculo de la integral indefinida son operaciones
inversas, cada regla o formula de derivacion da lugar a una regla o metodo para el calculo de
la integral indefinida de funciones continuas. A estos metodos se les conoce como metodos de
integracion.
En matematicas resulta de gran importancia desarrollar metodos para evaluar integrales,
pues, en general, no es posible aplicar uno que conduzca con seguridad a un resultado. Sin
embargo, los presentados en este capıtulo pueden considerarse simples mecanizaciones para
hallar primitivas de funciones, mismas que permiten, a traves del segundo teorema fundamental
del calculo, evaluar ciertas integrales definidas.
Todos los metodos de integracion tienen por objetivo transformar una integral dada, no
inmediata, en otra, suma de varias, cuyo calculo resulte mas sencillo.
1.6.1. Integracion por sustitucion o cambio de variable
La regla de la cadena o de derivacion de una composicion de funciones da lugar al metodo
de integracion por sustitucion, que a continuacion presentamos.
8 Matematica II Walter Arriaga D.
Dada la funcion f : I −→ R, queremos calcular
∫
f(x)dx.
Supongamos que se hace un cambio de variable en el elemento de integracion, haciendo:
x = ϕ(t), con ϕ : J −→ I una funcion con derivada ϕ′(t) 6= 0, ∀t ∈ J .
Si la funcion g(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t), t ∈ J admite una primitiva G en J , esto es G′(t) = g(t) =
f(ϕ(t))ϕ′(t), ∀t ∈ J , entonces se tiene∫
f(x)dx =
∫
f(ϕ(t))ϕ′(t)dt (1.2)
Para usar esta tecnica seguiremos los siguientes pasos:
Insertar la letra u que representa alguna funcion de x, la cual se escoge apropiadamente
para simplificar la integral.
Expresar la integral en terminos de u y el dx en terminos del du.
Calcular la integral resultante y luego reemplazar u por su expresion en terminos de x
en la respuesta.
En todos los ejemplos que veremos a continuacion, trataremos de reducir el grado de difi-
cultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante
sea mas facil de integrar o que sea una integral conocida. Para que la formula de cambio de
variable tenga posibilidades de exito, debemos identificar en el integrando a una funcion u y
a u′, su derivada.
1.6.2. Integracion por partes
La formula de Leibniz para la derivacion de un producto de funciones da lugar al llamado
metodo de integracion por partes1, que presentamos a continuacion.
Sean u = u(x) y v = v(x) dos funciones definidas y derivables en el intervalo I.
Por la regla de la derivacion del producto se tiene: d(uv) = udv + vdu, de donde
udv = d(uv) − vdu, e integrando miembro a miembro se tiene:∫
udv = uv −∫
vdu (1.3)
uv
−∫vdu
du
u
del integrandoUna parte Parte restante
con el diferencial
dv
v
Derivan
do
Integran
do
1Este metodo fue desarrollado por Brook Taylor.
Walter Arriaga D. Matematica II 9
En este metodo u y dv deben ser elegidos de tal forma que la nueva integral que aparezca∫
vdu sea mas asequible que la de partida2.
Observacion 1.6.1.
Cuando la integral del lado derecho es mas difıcil de calcular que la integral original, se
debe a la eleccion no apropiada del u y del dv. Por esta razon, el exito que se tenga en
la aplicacion del metodo estriba fundamentalmente en la habilidad que se tenga para la
eleccion de los factores u y dv, habilidad que se adquiere con la practica.
Algunas veces, al aplicar el metodo para calcular la integral
∫
udv, y despues de algu-
nas manipulaciones algebraicas, aparece en el lado derecho de la igualdad la expresion
k
∫
udv, transformandose la integral en una ecuacion de la forma:
∫
udv = H(x) + k
∫
udv
Si k = 1, la ecuacion es una identidad (H(x) ≡ 0) y, por tanto, se debe ensayar otra
eleccion del u y del dv, ya que la eleccion inicial no es la apropiada.
Si k 6= 1, se tiene: ∫
udv =1
1− kH(x) + c
lo cual proporciona la solucion a la integral.
En algunos casos el metodo de integracion por partes es iterativo, esto es, algunas ve-
ces, para calcular la segunda integral
∫
vdu, es necesario aplicar nuevamente el mismo
metodo.
Cuando se determina la funcion v, a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar
la constante de integracion, pues si en lugar de v se considera v+C, C constante, entonces∫
udv = u(v + C)−∫
(v + C)du = uv −∫
vdu
esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final.
Al menos inicialmente, algunas integrales no presentan muchas opciones en la eleccion
del u y del dv. Los siguientes ejemplos ilustran la eleccion unica que debe hacerse en
algunos casos particulares:
Integral u dv∫lnxdx lnx dx
∫Pn(x) ln xdx lnx Pn(x)dx
∫Pn(x)e
xdx Pn(x) exdx∫Pn(x) sen xdx Pn(x) senxdx
∫Pn(x) cos xdx Pn(x) cos xdx
2algunos estudiantes utilizan para recordar la formula (1.3) la frase: “un dıa vi un viejo vestido de uniforme”
10 Matematica II Walter Arriaga D.
Podrıa usarse la siguiente estrategia para identificar el u y del dv:
I: Funcion trigonometrica inversa.
L: Funcion logarıtmica.
A: Funcion algebraica.
T: Funcion trigonometrica.
E: Funcion exponencial.
I L A T E
1.6.3. Integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado per-
fecto
En la integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto se presentan
4 casos:
I.
∫dx
px2 + qx+ r
II.
∫dx
√
px2 + qx+ r
III.
∫(ax+ b)dx
px2 + qx+ r
IV.
∫(ax+ b)dx
√
px2 + qx+ r
Para los casos (I) y (II), sera suficiente completar trinomios cuadrados perfectos y aplicar las
formulas correspondientes.
En los casos (III) y (IV), se expresa el numerador en funcion de la derivada del trinomio
px2 + qx+ r; esto es:
Haciendo u = px2 + qx+ r entonces du = 2px+ q, luego:
ax+ b =a
2p[(2px+ q)− q] + b
ax+ b =a
2p(2px+ q)− aq
2p+ b
De esta manera se obtiene:
∫(ax+ b)dx
px2 + qx+ r=
a
2p
∫(2px+ q)dx
px2 + qx+ r+
(
b− aq
2p
)∫dx
px2 + qx+ r︸ ︷︷ ︸
I1
=a
2pln |px2 + qx+ r|+
(
b− aq
2p
)
I1
Walter Arriaga D. Matematica II 11
tambien se obtiene:∫
(ax+ b)dx√
px2 + qx+ r=
a
2p
∫(2px+ q)dx√
px2 + qx+ r+
(
b− aq
2p
)∫dx
√
px2 + qx+ r︸ ︷︷ ︸
I2
=a
2p
√
px2 + qx+ r +
(
b− aq
2p
)
I2
Las integrales (I1) e (I2) se resuelven aplicando los casos (I) y (II) respectivamente.
1.6.4. Integracion de funciones trigonometricas e hiperbolicas
A continuacion veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonometri-
cas, que posteriormente se utilizaran en el metodo de sustitucion trigonometrica.
I. Integrales de la forma:
a)
∫
senm x cosn x dx
b)
∫
senhm x coshn x dx
Se presentan 3 casos:
Caso I: Cuando m ∈ Z+i y n ∈ R.
En (a) se separa el factor senx dx, luego se hace la sustitucion u = cos x, y se procede
a convertir los factores restantes en cosenos usando la identidad: sen2 x = 1−cos2 x.∫
sen2k+1 x cosn x dx =
∫
(sen2 x)k cosn x senx dx
=
∫
(1− cos2 x)k cosn x senx dx
En (b) se separa el factor senhx dx, luego se hace la sustitucion u = coshx, y se pro-
cede a convertir los factores restantes en cosenos hiperbolicos usando la identidad:
senh2 x = cosh2 x− 1.∫
senh2k+1 x coshn x dx =
∫
(senh2 x)k coshn x senhx dx
=
∫
(cosh2 x− 1)k coshn x senhx dx
Caso II: Cuando n ∈ Z+i y m ∈ R.
En (a) se separa el factor cos x dx, luego se hace la sustitucion u = senx, y se procede
a convertir los factores restantes en senos usando la identidad: cos2 x = 1− sen2 x.∫
senm x cos2k+1 x dx =
∫
senm x(cos2 x)k cos x dx
=
∫
senm x(1− sen2 x)k cos x dx
12 Matematica II Walter Arriaga D.
(b) se separa el factor coshx dx, luego se hace la sustitucion u = senhx, y se
procede a convertir los factores restantes en senos hiperbolicos usando la identidad:
cosh2 x = 1 + senh2 x.
∫
senhm x cosh2k+1 x dx =
∫
senhm x(cosh2 x)k cosx dx
=
∫
senhm x(1 + senh2 x)k coshx dx
Caso III: Cuando m y n son numeros enteros pares no negativos.
En (a) usaremos las identidades: sen2 x =1− cos 2x
2y cos2 x =
1 + cos 2x
2
En (b) usaremos las identidades: senh2 x =cosh 2x− 1
2y cosh2 x =
cosh 2x+ 1
2
II. Integrales de la forma:
a)
∫
tanm x secn x dx
b)
∫
cotm x cscn x dx
c)
∫
tanhm x sechnx dx
d)
∫
cothm x cschnx dx
Se presentan 2 casos:
Caso I: Cuando m ∈ Z+i y n ∈ R.
En (a) se separa el factor tan x sec x dx, luego se hace la sustitucion u = sec x,
y se procede a convertir los factores restantes en secantes usando la identidad:
tan2 x = sec2 x− 1.
∫
tan2k+1 x secn x dx =
∫
(tan2 x)k secn−1 x tan x sec x dx
=
∫
(sec2 x− 1)k secn−1 x tan x sec x dx
En (b) se separa el factor cot x csc x dx, luego se hace la sustitucion u = csc x,
y se procede a convertir los factores restantes en cosecantes usando la identidad:
cot2 x = csc2 x− 1.
∫
cot2k+1 x cscn x dx =
∫
(cot2 x)k cscn−1 x cot x csc x dx
=
∫
(csc2 x− 1)k cscn−1 x cot x csc x dx
Walter Arriaga D. Matematica II 13
En (c) se separa el factor tanhx sechx dx, luego se hace la sustitucion u = sechx,
y se procede a convertir los factores restantes en secantes hiperbolicos usando la
identidad: tanh2 x = 1− sech2x.
∫
tanh2k+1 x sechnx dx =
∫
(tanh2 x)k sechn−1x tanhx sechx dx
=
∫
(1− sech2x)k sechn−1x tanhx sechx dx
En (d) se separa el factor coth x cschx dx, luego se hace la sustitucion u = cschx,
y se procede a convertir los factores restantes en cosecantes hiperbolicos usando la
identidad: coth2 x = 1 + csch2x.
∫
coth2k+1 x cschnx dx =
∫
(coth2 x)k cschn−1x coth x cschx dx
=
∫
(1 + csch2x)k cschn−1x coth x cschx dx
Caso II: Cuando n ∈ Z+p y m ∈ R.
En (a) se separa el factor sec2 x dx, luego se hace la sustitucion u = tan x, y se
procede a convertir los factores restantes en tangentes usando la identidad: sec2 x =
1 + tan2 x.
∫
tanm x sec2k x dx =
∫
tanm x(sec2 x)k−1 sec2 x dx
=
∫
tanm x(1 + tan2 x)k−1 sec2 x dx
En (b) se separa el factor csc2 x dx, luego se hace la sustitucion u = cot x, y
se procede a convertir los factores restantes en cotangentes usando la identidad:
csc2 x = 1 + cot2 x.
∫
cotm x csc2k x dx =
∫
cotm x(csc2 x)k−1 csc2 x dx
=
∫
cotm x(1 + cot2 x)k−1 csc2 x dx
En (c) se separa el factor sech2x dx, luego se hace la sustitucion u = tanhx, y
se procede a convertir los factores restantes en tangentes hiperbolicos usando la
identidad: sech2x = 1− tanh2 x.
∫
tanhm x sech2kx dx =
∫
tanhm x( sech2x)k−1 sech2x dx
=
∫
tanhm x(1− tanh2 x)k−1 sech2x dx
14 Matematica II Walter Arriaga D.
En (d) se separa el factor csch2x dx, luego se hace la sustitucion u = coth x, y
se procede a convertir los factores restantes en cotangentes hiperbolicos usando la
identidad: csch2x = coth2 x− 1.
∫
cothm x csch2kx dx =
∫
cothm x( csch2x)k−1 csch2x dx
=
∫
cothm x(coth2 x− 1)k−1 csch2x dx
Observacion 1.6.2.
Si m ∈ Z+p y n = 0, se convierte un factor tan2 x en secantes, luego se desarrolla y
se repite el proceso si es necesario.
∫
tanm dx =
∫
tanm−2 x(tan2 x) dx
=
∫
tanm−2 x(sec2 x− 1) dx
=
∫
tanm−2 x(sec2 x) dx−∫
tanm−2 x dx
Si la integral es de la forma
∫
secn x dx, con n ∈ Z+i , se debe usar la integracion
por partes.
Si no se aplica ninguno de los cuatro casos anteriores, intentar convertir a senos y
cosenos.
III. Integrales de la forma:
a)
∫
sen(mx) cos(nx)dx
b)
∫
sen(mx) sen(nx)dx
c)
∫
cos(mx) cos(nx)dx
d)
∫
senh(mx) cosh(nx)dx
e)
∫
senh(mx) senh(nx)dx
f)
∫
cosh(mx) cosh(nx)dx
Para calcular este tipo de integrales usaremos las siguientes identidades:
sen(mx) cos(nx) =1
2[sen(mx− nx) + sen(mx+ nx)]
sen(mx) sen(nx) =1
2[cos(mx− nx)− cos(mx+ nx)]
Walter Arriaga D. Matematica II 15
cos(mx) cos(nx) =1
2[cos(mx− nx) + cos(mx+ nx)]
senh(mx) cosh(nx) =1
2[senh(mx+ nx) + senh(mx− nx)]
senh(mx) senh(nx) =1
2[cosh(mx+ nx)− cosh(mx− nx)]
cosh(mx) cosh(nx) =1
2[cosh(mx+ nx) + cosh(mx− nx)]
1.6.5. Integracion por sustitucion trigonometrica
Cuando el integrando contiene alguna de las siguientes expresiones: a2 − u2, u2 + a2,
u2 − a2,√a2 − u2,
√u2 + a2,
√u2 − a2, donde u es una funcion diferenciable y a es una
constante positiva, es posible realizar la integracion efectuando una sustitucion trigonometrica
adecuada, la cual transforma la integral inicial en una integral que generalmente contiene
funciones trigonometricas y cuya primitiva es conocida o puede encontrarse usando cualquiera
de los casos de la seccion anterior.
Ademas cualquier trinomio de la forma px2 + qx + r, completanto cuadrados, puede ser
expresado como: a2 − u2, u2 + a2 o u2 − a2. Segun esto suceden 3 casos:
Caso I: Si el trinomio px2 + qx + r se
expresa como a2 − u2, usaremos la sus-
titucion:
u = a sen θ
du = a cos θ dθ
y para regresar a la variable original se
usa el triangulo:
√a2 − u2
au
θ
donde a > 0 y sen θ = u/a
Caso II: Si el trinomio px2 + qx+ r se
expresa como u2 + a2, usaremos la sus-
titucion:
u = a tan θ
du = a sec2 θ dθ
y para regresar a la variable original se
usa el triangulo:
a
√u2 + a2 u
θ
donde a > 0 y tan θ = u/a
Caso III: Si el trinomio px2+ qx+ r se
expresa como u2 − a2, usaremos la sus-
titucion:
u = a sec θ
du = a sec θ tan θ dθ
16 Matematica II Walter Arriaga D.
y para regresar a la variable original se
usa el triangulo:
a
√u2 − a2
u
θ
donde a > 0 y sec θ = u/a
1.6.6. Integracion de funciones racionales
El objetivo de esta seccion es estudiar una importante tecnica de integracion con la cual se
pueden calcular integrales de la forma
∫
f(x)dx, siendo f(x) una funcion racional, es decir,
f(x) es el cociente de dos funciones polinomicas.
