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Calculo

Nociones basicas

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Febrero, 2005

Calculo

Nociones basicas

Indice general

Nociones basicas

Calculo

Nociones basicas

Numeros complejos

Valor absoluto

Funciones reales de variablereal

Lımites

Continuidad

Derivacion de funciones realesde variable real

Extremos relativos

Teoremas del calculodiferencial

Concavidad y convexidad

Derivacion implıcita yparametrica

Polinomio de Taylor

Nociones basicasNumeros complejosValor absolutoFunciones reales de variable realLımitesContinuidadDerivacion de funciones reales de variable realExtremos relativosTeoremas del calculo diferencialConcavidad y convexidadDerivacion implıcita y parametricaPolinomio de Taylor

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Numeros complejos

Valor absoluto

Funciones reales de variablereal

Lımites

Continuidad

Derivacion de funciones realesde variable real

Extremos relativos

Teoremas del calculodiferencial

Concavidad y convexidad

Derivacion implıcita yparametrica

Polinomio de Taylor

Conjuntos de numeros

IN ⊂ Z⊂Q⊂ IR⊂ C

Densidad deQ en IR: dadosa,b∈ IR, a < b, existeq∈Q t.q.a < q < b

Sea un subconjuntoA⊂ IR, A 6= φ .

DefinicionDecimos que s∈ IR escota superiorde A si:

x≤ s, ∀x∈ A

En este caso, decimos que A esta acotado superiormente

I De manera analoga, se dice quei ∈ IR escota inferior delconjuntoA si i ≤ x, ∀x∈ A, y decimos queA esta acotadoinferiormente

I Si un subconjunto deIR esta acotado superior e inferiormente, lollamamosacotado

I Las cotas superior e inferior no son necesariamenteunicas

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Derivacion de funciones realesde variable real

Extremos relativos

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Derivacion implıcita yparametrica

Polinomio de Taylor

Conjuntos de numeros

DefinicionDecimos que s∈ IR essupremode A (supA) si s es cota superior deA y cualquier otra cota superior, s′, de A verifica: s≤ s′. Decimos quei ∈ IR esınfimo de A (ınfA) si i es cota inferior de A y cualquier otracota inferior, i′, de A verifica: i′ ≤ iI El supremo eınfimo deA se representan por sup(A) e ınf(A),

respectivamente.I Si, ademas, pertenecen al propio conjuntoA, se les llama

maximo y mınimo:sup(A) ∈ A =⇒ sup(A) = max(A)ınf(A) ∈ A =⇒ ınf(A) = mın(A)

Axioma del supremo. SeaA un subconjunto deIR no vacıo yacotado superiormente. Entonces existe sup(A)

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Numeros complejos

DefinicionEl cuerpo de los numeros complejos es el conjunto

C = ({(a,b) / a,b∈ IR},+, ·)

dotado de las operaciones:I (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)I (a,b) · (c,d) = (ac−bd,ad+bc)

Representaciones de un numero complejoz:

(a,b) = a+ ib = |z|θ

i =√−1 es la denominadaunidad imaginaria

|z|=√

a2 +b2 es elmodulo, o distancia al origen

θ ∈ [0,2π) se denominaargumento

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Numeros complejos

Se defineeiθ = cosθ + i sinθ lo cual permite escribir:

z= |z|eiθ = |z|(cosθ ,sinθ)

Dadoz= a+ ib, z= a− ib es elconjugadodez

Propiedades:I |z1|θ1

|z2|θ2= |z1| · |z2|θ1+θ2

I |z1|θ1/ |z2|θ2

= (|z1| / |z2|)θ1−θ2I Seaa∈ IR; entoncesa = a+0i ∈ C. Podemos considerarIR⊂ CI Todo polinomiop(x) = anxn +an−1xn−1 + ...+a1x+a0, ai ∈ C

tienen raıces enC

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Valor absoluto

Seax∈ IR.

DefinicionLlamamos valor absoluto de x a la cantidad:

|x|= max{x,−x}

I Es facil comprobar que:

|x|=

{x, si x≥ 0

−x, si x < 0

I El valor absoluto de un numero nos proporciona la distancia dedicho numero al origen

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Valor absoluto

PropiedadSean x,y∈ IR.

