Bateria Ecuaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES

PRACTICA #1

I) Soluciones de ecuaciones diferenciales

1) Demostrar por sustitución directa en la ecuación diferencial, comprobando las constantes arbitrarias, que cada primitiva a lugar a la correspondiente ecuación diferencial.

a) es solución de

Solución:

y=C1 Senx+C2 x

……….. (1)

…………………. (2)

y=C1 Senx+C2 x…………….. (3)

Luego sumamos (1), (2) y (3)

b) y=C1ex+C2 xe

x+C3e−x+2 x2ex es solución de

Solución:

y=C1ex+C2 xe

x+C3e−x+2 x2ex

.......… .. (1)

……………………..… … (2)

… ….. (3)

y=C1ex+C2 xe

x+C3e−x+2 x2ex………………….. (4)

Luego sumamos (1), (2), (3) y (4)

2) Demostrar que y=2x+Cex es la solución de la ecuación diferencial,

y hallar la solución particular para x=0 , y=3 ( esto es la ecuación de la curva integral que pasa por (0,3))

Solución:

y=2x+Cex

…………………….. (1)

……………………..(2)

Luego sumamos (1) y (2)

La ecuación de la curva integral es:

3) Demostrar que y=C1ex+C2 e

2 x+ x es solución de

y hallar la ecuación de la curva integral que pase por los puntos (0,0) y (1,0)

Solución:

y=C1ex+C2 e

2 x+ x

………………….…… (1)

…….………..… (2)

….…………….. (3)

Luego sumamos (1), (2) y (3)

La ecuación de la curva integral es:

4) Demostrar que ( y−C )2=Cx es la primitiva de la ecuación

diferencial y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2)

5) La primitiva de la ecuación diferencial es y=Cx . Hallar la ecuación de la curva integral que pasa por el punto (1,2)

Solución:

y=Cx

La ecuación de la curva integral es:

6) Comprobar que y, son

primitivas de demostrar también que ambas ecuaciones son, en realidad, una sola.

Solución:

.

…………………….. (1)

………………………(2)

Luego sumamos (1) y (2)

.

………………. (3)

…………………(4)

Luego sumamos (3) y (4)

. Ahora demostraremos que y son, en realidad, una sola.

Como y son constantes, pueden asumir el valor de

7) Demostrar que ln (x2 )+ln ( y

2

x2)=A+x

se puede escribir así

y2=Be x

Solución:

ln (x2 )+ln ( y2

x2)=A+x

ln (x2 .y2

x2)=A+x

ln ( y2)=A+x

eA+x= y2

eA .ex= y2

Como eA

es una constante eA=B

Reemplazamos en eA .ex= y2

⇒ Bex= y2

8) Demostrar que arcSenx−arcSeny=A se puede escribir así

x √1− y2− y √1−x2=B

Solución:

arcSenx−arcSeny=A

Derivamos:

Integramos:

9) Demostrar que ln (1+ y )+ln (1+x )=A se puede escribir como

xy+x+ y=C

Solución:

ln (1+ y )+ln (1+x )=A

ln [ (1+ y )(1+x ) ]=A

ln (1+x+ y+xy )=A

eA=1+x+ y+xy

eA−1=x+ y+ xy

Como eA−1 es constante, entonces puede tomar el valor

eA−1=C

⇒ x+ y+xy=C

10) Demostrar que Senhy+Coshy=Cx se puede escribir como y=ln( x )+A

Solución:

Senhy+Coshy=Cx

Como es constante entonces le damos el valor de

y=ln( x )+A

II) Origen de las ecuaciones diferenciales

1) Se define una curva por la condición que cada uno de sus puntos

su pendiente es igual al doble de la suma de las coordenadas del punto. Exprese la condición mediante una ecuación diferencial.

Solución:

La pendiente es

2) Una curva esta definida por la condición que representa la condición que la suma de los segmentos x e y interceptados por sus tangentes en los ejes coordenados es siempre igual a 2, Exprese la condición por medio de una ecuación diferencial.

3) Cien gramos de azúcar de caña que están en agua se convierten en dextrosa a una velocidad que es proporcional a la cantidad que aun no se ha convertido, Hállese la ecuación diferencial que exprese la velocidad de conversión después de “t” minutos.

Sol:

Sea “q ” la cantidad de gramos convertidos en “t ” minutos, el

numero de gramos aun no convertidos será “(100−q )” y la velocidad de

conversión vendrá dada por

dqdt=K (100−q )

, donde K es la constante

de proporcionalidad.

4) Una partícula de masa “m” se mueve a lo largo de una línea recta (el eje x) estando sujeto a :

i) Una fuerza proporcional a su desplazamiento x desde un punto fijo “0” en su trayectoria y dirigida hacia “0”.

ii) Una fuerza resistente proporcional a su velocidad

Expresar la fuerza total como una ecuación diferencial

5) Demostrar que en cada uno de las ecuaciones

a) y=x2+A+B

b) y=Aex+B

c) y=A+ln(Bx ) Solamente es esencial una de las dos constantes arbitrarias.

6) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva

y=Ax2+Bx+C

Solución:

y=Ax2+Bx+C

7) Obténgase la ecuación diferencial asociada con la primitiva

x2 y3+x3 y5=C

8) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva

Siendo A y B constantes arbitrarias y “a ” es una constante fija

Solución:

………………..(1)

….................….. (2)

Luego sumamos (1) y (2)

9) Obténgase la ecuación diferencial asociada con la primitiva

y=Ae2 x+Bex+C

Solución:

y=Ae2 x+Bex+C………………………….. (1)

Multiplicamos con la ecuación (1)

Derivamos respecto a

………………………….. (2)

Multiplicamos con la ecuación (2)

Derivamos respecto a

………….. (3)

Multiplicamos con la ecuación (3)

Derivamos

10) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva y=C1e

3 x+C2e2 x+C3e

x

Solución:

11) Obtener la ecuación diferencial asociada con la primitiva

y=Cx2+C2

Solución:

y=Cx2+C2

12) Halle la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio fijo “r” cuyos centros están en el eje x.

Solución:

13) Hallar la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos focos están en el origen y cuyos ejes están sobre el eje x.

Solución:

Derivamos:

PRACTICA # 2

SEPARACION DE VARIABLES:RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.- X3dx+¿

∫ X3dx+¿∫¿¿¿ x

4

4+¿¿

2 .- X2 ( y+1 )dx+ y2(x+1)dy=0

x2( y+1)dx( y+1 )(x−1)

+y2(x−1)dy( y+1 )(x−1)

=0

∫ x2dx(x−1)

+¿∫ y2dy( y+1)

=∫0¿

∫ (x+1)(x−1)dx( x−1)

+¿∫ dx(x−1)

+∫ ( y−1)( y−1)dy( y+1)

+∫ dy( y−1)

=¿c ¿¿

x2

2+x+ ln|x+1|+ y

2

2− y+ ln|y+1|=c

3 .- 4 xdy− ydx=x2dy

(4 x−x2)dy− ydx=0x(4−x)dyx (4−x) y

− ydxx (4−x) y

=0

dyy− dxx (4−x)

=0=dyy+ dx

x2+4 x+4−4

∫ dyy +∫dx

x2+4 x+4−4=∫ 0

lny+ tan−1 ¿¿

4.- X (Y−3 )dy

yx=4 ydx

yx(Y−3 )dy

y=4 dx

x

∫ (Y−3 )dyy

=∫ 4 dxx

y−3 lny=4 lnx+cy−c=ln y3+ln x4=ln y3 x4

ke y= y3 x4

5.- ( y2+x y2)dy+( x2+x2 y )dx=0

y2 (1+x )dy(1+ x )(1− y )

+x2 (1− y )dx(1+ x )(1− y )

=0

∫ y2 (1+x )dy(1+x )(1− y )

+∫ x2 (1− y )dx(1+x )(1− y )

=∫ 0

∫ y2dy(1− y )

+∫ x2dx(1+x )

=∫0

−∫ ( y+1 )( y−1)dy( y−1)

−∫ dy( y−1)

+∫ ( x+1 )(x−1)dy(x+1)

+∫ dx(x+1)