Supongase que se quiere calcular la integral de la forma:
∫
f(x)dx =
∫Pn(x)
Qm(x)dx =
∫anx
n + an−1xn−1 + · · · a1x+ a0
bmxm + bm−1xm−1 + · · · b1x+ b0dx
Se presentan entonces dos posibilidades:
1. La funcion racional dada f(x) es propia, es decir, cuando n < m (el grado del numerador
es menor que el grado del denominador de la fraccion).
Se presentan los siguientes casos:
Caso I: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos lineales y ninguno se
repite: Qm(x) = (a1x+ b1)(a2x+ b2) . . . (amx+ bm), entonces:
Pn(x)
Qm(x)=
A1
a1x+ b1+
A2
a2x+ b2+ · · ·+ Am
amx+ bm
luego:
∫Pn(x)
Qm(x)dx =
∫A1
a1x+ b1dx+
∫A2
a2x+ b2dx+ · · ·+
∫Am
amx+ bmdx
Caso II: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos lineales y se repiten:
Qm(x) = (ax+ b)m, entonces:
Pn(x)
Qm(x)=
A1
ax+ b+
A2
(ax+ b)2+ · · ·+ Am
(ax+ b)m
luego:
∫Pn(x)
Qm(x)dx =
∫A1
ax+ bdx+
∫A2
(ax+ b)2dx+ · · · +
∫Am
(ax+ b)mdx
Walter Arriaga D. Matematica II 17
Caso III: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos cuadraticos y ninguno
se repite: Qm(x) = (a1x2 + b1x+ c1)(a2x
2 + b2x+ c2) . . ., entonces:
Pn(x)
Qm(x)=
A1x+B1
a1x2 + b1x+ c1+
A2x+B2
a2x2 + b2x+ c2+ · · ·
luego:
∫Pn(x)
Qm(x)dx =
∫A1x+B1
a1x2 + b1x+ c1dx+
∫A2x+B2
a2x2 + b2x+ c2dx+ · · ·
Caso IV: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos cuadraticos y se repiten:
Qm(x) = (a1x2 + b1x+ c1)(a1x
2 + b1x+ c1) . . ., entonces:
Pn(x)
Qm(x)=
A1x+B1
a1x2 + b1x+ c1+
A2x+B2
(a1x2 + b1x+ c1)2+ · · ·
luego:
∫Pn(x)
Qm(x)dx =
∫A1x+B1
a1x2 + b1x+ c1dx+
∫A2x+B2
(a1x2 + b1x+ c1)2dx+ · · ·
2. La funcion racional dada f(x) es impropia, es decir, cuando n ≥ m (el grado del nume-
rador es mayor o igual que el grado del denominador).
En este caso el algoritmo de la division entre polinomios permite escribir:
f(x) =Pn(x)
Qm(x)= Cn−m(x) +
Rk(x)
Qm(x)
donde Cn−m(x) es un polinomio de grado n −m, y Rk(x) es un polinomio de grado k,
k < m.
De esta forma, la integral inicial se transforma en la suma de dos integrales: una de ellas,
la de una funcion polinomica, y la otra, la integral de una funcion racional propia. Por
tanto, es suficiente estudiar la primera posibilidad, es decir, si se sabe como se integran
las funciones racionales propias, se sabra como se integran todas las funciones racionales
1.6.7. Integracion de funciones racionales trigonometricas
Definicion 1.6.1.
Una funcion y = f(x) es par si se cumple que f(−x) = f(x).
Ejemplos: 1) f(x) =1
x2 + 5, 2) f(x) =
senx
x
Una funcion y = f(x) es impar si se cumple que f(−x) = −f(x).
Ejemplos: 1) f(x) =x
x2 + 5, 2) f(x) =
sen2 x
x
Observacion 1.6.3.
18 Matematica II Walter Arriaga D.
Una funcion racional trigonometrica es par en seno si al sustituir senx por − senx, la
funcion no varıa.
Ejemplos: 1) f(x) =cos x+ 1
sen2 x, 2) f(x) = 1 + tan2 x , 3) f(x) = cos x
debemos tener en cuenta que es posible que la expresion senx no aparezca explıcitamente,
como en el tercer ejemplo, sin embargo f(x) = cos x puede expresarse como f(x) =
cos x sen0 x.
Una funcion racional trigonometrica es impar en seno si al sustituir senx por − senx, la
funcion cambia de signo.
Ejemplos: 1) f(x) = senx , 2) f(x) =sen3 x
cos x+ sen2 x, 3) f(x) = tan x
Una funcion racional trigonometrica es par en coseno si al sustituir cosx por − cos x, la
funcion no varıa.
Ejemplos: 1) f(x) =2
cos2 x+ senx, 2) f(x) = 5 + tan2 x , 3) f(x) = senx
Una funcion racional trigonometrica es impar en coseno si al sustituir cos x por − cos x,
la funcion cambia de signo.
Ejemplos: 1) f(x) = cos x , 2) f(x) =cos5 x
cos4 x+ senx, 3) f(x) = tan x
Una funcion racional trigonometrica es par en seno y coseno (simultaneamente) cuando
al sustituir senx y cos x por − senx y − cos x, respectivamente, la funcion no varıa.
Ejemplos: 1) f(x) =1
1 + senx cos x, 2) f(x) = tanx
Para resolver integrales de la forma
∫
R(senx , cos x)dx, donde R(senx , cos x) es una
funcion racional de senos y cosenos, se deben tener en cuenta los siguientes casos:
Caso I: Cuando R(senx , cos x) es impar en senx, hacemos la sustitucion:
t = cos x de donde
senx =√1− t2
dx = − dt√1− t2
estas sustituciones convierten la integral en la de una funcion racional de variable t.
Caso II: Cuando R(senx , cos x) es impar en cos x, hacemos la sustitucion:
t = senx de donde
cos x =√1− t2
dx =dt√1− t2
estas sustituciones convierten la integral en la de una funcion racional de variable t.
Walter Arriaga D. Matematica II 19
Caso III: Cuando R(senx , cosx) es par en senx y cos x simultaneamente, hacemos la
sustitucion:
t = tanx de donde
senx =t√
1 + t2
cos x =1√
1 + t2
dx =dt
1 + t2
estas sustituciones convierten la integral en la de una funcion racional de variable t.
Caso IV: En cualquier otro caso, incluso en los anteriores, hacemos la sustitucion:
t = tan(x
2
)
de donde
senx =2t
1 + t2
cos x =1− t2
1 + t2
tanx =2t
1− t2
dx =2dt
1 + t2
estas sustituciones convierten la integral en la de una funcion racional de variable t.
Nota 1.6.1. Conviene no aplicar la sustitucion del cuarto caso, mas que si no se pueden
aplicar los anteriores ya que suelen obtenerse integrales mas complicadas, por ejemplo, con
raıces complejas multiples en el denominador.
Dependiendo del cambio que se aplique, la solucion general puede adoptar distinto aspecto;
recordemos que dos primitivas de una funcion se diferencian en una constante.
1.6.8. Integracion de funciones irracionales
Integrales de la forma:
∫
F
[
x ,
(a+ bx
c+ dx
)m1/n1
, . . . ,
(a+ bx
c+ dx
)mk/nk]
dx
Para calcular este tipo de integrales, hallamos: n = mcm(n1, n2, . . . , nk), luego se hace
el cambio de variablea+ bx
c+ dx= tn
de donde se tiene que x =ctn − a
b− dtny dx =
(bc− ad)ntn−1dt
(b− dtn)2
Integrales de la forma:
∫dx
(x− a)n√
px2 + qx+ r, n ∈ N
Para calcular este tipo de integrales, hacemos la sustitucion: x − a =1
t, de donde
dx = −dt
t2
20 Matematica II Walter Arriaga D.
Observacion 1.6.4. Aunque existen otros metodos orientados a resolver integrales de fun-
ciones especıficas, en numerosas ocasiones la cuadratura puede realizarse prescindiendo del
metodo que a priori se establece para su resolucion, gracias a un inteligente cambio de varia-
ble u operacion elemental que reduzca la laboriosidad que con frecuencia va implıcita en los
procedimientos. Por ello, debe entenderse que la busqueda de primitivas, cuando estas existen,
es un arte cuyo dominio se alcanza cuando se realizan numerosos problemas.
Walter Arriaga D. Matematica II 21
EJERCICIOS RESUELTOS 1.
I. Integracion por sustitucion o cambio de variable:
1.
∫
(3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx
Solucion∫
(3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx =
∫
3x5dx−∫
4x3dx+
∫
8x2dx−∫
3dx
= 3
∫
x5dx− 4
∫
x3dx+ 8
∫
x2dx− 3
∫
dx
= 3x6
6− 4
x4
4+ 8
x3
3− 3x+ c
=x6
2− x4 +
8x3
3− 3x+ c
∴
∫
(3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx =x6
2− x4 +
8x3
3− 3x+ c
2.
∫6x5 − 3x2 +
√x
x3dx
Solucion∫
6x5 − 3x2 +√x
x3dx = 6
∫
x2dx− 3
∫dx
xdx+
∫
x−5/2dx
= 2x3 − 3 ln |x| − 2
3x−3/2 + c
∴
∫6x5 − 3x2 +
√x
x3dx = 2x3 − 3 ln |x| − 2
3x−3/2 + c
3.
∫x2 + 2
x2(x2 + 4)dx
Solucion
Observamos que: x2 + 2 = x2 +2
4(x2 + 4− x2) =
1
2[(x2 + 4) + x2]
∫x2 + 2
x2(x2 + 4)dx =
1
2
∫x2 + (x2 + 4)
x2(x2 + 4)dx
=1
2
∫dx
x2 + 4+
1
2
∫dx
x2
=1
2
[1
2arctan
x
2
]
+1
2
[x−1
−1
]
+ c
=1
4arctan
x
2− 1
2x+ c
∴
∫x2 + 2
x2(x2 + 4)dx =
1
4arctan
x
2− 1
2x+ c
22 Matematica II Walter Arriaga D.
4.
∫x2 − 3
x2(x2 − 5)dx
Solucion
Observamos que: x2 − 3 = x2 +3
5(x2 − 5− x2) =
3
5(x2 − 5) +
2
5x2
∫x2 − 3
x2(x2 − 5)dx =
∫3(x2 − 5) + 2x2
5x2(x2 − 5)dx
=3
5
∫dx
x2+
2
5
∫dx
x2 −√52
=−3
5x+
1
5√5ln
∣∣∣∣∣
x−√5
x+√5
∣∣∣∣∣+ c
∴
∫x2 − 3
x2(x2 − 5)dx =
−3
5x+
1
5√5ln
∣∣∣∣∣
x−√5
x+√5
∣∣∣∣∣+ c
5.
∫
cos(3x+ 2)dx
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = 3x+ 2 =⇒ du = 3dx
podemos escribir:
∫
cos(3x+ 2)dx =1
3
∫
cos(3x+ 2)3dx
=1
3
∫
cosu du
=1
3senu+ c
=1
3sen(3x+ 2) + c
∴
∫
cos(3x+ 2)dx =1
3sen(3x+ 2) + c
6.
∫
(x+ 1) sen(x2 + 2x− 3)dx
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = x2 + 2x− 3 =⇒ du = (2x+ 2)dx
Walter Arriaga D. Matematica II 23
podemos escribir:∫
(x+ 1) sen(x2 + 2x− 3)dx =1
2
∫
senudu
= −cos u
2+ c
= −cos(x2 + 2x− 3)
2+ c
∴
∫
(x+ 1) sen(x2 + 2x− 3)dx = −cos(x2 + 2x− 3)
2+ c
7.
∫
(2 ln x+ 1)xex2 lnxdx
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = x2 lnx =⇒ du = (2 ln x+ 1)x dx
podemos escribir:∫
(2 ln x+ 1)xex2 lnxdx =
∫
eudu
= eu + c
= ex2 lnx + c
=(
elnx)x2
+ c
= xx2
+ c
∴
∫
(2 ln x+ 1)xex2 lnxdx = xx
2
+ c
8.
∫
(x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 xdx
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = x sen2 x =⇒ du = (2x sen x cos x+ sen2 x) dx
=⇒ du = (x sen(2x) + sen2 x) dx
podemos escribir:∫
(x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 xdx =
∫
eudu
= eu + c
= ex sen2 x + c
∴
∫
(x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 xdx = ex sen2 x + c
24 Matematica II Walter Arriaga D.
9.
∫dx
x ln2(5x)
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = ln(5x) =⇒ du =dx
x
podemos escribir:∫
dx
x ln2(5x)=
∫du
u2= −1
u+ c = − 1
ln(5x)+ c
∴
∫dx
x ln2(5x)= − 1
ln(5x)+ c
10.
∫e√lnx · 5e
√
lnxdx
x√lnx
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = e√lnx =⇒ du =
e√lnx dx
2x√lnx
podemos escribir:
∫e√lnx · 5e
√
lnxdx
x√lnx
= 2
∫e√lnx · 5e
√
lnxdx
2x√lnx
= 2
∫
5udu =2× 5u
ln 5+ c
∴
∫e√lnx · 5e
√
lnxdx
x√lnx
=2× 5e
√
lnx
ln 5+ c
11.
∫sen(2x) dx
16 + sen4 x
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = sen2 x =⇒ du = 2 sen x cos x dx
=⇒ du = sen(2x) dx
podemos escribir:
∫sen(2x) dx
16 + sen4 x=
∫du
42 + u2=
1
4arctan
(u
4
)
+ c =1
4arctan
(sen2 x
4
)
+ c
∴
∫sen(2x) dx
16 + sen4 x=
1
4arctan
(sen2 x
4
)
+ c
Walter Arriaga D. Matematica II 25
12.
∫arcsen
√x dx√
x− x2
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = arcsen√x =⇒ du =
dx
2√x√1− x
=⇒ du =dx
2√x− x2
podemos escribir:
∫arcsen
√x dx√
x− x2= 2
∫arcsen
√x dx
2√x− x2
= 2
∫
udu = u2 + c = arcsen2√x+ c
∴
∫arcsen
√x dx√
x− x2= arcsen2
√x+ c
II. Integracion por partes:
1.
∫
lnxdx
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = lnx dv = dx
du =dx
xv = x
podemos escribir∫
lnxdx = x lnx−∫
xdx
x
= x lnx−∫
dx
= x lnx− x+ c
∴
∫
lnxdx = x lnx− x+ c
2.
∫
(3x2 + 4x− 8) ln xdx
Solucion:
Haciendo la sustitucion
u = lnx dv = (3x2 + 4x− 8)dx
du =dx
xv = x3 + 2x2 − 8x
26 Matematica II Walter Arriaga D.
podemos escribir
∫
(3x2 + 4x− 8) ln xdx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x−∫
(x3 + 2x2 − 8x)dx
x
= (x3 + 2x2 − 8x) ln x−∫
(x2 + 2x− 8)dx
= (x3 + 2x2 − 8x) ln x− x3
3− x2 + 8x+ c
∴
∫
(3x2 + 4x− 8) ln xdx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x− x3
3− x2 + 8x+ c
3.