I |x| ≥ 0I |x|= 0 ⇐⇒ x = 0I |x+y| ≤ |x|+ |y|I |xy|= |x| |y|I Si C> 0, |x| ≤ C ⇐⇒ −C≤−|x| ≤ x≤ |x| ≤ C

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Funcion real de variable real

SeaA⊂ IR.

DefinicionLa correspondencia f: A−→ IR es unafuncion si a cada x∈ A lecorresponde unaunica imagen f(x) ∈ IR

Llamamos:I dominio: D(f ) = {x/ existef (x)}= {x/f (x) ∈ IR}I imagen: Im (f ) = {y∈ IR/y = f (x) para algunx∈ IR}

DefinicionSea B⊂ A. f escrecienteen B si

∀x1,x2 ∈ B /x1 < x2 =⇒ f (x1)≤ f (x2)

I Analogamente se define funcionestrictamente creciente,decrecientey estrictamente decreciente

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Polinomio de Taylor

Funcion real de variable real

SeanA,B⊂ IR y seaf : A−→ B.

DefinicionDecimos que f esinyectiva si:

x1 6= x2 =⇒ f (x1) 6= f (x2)

DefinicionDecimos que f essobreyectivasi: Im (f ) = B

DefinicionDecimos que f esbiyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez

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Polinomio de Taylor

Funcion real de variable real

DefinicionDecimos que una funcion f espar si f(x) = f (−x), y decimos que esimpar si f(x) =−f (−x)

Sonfunciones elementaleslas siguientes:I polinomicas:p(x) = anxn +an−1xn−1 + . . .+a1x+a0, ai ∈ IRI racionales:

pq

, dondep y q son polinomios

I trigonometricas: sin, cos, tan, . . .I trigonometricas inversas: arcsin, arccos, . . .I exponenciales:ax, a > 0I logarıtmicas: logax, a > 0I potenciales:xa, a > 0

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Lımite de una funcion en un punto

Seaf : (a,b)−→ IR.

DefinicionDecimos que l∈ IR esl ımite de f en x0 ∈ (a,b) si:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que0 < |x−x0|< δ =⇒ |f (x)− l|< ε

Se representa porl ımx→x0

f (x) = l.

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Polinomio de Taylor

La definicion de lımite se extiende a los casosx0 =±∞ yl =±∞. Por ejemplo:

I l ımx→x0

f (x) = ∞⇔∀M > 0∃δ > 0/

0< |x−x0|< δ =⇒ |f (x)|> M

I l ımx→−∞

f (x) = ∞⇔∀M > 0∃C < 0/

x < C =⇒ |f (x)|> M

PropiedadEl lımite de una aplicacion en un punto, si existe, esunico.

PropiedadSupongamos quel ım

x→x0f (x) = l1 y l ım

x→x0g(x) = l2. Entonces,

I l ımx→x0

(f (x)+g(x)) = l1 + l2I l ım

x→x0(f (x)g(x)) = l1 l2

I l ımx→x0

(f (x)g(x)

)=

l1l2

si l2 6= 0

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Decimos que la funcion f tiene:I unaasıntota horizontal eny = l si: lım

x→±∞f (x) = l

I unaasıntota vertical enx = x0 si: lımx→x0

f (x) =±∞

I unaasıntota oblicua si: lımx→±∞

f (x)x

= my lımx→±∞

(f (x)−mx) = n;

la ecuacion de la asıntota es:y = mx+n si:

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Continuidad

Seaf : (a,b)−→ IR, x0 ∈ (a,b).

DefinicionDecimos que la aplicacion f escontinua en x0 si y solo si:

∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que|x0−x|< δ =⇒ |f (x0)− f (x)|< ε

o bien, teniendo en cuenta la definicion de lımite, si l ımx→x0

f (x) = f (x0).