=c

−∫ ( y+1 )dy−ln|y−1|+ x2

2−x+ ln|x+1|=c

− y2

2− y−ln|y−1|+ x

2

2−x+ln|x+1|=c

x2− y2

2− ( y+x )+ ln| x+1

y−1|=cln| x+1y−1|= ( y+ x )−( x2− y2

2 )+c2 ln| x+1

y−1|=2 ( y+x )−(( y+x) ( x− y ) )+c

2 ln| x+1y−1|=( y+x ) (2−x+ y )+c

6.- x √1+ y2+ y √1+x2 dydx=0

x √1+ y2+ y √1+x2 dydx=0

x √1+ y2dx

√1+ y2√1+ x2+ y √1+ x2dy

√1+ y2√1+x2=0

∫ xdx

√1+ x2+∫ ydy

√1+ y2=∫0

(1+x2)12+(1+ y2)

12=c

7.- (1+x3)dy(1+x3) y

− x2 ydx(1+x3) y

=0

∫ (1+x3)dy

(1+ x3) y−∫ x2 ydx

(1+ x3) y=∫ 0

∫ dyy−∫ x2dx

(1+x3)=∫0

ln|y|+ 13

ln|1+x3|=c

ln| y

1+x3|=c para x=1 y=2

| y

1+x3|=ec=k= y

(1+ x3)13

k= 2

(1+13)13

=3√4 entonces

| y

1+x3|=k= 3√4

8.- e xsec ydxsec y (1+e x)

+(1+e¿¿ x )sec y tan ydy

sec y (1+e x)=0¿

∫ ex dx(1+e¿¿ x )

+∫ tan ydy=∫ 0¿

ln|1+ex|−ln|cosy|=c

ln|1+excosy|=c ec=1+ex

cosy=k para x=3 y=600

1+e3

cos600=k=2 (1+e3 )2 (1+e3 )=1+e x

cosy

9.- ylnydxyxlny

+ xdyyxlny

=0

∫ dxx +∫dyylny

=∫ 0

ln|x|+ ln|lny|=cln|xlny|=c xlny=ec=k para x=1 y=1entoncesln|xlny|=0

10.- dp=ptgθdθ

dpp= ptgθdθ

p

∫ dpp =∫ptgθdθp

ln|p|+ ln|cosθ|=c

ln|p||cosθ|=c|p||cosθ|=k para p=1θ=0→k=1 ln|pcosθ|=0

II) REDUCCION A VARIABLE SEPARABLE

1.- ( x+ y )dx+ (3x+3 y−4 )dy=0

( x+ y )dx+ (3(x+ y )−4 )dy=0entonces x+ y= z

x+ y=z→dydx=dzdx−1

zdx+(3 z−4 )dy=0=zdx+(3 z−4 )( dzdx−1)=0

zdx+(3 z−4 )( dzdx−1)=0

z+(3 z−4 )( dz−dxdx

)=0

zdz+(3 z−4 )dz−(3 z−4)dx=0zdz+(z−3 z+4)dx=0(3 z−4 )dz(4−2 z )

+(4−2 z )dx(4−2 z)

=0

(3 z−4 )(4−2 z )

+ 32−3

2¿dz+dx=0

∫ 2dz(4−2 z )

−∫ 3dz2+∫ dx=∫0

−ln|2 z−4|−3 z2+ x=c

x−ln|2 z−4|−3 z2=c

2.-(x+ y )2 y ´=a2

(x+ y )2 dydx=a2 x+ y=z→ dy

dx=dzdx−1

( z )2( dzdx−1)=a2

( z )2(dz−dx)=a2dx( z )2dz−( z )2dx=a2dx

∫ z2dza2+z2−∫

(a¿¿2+z2)dxa2+z2 =∫ 0¿

∫( z2

a2+z2−1+1)dz−∫dx=c∫ −a2

a2+z2 dz−∫ dz+x=c

−a2 1a

tan−1 za+ z=x+c

−a tan−1 (x+ y)a

+x+ y=x+c

y−a tan−1 (x+ y )a

=c

3.- y ´=cos2(ax+bx+c)hacemosax+bx+c=z

a+b dydx= dzdx→dydx= dzbdx

−ab

dzbdx−ab=cos2 z

dzdx−a=bcos2 z

dz−adx=bcos2 zdxdz

a+bcos2 z=(a+bcos2 z )(a+bcos2 z )

dx

∫ dz

a+bcos2 z=∫ dx

∫ dz

a (cos2 z+sen2 z )+bcos2 z=x+c

∫ dz

(a+b)cos2 z+asen2 z=x+c

∫1

cos2 zdz

(a+b)+a tan2 z=x+c

∫ sec2 zdz(a+b)+a tan2 z

=x+c=∫ sec2 zdz

√a+b2+√a2

tan2 z1

√a(a+b)tan−1( √a tanz

√(a+b)¿)=x+c ¿

4.- y ´+1=(x+ y )m

( x+ y )n+(x+ y )p

x+ y=z→ dydx=dzdx−1

dydx+1= zm

zn+z p

dzdx−1+1= zm

zn+z p

(z¿¿n+z p)dz=zmdx ¿(z¿¿n+z p)dz

zm= z

mdxzm

¿

(z¿¿n−m+z p−m)dz=dx ¿(z¿¿n−m+z p−m)dz=dx ¿∫ zn−mdz+∫ z p−mdz=∫dxzn−m+1

n−m+1+ z p−m+1

p−m+1=x+c

( p−m+1 ) zn−m+1+(n−m+1 ) z p−m+1=(x+c) (p−m+1 ) (n−m+1 )

5.- x y2 ( xy ´+ y )=a2

xy=z→ y=zx→dydx=xdzdx−z

x2 =dzxdx−z

x2

x2 y2

x ( x( dzxdx− zx2 )+ zx )=a2

z2

x (( dzdx− zx )+ zx )=a2

∫ z2dz=∫a2 xdx

z3

3=a

2 x2

2+c

z3

3−a

2 x2

2=c

6.- (lnx+x3 )dx−3 x y2dy=0

(lnx+x3 )=z→ dzdx=1x+3 y2 dy

dx→3 y2 dy

dx= dzdx−1x

z−3 x y2 dydx=z−x ( dzdx− 1

x )=0

z− xdzdx+1=0

z dx−xdz+dx=0(z+1)dxx (z+1)

− xdzx (z+1)

=0

∫ dxx −∫dzz+1

=∫0

ln|x|−ln|z+1|=c=lnxz+1

=lnk

xz+1

=k→ x=( z+1 ) k

x=(lnx+ x3+1 )k

7.- y ´=tan ( x+ y )−1

x+ y=z→dydx=dzdx−1

dydx=tan ( z )−1

dzdx−1=tan (z )−1

dz=tan ( z )dxdz

tan ( z )=

tan ( z )dx( tanz )

∫ dz( tanz )

=∫dx=∫ ctanz=¿ x+c¿ln|senz|=x+c

8.- (6 x+4 y+3 )dx+ (3x+2 y+2 )dy=0

(2(3 x+2 y)+3 )dx+(3 x+2 y+2 )dy=0(2(3 x+2 y+2−2)+3 )dx+(3 x+2 y+2 )dy=0

3 x+2 y+2=z→3+2dydx= dzdx→dydx= dz

2dx−3

2(2 z−1 )dx+ zdy=0

(2 z−1 )+z ( dz2dx

−32)=0

(2 z−1 )dx+ z dz2−z 3dx

2=0

(2 z−1−z 32 )dx+ z dz2 =0=( z2−1)dx+z dz2

( z−22 ) 1

z−2dx+z dz

2(z−2)=0

∫ dx2 +12¿

∫ dx2 +12 (∫( 2

z−2 )dz+∫ dz)=∫ 0

x2+ln|z−2|+1

2z=c

3 x+2 y+2=zx2+ln|3 x+2 y|+1

2(3x+2 y+2 )=c

9.- cos (x+ y )=xsen ( x+ y )dx+xsen (x+ y )dy

x+ y=z→ dydx=dzdx−1

cos (z )= xsen ( z )dx+xsen ( z )dy

cos (z )dx=xsen (z )+xsen ( z ) dydx

cos (z )dx=xsen (z )+xsen ( z )( dzdx−1)

cos (z )dx=xsen (z )−xsen ( z )+ xsen ( z )dzdx

cos (z )dx= xsen ( z )dzdx

∫ dxx =∫ tanz dz=ln|x|+ln|cosz|+c

ln|x|−ln|cosz|=lnkln

xcosz

=lnk

x=k (cosz)