∫
(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx
Solucion:
Sea I1 =
∫
(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx, integrando por partes:
u = 4x2 − 8x+ 4 dv = e−2xdx
du = (8x− 8)dx v = −e−2x
2
podemos escribir
I1 =
∫
(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx = −(2x2 − 4x+ 2)e−2x +
∫
(4x− 4)e−2xdx
︸ ︷︷ ︸
I2
ahora integraremos I2 =
∫
(4x− 4)e−2xdx por partes:
u = 4x− 4 dv = e−2xdx
du = 4dx v = −e−2x
2
I2 =
∫
(4x− 4)e−2xdx = −(2x− 2)e−2x + 2
∫
e−2xdx = −(2x− 2)e−2x − e−2x + c
reemplazando:
I1 =
∫
(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx = −(2x2 − 4x+ 2)e−2x + I2
= −(2x2 − 4x+ 2)e−2x − (2x− 2)e−2x − e−2x + c
= −(1− 2x+ 2x2)e−2x + c
∴
∫
(4x2 − 8x+ 4)e−2xdx = −(1− 2x+ 2x2)e−2x + c
4.
∫
(3x+ 2) sec2(5x)dx
Walter Arriaga D. Matematica II 27
5.
∫
arcsen(3x)dx
6.
∫ln(7x)
x7dx
7.
∫
ln(x+√
4 + x2)dx
8.
∫
cos(ln x)dx
9.
∫
x arctan2(6x)dx
10.
∫
arcsen2(x
2
)
dx
11.
∫ln(ln(ax))
bxdx
12.
∫
e2ax cos(eax)dx
III. Integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto:
1.
∫√
x2 + 2x+ 10 dx
2.
∫√
12− 4x− x2 dx
3.
∫2
4x2 − 12x+ 13dx
4.
∫7
9x2 + 12x− 5dx
5.
∫3√
25x2 + 30x− 7dx
6.
∫1√
9x2 + 42x+ 53dx
7.
∫7√
−4x2 + 28x− 24dx
8.
∫3x− 2
4x2 − 4x+ 50dx
9.
∫5x+ 7
9x2 − 12x− 60dx
10.
∫7x− 2√
−4x2 + 20x− 9dx
11.
∫3x− 2√
4x2 − 20x+ 41dx
12.
∫7x+ 1√
25x2 − 20x − 12dx
IV. Integracion de funciones trigonometricas e hiperbolicas:
1.
∫
sen3 x cos2 x dx
28 Matematica II Walter Arriaga D.
2.
∫
sen2 x cos3 x dx
3.
∫
sen2 x cos2 x dx
4.
∫
tan3 x sec3 x dx
5.
∫
tan2 x sec4 x dx
6.
∫
sen(3x) cos(2x) dx
7.
∫
sen(7x) sen(5x) dx
8.
∫
cos(6x) cos(4x) dx
V. Integracion por sustitucion trigonometrica:
1.
VI. Integracion de funciones racionales:
1.
∫2x dx
x2 − 1
Solucion:
El integrando2x
x2 − 1es una fraccion propia, luego descomponemos en fracciones
parciales:2x
x2 − 1=
2x
(x+ 1)(x− 1)=
A
x+ 1+
B
x− 1
2x = A(x− 1) +B(x+ 1)
Para x = −1, se tiene A = 1 y para x = 1, se tiene B = 1
2x
x2 − 1=
1
x+ 1+
1
x− 1
luego
∫2x dx
x2 − 1=
∫dx
x+ 1+
∫dx
x− 1= ln |x+ 1|+ ln |x− 1|+ c
= ln |x2 − 1|+ c
∴
∫2x dx
x2 − 1= ln |x2 − 1|+ c
2.
∫2(x4 − 3x3 + 5x2 − 5x+ 1)
x3 − 3x2 + 2xdx
Walter Arriaga D. Matematica II 29
3.
∫x2 + 1
x4 + 1dx
Solucion:
El integrandox2 + 1
x4 + 1es una fraccion propia, luego:
x2 + 1
x4 + 1=
x2 + 1
x4 + 2x2 + 1− 2x2=
x2 + 1
(x2 + 1)2 − 2x2=
x2 + 1
(x2 +√2x+ 1)(x2 −
√2x+ 1)
ahora por fracciones parciales tenemos que:
x2 + 1
(x2 +√2x+ 1)(x2 −
√2x+ 1)
=Ax+B
x2 +√2x+ 1
+Cx+D
x2 −√2x+ 1
x2 + 1 = (Ax+B)(x2 −√2x+ 1) + (Cx+D)(x2 +
√2x+ 1)
x2+1 = (A+C)x3+(B+D−√2A+
√2C)x2+(A+C−
√2B+
√2D)x+(B+D)
obteniendose el siguiente sistema de ecuaciones:
A+ C = 0
B +D −√2A+
√2C = 1
A+ C −√2B +
√2D = 0
B +D = 1
resolviendo se tiene que A = 0, B = 1/2, C = 0, D = 1/2, luego
∫x2 + 1
x4 + 1dx =
1
2
∫dx
x2 +√2x+ 1
+1
2
∫dx
x2 −√2x+ 1
=1
2
∫dx
x2 +√2x+
1
2+
1
2
+1
2
∫dx
x2 −√2x+
1
2+
1
2
=1
2
∫dx
(
x+
√2
2
)2
+
(√2
2
)2 +1
2
∫dx
(
x−√2
2
)2
+
(√2
2
)2
=1
2
2√2arctan
x+
√2
2√2
2
+1
2
2√2arctan
x−√2
2√2
2
+ c
=
√2
2arctan(
√2x+ 1) +
√2
2arctan(
√2x− 1) + c
∴
∫x2 + 1
x4 + 1dx =
√2
2arctan(
√2x+ 1) +
√2
2arctan(
√2x− 1) + c
VII. Integracion de funciones racionales trigonometricas:
30 Matematica II Walter Arriaga D.
1.
∫dx
senx cos2 x
Solucion:
La funcion1
senx cos2 xes impar en senx, entonces hacemos la sustitucion t = cos x,
luego: ∫dx
senx cos2 x=
∫1√
1− t2 t2−dt√1− t2
=
∫dt
t2(t2 − 1)
ahora por fracciones parciales tenemos que:
1
t2(t2 − 1)=
A
t+
B
t2+
C
t+ 1+
D
t− 1
resolviendo se tiene que A = 0, B = −1, C = −1/2, D = 1/2, luego∫
dt
t2(t2 − 1)= −
∫dt
t2− 1
2
∫dt
t+ 1+
1
2
∫dt
t− 1
=1
t− 1
2ln |t+ 1|+ 1
2ln |t− 1|+ c
=1
t+ ln
√∣∣∣∣
t− 1
t+ 1
∣∣∣∣+ c
= sec x+ ln
√
1− cos x
1 + cos x+ c
∴
∫dx
senx cos2 x= sec x+ ln
√
1− cos x
1 + cos x+ c
2.
∫cos3 x dx
4 sen2 x− 1
Solucion:
La funcioncos3 x dx
4 sen2 x− 1es impar en cos x, entonces hacemos la sustitucion t = senx,
luego:∫
cos3 x dx
4 sen2 x− 1=
∫(1− t2)
√1− t2
4t2 − 1
dt√1− t2
=
∫(1− t2)dt
4t2 − 1
ahora por fracciones parciales tenemos que:
1− t2
4t2 − 1=
−1
4+
3
4(2t+ 1)(2t − 1)=
−1
4+
A
2t+ 1+
B
2t− 1
resolviendo se tiene que A = −3/8, B = 3/8, luego
∫(1− t2)dt
4t2 − 1= −1
4
∫
dt− 3
8
∫dt
2t+ 1+
3
8
∫dt
2t− 1
= − t
4− 3
16ln |2t+ 1|+ 3
16ln |2t− 1|+ c
= − t
4+
3
16ln
∣∣∣∣
2t− 1
2t+ 1
∣∣∣∣+ c
= −senx
4+
3
16ln
∣∣∣∣
2 sen x− 1
2 sen x+ 1
∣∣∣∣+ c
Walter Arriaga D. Matematica II 31
∴
∫cos3 x dx
4 sen2 x− 1= −senx
4+
3
16ln
∣∣∣∣
2 sen x− 1
2 sen x+ 1
∣∣∣∣+ c
3.
∫dx
sen2 x− 4 sen x cosx+ 5cos2 x
Solucion:
La funcion1
sen2 x− 4 senx cos x+ 5cos2 xes par en senx y cosx, entonces hacemos
la sustitucion t = tan x, luego:
∫dx
sen2 x− 4 senx cos x+ 5cos2 x=
∫1
t2
1 + t2− 4t
1 + t2+
5
1 + t2
dt
1 + t2
=
∫dt
t2 − 4t+ 5
=
∫dt
(t− 2)2 + 1
= arctan(t− 2) + c
= arctan(tan x− 2) + c
∴
∫dx
sen2 x− 4 senx cos x+ 5cos2 x= arctan(tan x− 2) + c
4.
∫dx
1 + senx
Solucion:
En esta integral usaremos la sustitucion t = tanx
2, luego:
∫dx
1 + senx=
∫1
1 +2t
1 + t2
2dt
1 + t2=
∫2dt
t2 + 2t+ 1=
∫2dt
(t+ 1)2=
−2
t+ 1+ c
∴
∫dx
1 + senx=
−2
1 + tan(x/2)+ c
VIII. Integracion de funciones irracionales:
1.
32 Matematica II Walter Arriaga D.
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.
Calcular las siguientes integrales:
I. Integracion por sustitucion o cambio de variable:
1.
∫
(2x+ 3)dx Rpta. x2 + 3x+ C
2.
∫
(3x2 − 5x+ 7)dx Rpta. x3 − 5x2
2+ 7x+ C
3.
∫
x√2dx Rpta. (
√2− 1)x
√2+1 + C
4.
∫
(5x− 3 +√x)dx Rpta.
5x2
2− 3x+
2√x3
3+ C
5.
∫x2 + 3x− 2
xdx Rpta.
x2
2+ 3x− 2 lnx+ C
6.
∫5x2 − 2x+ 7√
xdx
7.
∫2x
(1− x)2/3dx Rpta.
3
2(1− x)4/3 − 6(1− x)1/3 + C
8.
∫x2 + 2
x2(x2 + 4)dx Rpta.
−1
2x+
1
4arctan
(x
2
)
+ C
9.
∫x2 − 1
x2(x2 − 4)dx Rpta.
−1
4x+
3
16ln
∣∣∣∣
x− 2
x+ 2
∣∣∣∣+ C
10.
∫dx
x(x2 − 10)Rpta.
1
20ln
∣∣∣∣
x2 − 10
x2
∣∣∣∣+ C
11.
∫7x2 + 16
x4 + 4x2dx Rpta.
−4
x+
3
2arctan
(x
2
)
+ C
12.
∫18dx
9x2 − x4
13.
∫dx√
16 − x2Rpta. arcsen
(x
4
)
+ C
14.
∫9dx
x2 + 4x− 5Rpta.
3
2ln
∣∣∣∣
x− 1
x+ 5
∣∣∣∣+ C
15.
∫2dx
x2 + 4x+ 4Rpta.
−2
x+ 2+ C
16.
∫2dx√
−4x2 − 20x− 9Rpta.
6x
490(35)x(ln 6− ln 35)+ C
17.
∫√
−4x2 − 12x− 5 dx
18.
∫2x−13x
5x+17x+2dx
19.
∫senx
(1 + cosx)2dx Rpta.
1
1 + cos x+ C
Walter Arriaga D. Matematica II 33
20.
∫sec2 x dx
(2 + tanx)3Rpta.
−1
2(2 + tan x)2+C
21.
∫dx
cos2(3− 2x)Rpta.
−1
2tan(3− 2x) +C
22.
∫cot2 5x dx
(5 + csc 5x)5Rpta.
1
4(5 + csc 5x)4+C
23.
∫
sen(7x+ 5) dx
24.
∫
e3x−2 dx
25.
∫ √5x− 2 dx
26.
∫
7√2x+ 3 dx
27.
∫
x√
5x2 + 6 dx
28.
∫
(20x− 3)√
10x2 − 3x+ 2 dx
29.
∫
2xe3x2+8 dx
30.
∫
x√
5x2 + 6 dx
31.
∫
x2 3√x+ 2dx Rpta.
3
10(x+ 2)10/3 − 12
7(x+ 2)7/3 + 3(x+ 2)4/3 +C
32.
∫√(
x+1
4x
)5((2x+ 1)(2x − 1)
x2
)
dx Rpta.8
7
(
x+1
4x
)7/2
+C
33.
∫3e(4
√x+5)
2√x
dx
34.
∫(8√x3+ 3)e(2x
2+3√x−7)
2√x
dx
35.
∫
(6x2 + 8x) sen(x3 + 2x2 − 3) dx
36.
∫
(35x6 − 2) cos(5x7 − 2x+ 8) dx
37.
∫
(lnx+ 1)ex lnx dx Rpta. xx +C
38.
∫
(2x lnx+ ex + x)e(x2 lnx+ex) dx
39.
∫
(cos x)esen x dx
40.
∫
(sec2 x)e(3 tan x+2) dx
41.
∫sen(2 ln x)
xdx
34 Matematica II Walter Arriaga D.
42.
∫dx
x ln2 x
43.
∫dx
x lnx
44.
∫ln2 x
xdx
45.
∫
(x cos x+ senx)ex senx dx
46.
∫dx
sen2 x 3√cot x− 1
Rpta.−3
2(cot x− 1)2/3 + C
47.
∫senxetan
2 x
cos3 xdx
48.
∫senx
cos3 x5√
sec2 x+ 2 dx Rpta.5
125√
(sec2 x+ 2)6 + C
49.
∫e√xae
√
x
√x
dx
50.
∫
sen(tan x) cos(tan x) sec2 x dx
51.
∫dx
√
(1 + x2) ln(x+√1 + x2)
52.
∫earctan x + x ln(x2 + 1) + 1
1 + x2dx
53.
∫cos3 x
1− senxdx
54.
∫dx
1 + cos x
55.
∫dx
1 + senx
56.
∫dx
1 + cos ax
57.
∫dx
1 + sen ax
58.
∫dx√
x+ 1−√x− 1
Rpta.1
3[(x+ 1)3/2 + (x− 1)3/2] + C
59.
∫dx√
2x+ 1−√x
60.
∫(x2 − 2x+ 1)1/5
1− xdx
61.
∫
x2x(lnx+ 1) dx
62.
∫dx
x(1 + ln2 7x)
63.
∫x− arctan 2x
1 + 4x2dx
Walter Arriaga D. Matematica II 35
64.
∫ln(ln x)
x lnxdx Rpta.
1
2ln2(ln x) + ln(lnx) +C
65.
∫x3 dx
(x2 + 8)3/2Rpta.
1
9(1 − x3)3 − 1
6(1− x3)2 +C
66.
∫
x5√
1− x3 dx
67.
∫ √2 + x+ 1
3 +√2 + x
dx
68.
∫(√ax+ b)3/2√
xdx Rpta.
4
5√a(√ax+ b)5/2 +C
69.
∫ √x− 1(x+ 3)2 dx
70.
∫5x+ 2√
3x√1− 3x
dx
71.
∫e2x + 3
e2x − 3dx Rpta. ln |ex − 3e−x|+C
72.
∫ln(ax) dx
elnx ln(bx)
73.
∫dx
xn + x, n ∈ Z
+ Rpta.1
1− nln |1 + x1−n|+C
74.
∫x dx
√
e2 lnx + ln e1/2 + (x2 + 1)3/2 + eln(1/2)
75.
∫sen2 x
cos4 xetan
3 x dx
76.
∫
x(2 ln x+ 1)ex2 lnx dx
77.
∫dx
x 3√lnx
78.
∫lnx dx
x5√
ln2 x+ 3
79.