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En caso de no cumplir la condicion anterior, decimos quef esdiscontinuaenx0. Las discontinuidades pueden ser de varios tipos:I evitable: lım

x→x0f (x) 6= f (x0),

I esencial: no existe el lımite def enx0, porque:I l ım

x→x−0f (x) 6= l ım

x→x+0

f (x)

I alguno de los lımites laterales (o ambos) no existe

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Polinomio de Taylor

PropiedadSi f,g : (a,b)−→ IR son funciones continuas en x0 ∈ (a,b),

I (f ±g) y (f ·g) son continuas en x0I si g(x0) 6= 0, entonces

fg

es continua en x0

PropiedadLa composicion de funciones continuas es una funcion continua.Ademas, si f y g son funciones tales quel ım

x→x0f (x) = l y g es continua

en l, entoncesl ım

x→x0g(f (x)) = g(l)

DefinicionDiremos que f: [a,b]−→ IR es continua en[a,b] si y solo si escontinua en todos los puntos de(a,b), continua en a por la derecha yen b por la izquierda.

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Teorema de Bolzano

Teorema (de Bolzano)Sea f: [a,b]−→ IR continua. Supongamos que f(a)f (b) < 0.Entonces∃x0 ∈ (a,b) tal que f(x0) = 0.

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Teorema de Weierstrass

Teorema (de Weierstrass)Si f : [a,b]−→ IR es continua, entonces f alcanza el maximo y elmınimo en el intervalo[a,b], es decir, existen x1,x2 ∈ [a,b] tales que:

f (x1)≤ f (x)≤ f (x2) , ∀x∈ [a,b]

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Derivada

Seaf : (a,b)−→ IR.

DefinicionSe dice que f esderivable en el punto x0 ∈ (a,b) si existe el siguientelımite:

l ımx→x0

f (x)− f (x0)x−x0

= l ımh→0

f (x0 +h)− f (x0)h

,

en cuyo caso, dicho lımite se representa por f′(x0).

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Polinomio de Taylor

I Como estamos hablando de lımites, podemos diferenciar lımitepor la izquierda y por la derecha:f ′−(x0) y f ′+(x0),respectivamente.

=⇒ f es derivable enx0 si y solo si f ′−(x0) = f ′+(x0).

DefinicionSi f es derivable en x0, la recta tangentea f en x0 es la recta deecuacion y= f (x0)+ f ′(x0)(x−x0).

PropiedadSi f es derivable en x0, entonces f es continua en x0. El recıproco nosiempre es cierto.

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Polinomio de Taylor

Regla de la cadenaSeanf y g dos funciones tales quef es derivable enx0 y g esderivable enf (x0). Entonces(g◦ f ) es derivable enx0 y

(g◦ f )′ (x0) = g′ (f (x0)) f ′(x0)

Derivada de la funcion inversaSeaf una funcion derivable enx0 y tal quef ′(x0) 6= 0. Entoncesf−1,si existe, es derivable enf (x0) y(

f−1)′

(f (x0)) =1

f ′(x0),

lo que equivale a (f−1

)′(y0) =

1f ′ (f−1(y0))

.

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Derivadas sucesivas

DefinicionSea f: (a,b)−→ IR una funcion derivable en todos los puntos de(a,b). Definimos la funcion derivada como:

f ′ : (a,b) −→ IRx f ′(x)

I Dadox0 ∈ (a,b) se define:

f ′′(x0) = l ımk→0

f ′(x0 +h)− f ′(x0)h

,

si este lımite existe y es finito. En este caso, se dice quef esderivable dos veces enx0.

I En general, una vez que se tienef (n) : (a,b)−→ IR, se define:

f (n+1)(x0) =(

f (n))′

(x0)

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Polinomio de Taylor

DefinicionDiremos que f es declasen en(a,b), y se representa por:

f ∈ C n(a,b)

si existe la derivada n–esima de f en(a,b) y es continua.

I Diremos quef ∈ C ∞(a,b) si f ∈ C n(a,b), ∀n∈ IN.I Diremos quef ∈ C n[a,b], si existe(c,d)⊃ [a,b] tal que

f ∈ C n(c,d).