10.- y ( xy+1 )dx+x (1+xy+x2 y2 )dy=0

xy=z→ y=zx→dydx=xdzdx−z

x2 =dzxdx−z

x2

zx( z+1 )dx+x (1+ z+z2 )dy=0

zx( z+1 )dx+x (1+ z+z2 )( dz

xdx− z

x2)=0

zx( z+1 )dx+(1+z+z2 )( dz

dx)−(1+z+z2 ) z

x¿=0

zx( z+1−1−z−z2 )+(1+z+z2 )( dz

dx)=0

−z3

x+(1+z+z2 )( dz

dx)=0

∫−z3

x z3 +∫(1+z+z2)dz

z3 =0

−ln|x|+∫ z−3dz+¿∫ z−2dz+∫ dzz =c ¿

−ln|x|+ z−3+1

−2+ z

−2+1

−1+ ln|z|=c

ln|zx|− 1

2 z2−1z=c pero xy=z

ln|xyx |− 1

2(xy )2− 1xy=c

ln|y|− 1

2(xy)2− 1xy=c

11.- ( y+x y2 )dx−(x+x2 y )dy=0

xy=z→ y=zx→dydx=xdzdx−z

x2 =dzxdx−z

x2

( zx− z2

x )dx−( x+ x2 zx )dy=0

( zx− z2

x ) dxdx−( x+xz ) dydx=0

( zx− z2

x )−( x+xz )( dzxdx− zx2 )=0

( zx− z2

x )−( x+xz ) dzxdx+ ( x+xz ) z

x2=0

zx− z

2

x− dzdx− zdzdx+ zx+ z

2

x=0

2 zx−dzdx− zdzdx=0

2 zdxx−dy−zdz=0

∫ 2dxx−∫ dzz −∫ dz=∫ 0

2 ln|x|−ln|z|−z=c2 ln|x|−ln|xy|−xy=c

12.- (1−xy+x2 y2 )dx+ (x3 y−x2 )dy=0

xy=z→ y=zx→dydx=xdzdx−z

x2 =dzxdx−z

x2

(1−z+z2 )dx+(x3 zx−x2)dy=0

(1−z+z2 )dx+(x2 z−x2 )dy=0

(1−z+z2 )+(x2 z−x2) dydx=0

(1−z+z2 )+(x2 z−x2) ( dzxdx− z

x2)=0

(1−z+z2 )+(z−1)( x dzdx−z)=0

(1−z+z2 )+( z−1 )( dzdx )−z2+z=0

1+zx dzdx−x dz

dx=0

dx+zxdz−xdz=0=dxx+x (z−1)dz

x

∫ dxx +∫ zdz−∫dz=∫ 0

ln|x|+ z2

2−z=c

ln|x|+(xy )2

2−xy=c

13.- cosy ´=0cosy ´=0

y ´=cos−1 00=π2(2k+1 )donde kϵZ

dydx=π

2(2k+1 )

∫ dy=∫ π2 (2k+1 )dx

y= π2(2k+1 ) x+c

14.- e y ´=1

lne y ´=ln1

y ´=0dydx=0dy=0∫ dy=∫0

y=c

15.- lny ´=x

ex= y ´ dydx=ex dy=e xdx

∫ dy=∫ex dx y=ex+c

16.- x2 y ´ cosy+1=0

x2 dydxcosy+1=0

x2 cosydy+1dx=0

∫ x2cosydyx2 +∫ dx

x2=∫0

∫ cosydy+∫ dxx2=∫ 0

seny+ x−2+1

−1=c

seny−1x=c para y=16 π

3x→∝

sen( 16 π3 )− 1

∝=c=−

3√32

−3√32=seny−1

x

17.- tany ´=xy ´=tan−1 xdydx=tan−1 x

dy=tan−1 x dx

∫ dy=∫ tan−1 x dx

y=x tan−1 x−12

ln|x2+1|+c

y=x tan−1 x−12

ln|x2+1|+c

PRACTICA # 3

I.- Funciones Homogéneas

Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas:

1) f(x,y) = x2y – 4y3

f(x, y) = (x)2 (y) - 4(y)3

= 3 (x2y - 4y3)

f es homogénea de grado n=3

2) f(x,y) = y2Tg(x/y)

f(1x, 1y) = (1y)2 Tg( xxxy )=12 y2 Tg( xy )

Es homogénea de grado n=2

3) f(x,y) = 3√ x3− y3

f(x, y) = 3√( λx )3−( λy )3

= λ3√x3− y3

f es homogénea de grado n=1

4) f(x,y) =

x2− y2

xy

f (1x ,1 y )=(1x )2−(1 y )2

(1 x )(1 y )=10 ( x2− y2

xy ) Es homogénea de grado n=0

5) f(x,y) = x2 + Senx.Cosy

f no es homogénea.

6) f(x,y) = ex

f (1x ,1 y )=e1 x

No es homogénea.

7) f(x,y) = ex/y

f(x, y) = ex/y = y0 ex/y

f es homogénea de grado n=1

8) f(x,y) = (x2+y2)3/2

f(1x, 1y) = (1x)2 + (1y)23/2 = 13 (x2 + y2)3/2

Es homogénea de grado n=3

9) f(x,y)=x-5y+6

f no es homogénea.10) f(x,y) = xSen( yx )− ySen( xy )

f (1x ,1 y )=1xSen (1 y1 x )−1 ySen(1 x1 y )=1( xSen ( yx )− ySen (xy ) ) Es homogénea de grado n=1

III.- Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1) (x3+y3)dx – 3xy2 dy = 0

y = x dy = xdy + udx

(x3+ux3)dx – 3x3u2(x du + udx) = 0

x3(u+1)dx – 3x4u2du – 3x3u3dx = 0

x3(u+1-3u3)dx - 3x4 u2 du = 0

∫ dxx−3∫ u

2

(1+u−3u3 )du=C

∴ C=Lnx+12(1−2 y3

x3)

2) xdy− ydx−√ x2− y2 dx=0

( y+√ x2+ y2 )dx−xdy=0 . ..( a)Sea : y=vxdy=vdx+ xdv

En (a):

(vx+√ x2−(vx )2 )dx−x ( vdx+ xdv )=0√1−v 2dx=xdv

∫ dxx=∫dv√1−v2

+LnC

Lnx=ArcSenv+ LnC

Ln( xC )=ArcSenv∴ x=CeArcSen( y / x )

3) (2x6Senh y/x+3yCosh y/x)dx – 3x. Cosh y/x = 0

y = ux dy = xdu + udx

(2x.Senhu + 3y Coshu)dx – 3x2. Coshu(xdu+udx)

2x.Senhudx – 3x2.Coshudu = 0

23 ∫

dxx−∫Ctghu du=C

∴ 23Lnx−Ln(Senh y /x )=C

4) (2x+3y)dx+(y-x)dy=0

y=vx

dy=vdx+xdv

(2x+3(vx)dx + (vx-x)(vdx+xdv)

(v2+2v+2)dx + x(v-1)dv = 0

∫ dxx=∫ (v−1)dv

(v2+2 x+2)+LnC

Lnx+ 12Ln (v2+2 v+2=−2 ArcTg ( v+1)=LnC

Ln(x √v2+2 v+2C )=2 Arc Tg ( v+1)

∴ 2x2+2xy+ y2= C2e4 Arc Tg( x+4 )x )

5) (1+2ex/y)dx + 2ex/y(1-

xy)dy=0 …(1)

x=Ly⇒ y .dudy+U=dx

dy

De (1):

dxdy=

2eu(−1+u )(1+2eu )

= y dudy+U

∫ dyy=∫(1+2eu)