∫
xnx(ln x+ 1)dx
80.
∫
x2x2
(2x ln x+ x)dx Rpta.x2x
2
2+C
81.
∫
xcos x−1(cos x− x senx lnx)dx
82.
∫ √lnx
xx2
√lnxdx
83.
∫
(x ln2 x+ x ln x+ 1)x2xx+x−1dx
84.
∫
2sen2 exex sen(2ex)dx
85.
∫ √
x+ 2
2x+ 3
dx
3x2 + 11x+ 10
36 Matematica II Walter Arriaga D.
86.
∫dx√
2x−√x+ 4
87.
∫x7
(1− x4)2dx
88.
∫6e4x
1− exdx
89.
∫ √4 + ex dx
90.
∫ √
2 + 3x
x− 3dx
91.
∫(x+ 1)dx
(2x+ x2)√2x+ x2
92.
∫2x
1− 4xdx
93.
∫dx
e−2x + e2xRpta.
arctan e2x
2+ C
94.
∫e2x + e−2x
e2x − e−2xdx
95.
∫dx√
1 + cos x
96.
∫dx√
1− cos x
97.
∫4x + 1
2x + 1dx
98.
∫sen2 x
a+ b cos2 xdx
99.
∫x2 − x√
x+ 1−√x2 + 1
dx
100.
∫x2 − 1
x√1 + 3x2 + x4
dx
101.
∫ex
(1 + ex)√ex − 1
dx
102.
∫secx
√sec 2x
arcsen tan xdx
103.
∫ √
1− cos x
cos a− cosxdx
104.
∫ √
x2 + x+ 2 + 2√
x3 + x2 + x+ 1 dx
105.
∫ √x√
a3 − x3dx
106.
∫e2x
3√1 + ex
dx
Walter Arriaga D. Matematica II 37
107.
∫
tanh(lnx) dx
108.
∫ √1− cos x dx
109.
∫ea
1 + x2da
110.
∫xeax
(1 + ax)2dx
111.
∫
(x+√
x2 + 1)10 dx
112.
∫cos x− senx
5 + sen 2xdx
113.
∫
(tanx+ sec x)20 sec2 x dx
114.
∫dx
4√
(x− 1)3(x+ 2)5
115.
∫(cos 2x− 3) dx
cos4 x√4− cot2 x
116.
∫1 + sen2 x
2 cos2 x√senx
dx
117.
∫ [
(cos x) ln(cos x)− tanx senx
]
(cos x)sen x dx
118.
∫ [
cot x cos2 x− (sen 2x) ln(senx)
]
(sen x)cos2 x dx
II. Integracion por partes:
1.
∫
x lnxdx Rpta.x2 lnx
2− x2
4+C
2.
∫
x sen(3x)dx Rpta.sen 3x
9− x cos 3x
3+C
3.
∫
xe−3xdx Rpta.(−3x− 1)e−3x
9+C
4.
∫
3x · 72xdx Rpta.3(2x ln 7− 1)72x
4 ln2 7+C
5.
∫
(x3 + 5x− 2) ln xdx Rpta.
(x4
4+
5x2
2− 2x
)
lnx− x4
16− 5x2
4+ 2x+C
6.
∫
(3x2 + 1)e2xdx
7.
∫
(5− 3x− 4x2)e−3xdx
8.
∫
4(2x2 − 2x− 1) cos(2x+ 1)dx
9.
∫arcsenx√
x+ 1dx Rpta. 2
√x+ 1arcsen x+ 4
√1− x+C
38 Matematica II Walter Arriaga D.
10.
∫arcsen
√x√
1− xdx
11.
∫x arctan x√
1 + x2dx
12.
∫
ln2 x dx
13.
∫
arcsen2 x dx
14.
∫
cos(ln x)dx
15.
∫
sen(ln x)dx
16.
∫
eax cos(bx)dx
17.
∫
eax sen(bx)dx
18.
∫
e2x cos(ex)dx Rpta. ex sen(ex) + cos(ex) + C
19.
∫
e2x sen(ex)dx Rpta. −ex cos(ex) + sen(ex) + C
20.
∫
cos2(lnx)dx
21.
∫
sen2(lnx)dx
22.
∫
cos(√x)dx
23.
∫e1/x
x3dx
24.
∫
e2x+ln sen x dx Rpta.e2x
5(2 sen x− cos x) + C
25.
∫(1 + senx)e5x+2 ln cos x
cos xdx
26.
∫tan x
1 + ln2(2 cos x)e5 arctan(ln(2 cos x))dx
27.
∫ (x
1 +√1− x2
)2n n dx
x√1− x2
28.
∫
(lnx)mx
(1
lnx+ ln(ln x)
)
dx
29.
∫
x arctan√
x2 + 1dx
30.
∫
e2x cos(ex)dx
31.
∫
e3x sen(ex)dx
Walter Arriaga D. Matematica II 39
32.
∫
e6x cos(e2x)dx
33.
∫
cos(ln x) lnx dx
34.
∫
sen(lnx) lnx dx
35.
∫
x cos(lnx) dx
36.
∫
x sen(lnx) dx
37.
∫
x2 cos(lnx) dx
38.
∫
x2 sen(lnx) dx
39.
∫
x2ex senx dx
40.
∫
sen 3√x dx
41.
∫
cos 3√x dx
42.
∫(
e1/x
e3 lnx+ ex+lnx cos x
)
dx
43.
∫ (
arcsenx+x√
1− x2
)
dx
44.
∫
ex(cot x+ ln(senx))dx
45.
∫
e4√xdx
46.
∫1
x3sen
(1
x
)
dx
47.
∫arcsen
√2x√
1− 2xdx
48.
∫
x17 ln(x2) dx
49.
∫
senh−1(x
a
)
dx
50.
∫
tanh−1(x
a
)
dx
51.
∫
x2 arc cos(x
a
)
dx
52.
∫
x2 arctan(x
a
)
dx
53.
∫
coth−1(x
a
)
dx
40 Matematica II Walter Arriaga D.
54.
∫ex(x2 − 8)
(x− 2)2dx
55.
∫
esenx(sec2 x− csc2 x+ csc x) dx
56.
∫esenh
−1 x(x√1 + x2 + 1)
(1 + x2)3/2dx
III. Integracion de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto:
1.
∫x− 9
x2 + 2x− 3dx
2.
∫7x+ 3
4x2 + 4x+ 10dx
3.
∫7x+ 3√
4x2 + 4x+ 10dx
4.
∫2x− 1√
x2 + 2x− 3dx
5.
∫3x+ 5√
9x2 + 12x− 21dx
6.
∫2x+ 1√
−7 + 8x− x2dx
7.
∫3x+ 2√
15 + 4x− 4x2dx
8.
∫6x− 3
4x2 − 4x+ 1dx
9.
∫3x+ 6√
2x2 + 8x+ 3dx
10.
∫10x3 − 5x√x4 − x2 + 6
dx
11.
∫5ex
9e2x + 30ex + 29dx
12.
∫3 cos x
31− 24 sen x− 4 cos2 xdx
13.
∫2 lnx+ 3
x√
15 + 6 lnx− 9 ln2 xdx
14.
∫(3x ln x− 2)(ln x+ 1)
35− 12x ln x− 36x2 ln2 xdx
15.
∫ √x
x− adx
16.
∫x√1− x√2− x
dx
17.
∫ √
a+ x
xdx
18.
∫ √
4− x
2 + xdx
Walter Arriaga D. Matematica II 41
IV. Integracion de funciones trigonometricas e hiperbolicas:
1.
∫
sen2 2x dx
2.
∫
cos2 3x dx
3.
∫
senh2 4x dx
4.
∫
cosh2 5x dx
5.
∫
sen3 6x dx
6.
∫
cos3 7x dx
7.
∫
sen4 x dx
8.
∫
sen5 x dx
9.
∫
sen6 x dx
10.
∫
cos4 x dx
11.
∫
cos5 x dx
12.
∫
cos6 x dx
13.
∫
senx cos2 x dx
14.
∫
sen2 x cos2 x dx
15.
∫
sen3 x cos2 x dx
16.
∫
sen3 x cos x dx
17.
∫
sen3 5x cos3 5x dx
18.
∫
sen4 2x cos2 2x dx
19.
∫
sen2 3x cos4 3x dx
20.
∫
sen4 x cos4 x dx
21.
∫
sen4 x cos3 x dx
22.
∫
sen3(x
3
)
cos4(x
3
)
dx
42 Matematica II Walter Arriaga D.
23.
∫
sen5 x cos2 x dx
24.
∫
sen2(x
2
)
cos5(x
2
)
dx
25.
∫
sen4 x cos5 x dx
26.
∫
sen5 x cos4 x dx
27.
∫
sen5 x cos5 x dx
28.
∫
sen6 x cos6 x dx
29.
∫
tan3 2x dx
30.
∫
tan4(x
2
)
dx
31.
∫
tan5 x dx
32.
∫
tan6 x dx
33.
∫
sec3 2x dx
34.
∫
sec4(x
2
)
dx
35.
∫
sec5 x dx
36.
∫
sech5x dx
37.
∫
sec6 x dx
38.
∫
tan3 x sec2 x dx
39.
∫
tan3 x sec3 x dx
40.
∫
tan4 x sec2 x dx
41.
∫
tan4 x sec4 x dx
42.
∫
tan3 x sec4 x dx
43.
∫
tan5/2 x sec4 x dx
44.
∫3
√
sen2 x
cos14 xdx
Walter Arriaga D. Matematica II 43
45.
∫dx
cos3 x√sen 2x
46.
∫ √sen3 2x
sen5 xdx
47.
∫
sen 2x sen 3x dx
48.
∫
sen 3x cos 2x dx
49.
∫
cos 5x cos 3x dx
50.
∫
sen(x
2
)
cos(x
3
)
dx
51.
∫
senx sen 2x sen 3x dx
52.
∫
cos x cos 3x cos 4x dx
53.
∫senx+ sen 2x+ · · ·+ sennx
cosx+ cos 2x+ · · ·+ cosnxdx
V. Integracion por sustitucion trigonometrica:
1.
∫2 dx
x3√x2 − 1
2.
∫dx
(4x− x2)3/2
3.
∫4x2 + 3
(1 + x2)2dx
4.
∫x3√9− x2
dx
5.
∫2x2√4− x2
dx
6.
∫ √x2 − 25
x4dx
7.
∫
x2√
16− x2 dx
8.
∫4dx
x2√4 + x2
Rpta. −√4 + x2
x+C
9.
∫20x4dx
(√4− x2)7
Rpta.x5
(√4− x2)5
+C
10.
∫ √2 dx
(x2 + 1)√1− x2
11.
∫6x3 dx√2x2 + 7
12.
∫3 dx
x4√x2 + 5
44 Matematica II Walter Arriaga D.
13.
∫ √x2 − 2x
x3dx
14.
∫x4 dx
(16− x2)7/2
15.
∫ √a− x√a−√
x
16.
∫dx√
tan2 x+ 5
17.
∫ √1− x2
x4arcsen x dx
18.
∫2a+ x
a+ x
√a− x
a+ xdx
19.
∫arctan
(xa
)
x2dx
20.
∫arc cos
(xa
)
x2dx
21.
∫dx
(x2 cos2 a+ x sen 2a+ 1)3/2
VI. Integracion de funciones racionales:
1.
∫2
x2 − 4dx Rpta.
1
2ln |x− 2| − 1
2ln |x+ 2|+ C
2.
∫1
x2 − x− 6dx Rpta.
1
5ln |x− 3| − 1
5ln |x+ 2|+ C
3.
∫5
x2 − 2x− 24dx Rpta.
1
2ln |x− 6| − 1
2ln |x+ 4|+ C
4.
∫2x+ 1
x3 + 2x2 − x− 2dx Rpta.
1
2ln |x+ 1| − ln |x+ 2|+ 1
2ln |x− 1|+ C
5.
∫x+ 3
x3 − 6x2 + 11x− 6dx Rpta. 3 ln |x− 3| − 5 ln |x− 2|+ 2 ln |x− 1|+ C
6.
∫8x+ 25
2x2 − 7x− 15dx
7.
∫11x− 6
2x2 + x− 6dx
8.
∫3x− 55
2x2 − 11x− 21dx
9.
∫x2 − 6x− 1
x3 − 1dx
10.
∫x3 − 5x2 + 15x− 24
x2 − 5x+ 6dx
11.
∫x4 + 3x2 − 11x+ 6
x3 − 8dx
12.
∫x2 − 8x+ 18
x3 − 3x2 + 4dx
Walter Arriaga D. Matematica II 45
13.
∫7x2 − 14x+ 5
x3 − 2x2 + xdx
14.
∫x5 + x4 − 3x3 − 3x2 + 3x+ 7
x3 + 2x2 − x− 2dx
15.
∫x4 − 7x3 + 9x2 + 3x+ 24
x3 − 7x2 + 12xdx
16.
∫x2 − 13x+ 13
x3 − 3x2 + 4dx
17.
∫3x− 11
x3 − x2 + 3x− 3dx
18.
∫x4 − 4x3 + 4x2 − 16x+ 59
x3 − 4x2 + x+ 6dx
19.
∫x2 + 3x+ 3
(x+ 1)3dx
20.
∫2(2x− 1)(x2 + 1)
x4 + x2 + 1dx
21.
∫2x+ 3
x4 − 4dx
22.
∫8
x4 + 1dx
23.
∫16
x4 + 4dx
24.
∫x2 − x+ 3
x4 + 6x3 + 13x2 + 12x+ 4dx
25.
∫x3 − x
x4 + 2x3 − 4x2 + 8x− 32dx
26.
∫6x
40 + (x− 1)(x− 3)(x + 4)(x+ 6)dx
27.
∫19(x2 + 2x− 3)
2x3 − x2 − x− 3dx
28.
∫x4 + 1
(x2 + 4x+ 2)(x2 + 4x+ 6)dx
29.
∫5x3 − 16x2 + 24 − 24x
x4 − x3 − 6x2 + 4x+ 8dx
30.
∫4(3x− 1)(3x2 + x− 2)
(3x+ 4)(3x− 1)(x − 1)(3x+ 2) + 7dx
31.
∫2x7 − 4x6 − 5x5 − 23x4 − 17x3 + 19x2 + 20x+ 68
x8 − 17x4 + 16dx
32.
∫2x2 + 4x− 1
x4 + 2x3 + 3x2 + 2x+ 1dx
33.
∫x2 + 3
(2x2 − 3x− 5)2 − (x2 − 3x− 4)2dx
34.
∫x2 + x+ 1
x4 + 6x3 + 11x2 + 6x+ 1dx
46 Matematica II Walter Arriaga D.
35.
∫5
(x+ 1)5 − x5 − 1dx
36.
∫9x4 − 39x3 − 48x2 − 47x− 3
27x5 − 27x4 − 18x3 + 10x2 + 7x+ 1dx
37.
∫3x4 + 2
√2x3 − 3x2 − 2
√2x2 + 4
√2x− 6− 4
√2
x5 − x4 − 4x+ 4dx
38.
∫7x2 + 15 + x3 − 3x
x4 − 9dx
39.
∫2x7 + 12x6 − 5x5 + 21x4 − 13x3 − 73x2 + 30x− 114
x8 − 13x4 + 36dx
40.
∫dx
x6 + 1
41.
∫1
x
√
x− 1
x+ 1dx
42.
∫
secx sec 2x dx
43.
∫dx
(cos2 x+ 4 sen x− 5) cos x
44.
∫tan x dx
(sec999 x+ 1)2
45.
∫dx
cos x√2 + senx
46.
∫dx
x4 + a2x2 + a2
47. Determinar un polinomio cuadratico p(x) tal que p(0) = 1, p′(0) = 0, de modo que∫
p(x) dx
x3(1− x)2es una funcion racional.