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Extremos relativos

DefinicionSea f: (a,b)−→ IR. Diremos que la funcion f tiene unmınimo localo relativo en x0 ∈ (a,b) si existe r> 0 tal que:

f (x0)≤ f (x) , ∀x∈ (x0− r,x0 + r)

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DefinicionSea f: (a,b)−→ IR. Diremos que la funcion f tiene unmaximo localo relativo en x0 ∈ (a,b) si existe r> 0 tal que:

f (x0)≥ f (x) , ∀x∈ (x0− r,x0 + r)

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PropiedadSea f: (a,b)−→ IR derivable en x0 ∈ (a,b). Si f tiene en x0 unextremo relativo, entonces f′(x0) = 0.

Criterio de la primera derivadaSeaf : [a,b]−→ IR una funcion continua,x0 ∈ (a,b) y exister > 0 talquef es derivable en(x0− r,x0)∪ (x0,x0 + r).

I Si f ′(x) < 0,∀x∈ (x0− r,x0), y f ′(x) > 0,∀x∈ (x0,x0 + r),entoncesf presenta enx0 un mınimo relativo

I Si f ′(x) > 0,∀x∈ (x0− r,x0), y f ′(x) < 0,∀x∈ (x0,x0 + r),entoncesf presenta enx0 un maximo relativo

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Criterio de la segunda derivadaSeaf : (a,b)−→ IR con derivada segunda continua en(a,b). Seax0 ∈ (a,b) tal quef ′(x0) = 0. Entonces:

I si f ′′(x0) < 0, f presenta enx0 un maximo relativo,I si f ′′(x0) > 0, f presenta enx0 un mınimo relativo.

PropiedadSean f∈ C n(a,b) y x0 ∈ (a,b) tales quef ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0 y f (n)(x0) 6= 0. Entonces

I Si n es par y f(n)(x0) < 0, f presenta en x0 un maximo relativoI Si n es par y f(n)(x0) > 0, f presenta en x0 un mınimo relativoI Si n es impar f no tiene extremos relativos en x0

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Teorema (de Rolle)Sea f: [a,b]−→ IR una funcion continua en[a,b], derivable en(a,b)y tal que f(a) = f (b). Entonces existe al menos un punto x0 ∈ (a,b)tal que f′(x0) = 0

Consecuencias:I Si f tienen raıces reales,f ′ tendra, al menosn−1 raıces realesI Si f ′ tienen raıces reales,f tendra, a lo sumon+1 raıces reales

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Teorema de Lagrange

Teorema (del valor medio de Lagrange)Sea f: [a,b]−→ IR una funcion continua en[a,b] y derivable en(a,b). Existe x0 ∈ (a,b) tal que

f ′(x0) =f (b)− f (a)

b−a

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Regla de L’Hopital

Regla de L’HopitalSeanf ,g : (a,b)−→ IR funciones derivables en(x0− r,x0)∪ (x0,x0 + r), conx0 ∈ (a,b) y r > 0. Si

lımx→x0

f (x) = l ımx→x0

g(x) = 0 y ∃ l ımx→x0

f ′(x)g′(x)

entonces,

∃ l ımx→x0

f (x)g(x)

y lımx→x0

f (x)g(x)

= l ımx→x0

f ′(x)g′(x)

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Regla de L’Hopital

I El recıproco no es cierto:

∃ l ımx→x0

f (x)g(x)

6=⇒ ∃ l ımx→x0

f ′(x)g′(x)

I El enunciado del teorema tambien es valido si:

lımx→x0

f (x) =±∞ y lımx→x0

g(x) =±∞

o cuando calculamos los lımites en±∞

I Si en la expresion lımx→x0

f ′(x)g′(x)

se vuelve a producir una

indeterminacion del tipo00

o∞∞

se puede volver a aplicar

l’H opital (si se verifican las hipotesis)

I Las indeterminaciones 0·∞, ∞−∞, 00, ∞0 y 1∞ se puedenreducir a indeterminaciones de tipo l’Hopital

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Concavidad y convexidad

Seaf : [a,b]−→ IR una funcion continua.

