calculo. hoja 13. ecuaciones diferenciales de orden superior

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. ester.patino@upm.es

CALCULO. Hoja 13.

Ecuaciones diferenciales de orden superior.

1. Calcular la solucion general de las siguientes ecuaciones diferenciales

(a) y′′ − y = 0

(b) y′′ − 4y′ + 2y = 0

(c) y′′ + 4y′ + 5y = 0

(d) y′′′ − 4y′′ − 7y′ + 10y = 0

(e) y′′′ − 3y′ + 2y = 0

(f) y′′′ − y′ = 0

(g) y′′′ + 6y′′ + 12y′ + 8y = 0

(h) y′′′ + 2y′′ + 4y′ + 8y = 0

(i) yIV − 4y′′′ + 2y′′ + 4y′ − 3y = 0

(j) yIV − 16y = 0

(k) yIV − 5y′′′ + 9y′′ − 7y′ + 2y = 0

(l) y′′′ − y′′ + y′ − y = 0

(m) yIV − 6y′′′ + 7y′′ − 12y′ + 10y = 0

(n) y′′ + 2y′ + 5y = 0

(o) yIV + 4y′′′ + 14y′′ + 20y′ + 25y = 0

2. Resolver las siguientes problemas de valor inicial

(a) y′′ − 5y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 5

(b) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 5

(c) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 5

(d) y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

(e) y′′ + 8y′ − 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 5

3. Resolver las siguientes problemas con condicion de contorno

(a) y′′ + 4y = 0, y(0) = 2, y(π4) = 5

(b) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 3, y(2) = 0

4. Hallar una ecuacion diferencial lineal homogenea de orden 2, sabiendo que xex esuna de sus soluciones. Resolver la ecuacion encontrada.

5. Encontrar la ecuacion diferencial homogenea sabiendo que la ecuacion caracterısticatiene por raıces λ1 = −2, λ2 = 0, λ3 = 2. Hallar la solucion general.

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. ester.patino@upm.es

6. Hallar una ecuacion diferencial lineal del mınimo orden posible, homogenea, concoeficientes constantes, que tenga entre sus soluciones a la funcion :

f(x) = xex cos(x).

Hallar la solucion general.

7. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′′′ − y′′ + 4y′ − 4y = x

(b) y′′ + 3y′ − 4y = 2x2 − 3x+ 6

(c) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = x

(d) y′′ − 3y′ + 2y = 2x

(e) y′′ + 3y′ − 10y = 6e4x

(f) y′′ + 3y′ − 10y = 6e4x + 1

(g) y′′ + 3y′ − 10y = e2x

(h) y′′ − 5y′ + 4y = 8ex

(i) y′′ − 2y′ − 3y = 4x− 5 + 6xe2x

(j) y′′ − 2y′ = x+ ex

(k) y′′ − 2y′ = x+ e2x

(l) y′′ + 10y′ + 25y = 14e−5x

(m) y′′ + 4y = 3 sinx

(n) y′′ − 2y′ − 3y = 2 sinx+ 1

(o) y′′ + y = sinx

(p) u′′(x)− u′(x) + u(x) = 2 sin 3x

(q) u′′′(x) + 2u′′(x) + 9u′(x) + 18u(x) = 13 cos 3x

(r) u′′′(x) + u′′(x) + 4u′(x) + 4u(x) = 10 sin 2x

(s) y′′ + y′ + 4y = 2 sinhx

(t) y′′ − 3y′ + 2y = 14 sin(2x)− 18 cos(2x)

(u) y′′ − 2y′ + 2y = ex sin x

(v) y′′ + y′ = 10x4 + 2

(w) y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = e3x

(x) yIV ) + 2y′′ + y = x

8. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) y′′ + y = cos2 x

(b) y′′ + y′ = log x

(c) y′′′ + y′ = tanx

(d) y′′′ + 4y′ = sec 2x

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. ester.patino@upm.es

9. De la ecuacion diferencial

y′′′ + a2y′′ + a1y

′ + a0y =1

x

se conocen tres soluciones linealmente independientes de la ecuacion homogenea

asociada:

{1, x,

1

x

}.

Hallar la solucion particular de la ecuacion, y(x), que satisface las condiciones:y(1) = y′(1) = y′′(1) = 0.

10. Sabiendo que u(x) = e−x es solucion de la ecuacion diferencial homogenea asociadaa

u′′′(x) + u′′(x) + bu′(x) + u(x) = xex,

determinar su solucion general.

11. Resolver los siguientes problemas de valor inicial:

(a)

y′′ − 4y′ + 3y = 18xy(0) = 3y′(0) = 2

(b)

y′′ + y = x2

y(0) = 1y′(0) = 0

(c)

y′′ + 2y′ + y = 2t+ 1y(0) = 1y′(0) = 1

(d)

y′′ − 2y′ − 3y = e3x

y(0) = 1y′(0) = 0

(e)

u′′(x)− 6u′(x) + 9u(x) = 6x2 + 2u(0) = 1u′(0) = 0

(f)

y′′ − 2y′ + y = cos xy(0) = 0y′(0) = 1

(g)

y′′ − 2y′ + y = cos x+ 2x2 − 1y(0) = 0y′(0) = 1

(h)

y′′′ + y′′ − 2y′ = 5− ex

y(0) = 1y′(0) = 1y′′(0) = 1

(i)

y′′′ + y′′ − 2y′ = 5x3 − 2x− ex

y(0) = 1y′(0) = 1y′′(0) = 1

Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. Calculo. ester.patino@upm.es

(j)

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 4y(0) = 1y′(0) = 0y′′(0) = 0

(k)

{yiv) − y = 5y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0

(l)

y′′′ + y′′ = x+ e−x

y(0) = 1y′(0) = 0y′′(0) = 1

(m)

y′′′ + y′′ = x2 + e−x

y(0) = 1y′(0) = 0y′′(0) = 1