cálculo diferencial e integral 2: derivadas direcionais e ... · determine a taxa de varia˘c~ao...
Post on 06-Jul-2019
212 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Calculo Diferencial e Integral 2:Derivadas direcionais e o vetor gradiente
Jorge M. V. Capela
Instituto de Quımica - UNESPAraraquara, SP
capela@iq.unesp.br
Araraquara, SP - 2017
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
1 Derivadas direcionais
2 Vetor gradiente
3 Plano tangente a uma superfıcie F (x , y , z) = k
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Lembrete: derivadas parciais!
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Definicao das derivadas parciais
Direcao do vetor ~i = (1, 0) (eixo x)
fx(x0, y0) = limh→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)
h
Direcao do vetor ~j = (0, 1) (eixo y)
fy (x0, y0) = limh→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)
h
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Derivadas direcionais
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Definicao das derivada direcional
Direcao do vetor unitario ~u = (a, b)
D~u(x0, y0) = limh→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h,
se esse limite existir.
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Se g(h) = f (x0 + ha, y0 + hb), entao g ′(0) = D~u(x0, y0)
Se x = x0 + ha e y = y0 + hb, entao g(h) = f (x , y) e
g ′(h) = fx(x , y)a + fy (x , y)b
g ′(0) = fx(x0, y0)a + fy (x0, y0)b
D~u(x0, y0) = fx(x0, y0)a + fy (x0, y0)b
Formula para determinar a derivada direcional
D~u(x , y) = fx(x , y)a + fy (x , y)b
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Exemplo 1
Se ~u e um vetor unitario que faz um angulo π/6 com o eixo xpositivo e se f (x , y) = x3 − 3xy + 4y2, determine D~uf (1, 2).
Sao dados cos(π/6) =√
3/2 e sen(π/6) = 1/2
Resp.:13− 3
√3
2
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Vetor gradiente: ∇f (x , y)
∇f (x , y) = (fx(x , y), fy (x , y)) = fx(x , y)~i + fy (x , y)~j
D~uf (x , y) = ∇f (x , y) · ~u = |∇f (x , y)| cos θ, sendo θ o anguloentre ~u e ∇f (x , y)
O valor maximo de D~uf (x , y) ocorre quando ~u tem a mesmadirecao de ∇f (x , y).
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Exemplo 2
Se f (x , y) = xey determine a taxa de variacao no ponto P(2, 0) na
direcao de P a Q
(1
2, 2
). Em que direcao f tem a maxima taxa de
variacao? Qual e a maxima taxa de variacao?
Resp.: D~uf (2, 0) = 1. Direcao do vetor (1, 2) e taxa maxima de√
5
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
O vetor gradiente e normal as curvas de nıvel
f (x , y) = k ao longo de uma curva ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j
f (x(t), y(t)) = k
fxx′(t) + fyy
′(t) = 0⇔ ∇f (x(t), y(t)) · ~r ′(t) = 0
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Mapa topografico de um morro
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Gradiente a uma superfıcie F (x , y , z) = k
Superfıcie F (x , y , z) = k contendo um ponto P(x0, y0, z0)
Curva contida na superfıcie passando por P:
~r(t) = (x(t), y(t), z(t)), sendo ~r(t0) = (x0, y0, z0)
F (x(t), y(t), z(t)) = k
∇F · ~r ′(t) = 0 ou ∇F (x0, y0, z0) · ~r ′(t0) = 0
O gradiente e perpendicular a qualquer curva na superfıcie
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Plano tangente a uma superfıcie F (x , y , z) = k
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Plano tangente a uma superfıcie F (x , y , z) = k
Seja um plano tangente a superfıcie em P0(x0, y0, z0).
Seja P(x , y , z) um ponto arbitrario do plano tangente, entao
∇F (x0, y0, z0) ·−−→P0P = 0
Equacao do plano
Fx(x0, y0, z0)(x−x0)+Fy (x0, y0, z0)(y−y0)+Fz(x0, y0, z0)(z−z0) = 0
Caso particular: z = f (x , y)
F (x , y , z) = f (x , y)− z = 0
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Equacoes da reta normal ao plano tangente
Equacao vetorial
−−→P0P = t∇F (x0, y0, z0), −∞ ≤ t ≤ +∞
Equacoes parametricas:x = x0 + Fx(x0, y0, z0)t
y = y0 + Fy (x0, y0, z0)t
z = z0 + Fz(x0, y0, z0)t
,−∞ ≤ t ≤ +∞
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Exemplo 3
Determine as equacoes do plano tan-gente e da reta normal ao elipsoide
x2
4+ y2 +
z2
9= 3
no ponto P0(−2, 1,−3).
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Exercıcios
1) Determine a taxa de variacao maxima de f (x , y) = xe−y + 3y noponto (1,0) e a direcao que isso ocorre.
2) Determine a direcao onde f (x , y) = x4y − x2y3 decresce maisrapido no ponto (2,−3)
3) Determine as direcoes em que a derivada direcional de f (x , y) =x2 + senxy no ponto (1, 0) tem valor 1.
4) A temperatura T em uma bola de metal e inversamente propor-cional a distancia do centro da bola, que tomamos como sendo aorigem. A temperatura no ponto (1,2,2) e 120o .(a) Determine a taxa de variacao de T em (1,2,2) em direcao aoponto (2,1,3).(b) Determine a partir do ponto (1,2,2) a direcao de maior cres-cimento da temperatura
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Exercıcios
5) Suponha que em uma regiao do espaco o potencial eletrico sejadado por
V (x , y , z) = 5x2 − 3xy + xyz
Determine a taxa de variacao do potencial em (3,3,5) na direcaodo vetor ~v = (1, 1,−1). Em que direcao V varia mais rapidamenteem P? E qual e a taxa maxima de variacao em P?
6) Seja f (x , y) uma funcao de duas variaveisque tenha derivadas par-ciais contınuas e considere os pontos A(1,3), B(3,3), C(1,7) e
D(6,15). A derivada direcional em A na direcao do vetor−→AB
e 3 e a derivada direcional em A na direcao do vetor−→AC e 26.
Determine a derivada direcional em A na direcao do vetor−→AD.
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
Derivadas direcionaisVetor gradiente
Plano tangente a uma superfıcie F (x, y, z) = k
Exercıcios
7) Mostre que a reta normal a esfera x2 + y2 + z2 − r2 passa pelocentro da esfera.
8) Determine a equacao do plano tangente e da reta normal a su-perfıce x2 + 2y2 + 3z2 = 21 no ponto (4,-1,1).
Jorge M. V. Capela Inst. Quımica, Unesp - 2017
top related