(2eu+U )dU

− [ x / y−Ln(1+2ex / y )+Ln(2ex / y )]=C

6) (x2+3xy+y2) dx – x2dy = 0

y = vx

dx = vdx + xdv

(x2+3x(vx) + v2x2)dx – x2(vdx+xdv) = 0

(v2 + 2x + 1)dx = xdv

∫ dxx =∫ dv(v2+2v+1)

+LnC

Lnx+1( v+1)

=LnC

Ln( xC )+xx+ y =0

x=Ce− xx+ y

7) ( y+√ y2− x2 dx−xdy=0

y = ux dy = x.du+udx

(ux+x √u2−1)dx−(xdu+udx )=0

∫ dxx−∫ du√u2−1

=C

∴ Lnx−Ln( x / y+√( xy )2−1 )=C

8) (x-yLny+yLnx)dx + x(Lny-Lnx)dy = 0y = vxdy = vdx + xdv(x-(vx)Lnv) dx + xLnv(vdx + xdv) = 0dx + x Lnv dv = 0

∫ dxx +∫ Lnvdv=LnC

Lnx + v(Lnv-1) = LnC

Ln(xc )=v−v Lnvx=ce

yx . ( yx )

−(yx )

9) (x-yarctg

yx)dx+x .arctg

yxdy=0

y=u.x dy = xdu +udx

(x-u.x.arctgu) dx + x.arctgu (xdu+udx) = 0

∫ dxx +∫arctgu .du=C

∴ Lnx+ yx

.arctgyx−1

2Ln (1+( yx )

2

)=C

IV.- Ecuaciones Diferenciales Reductibles a Homogéneas

1) (2x-5y+3)dx – (2x+4y-6)dy = 0

2x-5y+3 = 0 y=1 ,P(h

1, k1)

-2x-4y-6=0 x=1

x=z+h , y=w+K

x=z+1 , y=w+1

2(z+1)-5(w+1)+3dz - 2(z+1)-4(w+1)-6dw = 0

* Homogénea: (2z+5w)dz – (2x+4w)dw = 0

z=u .w ⇒ ∫ dww+ ∫(2u−5 )

(2u2−7u−4 )du+=C

∴ LnW +12Ln[2(x−1

y−1 )−7(x−1y−1 )−4]+4

5Ln[2(x−1

y−1 )−4 ]=C

2) (x-y-1)dx + (4y+x-1)dy = 0 … (m)

Sea: x=x0+h ; y = y0+k ; h=1 ; k=0

En (m):

(x0 - y0)dx0 + (x0+4y0)dy0 = 0

Sea: y0=vx0 dy = vdx0 + x0dv

(x0 – vx0) dx0 + (x0 + 4vx0)(vdx0 + x0dv) = 0

(1-4v2)dx0 + x0(1+4v)dv

∫dx0x0

+∫(1+4 v )(1−4v2 )

dv=Lnc

Lnx0+14Ln(1+2v

1−2 v )−12Ln(1−4 v2 )=LnC

x0=C (1−2( y 0

x0) )

x=C(1−2( yx−1 ) )+1

3) (x-4y-9)dx + (4x+y-2)dy = 0

x = x0 + h , y = yo+K

h – 4K = 9 h = 1 ; h = -2

4h + K = 2

(x0+1-4(y0-2)-9)dx + (4(x0+1)+(y0-2)-2)dy = 0

(x0 – 4y0)dx + (4x0+y0) dy = 0

y0 = v.x0 dy0 = vdx0 + x0.dv

(x0 - 4v.x0)dx + (4x0 + vx0) (vdx0 + x0dv) = 0

∫dx0x0

+∫ ( v+4 )v2+1

=C

Lnx0 +

12 Ln.(v2+1) + 4Arc(Tgv) = 0

∴ √( x−)2+( y+2 )2 = K e4¿

4) (x-y-1)dy-(x+3y-5)dx=0

(x+3y-5)dx – (x-y-1)dy=0

x=x0+2; y=y0+1

(x0 + 3y0)dx0 – (x0 – y0)dy0 = 0

y0 = vx0 dy0 = vdx0 + x0dv

(x0 + 3vy0)dx0 – (x0 – vx0)(vdx0 + x0dv) = 0

(3v-v2)dx0 + x0(v-1)dv = 0

∫dx0x0

−∫( v−1)dvv2−3v

=LnC

Ln x0−12Ln(v2−3v )−1

6Ln(v−3

3 )=LnCx0=C (v

3−bv 2+9v )1/3

x−2=Cx−2

[9 (x−2)2( y−1)−6( x−2 )( y−1)2+( y−1 )3]1/3

5) (4xy2)dx + (3x2y-1)dy = 0

y=zx dy = x(zx-1)dz

4xz2 dx + (3x2 z – 2) (.z-1) dz = 0

2-1 = -1 = -2

y = z-2 dy -2z-3 dz

4xz-4 dx + (3x2 – z -2) (-2z-3)dz = 0

4xz- dx - 2(3x2 – z2) dz = 0 homogénea

Z = ux dz = x.du + udx

4x-2 udx - (6x2 – z2) (x.du + udx) = 0

∫(2u2−6 )du

(2u3−2u )+ ∫dx

x=0

∴ Ln+12Ln((1√ yx −1) )−3 Ln(√1

√ yx−1

1

√ yx)

6) yCosxdx + (2y-Senx)dy = 0

Sen-x=z Cosx.dx = dz

ydz +(2y-z)dy = 0 homogénea

z=u.y dz = y.du + u.dy

y(ydu + udy) + (2y-uy)dy = 0

∫ du+2∫ dyy = C

∴ Senxy

+2 Lny = C

7) (2x2+3y2-7)xdx – (3x2+2y2-8)ydy = 0

Sea: x2 = m ; y2 = n

2xdx = dm ; 2ydy = dn

(2m+3n-7)dm – (3m+2n-8)dn = 0

m=m0+2 ; n=n0+1

(2m0 + 3vn0)dm0 – (3m0 + 2vm0) (vdm0+m0dv) = 0

2(1-v2)dm0 – (2v+3)m0dv = 0

2∫dm0m0

+∫ (2v+3)v2+1

dv=LnC

2Lnm0+ Ln2( v2−1)+32Ln(v−1

v+1 )=LnC(n0−m0 )

2

n0+m0

=C2=K

∴ y2−x2+1

y2+x2+3=K

8) Tg2(x+y)dx – dy = 0

z=x+y dz = dx + dy = 0

Tg2z dx – (dz-dx) = 0

∫ dx−∫Cos2 zdz=Cx−z

2−1

4Sen2 z=C

4x-2(x+y)-Sen2(x+y) =4X=K

PRACTICA # 4

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

1) (4x3y3-2xy)dx + (3x4y2 – x2)dy

M N∂ μ∂ y=12 x3 y2 =

∂ N∂ x

=12 x3 y2−2 y

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(4 x2 y2−2 xy )dx+g( y )¿ x4 y3−xy+g( y )= x4y3 - xy + g(y)

N=∂ f ( x , y )∂ y

=3 y2 x4−x2+g ' ( y )=3 x4 y2−x2

g '( y )=0 ⇒ g( y )=C

∴ f ( x , g )=x4 y3−xy+C

2) (3xc3xy - 2x)dx + e3x dy = 0

M N

∂ μ∂ y=3e3 x=

∂N∂ x

=3ex 3

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(3 x3 x y2−2x )dx+g( y )¿e3 x−x2+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=e3 x+g '( g)=C

∴ f ( x , y )=e3x y−x2+C

3) (Cosy+yCosx) dx + (Senx-xSeny) dy=C

M N

∂ μ∂ y=−Seny+Cosx=

∂N∂ x

=Cosx−Seny

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(Cosy+ yCosx )dx+g( y )¿ xCosy+ ySenx+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=−xSeny+Senx+g '( y )=Senx−xSeny

g '( y )=0⇒ g( y )=C∴ f ( x , y )=xCosy+ ySenx+C

4) (2xyex2 - 2x) dx + ex2dy=0

M N∂M∂ y

=2 xex 2+Cosx=∂ N∂ x

=2xex 2

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(2 xyex 2−2 x )dx+g( y )¿ yex 2−x2+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=−ex 2+g '( y )=ex 2