DefinicionDecimos que f esconvexaen[a,b] si

f (x)≤ f (b)− f (a)b−a

(x−a)+ f (a) , ∀x∈ [a,b]

DefinicionDecimos que f esconcavaen[a,b] si (−f ) es convexa en[a,b]

Definicionf tiene un punto de inflexion en x0 si cambia de concava a convexa (oviceversa) en x0

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Concavidad y convexidad

Seaf : [a,b]−→ IR una funcion continua.

PropiedadSea f: [a,b]−→ IR continua en[a,b] y derivable en(a,b). Entonces fes convexa en[a,b] si y solo si f′ es creciente en(a,b). Esto equivalea que f′′ ≥ 0, si f tiene derivada segunda.

Respectivamente,f es concava en[a,b] si y solo si f ′ esdecreciente en(a,b) (es decir, si existe derivada segunda, si ysolo si f ′′ ≤ 0).

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Derivacion implıcita yparametrica

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Derivacion implıcita

Una ecuacionF(x,y) = 0 define implıcitamente una funcion f enun intervalo(a,b) si:

F(x, f (x)) = 0 ∀x∈ (a,b)

Por ejemplo, la ecuacion:

x2 +y2 = 4

define la funcion

f (x) =√

4−x2 ∀x∈ (−2,+2)

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Polinomio de Taylor

Derivacion implıcita

PropiedadSi f es derivable, entonces F tambien lo es.

Como consecuencia, podemos calcularf ′ a partir deF′.

Calculo

Nociones basicas

Numeros complejos

Valor absoluto

Funciones reales de variablereal

Lımites

Continuidad

Derivacion de funciones realesde variable real

Extremos relativos

Teoremas del calculodiferencial

Concavidad y convexidad

Derivacion implıcita yparametrica

Polinomio de Taylor

Derivacion implıcita

I Dada la ecuacionx2 +2y2−3xy= 0, deseamos calculary′(1,1).Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos:

2x+4yy′−3y−3xy′ = 0.

Parax = 1, y = 1,

2+4y′−3−3y′ =−1+y′ = 0,

de dondey′(1,1) = 1.

I Dada la ecuacionx−1

4+4y2 = 1, deseamos calculary′(1,0,5).

Derivando y aplicando la regla de la cadena, tenemos:

14

+8yy′ = 0 =⇒ y′ =− 132y

de dondey′(1,0,5) =−1/16.

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Funciones reales de variablereal

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Concavidad y convexidad

Derivacion implıcita yparametrica

Polinomio de Taylor

Derivacion logarıtmica

Es un caso particular del tema anterior.

I Supongamos que queremos calcular la derivada de la funcionf (x) = xx.

Seay = xx. Tomando logaritmos:

lny = x lnx

y derivando:

y′

y= lnx+

xx

= 1+ lnx

de donde:y′ = y(1+ lnx) = xx (1+ lnx).

Calculo

Nociones basicas

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Derivacion implıcita yparametrica

Polinomio de Taylor

Derivacion parametrica

Sea una funciony = y(x), o una curva, dada por sus ecuacionesparametricas: {

x = x(t)y = y(t)

t ∈ (a,b)

Si las expresiones dex ey son derivables con respecto at,tendremos:

y′ =dydx

=dy/dtdx/dt

I Ejemplos:{x = 4(t−sint)y = 4(1−cost)

{x = 4sin2 t +1

y = 0,5 cost

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Derivacion implıcita yparametrica

Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor

Seaf : [a,b]−→ IR una funcion que admite derivadan−sima.

Parax0 ∈ [a,b], definimos elpolinomio de Taylor de gradonrelativo a la funcion f y al puntox0 como:

Pn(x) = f (x0)+f ′(x0)

1!(x−x0)+

f ′′(x0)2!

(x−x0)2 + . . .

+f (n)(x0)

n!(x−x0)n

Entonces, para todox∈ (a,b) existeξ ∈ (a,x0) o ξ ∈ (x0,b) talque:

f (x) = P(x)+f (n+1)(ξ )(n+1)!

(x−x0)n+1 = P(x)+Rn+1

I Si x0 = 0, el polinomio se denominade McLaurin .

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Polinomio de Taylor

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Polinomio de Taylor

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Polinomio de Taylor

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