VII. Integracion de funciones racionales trigonometricas:
1.
∫dx
4 + 3 cos xRpta.
2√7
7arctan
(√7
7tan
x
2
)
+ C
2.
∫dx
4 + 3 sen xRpta.
2√7
7arctan
[√7
7
(
4 tanx
2+ 3)]
+ C
3.
∫dx
senx+ cosx
4.
∫dx
a senx+ b cos x
5.
∫dx
1 + senx− cos x
6.
∫senx dx
1 + senxRpta.
2
tanx
2+ 1
+ x+ C
7.
∫senx dx
2− senx
Walter Arriaga D. Matematica II 47
8.
∫1− cos x
1 + senxdx
9.
∫dx
(5 + cos x)(4 + cos x)
10.
∫dx
cos x+ 2 senx+ 3
11.
∫dx
8− 4 sen x+ 7cos x
12.
∫ √4 + x2
5 +√4 + x2
dx
VIII. Integracion de funciones irracionales:
1.
∫
x1/2(1 + x1/3)−1 dx
2.
∫ √x
(1 + 3√x)2
dx
3.
∫dx√
x+ 2 + 3√x+ 2
dx
4.
∫dx
(x− 1)2√4x2 + x+ 4
dx
5.
∫dx
(x+ 4)√x2 + 3x− 9
dx
6.
∫dx√
x 3√x(1 + 3
√x)2
7.
∫3√x dx
( 3√x+ 1)2
8.
∫ √3√x+ 1 dx3√x
9.
∫dx
√
(1 + x2)3
10.
∫dx
3√x2(1 +
3√x2)
Rpta. 3 arctan( 3√x) +C
11.
∫dx
x2(1 + x2)3/2Rpta. − 1 + 2x2
x√1 + x2
+C
12.
∫ √
1 + 3√x
3√x2
dx Rpta. 2(1 + 3√x)3/2 +C
13.
∫ √
50− 25 3√x
3√x
dx Rpta. −2(4 + 3 3√x)(2− 3
√x)3/2 +C
14.
∫
40x5(1 + x3)2/3 dx Rpta. (5x3 − 3)(1 + x3)5/3 +C
15.
∫
15 3√x
4
√
2 +3√x2 dx Rpta.
4
√
(2 +3√x2)5(10
3√x2 − 16) +C
48 Matematica II Walter Arriaga D.
16.
∫dx
x3 3√1 + x3
Rpta. −3√
(1 + x3)2
2x2+ C
17.
∫100 dx
x5 5√25− x5
Rpta. − 5
√(25− x5
x5
)4
+ C
18.
∫x− 3
√x− 2
x2 − 3√
(x− 2)2dx
19.
∫x2 dx
√
1 + x3 +√
(1 + x3)3
20.
∫3x2 + 4
2√x(4− 3x2)
√3x2 + x− 4
dx
21.
∫dx
(x+ 1) 3√1 + 3x+ 3x2
22.
∫ √
(1 + x2)3
x6dx Rpta. −
√
(1 + x2)5
5x5+ C
23.
∫ √1 + x8
x13dx Rpta. −
√
(1 + x8)3
12x12+ C
24.
∫ √x− 1 + 3
√x− 1
x− 2dx
2
LA INTEGRAL DEFINIDA
Objetivos
z Definir la particion de un intervalo cerrado y en particular conocer la llamada particion
regular.
z Aplicar las sumas de Riemann en el calculo de areas de regiones planas.
z Interpretar geometricamente la integral definida.
z Utilizar la integral en las aplicaciones geometricas elementales de calculo de areas y volu-
menes.
2.1. Introduccion
El calculo integral tiene sus orıgenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicialmen-
te, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geometricos y consistıan en construir, siguiendo
reglas precisas, un cuadrado con area igual a la de una figura plana dada. En el siglo XVII,
con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geometricos de estos problemas pasaron
a un segundo plano y las tecnicas de calculo ocuparon su lugar, los problemas de cuadraturas
pasaron a ser simplemente problemas de calculo de areas y de volumenes. Se atribuye a Eu-
doxo la invencion del metodo de exhauscion, una tecnica para calcular el area de una region
aproximandola por una sucesion de polıgonos. Arquımedes perfecciono este metodo y, entre
otros resultados, calculo el area de un segmento de parabola y el volumen de un segmento de
paraboloide, ası como el area y el volumen de una esfera.
Sorprende que, siendo tan antiguos sus orıgenes, la primera definicion matematica de in-
tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicacion
es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integracion fue considerada como la operacion
inversa de la derivacion; el calculo integral consistıa esencialmente en el calculo de primitivas.
Naturalmente, se conocıa la utilidad de las integrales para calcular areas y volumenes, pero
49
50 Matematica II Walter Arriaga D.
los matematicos de la epoca consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva y
no vieron la necesidad de precisar su significacion matematica. Los trabajos de Joseph Fou-
rier (1768–1830) sobre representacion de funciones por series trigonometricas, hicieron que el
concepto de funcion evolucionara, desde la idea restrictiva de funcion como formula, hasta la
definicion moderna de funcion dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la
integral de estas nuevas funciones mas generales se vio la necesidad de precisar matematica-
mente los conceptos de area y de volumen.
La definicion de la integral de Cauchy seguıa la tradicional aproximacion del area por
rectangulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a
la integral como un objeto matematico merecedor de estudio por sı mismo, y en el proposito de
atribuirle un significado independiente de las tecnicas que pudieran utilizarse en los calculos.
Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de area. Ningun
matematico anterior al siglo XIX habıa considerado necesario elaborar una teorıa matematica
del concepto de area; es en dicho siglo cuando el concepto de area adquiere un significado
matematico preciso o, mejor dicho, varios significados matematicos, porque dicho concepto
evoluciono hasta que, en la primera decada del siglo XX, adquirio esencialmente su forma
actual.
2.2. Sumatorias
En geometrıa elemental se deducen formulas para las areas de muchas figuras planas, pero
escasamente se da una definicion precisa de lo que significa area. En muchas ocasiones se define
el area de una region como el numero de cuadrados de lado unidad que caben en la region.
Sin embargo, dicha definicion solo es aceptable para algunas regiones simples del plano.
Se conocen fundamentalmente tres formas de acercarse a la definicion de integral: a traves
de funciones escalonadas, a traves de las sumas superiores e inferiores (sumas de Darboux)
y a traves de las llamadas sumas de Riemann. En este texto lo hacemos siguiendo la tercera
forma, por ser la manera clasica en los textos de calculo y la que menos exigencias tiene del
analisis real para su comprension.
Definicion 2.2.1. Sean m y n dos numeros enteros tales que m ≤ n y f una funcion
definida para cada i ∈ Z, con m ≤ i ≤ n, entonces la sumatoria de los terminos f(i) desde
k = m hasta k = n se define como:
n∑
i=m
f(i) = f(m) + f(m+ 1) + f(m+ 2) + · · ·+ f(n− 1) + f(n) (2.1)
donde:∑
es la letra griega sigma que simboliza la sumatoria.
Walter Arriaga D. Matematica II 51
i es el ındice de la sumatoria.
m es el lımite inferior.
n es el lımite superior.
Propiedades:
n∑
i=m
c = (n−m+ 1)c, c es constante.
n∑
i=m
[f(i)± g(i)] =
n∑
i=m
f(i)±n∑
i=m
g(i)
n∑
i=m
[kf(i)] = kn∑
i=m
f(i)
n∑
i=m
[f(i)− f(i− 1)] = f(n)− f(m− 1)
n∑
i=m
[f(i+ 1)− f(i− 1)] = f(n+ 1) + f(n)− f(m)− f(m− 1)
2.3. Area de una region plana por sumatorias
Particion de un intervalo cerrado:
Definicion 2.3.1. Una particion P del intervalo [a, b], con a < b, es un conjunto finito de
puntos P = x0, x1, x2, . . . , xn tales que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
Observacion 2.3.1.
Dos particiones P y Q de un mismo intervalo [a, b] son diferentes si difieren por lo menos
en un punto.
Toda particion de [a, b] contiene por definicion al menos los puntos a y b; por tanto,
siempre es un conjunto no vacıo.
Toda particion P = x0, x1, x2, . . . , xn de [a, b] divide a dicho intervalo en n subinter-
valos cerrados: I1 = [x0, x1], I2 = [x1, x2], . . ., Ii = [xi−1, xi], . . ., In = [xn−1, xn].
La longitud de cada subintervalo Ii = [xi−1, xi], para i = 1, 2, . . . , n denotada por ∆xi,
se define como ∆xi = xi − xi−1
52 Matematica II Walter Arriaga D.
n∑
i=1
∆xi =
n∑
i=1
(xi − xi−1) = b− a
La norma o diametro de la particion P es el numero:
‖P‖ = max∆xi / i = 1, 2, . . . , n
Cuando el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos que tienen la misma longitud, es
decir ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn = ∆x, entonces la longitud de cada subintervalo es
∆x =b− a
n, a este tipo de particion se le denomina particion regular y se cumple que:
x0 = a
x1 = a+∆x
x2 = a+ 2∆x...
xi = a+ i∆x...
xn = b
Si P y Q son dos particiones de [a, b], diremos que P es mas fina que Q si Q ⊆ P
∆xi > 0 para todo i = 1, 2, . . . , n, puesto que xk > xk−1. En consecuencia ‖P‖ ≥ 0
∆xi ≤ ‖P‖ para todo i = 1, 2, . . . , n
Si P y Q son dos particiones de [a, b], y si Q es una particion mas refinada que P ,
entonces ‖Q‖ ≤ ‖P‖
Decir que ‖P‖ −→ 0 es equivalente a decir que n −→ ∞.
2.4. La integral de Riemann
Se parte de un problema particular, como es el problema del area de una region plana, el
cual dio origen al calculo integral. El metodo expuesto, conocido como metodo de los recu-
brimientos, se debe a Arquımedes, el mas grande de los matematicos griegos y uno de los
mayores de toda la historia de la humanidad, quien determino el area de un segmento paraboli-
co por este metodo, que aun hoy, despues de conocer los modernos metodos infinitesimales,
resulta laborioso.
2.4.1. Area bajo una curva a traves de sumas superiores e inferiores
Partiremos de una idea intuitiva de lo que entendemos por area y profundizaremos luego
para llegar a una definicion apropiada de la integral (segun Riemann).
Walter Arriaga D. Matematica II 53
Supongamos que f es una funcion continua en [a, b] y tal que f(x) ≥ 0 para todo x
perteneciente al intervalo [a, b]. Deseamos determinar, en una forma razonable, la manera de
asignar un valor al area de la region Ω limitada por las rectas x = a, x = b, el eje X y la curva
y = f(x)
X
Y
Ω
y = f(x)
a 0 b
Sea A el area de la region Ω. Lo que hacemos es aproximarnos a este valor mediante
rectangulos cuyas areas se calculan facilmente.
Sea P = x0, x1, x2, . . . , xn una particion cualquiera de [a, b]. En cada uno de los subin-
tervalos [xi−1, xi], levantamos un rectangulo Ωi cuya base es ∆xi = xi − xi−1 y su altura el
valor mınimo de la funcion en [xi−1, xi], el cual existe ya que f es continua en [a, b].
X
Y
y = f(x)
a 0 b
Si mi es el valor mınimo de la funcion f en [xi−1, xi] entonces el area de Ωi es mi∆xi
para todo i = 1, 2, . . . , n. Estos n rectangulos considerados forman en conjunto un polıgono
llamado polıgono regular inscrito en Ω, luego el area de este polıgono esta dado por:
n∑
i=1
mi∆xi = m1∆x1 +m2∆x2 + · · ·+mn∆xn
En este caso, la suma de las areas de los rectangulos es menor o igual al area de la region
Ω, es decir:
n∑
i=1
mi∆xi ≤ A(Ω)
54 Matematica II Walter Arriaga D.
Siguiendo un procedimiento similar al anterior, pero tomando como altura de cada rectangu-
lo el valor maximo de la funcion en [xi−1, xi] obtenemos que la suma de las areas de los
rectangulos es mayor o igual que el area de la region Ω. Es decir, A(Ω) ≤n∑
i=1
Mi∆xi, donde
Mi es el maximo de f en [xi−1, xi]
X
Y
y = f(x)
a 0 b
De lo anterior podemos concluir entonces que:
n∑
i=1
mi∆xi ≤ A(Ω) ≤n∑
i=1
Mi∆xi
Observacion 2.4.1. Geometricamente la suma de Riemann es la suma de las areas de los
rectangulos cuyas bases son los subintervalos ∆xi y cuyas alturas corresponden a los valores
f(xi).
Definicion 2.4.1. Sea f una funcion continua y no negativa en el intervalo [a; b]. El area de
la region limitada por la grafica de f , el eje X y las rectas verticales x = a y x = b es:
A = lım‖P‖→0
∆xi
(n∑
i=1
f(ti)
)
A = lımn→∞
∆x
(n∑
i=1
f(ti)
)
u2
donde ∆x =b− a
n, ti = a+ i∆x
2.4.2. Sumas superiores y sumas inferiores
Sea f : I −→ R una funcion acotada sobre I = [a, b] y P = x0, x1, x2, . . . , xn una
particion de I. Denotamos con Ij al j−esimo subintervalo de I, es decir Ij = [xj−1, xj ],
j = 1, 2, . . . , n. Como f es acotada en I existen mj y Mj tales que
mj = ınff(x) / x ∈ Ij
Walter Arriaga D. Matematica II 55
Mj = supf(x) / x ∈ Ij
donde se cumple que:
mj ≤ f(x) ≤ Mj , ∀x ∈ Ij , j = 1, 2, . . . , n
entonces:
Definicion 2.4.2. La suma inferior de f para P , que se denota por S(f, P ), se define como:
S(f, P ) =n∑
j=1
mj∆xj =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Geometricamente la suma inferior nos brinda una aproximacion por defecto del area que
buscamos.
Definicion 2.4.3. La suma superior de f para P , que se denota por S(f, P ), se define como:
S(f, P ) =
n∑
j=1
Mj∆xj =
n∑
j=1
Mj(xj − xj−1)
Geometricamente la suma superior nos brinda una aproximacion por exceso del area que
buscamos.
Propiedades:
1. Sea f es una funcion acotada sobre I = [a, b] y P = x0, x1, x2, . . . , xn una particion de I,
entonces:
m(b− a) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M(b− a)
2. Si f es una funcion acotada en I = [a, b] y P1, P2 son dos particiones de I tal que P2 es un
refinamiento de P1, (P1 ⊂ P2), entonces:
S(f, P1) ≤ S(f, P2) y S(f, P1) ≥ S(f, P2)
3. Sea f una funcion acotada en I y P1, P2 dos particiones arbitrarias de I, entonces:
S(f, P1) ≤ S(f, P2)
2.4.3. Integrales superiores e integrales inferiores
Denotemos con D el conjunto de todas las particiones posibles de I y sea f una funcion
acotada en I, entonces:
56 Matematica II Walter Arriaga D.
Definicion 2.4.4. La integral inferior de f en I esta dada por:
J =
∫ b
a
f(x)dx = supS(f, P ) / P ∈ D
Definicion 2.4.5. La integral superior de f en I esta dada por:
J =
∫ b
af(x)dx = ınfS(f, P ) / P ∈ D
Propiedades:
Sea f es una funcion acotada sobre I = [a, b], entonces:
1)
∫ b
a
f(x)dx ≤∫ b
af(x)dx, es decir J ≤ J
2) m(b− a) ≤ J ≤ J ≤ M(b− a), donde:
m = ınff(x) / x ∈ I y M = supf(x) / x ∈ I
3) Para todo c ∈ 〈a, b〉, se tiene:
∫ b
af(x)dx =
∫ c
af(x)dx+
∫ b
cf(x)dx
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
2.4.4. Integral de Riemann
Definicion 2.4.6. Se dice que una funcion f : I −→ R es integral de Riemann1 en I = [a, b]
cuando f es acotada y se cumple
∫ b
af(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
af(x)dx
Teorema 2.4.1. Sea f una funcion acotada en I = [a, b], se dice que f es integrable en I si
y solo si para todo ε > 0 existe una particion P de I tal que S(f, P )− S(f, P ) < ε
Observacion 2.4.2. Para interpretar geometricamente el significado de la integral de Rie-
mann. Supongamos que f : I −→ R es una funcion integrable en I y f(x) ≥ 0, para todo
x ∈ I, entonces A(Ω) =
∫ b
af(x)dx es el area de la region bajo la curva y = f(x).
1Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20 de
julio de 1866) fue un matematico aleman que realizo contribuciones muy importantes al analisis y la geometrıa
diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo mas avanzado de la relatividad general.
Su nombre esta conectado con la funcion zeta, la hipotesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de
Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometrıa de Riemann.
Walter Arriaga D. Matematica II 57
Propiedades:
Sean f, g : I −→ R funciones integrables en I = [a, b], entonces se cumple que:
1) f es integrable en cualquier subintervalo [c, d] ⊂ I
2) kf es integrable en I∫ b
akf(x)dx = k
∫ b
af(x)dx
3) f ± g es integrable en I
∫ b
a[f(x)± g(x)]dx =
∫ b
af(x)dx±
∫ b
ag(x)dx
4) Para todo c ∈ [a, b], se tiene:
∫ b
af(x)dx =
∫ c
af(x)dx+
∫ b
cf(x)dx
5) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I entonces
∫ b
af(x)dx ≥ 0
6) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ I entonces
∫ b
af(x)dx ≤
∫ b
ag(x)dx
7) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ I entonces m(b− a) ≤∫ b
af(x)dx ≤ M(b− a)
8) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I entonces A(Ω) =
∫ b
af(x)dx
9) Si f(x) ≤ 0 para todo x ∈ I entonces A(Ω) = −∫ b
af(x)dx
10) Si a < b entonces
∫ a
bf(x)dx = −
∫ b
af(x)dx
Teorema 2.4.2. Teorema del valor medio: Si f una funcion continua en I = [a, b], entonces
existe un numero c ∈ I, tal que:
∫ b
af(x)dx = f(c)(b− a)
2.5. Teoremas fundamentales del calculo integral
Teorema 2.5.1. (Primer teorema fundamental del calculo integral)
Si f es una funcion continua en I = [a, b] y F es una funcion definida por F(x) =
∫ x
af(t)dt,
x ∈ I, entonces: F′(x) =d
dx
(∫ x
af(t)dt
)
= f(x), para todo x ∈ I.
58 Matematica II Walter Arriaga D.
Este teorema conocido tambien como el teorema de Barrow, es un importante resultado
que relaciona el calculo diferencial con el calculo integral.
Teorema 2.5.2. (Segundo teorema fundamental del calculo integral)
Sea f integrable en I = [a, b]. Si existe una funcion F continua en I = [a, b] y derivable en
(a, b) tal que F ′(x) = f(x) en (a, b), entonces:
∫ b
af(x)dx = F (x)
∣∣∣∣
b
a
= F (b)− F (a) (2.2)
Este teorema es conocido tambien como el teorema de Newton – Leibnitz.
2.6. Metodos numericos
Walter Arriaga D. Matematica II 59
EJERCICIOS PROPUESTOS 2.
I. Sumatorias:
Determinar una formula para cada una de las siguientes sumatorias:
1)
n−1∑
k=1
ln
(k
k + 2
)
2)
n∑
k=1
(√2k + 1−
√2k − 1)
3)
n+1∑
k=m
(1
2k − 1− 1
2k + 1
)
4)n∑
k=1
1
(k + 1)(k + 2)
5)
n∑
k=1
4
(4k − 3)(4k + 1)
II. Area de una region plana por sumatorias:
En cada uno de los siguientes ejercicios, encontrar el area de la region dada, que esta li-
mitada por:
1) y = 3 + 2x− x2, x = 5 y el eje X
2) y = 36− x2, x = 2, x = 6 y el eje X
3) y =
x2 , x ≤ 3
6x− x2 , x > 3, x = 1, x = 8 y el eje X
III. La integral de Riemann:
1) Aproximar usando sumas superiores y sumas inferiores la siguiente integral:
∫ 1
−2
x
1 + |x| dx,y dar una cota superior para el error cuando P = −2,−3/2,−1,−1/2, 1/2, 1Rpta. S =
22
15, S =
53
60, e =
7
24
2) Mediante sumas superiores y sumas inferiores, hallar el valor aproximado de
∫ 2
−3
x
1 + x2dx,
usando la la siguiente particion: P = −3,−2,−1, 0, 1, 2Rpta. S =
12
5, S =
15
10, e =
9
20
3) Expresar como integral definida el lımite: lım|P |→0
n∑
i=1
(sen(xi + xi−1))xi − xi−1
xi + xi−1, |P | es
una particion de [2, 5] Rpta.
∫ 5
2
sen 2x dx
2x
60 Matematica II Walter Arriaga D.
4) Expresar como integral definida el lımite: lımn→∞
n∑
i=1
i
n2 + i2Rpta.
∫ 1
0
x dx
1 + x2
IV. Teoremas fundamentales del calculo integral
Primer Teorema del Calculo Integral. En los siguientes ejercicios calcular:
1) F ′(x), si: F (x) =
∫ 2x
1cosh(2t2 + 1)dt
2) F ′(π/2), si: F (x) =
∫ lnx
asen(et) dt
3) F ′(0), si: F (x) =
∫ sen x
b
1
1 + arcsen tdt
4) F ′(1), si: F (x) =
∫ x
0
1− t+ t2
1 + t+ t2dt
5) F ′(x), si: F (x) =
∫
∫ x3
0
1
1 + sen2 tdt
acos2(y2 + 4) dy
6) F ′(1), si: F (x) =
∫ x2
x3
t6
1 + t4dt
7) F ′(1), si: F (x) =
∫ x+x2
x2+12−t2 dt
8) F ′(0), si: F (x) =
∫ ex
x2
x(t2 + 1) dt
9) F ′(x), si: F (x) = sen
[∫ x
0sen
(∫ y
0sen3 t dt
)
dy
]
10) F ′′(x), si: F (x) =
∫ x
2
[∫ y
5
1
1 + t2 + sen2 tdt
]
dy
11) F ′′′(0), si: F (x) =
∫ x
1
∫ y
2
∫ z
3
√
et + sen t
et + cos tdt
dz
dy Rpta. 1/2
12) En cada caso calcular f(x0) si f es continua:
x0 = 2;
∫ x
0f(t) dt = x2(1 + x) Rpta. 16
x0 = 1;
∫ x2
0f(t) dt = x2(1 + x) Rpta. 5/2
x0 = 2;
∫ f(x)
0t2 dt = x2(1 + x) Rpta. 3
√36
x0 = 2;
∫ x2(1+x)
0f(t) dt = x Rpta. 1/5
13) Hallar H ′(x), si:
F (x) =
∫ arcsen(cos x)
√3
f(sen t)dt =
√
1− senx
1 + senx;
Walter Arriaga D. Matematica II 61
G(x) =
∫ senx
√2
√
g(t)dt =√1− cos x ;
H(x) =
∫ f(1)
g(x)(1−√1−x2)
dt
t2
14) Si
∫ 1
3x+1
0f(t) dt =
2
ax+ ax. Determinar los valores de a de modo que f(1/4) = 16/3.
15) Sea G(x) =
∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)f(t) dt, donde f : I −→ R es una funcion continua y ϕ1, ϕ2 : J −→
I son funciones derivables. Probar que: G′(x) = f(ϕ2(x))ϕ′2(x)− f(ϕ1(x))ϕ
′1(x)
16) Una funcion f es continua para todo x y satisface la ecuacion:
∫ x
0f(t)dt = −1
2+x2+
1
2x senx+
1
2cos x. Calcular:
a) f(π
4
)
Rpta.
(
π
2+
√2π
16
)
b) f ′(π
4
)
Rpta. 2 +
(√2
4−
√2π
16
)
17) Encontrar una funcion f , tal que:
∫ x
ctf(t)dt = senx− x cos x− 1
2x2, x 6= 0
18) Dada la funcion f(x) definida para toda x por: f(x) = 3 +
∫ x
0
1 + sen t
2 + t2dt. Hallar
las constantes a, b y c del polinomio cuadratico P (x) = a + bx + cx2, sabiendo que
P (0) = f(0), P ′(0) = f ′(0), P ′′(0) = f ′′(0).
19) Si f(t) = t+
∫ t
0
√
1− u2 du, se define: H(x) =
∫ x
−xf(t)dt; hallar la segunda derivada
de H(x).
20) Si f(t) =√4 + t2 +
∫ t
−2
dw
(4 + w2)1/2, se define: H(x) =
∫ x
−xf(t)dt; calcular D2H(x)
para x = 1
21) Hallar el valor mınimo de la funcion H(x) =
[∫ b
a(f(u)− x)2du
]1/2
22) Sea f una funcion continua que satisface la siguiente ecuacion:∫ x
0f(t) dt =
∫ 1
xt2f(t)dt +
x16
8+
x18
9+ C para todo numero real x, donde C es
constante. Encontrar una forma explıcita para f(x) y hallar el valor de la constante
C
23) Una partıcula se desplaza a lo largo de una recta. Su posicion en el instante t es f(t).
Cuando 0 ≤ t ≤ 1, la posicion viene dada por la integral f(t) =
∫ t
0
1 + 2 sen πx cos πx
1 + x2dx;
para t ≥ 1 la partıcula se mueve con aceleracion constante (la aceleracion adquirida
en el instante t = 1). Calcular:
a) Su aceleracion en el instante t = 2. Rpta. π − 1
2
62 Matematica II Walter Arriaga D.
b) Su velocidad cuando t = 1. Rpta.1
2
c) Su velocidad cuando t > 1. Rpta.1
2+
(
π − 1
2
)
(t− 1)
d) La diferencia f(t)− f(1) cuando t > 1. Rpta.1
2(t− 1) +
(
π − 1
2
)(t− 1)2
2
Segundo Teorema del Calculo Integral. Calcular:
24)
∫ 1
0
√x√2− x dx Rpta. π/4
25)
∫ 0
−1x2e−x dx Rpta. e− 2
26)
∫ 1
0
xex
(1 + x)2dx Rpta.
e− 2
2
27)
∫ 1
1/2
1 + x2
x2(1 + x)2dx Rpta.
4
3+ ln
(4
9
)
28)
∫ π/2
0x3 senx dx Rpta.
3π2
4− 6
29)
∫ 1
0x2ex senx dx Rpta. 1/2
30)
∫ ln 4
ln 2
dx√ex − 1
Rpta. π/6
31)
∫ √2
0
x2 + 5
x2 + 2dx Rpta.
3√2π
8+
√2
32)
∫ e−1
0
x2
x3 + 5x2 + 8x+ 4dx Rpta. −e− 3
e+ 1
33)
∫ 1
0
2x
(1 + x)(1 + x2)2dx Rpta.
1
2− ln 4
√2
34)
∫ 0
−1x5 3√
(1 + x3)2 dx Rpta. −3/40
35)
∫ 2
0
x5 dx
(1 + x3)3/2Rpta. 8/9
36)
∫ 2
1
dx
x4(17− x4)1/4Rpta. 21/136
37)
∫ 3
1
arctan√x dx√
x+ 2x2 + x3Rpta.
7π2
144
38)
∫ π/2
0
dx
5− 4 senx+ 3cos xRpta. 1/2
39)
∫ 1
0xe
3√x dx Rpta. 360− 132e
40)
∫ 1
0x8e−x3
dx Rpta.2
3− 5
3e
Walter Arriaga D. Matematica II 63
41)
∫ π
0senhx senx dx Rpta.
senhπ
2
42)
∫ π
0| cos x| dx Rpta. 2
43)
∫ 2
−2|x2 − 1| dx Rpta. 4
44)
∫ 4
−3|x2 − x− 6| dx Rpta.
53
2
45)
∫ 8
−4|x2 − 4x− 12| dx Rpta.
368
3
46)
∫ 5
−1|x3 − 4x| dx Rpta. 116
47)
∫ 2
−3|x3 + x2 − 4x− 4| dx Rpta.
63
4
48)
∫ 3
−3|x4 − 5x2 + 4| dx Rpta.
556
15
49)
∫ 4
−2JxK dx Rpta. 3
50)
∫ 2
−1
∣∣∣∣x+ JxK
∣∣∣∣dx Rpta.
9
2
51)
∫ 4
2
dx
1 +
sx2
4
Rpta.1
6(2√2 +
√3)
52)
∫ 3
−3
x dx
1 + |x+ 1| Rpta. 2− ln 25
53)
∫ 3
−3|4− x2| dx Rpta. 46/3
54)
∫ 2
−2
q4− x2
ydx Rpta. 2 + 2
√2 + 2
√3
55)
∫ 1
0ln
√2− x dx Rpta. ln 2− 1
2
56)
∫ 1/2
−1/2
√
1 + x
1− xdx Rpta.
π
3
57)
∫ π/3
π/6
√tanx dx√
tan x+√cot x
Rpta.π
12
58)
∫ π/3
π/6
√sec x dx√
sec x+√csc x
Rpta.π
12
59)
∫ π/4
−π/4| tan5 x| dx Rpta. −1
2+ ln 2
60)
∫ 2π
−2π| senx− cos x| dx Rpta. 8
√2
64 Matematica II Walter Arriaga D.
61)
∫ π
0
x senx
1 + cos2 xdx Rpta.
π2
4
62)
∫ 1
−1
4x + 1
2x + 1dx Rpta.
3
2 ln 2
63)
∫ 3
−2
∣∣∣∣
x+ 1
x+ 3
∣∣∣∣dx Rpta. 3− 2 ln(2/3)
64)
∫ 1/2
−1/2
[
cos(senx) ln
(1 + x
1− x
)
+ 3x+ 4
]
dx Rpta. 4
65)
∫ π/2
−π/2
[x81 cos(x9)− 2 sen3 x+ 6cos3 x
]dx Rpta. 8
66)
∫ π/4
−π/4
[x14 sen(x7) + 2x sen(2x) + 3x cos(3x)
]dx Rpta. 1
67)
∫ 1/√2
0
dx
(2x2 + 1)√x2 + 1
Rpta. π/6
68)
∫ 6
−2f(x) dx , donde: f(x) =
|x− 2| para − 2 ≤ x < 0∣∣∣∣JxK − x
∣∣∣∣
para 0 ≤ x < 4
|x− 6| para 4 ≤ x ≤ 6
69) Si f(x) es continua en 0, 2 y f(1) = 1, calcule: lımh→0
1
h
∫ 2
2−h
2
2+h
f(x) dx
70) Calcular lımh→0
1
h
∫ 7π4+6h
7π4−2h
sen t dt
71) Calcular lımh→0
1
h
[∫ x
0sec2 t dt+
∫ 0
x+htan2 t dt− x
]
72) Si f(x) es continua en [0, 2], calcular lımh→0
1
h
∫ 1
1+h
1f(x) dx
73) Calcular lımh→0
1
h
[∫ π/4
π/4−h
π/4π/4+h
√tan t dt+
∫ −8h
6hsec t2 dt
]
3
INTEGRALES IMPROPIAS
65
66 Matematica II Walter Arriaga D.
4
APLICACIONES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
Hasta ahora “unicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la uti-
lidad que estas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un metodo rapido para
calcular areas, volumenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que em-
pleaban los griegos. En fısica, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo,
la electricidad.
Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el calculo integral.
4.1. Area de una region plana
4.1.1. Area de una region plana en coordenadas cartesianas
Tal como hemos visto antes, la integral definida es una generalizacion del proceso del
calculo de areas. Ahora bien, el area de una region o recinto es siempre positiva, mientras que
la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicacion de la integral al
calculo de areas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el
eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el area.
Se presentan los siguientes casos:
CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion continua y f(x) ≥ 0, para todo x ∈ I,
el area de la region Ω limitada por la grafica de y = f(x), el eje X, las rectas x = a y
x = b esta dado por:
67
68 Matematica II Walter Arriaga D.
X
Y
Ω
y = f(x)
a 0 b
A(Ω) =
∫ b
af(x)dx u2 (4.1)
CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funcion continua y g(y) ≥ 0, para todo y ∈ I, el
area de la region Ω limitada por la grafica de x = g(y), el eje Y , las rectas y = c y y = d
esta dado por:
X
Y
Ω
x = g(y)
c0
d
A(Ω) =
∫ d
cg(y)dy u2 (4.2)
CASO III: Si f y g son dos funciones contınuas en I = [a, b] y g(x) ≤ f(x), para todo
x ∈ I, el area de la region Ω limitada por las rectas x = a ∧ x = b y las graficas de
f y g, esta dada por:
Walter Arriaga D. Matematica II 69
X
Y
Ω
y = f(x)
y = g(x)
a 0 b
A(Ω) =
∫ b
a[f(x)− g(x)]dx u2 (4.3)
CASO VI: Si f y g son dos funciones contınuas en I = [c, d] y g(y) ≤ f(y), para todo
y ∈ I, el area de la region Ω limitada por las rectas y = c ∧ y = d y las graficas de
f y g, esta dada por:
X
Y
Ω
x = g(y)x = f(y)
c0
d
A(Ω) =
∫ d
c[f(y)− g(y)]dy u2 (4.4)
4.1.2. Area de una region plana en coordenadas polares y ecuaciones pa-
rametricas
Vamos a considerar el problema de hallar el area de una region plana encerrada por la
grafica de una ecuacion polar y por dos rayos que parten desde el origen. Vamos a utilizar
para ello sumas de Riemann para aproximar el valor exacto del area, sin embargo, esta vez,
en lugar de considerar rectangulos emplearemos sectores circulares.
Recordemos que en un cırculo de radio r un sector circular de angulo central θ (medido en
radianes) tiene un area de A =1
2r2θ
70 Matematica II Walter Arriaga D.
rθ
Dada una ecuacion polar r = f(θ) donde f denota una funcion continua y positiva definida
sobre α ≤ θ ≤ β y la region R de area A encerrada por la grafica de la ecuacion r = f(θ) y
por los rayos θ = α y θ = β con α < β que parten desde el origen.
Consideramos una particion P = α = θ0 < θ1 < . . . < θn = β la que determina n
subintervalos [θk−1, θk] para k = 1, 2, . . . , n. En cada uno de esos intervalos seleccionamos
un angulo θ∗k arbitrario entonces el area encerrada por la grafica entre los rayos θ = θk−1 y
θ = θk es aproximadamente igual a1
2[f(θ∗k)]
2∆θk; de esta forma el area total encerrada es
aproximadamente A ≈n∑
k=0
1
2[f(θ∗k)]
2∆θk. Si f es continua entonces
A = lım‖P‖→0
n∑
k=0
1
2[f(θ∗k)]
2∆θk =
∫ β
α
1
2[f(θ)]2dθ
CASO I: Sea f : [α, β] −→ R una funcion continua. El area de la region Ω limitada por la
grafica de la curva r = f(θ) y las rectas θ = α y θ = β esta dado por
A(Ω) =
∫ β
α
1
2f2(θ)dθ u2
Ω
r = f(θ)
αβ
A(Ω) =
∫ β
α
1
2f2(θ)dθ u2 (4.5)
Walter Arriaga D. Matematica II 71
CASO II: Sean f, g : [α, β] −→ R funciones continuas. El area de la region Ω limitada por
las graficas de las curvas r = f(θ) y r = g(θ) y por las rectas θ = α y θ = β donde α < β
y g(θ) ≤ f(θ) esta dado por
A(Ω) =
∫ β
α
1
2[f2(θ)− g2(θ)]dθ u2
Ω
r = f(θ)
r = g(θ)
αβ
A(Ω) =
∫ β
α
1
2[f2(θ)− g2(θ)]dθ u2 (4.6)
Nota 4.1.1. α y β son los angulos que se forman con el eje positivo de las abcisas.
4.2. Volumen de un solido
Al introducir la integracion, vimos que el area es solamente una de las muchas aplicaciones
de la integral definida. Otra aplicacion importante la tenemos en su uso para calcular el
volumen de un solido tridimensional.
Si una region de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una
region tridimensional llamada solido de revolucion generado por la region plana alrededor de
lo que se conoce como eje de revolucion. Este tipo de solidos suele aparecer frecuentemente en
ingenierıa y en procesos de produccion. Son ejemplos de solidos de revolucion: ejes, embudos,
pilares, botellas y embolos.
Existen distintas formulas para el volumen de revolucion, segun se tome un eje de giro
paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que
no son de revolucion.
4.2.1. Volumen de un solido usando secciones transversales
Una seccion de un solido S es la region plana que se obtiene cortando el solido S con un
plano.
72 Matematica II Walter Arriaga D.
Y
Z
X
a 0 bx0
Queremos calcular el volumen de un solido como el de esta figura. Para ello, suponemos
que conocemos el area de cada una de las secciones paralelas que producimos en el solido S.
Denotaremos por A(x) al area de la seccion correspondiente al punto x0 y consideramos una
particion del intervalo [a, b], P = a = x0, x1, . . . , xn = b. Cortamos el solido S en rodajas
por planos paralelos Pk perpendiculares al eje X en los puntos xk−1 y xk de la particion.
Aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos xk−1 y xk por un
cilindro con area de la base A(xk). El volumen de la rodaja sera aproximadamente igual al
volumen del cilindro que es Vk = A(xk)(xk − xk−1). Entonces tenemos que
Volumen de la k− esima rodaja ≈ A(xk)(xk − xk−1)
El volumen V del solido S se puede aproximar por la suma de los volumenes de los cilindros
y obtenemos entonces la aproximacion
V ≈n∑
k=1
Vk =
n∑
k=1
A(xk)(xk − xk−1)
Esta aproximacion es una suma de Riemann de la funcion A : x ∈ [a, b] −→ A(x) ∈ R que
determina el area de cada una de las secciones perpendiculares. Puesto que la aproximacion
del volumen mejorara cuando la norma de la particion que elegimos tienda a cero, definimos
el volumen del solido S como la integral de la funcion A en el intervalo [a, b].
Definicion 4.2.1. El volumen de un solido S con secciones paralelas de area conocida, dada
por la funcion continua A : x ∈ [a, b] −→ A(x) ∈ R, esta dado por:
V (S) =
∫ b
aA(x)dx u3 (4.7)
Walter Arriaga D. Matematica II 73
4.2.2. Volumen de un solido de revolucion en coordenadas cartesianas
Al introducir la integracion, vimos que el area es solamente una de las muchas aplicaciones
de la integral definida. Otra aplicacion importante la tenemos en su uso para calcular el
volumen de un solido tridimensional.
El volumen de un objeto desempena un papel importante en muchos problemas de las
ciencias fısicas, como las de determinar centros de masa y momentos de inercia.
Determinar el volumen de un objeto que tiene forma regular es relativamente sencillo,
pero, ¿Como determinar el volumen de objetos que tienen forma irregular?
Definicion 4.2.2. Un solido de revolucion es un solido que se obtiene mediante una operacion
geometrica de rotacion de una superficie plana alrededor de una recta fija contenida en el
mismo plano de la superficie. Esta recta recibe el nombre de eje de revolucion o eje de giro.
Este tipo de solidos suele aparecer frecuentemente en ingenierıa y en procesos de pro-
duccion. Son ejemplos de solidos de revolucion: ejes, embudos, pilares, botellas, cilindros y
embolos.
Por ejemplo: el cono es un solido que resulta al girar un triangulo recto alrededor de uno
de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectangulo alrededor de uno de sus lados.
Para determinar el volumen de este tipo de solidos, seguiremos un procedimiento similar
al utilizado para el area de una region, aproximando el “volumen” de un solido de revolucion
por medio de una suma de volumenes de solidos mas elementales, en los que el volumen ya ha
sido definido.
Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los solidos elementales, suponiendo
que el volumen de un disco circular es, por definicion, el producto del area A de la base por
el espesor d (o altura).
Existen distintas formulas para el volumen de revolucion, segun se tome un eje de giro
paralelo al eje OX o al eje OY .
Metodo del disco o anillo
Este metodo nos proporciona una alternativa de calcular volumenes de solidos de revolu-
cion. En ciertos casos el metodo es mas viable ya que el de las secciones transversales puede
resultar a veces difıcil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.
Se presentan los siguientes casos:
CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion continua, el volumen del solido de
74 Matematica II Walter Arriaga D.
revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje X de la region plana Ω
limitada por la grafica de y = f(x), el eje X y las rectas x = a ∧ x = b esta dado por:
X
Y
Ω
y = f(x)
a 0 b
V (S) = π
∫ b
a[f(x)]2dx u3 (4.8)
CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funcion continua, el volumen del solido de
revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje Y de la region plana Ω limitada
por la grafica de x = g(y), el eje Y y las rectas y = c ∧ y = d esta dado por:
X
Y
Ω
x = g(y)
c0
d
V (S) = π
∫ d
c[g(y)]2dy u3 (4.9)
El metodo de los anillos es similar al metodo de los discos, pero en este caso se utilizan
dos discos. El disco mas pequeno es vacıo por la tanto se le da el nombre de arandela
por formar una especie de solido hueco. En terminos generales este metodo se utiliza
cuando el eje de rotacion se encuentra a una distancia de la funcion que forma el solido.
CASO III: Sean f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas cuyas graficas se
encuentran a un mismo lado del eje X, ademas |g(x)| ≤ |f(x)|, para todo x ∈ I. El
Walter Arriaga D. Matematica II 75
volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje X de la
region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b
esta dado por: V (S) = π
∫ b
a(R2 − r2)dx u3
X
Y
Ω
y = f(x)
y = g(x)
a 0 b
V (S) = π
∫ b
a
(
[f(x)]2 − [g(x)]2)
dx u3 (4.10)
CASO VI: Sean f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas cuyas graficas se
encuentran a un mismo lado del eje Y , ademas |g(y)| ≤ |f(y)|, para todo y ∈ I. El
volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje Y de la
region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d
esta dado por: V (S) = π
∫ d
c(R2 − r2)dy u3
X
Y
Ω
x = g(y)x = f(y)
c0
d
V (S) = π
∫ d
c
(
[f(y)]2 − [g(y)]2)
dy u3 (4.11)
CASO V: Sean f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas cuyas graficas se
encuentran a un mismo lado de la recta y = k, ademas |g(x)−k| ≤ |f(x)−k|, para todo
76 Matematica II Walter Arriaga D.
x ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno a
la recta y = k de la region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x), y = g(x) y las
rectas x = a ∧ x = b esta dado por: V (S) = π
∫ b
a(R2 − r2)dx u3
X
Y
Ω
y = f(x)
y = g(x)
a 0 b
y = kk
V (S) = π
∫ b
a
(
[f(x)− k]2 − [g(x)− k]2)
dx u3 (4.12)
CASO VI: Sean f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas cuyas graficas se
encuentran a un mismo lado de la recta x = k, ademas |g(y)−k| ≤ |f(y)−k|, para todo
y ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno a
la recta x = k de la region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y), x = g(y) y las
rectas y = c ∧ y = d esta dado por: V (S) = π
∫ d
c(R2 − r2)dy u3
X
Y
Ω
x = g(y)x = f(y)
c0
d
k
x=
k
V (S) = π
∫ d
c
(
[f(y)− k]2 − [g(y)− k]2)
dy u3 (4.13)
Walter Arriaga D. Matematica II 77
Metodo de las cortezas cilındricas
Este metodo nos proporciona otra alternativa de calcular volumenes de solidos de revolu-
cion.
A primera vista puede parecer que el hacer repetidas secciones transversales horizontales
del solido sea el metodo mas adecuado para este calculo “tajarlo por decirlo ası” y en integrar
luego los volumenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias dificultades. La
primera esta en que las secciones transversales son, en unas zonas del solido, discos completos
y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la region
de integracion en varias subregiones, lo que resulta algo engorroso. Pero por otra parte, para
plantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y
exterior de las arandelas en funcion de la variable y, lo que no es facil de lograr en este caso.
En cambio, el metodo de los casquetes cilındricos funciona muy bien en esta situacion.
Basicamente consiste en dividir el solido de revolucion en una serie de casquetes cilındricos
que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volumenes de estos casquetes
para obtener el volumen total. A este metodo se le conoce tambien como el metodo de las
“capas”, las “envolturas”, las “envolventes” o los “cascarones cilındricos”.
CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], a ≥ 0, una funcion continua y no negativa. El
volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje Y de la
region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x), el eje X y las rectas x = a ∧ x = b
esta dado por:
X
Y
Ω
y = f(x)
a0 b
V (S) = 2π
∫ b
axf(x)dx u3 (4.14)
CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], c ≥ 0, una funcion continua y no negativa. El
volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en torno al eje X de
78 Matematica II Walter Arriaga D.
la region plana Ω limitada por la grafica de x = g(y), el eje Y y las rectas y = c ∧ y = d
esta dado por:
X
Y
Ω
x = g(y)
c
0
d
V (S) = 2π
∫ d
cyg(y)dy u3 (4.15)
CASO III: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x),
para todo x ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en
torno al eje Y , a ≥ 0, de la region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x), y = g(x)
y las rectas x = a ∧ x = b esta dado por:
X
Y
Ω
y = f(x)
y = g(x)
a0 b
V (S) = 2π
∫ b
ax[f(x)− g(x)]dx u3 (4.16)
CASO IV: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y),
para todo y ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en
torno al eje X, c ≥ 0, de la region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y), x = g(y)
y las rectas y = c ∧ y = d esta dado por:
Walter Arriaga D. Matematica II 79
X
Y
Ω
x = g(y)x = f(y)
c
0
d
V (S) = 2π
∫ d
cy[f(y)− g(y)]dy u3 (4.17)
CASO V: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x),
para todo x ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en
torno a la recta x = k, k ≤ a, de la region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x),
y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b esta dado por:
X
Y
Ω
y = f(x)
y = g(x)
a 0 bk
x=
k
V (S) = 2π
∫ b
a(x− k)[f(x)− g(x)]dx u3 (4.18)
CASO VI: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x),
para todo x ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en
torno a la recta x = k, b ≤ k, de la region plana Ω limitada por la grafica de y = f(x),
y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b esta dado por:
80 Matematica II Walter Arriaga D.
X
Y
Ωy = f(x)
y = g(x)
a 0 b k
x=
k
V (S) = 2π
∫ b
a(k − x)[f(x)− g(x)]dx u3 (4.19)
CASO VII: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y),
para todo y ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en
torno a la recta y = k, k ≤ c, de la region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y),
x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d esta dado por:
X
Y
Ω
x = g(y)x = f(y)
c0
d
k y = k
V (S) = 2π
∫ d
c(y − k)[f(y)− g(y)]dy u3 (4.20)
CASO VIII: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y),
para todo y ∈ I. El volumen del solido de revolucion S que se obtiene por la rotacion en
torno a la recta y = k, d ≤ k, de la region plana Ω limitada por la grafica de x = f(y),
x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d esta dado por:
Walter Arriaga D. Matematica II 81
X
Y
Ω
x = g(y)x = f(y)c
0
d
k y = k
V (S) = 2π
∫ d
c(k − y)[f(y)− g(y)]dy u3 (4.21)
4.2.3. Volumen de un solido en coordenadas polares y ecuaciones parametri-
cas
Sea f : [α, β] −→ R una funcion continua. El volumen del solido de revolucion S que se
obtiene por la rotacion en torno al eje polar, de la region plana Ω limitada por la grafica de
r = f(θ) y las rectas θ = α y θ = β esta dado por:
Ω
r = f(θ)
αβ
V (S) =2π
3
∫ β
αf3(θ) sen θ dθ u3 (4.22)
82 Matematica II Walter Arriaga D.
4.3. Longitud de arco
4.3.1. Longitud de arco en coordenadas cartesianas
CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion definida por y = f(x) y con derivada
continua. La longitud de arco de f desde x = a hasta x = b esta dado por:
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx =
∫ b
a
√
1 +
[dy
dx
]2
dx u (4.23)
CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funcion definida por x = g(y) y con derivada
continua. La longitud de arco de g desde y = c hasta y = d esta dado por:
L =
∫ d
c
√
1 + [g′(y)]2dy =
∫ b
a
√
1 +
[dx
dy
]2
dy u (4.24)
4.3.2. Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones parametricas
Sea f : [α, β] −→ R una funcion con derivada continua. La longitud de arco de la curva
r = f(θ) desde θ = α hasta θ = β esta dada por:
L =
∫ β
α
√
[f(θ)]2 + [f ′(θ)]2dθ u (4.25)
4.4. Area de una superficie de revolucion
4.4.1. Area de una superficie de revolucion en coordenadas cartesianas
CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion definida por y = f(x) y con derivada
continua. Haciendo girar la grafica de f desde x = a hasta x = b, alrededor del eje X,
se obtiene una superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:
A(S) = 2π
∫ b
af(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx u2 (4.26)
CASO II: Sea f : I −→ R, I = [c, d], una funcion definida por x = g(y) y con derivada
continua. Haciendo girar la grafica de g desde y = c hasta y = d, alrededor del eje Y , se
obtiene una superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:
A(S) = 2π
∫ d
cg(y)
√
1 + [g′(y)]2dy u2 (4.27)
Walter Arriaga D. Matematica II 83
CASO III: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funcion definida por y = f(x) y con derivada
continua tal que su grafica esta a un mismo lado de la recta y = k. Haciendo girar
la grafica de f desde x = a hasta x = b, alrededor de la recta y = k, se obtiene una
superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:
A(S) = 2π
∫ b
a|f(x)− k|
√
1 + [f ′(x)]2dx u2 (4.28)
CASO IV: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funcion definida por x = g(y) y con derivada
continua tal que su grafica esta a un mismo lado de la recta x = k. Haciendo girar
la grafica de g desde y = c hasta y = d, alrededor de la recta x = k, se obtiene una
superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:
A(S) = 2π
∫ d
c|g(y) − k|
√
1 + [g′(y)]2dy u2 (4.29)
4.4.2. Area de una superficie de revolucion en coordenadas polares y ecua-
ciones parametricas
Sea C una curva suave definida parametricamente por C :
x = x(t)
y = y(t), y C no se intersecta
a sı misma en el intervalo [α, β], donde las funciones x = x(t) y y = y(t) son funciones con
derivada continua en [α, β]. Haciendo girar la grafica de la curva C desde α hasta β, alrededor
del eje X, se obtiene una superficie de revolucion, cuya area de superficie esta dado por:
A(S) = 2π
∫ β
αy(t)
√
[x′(t)]2 + [y′(t)]2dt u2 (4.30)
4.5. Centro de gravedad
84 Matematica II Walter Arriaga D.
EJERCICIOS RESUELTOS 2.
I. Area de una region plana:
En cada uno de los siguientes ejercicios, graficar la region Ω y hallar su area. Ω esta li-
mitada por las graficas de:
1. y = cos x, x = −π/6, x = π/2, y = 0
Solucion
La grafica de la region Ω se muestra en la figura
X
Y
Ω
y = cosx1
−1
−π6 0 π
2
A(Ω) =
∫ π/2
−π/6cos x dx = senx
∣∣∣∣
π/2
−π/6
=
(
1 +1
2
)
u2
∴ A(Ω) =3
2u2
2. y = x2 + 2x− 3, x = −2, x = 0, y = 0
Solucion
La grafica de la region Ω se muestra en la figura 4.1
A(Ω) =
∫ 0
−2−(x2 + 2x− 3) dx = −
(x3
3+ x2 − 3x
)∣∣∣∣
0
−2
=
(
− 8
3+ 4 + 6
)
u2
∴ A(Ω) =22
3u2
3. y = 9− x2, y = x2 + 1
Solucion
Hallamos los puntos de interseccion de y = 9− x2 y y = x2 + 1, para ello,
9− x2 = x2 + 1 de donde x = ±2.
La grafica de la region se muestra en la figura 4.2
A(Ω) =
∫ 2
−2
[
(9− x2)− (x2 + 1)
]
dx = −(
8x− 2
3x3)∣∣∣∣
2
−2
Walter Arriaga D. Matematica II 85
–4
–3
–2
–1
0
1
2
–3 –2 –1 1x
Figura 4.1:
0
2
4
6
8
10
–3 –2 –1 1 2 3x
Figura 4.2:
∴ A(Ω) =64
3u2
4. y =x2 − x
1 + x2y = 0, x = −1, x = 2
Solucion
Para graficar la funcion y =x2 − x
1 + x2haremos uso de las aplicaciones de la derivada.
Para ello hacemos y′ = 0 de donde x = −1±√2 son los puntos crıticos.
−1−√2 −1 +
√2
+ − +
Se puede observar que en:
〈−∞, −1−√2 〉 la funcion es creciente
〈−1−√2, −1 +
√2 〉 la funcion es decreciente
〈−1 +√2, ∞〉 la funcion es creciente
La funcion alcanza su punto maximo en −1−√2 y f(−1−
√2) = −0,2071
es el punto maximo.
86 Matematica II Walter Arriaga D.
La funcion alcanza su punto mınimo en −1 +√2 y f(−1 +
√2) = 0,2071 es
el punto mınimo.
ahora hallamos los puntos de interseccion de y =x2 − x
1 + x2con el eje X
para ello hacemos y = 0 ⇒ x = 0 ∧ x = 1. La grafica de la region Ω se
muestra en la figura 4.3
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 1 2x
Figura 4.3:
A(Ω) =
∫ 0
−1
x2 − x
x2 + 1dx+
∫ 1
0−x2 − x
x2 + 1dx+
∫ 2
1
x2 − x
x2 + 1dx
A(Ω) =
[
x− arctan x− 1
2ln(x2 + 1)
]0
−1
−[
x− arctan x− 1
2ln(x2 + 1)
]1
0
+
[
x− arctan x− 1
2ln(x2 + 1)
]2
1
A(Ω) =
(
1− π
4+
1
2ln 2− 1 +
π
4+
1
2ln 2 + 2− arctan 2− 1
2ln 5− 1 +
π
4+
1
2ln 2
)
∴ A(Ω) =
(
1 +π
4− arctan 2 +
1
2ln
8
5
)
u2
Walter Arriaga D. Matematica II 87
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.
I. Area de una region plana
Area de una region plana en coordenadas cartesianas:
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el area de la region Ω limitada por las
graficas de:
1) Ω : y = x, y = 2x, x = −4, x = 4 Rpta.
2) Ω : y − 3x = 0, x− 3y = 0, x+ y = 4 Rpta. 4 u2
3) Ω : y = 2x, y = x2
4) Ω : y = x, y2 = 4x
5) Ω : y = 9− x2, y = 0
6) Ω : y = 4x− x2, y = 0
7) Ω : y = x2, y = 16 − x2
8) Ω : y = x2 − 9, y = 9− x2
9) Ω : y = x2 + 2x− 3, y = x− 1 Rpta. 9/2 u2
10) Ω : y = x2, y = 2x2, y = 1− x2
11) Ω : y = x2 − 2, y = |x| Rpta. 20/3 u2
12) Ω : y = x3, y = x2
13) Ω : y = x3 − 2x, y = 6x− x3
14) Ω : y2 = 2x, x2 + y2 − 4y = 0
15) Ω : y = x2 + 2x− 3, x = −2, x = 0, y = 0
16) Ω : y = 3x− x2, y = x2 − x Rpta. 8/3 u2
17) Ω : y = 2x− x2, y = x2 − 4x Rpta. 9 u2
18) Ω : x = y2 − 6, y = −x Rpta. 125/6 u2
19) Ω : y3 = x, y = 1, x = 8
20) Ω : y = x3, y = 8, x = 0
21) Ω : x = y2, x− y = 2 Rpta. 9/2 u2
22) Ω : y = (x− 1)3, x = 3, x = 8, y = 0
23) Ω : y = 6 + 2x− x2
4, y =
5
2x− 14
88 Matematica II Walter Arriaga D.
24) Ω : 4y = (x− 4)2, 4y = (x+ 4)2, 4y = −(x− 4)2, 4y = −(4 + x)2
25) Ω : x = y2, y = x3, x+ y = 2
26) Ω : y = x2, y = 8− x2, y = 4x+ 12
27) Ω : y2 + 8x = 16, y2 − 24x = 48
28) Ω : b2x2 + a2y2 = a2b2
29) Ω : y = x3 − 3x2 − x+ 3, y = 0 Rpta. 8 u2
30) Ω : y = x3 − 3x2 + 2x+ 2, y = 2x2 − 4x+ 2
31) Ω : y = 4− |x|, x = −4, x = 4, y = 0
32) Ω : y = 2− |x|, y = x2
33) Ω : y = |x|, y = 2− x2
34) Ω : y = |x− 1|, y = x2 − 2x, x = 0, x = 2
35) Ω : y =x2 − x
1 + x2, y = 0, x = −1, x = 2 Rpta. 2 ln 5 u2
36) Ω : y = ex, y = e−x, x = 1
37) Ω : y = ex, y = e−x, y = 0
38) Ω : y = 4− ln(x+ 1), y = ln(x+ 1), x = 0
39) Ω : y = cos x, x =−π
6, x =
π
2, y = 0
40) Ω : y = senx, x =−π
2, x =
−π
3, y = 0
41) Ω : y = senx, x =−π
3, x =
π
2, y = 0 Rpta. 3/2 u2
42) Ω : y = senx, y = cos x, x =−3π
4, x =
5π
4
43) Ω : y =2
3cos x, y = tan x, x = 0
44) Ω : y = |x+ 2| − |x− 2|, y = x Rpta. 8 u2
45) Ω : y = |x+ 2|+ |x− 2|, y = 10− |x|
46) Ω : y = |x+ 2|+ |x− 2|, y = −|x+ 2| − |x− 2|, x = −5, x = 5
47) Ω : y = | senx|, y = −x, y = −π + x
48) Ω : y =4
x2 + 2, y = |x|
49) Ω : y = arcsenx, y = arc cos x, x = 1
50) Ω : y = arc cos3x
2, y = arctan x, y = 0
51) Ω : x2/3 + y2/3 = a2/3
Walter Arriaga D. Matematica II 89
52) Ω : y =64
x2 + 16y su asıntota
53) Ω : y =2|x|
1 + x4, y =
−2|x|1 + x4
54) Ω : y = 6 + 2x− x2
4; y =
5
2x− 14, x ≤ 6
13− 2x, x > 6
55) Ω es la region de mayor area encerrada por las curvas x2 − 2y3 = 0, x2 − 8y = 0,
y = 3
56) Ω es la region de menor area encerrada por las curvas x2 + y2 = 20, y2 = 2x3
57) Ω es la region de mayor area encerrada por las graficas de 5x2 − 4y = 0 y la elipse
cuyos focos son los puntos (0 , ±6) y cuya longitud de su eje menor es 6.
Area de una region plana en coordenadas polares y ecuaciones parametricas:
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el area de la region Ω limitada por las
graficas de:
1) Ω : r = 1 + cos θ Rpta. π u2
2) Ω : r = 4 sen 3θ Rpta. 4π u2
3) Ω : r = 2− 4 cos θ Rpta. 4π − 7√3 u2
4) Ω : Region interior a r = 3 + cos 4θ y r = 2− cos 4θ Rpta. 37π/6 u2
II. Volumen de un solido
Volumen de un solido usando secciones transversales:
Volumen de un solido de revolucion en coordenadas cartesianas:
En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular el volumen del solido generado por la
rotacion de la region Ω alrededor de la recta L, donde:
1) A Rpta. A
2) L : y = 0; Ω : y =64
x2 + 16y su asıntota
3) L : y = 0; Ω : y =2|x|
1 + x4, y =
−2|x|1 + x4
Volumen de un solido en coordenadas polares y ecuaciones parametricas:
III. Longitud de arco
Longitud de arco en coordenadas cartesianas:
90 Matematica II Walter Arriaga D.
En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular la longitud de arco de la curva C descrita
por:
1) C : y =2
3x3/2 + 1, x = [0, 1] Rpta. A
2) C : y =x4
8+
1
4x2, x = [1, 2] Rpta. A
3) C : y =x5
10+
1
6x3, x = [1, 2] Rpta. A
4) C : y =1
2(ex + e−x), x = [0, 2] Rpta. A
Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones parametricas:
IV. Area de una superficie de revolucion
Area de una superficie de revolucion en coordenadas cartesianas:
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el area de la superficie de revolucion que
se obtiene al girar alrededor de la recta L, la curva C descrita por:
a) L : y = 0; C : y =x3
9, x ∈ [0, 2]
Area de una superficie de revolucion en coordenadas polares y ecuaciones
parametricas:
V. Centro de gravedad
Bibliografıa
[1] Apostol, Tom. Calculus, volume 1 y 2. Reverte. Barcelona, 1975.
[2] Ayres, Frank. Calculo diferencial e integral. McGraw-Hill. Espana, 1991.
[3] Edwards y Penney. Calculo, con geometrıa analıtica. Prentice Hall, Pearson Educacion.Mexico, 4° edition, 2001.
[4] Larson, Roland. Hostetler, Robert. Edwards, Bruce. Calculo y Geometrıa Analıtica. McGraw Hill, Madrid, octava edition, 2002.
[5] Leithold, Louis. El calculo con geometrıa analıtica. Harla. Mexico, 1982.
[6] Pita Ruiz, Claudio. Calculo Vectorial. Prentice Hall, 1995.
[7] Purcell, Varberg y Rigdon. Calculo. Prentice Hall, Pearson Educacion. Mexico, 8° edition,2001.
[8] Simmons, George F. Calculo con geometrıa analıtica. MacGraw Hill. Espana, 2° edition,2002.
[9] Spivak, Michael. Calculo Infinitesimal, volume 1 y 2. Reverte. Barcelona, 1970.
[10] Stewart, James. Calculo de una variable. Transcendentes tempranas. Thomson, 4° edition,2001.
[11] Thomas, George; Finney, Ross L. Calculo con geometrıa analıtica, volume 1 y 2. AddisonWesley, 9° edition, 1999.
91
92 Matematica II Walter Arriaga D.
Indice alfabetico
antiderivada, 3
centro de gravedad, 83
integracionpor partes, 8por sustitucion, 7
integralde Riemann, 56inferior, 56superior, 56
longitud de arco, 82
particion regular, 52primitiva, 3
solido de revolucion, 73suma
inferior, 55superior, 55
superficie de revolucion, 82
93
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