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )= y ex 2−x2+C

5) (6x5y3+yx3y5) dx + (3x6y2 + 5x4y4) dy=0

M N

∂ μ∂ y=18 x5 y2+20 x3 y4=

∂N∂ x

=18x5 y2+20 x3 y4

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(6 x5 y3+4 x3 y5 )dx+g( y )¿ x6 y3+ x4 y5+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=3 x6 y2+5 y4 x4+g '( y )=3 x6 y2+5x 4 y4

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )=x6 y3+ y4 y5+C

6) (2x3+3y)dx + (3x+y-1)dy = 0

M N

dMdy

=3=dNdx=3

df ( x , y )dx

=M

f ( x , y )=∫(2 x3+3 y )+g( y )

¿ x4

2+3 xy+g(g)

N=∂ f ( x , y )∂ y

=3 x+g '( y )=3 x+ y−1

g '( y )= y−1⇒ g( y )=y2

y− y=C

∴ f ( x , y )=x4

2+3 xy+ y

2

− y+C

7) (y2exy2+4x3)dx + (2xyexy2 – 3y2) dy = 0

M N

dMdy

=2 yex y2+2 xy3 exy2

dNdk=2 yex y2+2xy 3exy 2

df ( x , y )dk

=M

f ( x , y )=∫( y2e xy3+4 x3)dx+g( y )

df ( x , y )dx

=M

N=∂ f ( x , y )∂ y

=2xye xy 2+g '( y )=2 xyexy 2−3 y2

g '( y )=−3 y2⇒ g( y )=− y3+C

∴ f ( x , y )=exy2+x4− y3+C8) (2xy2 + 2y)dx + (2x2y+ 2x) dy = 0

M N

∂M∂ y

=4 xy+2=∂N∂ y

=4 xy+2

∂ f ( x , y )∂ k

=M

f ( x , y )=∫(2 xy2+2 y )dx+g( y )= x2y2 + 2xy + g(y)

N=∂ f ( x , y )∂ y

=2 yx+2x+g '( y )=2x2 y+2K

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )=x2 y2+2 xy+C

9) (exSeny + 2ySenx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0

M N

∂M∂ y

=exCosy−2 Senx=∂N∂ y

=e xCosy−2Senx

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(e xSeny−2 ySenx )dx+g( y )= exSeny + 2yCosx + g(y)

N=∂ f ( x , y )∂ y

=exCosy+2Cosx+g '( y )=exCosy+2Cosx

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )=ex Seny+2 yCosx+C

9) (2xy3 + yCosx) dx + (3x2y2+ Senx) dy = 0

M N

∂M∂ y

=6 xy2+Cosx=∂ N∂ y

=6 xy 2∗Cosx

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(2 xy3 yCosx )dx+g( y )= x2y3+ySenx + g(y)

N=∂ f ( x , y )∂ y

=3 x2 y2+Senx+g '( y )=3 xx y2+2Cosx

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )=ex Seny+2 yCosx+C

10) (2xy3 + yCosx) dx + (exCosy+ 2Cosx) dy = 0

M N

∂M∂ y

=exCosy−2 Senx=∂N∂ y

=e xCosy−2Senx

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(2 xy3+ yCosx )dx+g( y )= e2y3 + ySenx + g(y)

N=∂ f ( x , y )∂ y

=3 x2 y2+Seny+g '( y )=3 x2 y2+Senx

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )=x2 y3+ ySenx+C

11) (Seny+ySenx+

1x x) dx + (xCosy. Cosx+

1y ) dy

M N

∂M∂ y

=Cosy+Senx

∂N∂ x

=Cosy+Senx

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫( Seny+ ySenx+ 1x) dx+g( y )

= xSeny + yCosx + Lnx + g(y)

N=∂ f ( x , y )∂ y

=xCosy−Cosx+g' ( y )=xCosy−Cosx+1y

g '( y )=1y⇒ g( y )=Lny+C

∴ f ( x , y )=xSeny− yCosx+Lnx+Lny+C

12)( y

1+x2+Arctgy )dx+( x

1+ y2+Arctgy )dy=0

M N

∂M∂ y

=1

1+x2+

1

1+ y2=∂ N∂ x

=1

1+ y2

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫( y

1+ x2+arctgy )dx+g( y )

= yarctgx + (arctgy) (x) + g(y)

N=∂ f ( x , y )∂ y

=Arctgx+x1+ y 2

+g '( y )=x1+ y2

+arctgx

x1+ y2

+arctgx

g '( y )=0 ⇒ g( y )=C∴ f ( x , y )= yarctgx+arctgy+C

FACTORES INTEGRANTES

1) (x2 + y2+x) dx + xy dy = 0

M N

∂M∂ y

=2 y≠∂ N∂ x

= y

2 x− yxy

=1x=f (x )

e∫ f (x )= e∫ dxx =x

Luego: x(x2+y2+x) dx + x2 ydy=0

M N∂M∂ y

=2 xy=∂N∂ x

=2 xy

∂ f ( x , y )∂ y

=M

f ( x , y )=∫( x3+xy 2+x2 )dx+g( y )

¿ x4

4+x

2 y2

2+x

3

3+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=x2 y+g '( y )=x2

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )=x4

4+x

2 y2

2+x

3

3+C

2) (1 - x2y) dx + x2 (y-x) dy = 0

M N

∂M∂ y

=2 y≠∂ N∂ x

= y

2 x− yxy

=1x=f (x )

e∫ f (x )= e∫ dxx = 1

x2

Luego:

1

x2(1−x2 y )dx+ 1

x2( x2 y−x3 )dy=0

M N

∂M∂ y

=−1=∂ N∂ x

=−1

∂ f ( x , y )∂ y

=M

f ( x , y )=∫(1x2

3

− y )dx+g( y )

¿−1x−xy+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=−x+g '( y )= y−x

g '( y )= y⇒ g( y )=y2

2=C

∴ f ( x , y )=−1x−xy+ y

2

2+C

3) (2xy4e4+2xy3+y) dx + (xy4e4-x2y2-3x) dy = 0

M N

∂M∂ y

=8 y3 xe4+2 xy 4e4+6 y2+1

∂M∂ y

=2 xy 4ex−2 xy2−3

(8 y3 xe4+2xy 4 ey+6 y2+1−2xy 4ex+2xy 2+3)(2 xy4 e4+2 xy 3+ y )

=−4y=g( y )

e∫ g(x )= e−∫ 4 dy

y = 1y4

Luego: 1

y4(2 xy4 y4 e4+2 xy 3+ y )dx+ 1

y4( x2 y4e4−x2 y2−3 y ) dy=0

M N

∂M∂ y

=2 xe y−2 xy−2−3 y−4=∂N∂ x

=2 xe y−2xy−2−3 y−4

∂ f ( x , y )∂ y

=M

f ( x , y )=∫(2 xe y+2 xy+

1

y3)dx+g( y )

¿ x2e y+−x2

y+xy3+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=x2e y−−3 xy4+g '( y )=x

2e y− x2

y2−3xy4

g '( y )=0⇒ g( y )=C

∴ f ( x , y )=x2e y+x2

y+xy3+C

4)

yxdx+( y3−Lnx ) dy=0

M N

∂M∂ y

=1x≠∂N∂ y

=−1x

∂M∂ y

=1x=2y=g( y )

e∫ g( y )=e∫2ydy=1y2

Luego:

1

y2.yxdx+ 1

y2( y3−Lnx ) dy=0

M N

∂M∂ y

=−1

y2 x=∂ N∂ x

=−1

y2x∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(dxyx +g( y )¿ Lnxy

+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=Lnxy2+g '( y )= y−

Lnxy2

g '( y )= y⇒ g( y )=y2

2+C

∴ f ( x , y )=Lnxy

+ y2

2+C

5) (2xy3y2+4xy2+y+2xy2+xy2+2y) dx + 2(y3+x2y+x) dy = 0

M N

∂M∂ y

=4 yx 3+4 x2+4 xy+4 xy 3+2≠∂M∂ y

=4 xy+2

(4 y3+4 x2+4 xy+4 xy 3+2−4 xy−2

(2 xy3+ x2+x2 y+ x )=

4 x ( y2+x+ y3 )2 ( y3+x2 y+x )

=x=f ( x )

e∫ g(x )=e∫2 xdx=e x2

Luego:

e x2(2 xy3 y2+4 x2 y+2xy 2d+xy 4 x+2 y ) dx+2ex

2

( y3+ x2 y+x )dy=0

MN

∂M∂ y

=4 ex2 x3 y+4ex 2 xy−4ex 2 x3 y3+2ex 2

∂N∂ y

=4ex 2 x3 y+4 ex2 x2−4 ex2 xy+4ex 2xy 3+2ex2

∂f ( x , y )dx

=M

f ( x , y )=∫(2ex 2 y3+2ex 2x2 y3+2ex2 ) dy+h (x )

¿ex 2 y4

2+ex 2 x2 y2+2xe x2 y+h( x )

M=∂ f ( x , y )∂ x

=ex2 y 4

2+ex 2 x2 y2−2 xee2 y+h ' ( x )=2x3 ex2 y2+4e x2 x2 y+2ex2 xy 2+ex2 xy 4+2e x2 y

h '( x )=−ex2 y4

2−ex 2x2 y2−2 xee2 y+2ex2 x3 y2+4e x2 x2 y+2ex2 x3 y2+ex 2xy 4+2ex2 y

h (x )=−ex2 y4

2−e

x 2 y2

2+e

x2 y2

2 x−e x2 y+e

x 2 x2 y2

2−3ex2

4+2ex2 xy−2e x2

x+ex2 y

+ex2 y4

2+e

x2 yx

∴ f ( x , y )= ex2 y 4

2+e

x 2

y2+2 xex 2 y+h( x )

6) (xCosy-yseny) dy + (xSeny-yCosy) dy = 0

M N

∂M∂ y

=xCosy+Cosy− ySeny≠∂N∂ x

=Cosy

xCosy+Cosy− ySeny−CosyxCosy− ySeny

=+1= f ( x )

e∫ f (x )=e∫dx=exLuego:

e x2( xCosy− ySeny )dy+ex (xSeny− yCosy )dx=0

M N

∂M∂ y

=Cosyex x+exCosy−ex ySeny=∂ N∂ x

=Cosye x x+e xCosy−ex ySeny

∂ f ( x , y )∂ x

=M

f ( x , y )=∫(e x xSeny+ex yCosy ) dy+g( y )¿ Senyex( x−1 )+ex yCosy+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=Cosyex( x−1 )+e yCosy . ehySeny+g '( y )=ex xCosy−e x ySeny

g’(y) = 0 g(y) = C

∴ f ( x , y )=Seny ex (x−1)+e4Cosy+C

7) (x4+y4) dx – xy3 dy = 0

M N

M(dx, dy)=d4M(x,4) N(dx, dy)=14N(x,4) Homogéneas

Luego:1

Mx+Ny= 1

( x4+ y4 ) x−(xy 3 ) y= 1

xr

Entonces:1

x5(x 4+ y 4 ) dx− 1

x5( xy 3 )dy=0

dfdxdfdy

Integrando respecto a “x”:

f ( x , y )=Lnx− y4

4 x4+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

=− y3

x4+g '( y )=

− y3

x 4

g’(y) = 0 g(y) = C

∴ f ( x , y )=Lnx− y4

4 x4+C

8) y2dx + ex2 – xy – y2)dy = 0 Es homogénea.

Luego:

1

y2 x+( x2−xy− y2 ) y= 1

y ( x2 y2 )

Entonces:

y2dxy ( x2 y2 )

+( x2−xy− y2 )y ( x2− y2)

dy=0

∂Mdy

=x2+ y2

( x2 y2 )2=∂Ndx

=x2+ y2

( x2 y2 )2

∂ f ( x , y )dx

=M

f ( x , y )=∫( yx2 y2 )dx+g( y )f ( x , y )=

12Ln(x− yx ´+ y )+g( y )

N=∂ f ( x , y )∂ y

= −12 (x− y )

+ −12( x+ y )

+g '( y )=( x2−xy− y2)y ( x2− y2 )

g’(y) =

1y g(y) = Lny + C

∴ f ( x , y )=12Ln( x− yx+ y )+Lny+C

10) y(2x+1)dx + x (1+2xy – x3 y3)dy = 0

(2xy2+y) dx + (x+2x2y – x4y3) dy = 0

∂Mdy

=4 xy+1∂Ndx

=1+4 xy−4 x3 y3

∂M∂ y

≠∂N∂ x

Usamos:∂M∂ y

−∂N∂ x

=Nf ' (x )f (x )

−Mg' ( y )g ( y )

4 x3 y3=( x+2x2 y−x4 y3 )f ( x ' )f ( x )

−(2 xy 2+ y )g ' ( y )g( y )

f ( x )'f ( x )

=−4x→Lnf (x )=−4 Lnx f ( x )=x−4

g( y )'f ( x )

=−4x→Lng ( y )=−4 Lnx g( x )= y−4

μ( x , y )=f ( x ) .g( y )=1

x4 . y 4

M=1

x4.y4(2xy 2+ y )∂M

∂ y=−2

x3 y3+−3

x4 y4

M=1

x4.y4( x+2x2 y−x4 y3 )∂N

∂ x=−2x3 y3

+−3x4 y4

Ahora:

∂M∂ y=∂N∂ x

∂+( x , y )∂ x

=1x 4 y4

(2 xy2+ y )

f ( x , y )=∫(2 xy2+ y )

x4 y 4dx+g( y )=∫d (−x−2

y2−−x−3

3 y3 )+g ( y )f ( x , y )=−x

−2

y2+−x

−3

3 y3+g( y )=−1

x2 y2−1

3 y3 x3+g( y )

∂ f ( x , y )∂ y

=2 x2 y

x4 y4+xx4 y4

+g '( y )

Pero:

∂ f ( x , y )∂ y

=N

2 x2 yx4 y4

+xx4 y 4

+g ' ( y )=xx 4 y4

+2 x2 yx4 y4

−x4 y3

x4 y4

g '( y )=−1y→ g( y )=Ln|y|+C

Reemplazamos:

f ( x , y )=− 1

x2 y2− 1

3 y3 x3−Ln ( y )+C

FACTORES INTEGRANTES POR SIMPLE INSPECCIÓN

Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales

1) ydx + x(1-3x2y2)dy = 0

ydx + ydx – 3x3y2 dy = 0 … Multiplicando por:−2

3

−23(xdy+ ydx )+2x3 y 2dy = 0

… en:

1

x3 y3

−23( xdy+ ydx )x3 y3

+2 x3 y2dy = 0

−23( xdy+ ydx )x3 y3

+2 x3 y2dy

x3 y3= 0

−23( xdy+ ydx )x3 y3

+2dyy

= 0

∫ d (1( xy ) 2 .13)+∫ d(2 Lny )=C

13

.1( xy )2

+2 Lny=C

2) xdy + ydx + 4y3(x2+y2)dy = 0

xdx+ ydx( x2+ y2 )

+4 y3( x2+ y2)dy( x2+ y2 )

=0

xdx+ ydx( x2+ y2 )

+4 y3 dy=0

12d ( x2+ y2 )( x2+ y2)

+ d ( y 4 )=0

∫12d ( x2+ y2 )( x2+ y2)

+ ∫d ( y 4 )=0

12Ln|x2+ y2 |+ y 4=C

3) xdy – ydx – (1-x2)dx = 0

xdy− ydxx2

−(1−x2 )x2

dx = 0

xdy− ydxx2

−(1x2−1 )dx = 0

∫ d (xy)+∫d ( x+1

x)=C

yx+ x+

1x=C

4) xdy – ydx + (x2+y2)2dx = 0

Sabemos que: xdx + ydx =

12d ( x2+ y2 )

xdy− ydx( x2+ y2 )2

+( x2+ y2)( x2+ y2)2

dx = 0

∫12d ( x2+ y2 )( x2+ y2)

+∫ dx=C

−12

1(x2+ y2 )

+ x=C

5)x(xdy+ydx) + √1−x2 y2 dx=0

x( xdy+ ydx )

x√1−x2 y2+ √1−x2 y2 dx

x √1−x2 y2=0

−12x( xdy+ ydx )

√1−x2 y2+−1

2xdxx=0

∫ d (1−x2 y2 )1 /2 +∫ dxx =C

(1−x2 y2 )1/2+−Ln|x|

2=C

6) (x3+xy2)-y)dx + (y3+x2y+x)dy=0

(x(x2+xy2)-y)dx + (y(x2+y2)+x)dy=0

[( x2+ y2 )− yx ]dx+[ yx ( x2+ y2 )+1]dy=0

( x2+ y2 )dx− yxdx+ y

x( x2+ y2 )dy+dy=0

( x2+ y2 )( xdx+ ydy )x

+( xdx− ydy )x

=0

( x2+ y2 ) ( xdx+ ydy )+( xdy− ydx )=0

( xdx+ ydy )+(xdy− ydx )(x2+ y2 )

=0

∫12d ( x2+ y2)+∫ d( arc Tg( y

x) )=C

12( x2+ y2 )+arc Tg(

yx)=C

10) (x2+y2) (xdy +ydx) = xy(xdy-ydx)

( x2+ y2 )( x2+ y2 )

( xdy+ ydx )−xy( xdy− ydx )( x2+ y2 )

=0

( xdy+ ydx )xy

−xy ( xdy− ydx )xy ( x2+ y2 )

=0

( xdy+ ydx )xy

−( xdy− ydx )( x2+ y2 )

=0

∫ d (Ln (xy )) −∫ d (arc Tg ( yx ) )=0

Ln( xy )−arc Tg( yx)=C

11) xdy – ydx = x2√ x2− y2 dx

xdy− ydx

√x2− y2=x2 √x2− y2

√x2− y2dx

xdy− ydx

√x2− y2−xdx=0

∫ d (arc Sen( yx) )−∫d ( x

2

2)=C

Arc Sen( yx)−x

2

2=C

12) x3dy – x2ydx = x5y dx

xdy – ydx = x3y dx , para: x 0

xdy− ydxxy

=x2dx

dLn( yx)=( x

3

3)

∫ dLn( yx )=∫ d (x3

3)+C

Ln( yx)=x

3

3+C

13) 3ydx + 2xdy + 4xy2dx + 3x2ydy=0

Multiplicamos por x2y

3y2x2dx+2x3 ydy + 4x3y3dx + 3x4 y2dy = 0

d(x3y3) + d(x4y3) = 0

∫ d (x3 y3 )+∫d ( x4 y3)=C

x3 y3+x4 y3=C

14) √ y2−1 (1− y √x2−1)dx+√x2−1 (1−x √ y2−1)dx=0

√ y2−1 y √ y2−1√ x2−1 dx +√ x2−1 x √x2−1 . √ y2−1 dy=0

√ y2−1+ √x2−1−√ y2−1 √ x2−1 ( ydx+ xdy )=0

Todo entre :1

√ y2−1 √x2−1

1dx

√x2−1+

1dy

√ y2−1−( ydx+xdy )=0

dx

√x2−1+ dy

√ y2−1−d ( xy )=0

∫ dx√x2−1+∫dy√ y2−1

−∫d ( xy )=C

Ln|x+√ x2−1|−Ln |y+√ y2−1|−xy=C

15)

dydx=

y (xy+1 )y (1−x2)−2

Para : x=1 , y=−2

y(1-x2)-xdy = y(xy+1)dx

ydy - yx2dy - xdy = xy2dx = ydx

ydy - yx2dy – xy2dx = ydx = dy

ydy – (yx2dy + xy2dx) = ydx+ xdy

ydy−d ( x2 y 2

2 )=d ( xy )∫ ydy –

∫ d ( x2 y2 )2

=∫ d ( xy )+Cy2

2− y

2 x2

2=xy+C

y2 – x2y2 = 2xy + C Para: x=1 , C=4

Su solución particular es: y2(1-x2) – 2xy = 4

16) arseny dx +

x+2√1− y2 Cosy dy

√1− y2=0

arseny dx+ xdy

√1− y2+ 2Cosydy=0

d(x. arcseny) + 2Cosydy = 0

∫ d(x . arcseny) + ∫ 2Cosydy = C

x . Arcseny + 2Seny = C

PRACTICA 5

I).- ECUACIONES LINEALES.

1) dydx

+ 2xy = 4x

y = e−∫2 xdx [ ∫ e ∫ 2xdx 4 xdx+c ]

y = e− x [ ∫ ex4 xd+c ]y = e− x

∫ex.4xdx = ∫4 xcx dxU = 4x du = 4dxdv = ex dx v =ex

4x ex= ∫ex. 4xdx∫ex.4xdx = 4x . ex- ∫ex4xdx = 2x.ex

y = e− x. [2 x . ex+c ]y = 2x + e− x . k

2) x dydx

= y + x3 + 3 x2 – 2

dydx

= yx

+ x2 + 3x – 2

dydx

– ( 1x

) y= (x2 + 3x – 2)

y = e− ∫ (−1

x)dx . [ ∫ e ∫ ( 4

x)dx(x2+3 x – 2)dx+c ]

y = e lnx . ¿y = x . ¿

y = x . ∫ [ x+3 –2 x−1¿dx+c ]y = x ( x

2

2 + 3x – 2lnx ) + c )

y = x3

2 + 3x2 - 2xmx + kx

3) ( x-2 ) dydx

= y + 2( x – 2 ¿3

dydx

= y

(x−2) + 2 ( x – 2 ¿2

dydx

– ( 1x−2

) y = 2 ( x –2 )

y = e−∫−¿( 1

x−2)dx¿( ∫e

∫−¿( 1x−2

)dx ¿ . 2( x – 2 ¿2 dx + c )

y = e ln (x−2 ) . ( ∫ e−ln(x−2). 2 (x - 2¿2 dx + c )y = ( x – 2 ) . ( ∫( x – 2¿−1 .2¿ dx + c )y = ( x – 2 . ( 2 ∫ (x – 2) dx + c )

y = ( x – 2 ) ( 2 ( x2

– 2x) + c )

y = ( x – 2 ) ( x2 - 4x + 2c )y = x3 - 4x2 + 2cx – 2x2 + 8x + 4cy = x3 - 6x2 + 8x + 2c ( x + 2)

4) dydx

+ ydgx = 5ecosx x = π2

Y = -4y = e− ∫ cot xdx . [ ∫ e ∫ cot xdx .5 eco s x dx+c ]y = e−ln 1 senxl . [ ∫ eln (senx) .5eco sx dx+c ]y = (sen x¿−1 [ ∫ sen x .5ecosx dx+c ]y = (sen x¿

−1 [5( ∫ ecosx sen x dx+c)]⏟ c = ∫ ecos x . sen x dx

u = sen x du = cos x dxdv = ecosxdx v = ecosx

ecosx . sen x - ∫ ecos x .cos x dx⏟

u = cos x du = sen x dxdv = ecosx dx v=ecosx cos x ecosx + ∫ ecos xsen x dx∫ ecos x sen x dx = ecosx. Sen x – cos x . ecosx - ∫ecosx sen x dx

∫ ecos x sen x dx = ecosx . sen x

2 – cos x . ecosx

2

y = sen−1. 5 [ ecos x . sen x2

− cos x .ecos x

2+c ]

y = 52ecosx

- 52t gx .ecos x

+ sen−1 xk

-4 = 52ecos

π2

- 52tg

π2 . ecos

π2

+ ksen π

2

k = 6,5

5) x3 dydx

+ ( 2 – 3x2 ) y = x2

dydx

+ ( 2

x3 - 3x

) y = 1

y = e− ∫ (2x3

❑ −3x )dx . [∫ e∫(2 x

3

❑− 3x )dx+1dx+c ]

y = e (−2 ln x3+3 lnx ) [ ∫ e(2 ln x3+3 lnx) . dx+c ]y = e ln x−6+ln x3 [∫e ln x6+mx3

. dx+c ]y = e lnx

6. x3

[∫ eln x6 x3

. dx+c ] y = x−3 . [∫ x9dx+c ] y = x−3.[ x10

10+c]

y = x7

10+c . x−3

6) ( x−lny )dydx=− ylny

Hacemos cambio de variable:z = ( x−lny ) lny = x – z

dz = dx - dyy

dzdx

= 1 - dyydx

dyydx

= 1 - dzdx

Reemplazando en la ecuación:

z = (1−dzdx ) = z – x

z - dzdx

= z – x

dzdx

= -x

dz = xdx

∫ dz = ∫−xdx

z = −x2

2 + c

Reemplazando:

z = x – lny

x – lny = −x2

2 + c

c = x2

2 + x - lny

8) dydx

+ ey = x p + 2x

Resolviendo:

dydx

+ 2y = xe + 2x p (x) = 2, q(x) = x p + 2x

La ecuación general:

y = e−∫ p ( x )dx [∫ e p (x )dxd ( x )dx+c ]

y = e−∫2dx [∫ e ∫ 2dx (x p+2 x )dx+c ]

y =e−2x [∫e2x (xp+2 x )dx+c ]Integrando por partes:

y = 2x2+2 x−14

+ ce−2x

9) xtnxdydx

- y = x3 (eln(x) – 1)

Resolviendo:

De la ecuación diferencial:

dydx

- 1xlnx

y=x2(3 ln ( x )−1)

lnx

De la ecuación general

y = e−∫ −dx

xln( x) [∫ e ∫ −dxxln( x) x2(3 ln ( x )−1)

ln (x )dx+c ]

y = e ln (ln ( x ))[∫e ln (ln ( x )) x2(3 ln ( x )−1)

ln (x )dx+c]

y = l n (x )[ ∫ x2(3 ln ( x )−1)l np (x )

dx+c ]y = ln ( x )[∫ d ( x3

ln ( x ))+c ]=ln ¿)( x3

ln ( x )+c)

y = x3+ cln(x)

10) dydx

+Ø 1 ( x ) y – Ø(x) Ø 1(x) = 0

Resolviendo:

De la ecuación diferencial:

dydx

+ Ø 1 ( x ) y = Ø(x) Ø 1(x)

De la ecuación general:

y = e−∫Ø 1(x)dx (∫ eØ

1 (x)dx Ø (x )Ø 1 ( x )dx+c¿

y = e−∅ (x)¿∫e∅ (x) Ø (x )Ø 1 ( x )dx+c)

Integrando por partes:

u = Ø (x ) ⤳ du = Ø 1 ( x )

dv = e∅ (x)Ø 1 ( x ) dx ⤳v = e∅ (x)

y = e−∅ (x) (Ø (x ) e∅( x)−e∅( x)+c )

y = Ø (x ) - 1 + ce−∅ (x)

11) dydx

= 1

x sen y+2 sen2 y

dydx

= 1

x sen y+2 sen2 y ⤳

dxdy

= x sen y + 2 sen 2y

dxdy

= - (sen y) = 2 sen 2y, ecuación lineal en x:

x = e—∫−¿ sen ydy¿ [∫ e∫−sen y dy2 sen2 ydy+c ]

x = e−cos y [∫ecos y2 sen2 ydy+c ]

x = e−cos y [4∫ ecos y sen y .cos ydy+c ]Integrando por partes:

x = e−cos y [−4 cos y ecos y+4ecos y+c ]

x = 8 sen2 y

2 + c . e−cos y

12) dydx

– y ctg x = 2x - x2ctg x

Resolviendo:

y = e−∫ ctg xdx [ ∫ e∫−ctg xdx (2 x−x2ctg x )dx+c ]

y = e ln sen x [∫e−ln senx (2 x−x2 ctg x )dx+c ]Simplificando:

y = sen x [∫ ex−x2ctg xsen x

dx+c ]Integrando:

y = sen x (x2 + x + cosec x + c) = x2 + c sen x

x = π2

, y = π2

4 + 1

∵ π2

4 + 1 = π

2

4 + c c = 1 ∵ y= x2 + sen x

13) (1 + x2) ln (1 + x2)dydx

- 2xy = ln (1 + x2) – 2xar

ctg x

y = π2

, x → ∞

dydx

- 2 x

(x2+1 ) ln(x2+1)y =

1

1+ x2− 2xar ctg x

(4 x2 ) ln (1+ x2)

De la ecuación general:

y = e−∫ −2 xdx

(x¿¿ 2+1)ln (x2+1)¿ [e∫ −2dx

(x2+1) ln (x2+1) ( 1

1+x2−2 xar ctg x

(1+x2 ) ln (1+x2 ) )dx+c ]

y = e ln ¿¿ ¿

y = ln (1 + x2¿¿ dx + c)

y = ln (1 + x2¿¿+ c) ⟹ ln (1 + x2¿ ( ar ctg x

ln (1+ x2 )) + c )

y = ar ctg x+x ln (1 + x2¿ donde: c = y

ln (1+x2 ) - ar ctg x

ln (1+x2 )

para: y→−π

2 , x →∞

c = −π

2∞

- −π

2∞

= 0– 0 = 0

c = 0

14) dydx

- 2xy = cos x – 2x sen x

Resolviendo:

dydx−2xy = cos x – 2x sen x

y = e−∫−2xdx¿

y = ex2

¿

y = ex2

¿ ⟹ (ex2

sen x+c ex2

¿

y = sen x + ec x2

, x varia x = -1; x = 1 x →∞

∵ y = sen x

15) dydx

= 1

e4−x

Resolviendo:

dydx

= 1

e4−x ⤳dxdy

= e y - x de donde: dxdy

+ x = e y

Ecuación lineal en x

x = e−∫ dy [ ∫ e∫ dye y dy+c ]

Integrando tenemos:

x = e− y [ ∫ e2 y dy+c ]⟹⟹e− y ( e2 y2+c)

x = ey

2 + c . e− y

II.- ECUACIONES DE BERNOULLI

1) dydx

– y = xy5 (1 – n)

1 – (5)

dydx

- y = xy5 ( y−5)

y5 dydx

- y−4 = x (−4 )

-4y5 dydx

+ 4 y−4= -4x

Luego: z = y−4 dzdx

= -4y5 dydx

Reemplazando:

dzdx

+ 4z = -4x

z = e− ∫ 4dx . [ ∫ e−∫ 4dx .4 xdx+c ]

z = e−4 x . [− ∫ e4 x .4 xdx+c ]

Resolviendo por partes:

u = x du = dx

dv = e4 x v = e4 x

z = e−4 x [−4 xe4 x−4 e4x+c ]

z = -4x – 4 + c . e−4 x

Reemplazando: z = y−4

y−4 = -4x – 4 + c . e−4 x

2) dydx

+ 2xy + xy4 = 0

dydx

= 2xy = -x y4 ( y−4 )

y−4 dydx

+ 2xy−3 = -x (-3)

3 y−4 dydx

- 6xy−3 = 3x

Hacienda cambio de variado:

z = y−3 dzdx=¿ -3 y−4

dydx

Reemplazando:

dzdx−6 xz = 3x

z = e− ∫ 6xdx . [∫ e∫ 6xdx .3 xdx+c ]

z = e−3 x2

. [∫ e3 x2

.3xdx+c ]

z = e−3 x2

. [3∫e3x2

. xdx+c ]Resolviendo por partes:

z = e−3 x2

. [3 x e3 x2

.3e3 x2

+c ]

z = 3x + 3 + c . e3x2

Reemplazando z = y−3

y−3 = 3x + 3 + c . e−3 x2

3) dydx

+ 13y =

13(1−2 x) y4

dydx

+ 13

y = 13(1−2 x) y4 . ( y−4)

y−4 dydx

+ 13y−3

= 13(1−2 x) . ( -3 )

3y−4 dydx

- y−3 = −1+2 x

z = y−3 dzdx

= 3y−4 dydx

dzdx

– z = 2x – 1

z = e− ∫ dx . [ ∫ e ∫ dx . (2x−1 )dx+c ]

z = e− x . [ ∫ ex . (2x−1 )dx+c ]

Resolviendo por partes:

z = e− x . [2ex . x−2ex−ex+c ]

z = e− x . [2ex . x−3e x+c ]

z = x – 3 + c

Remplazando z = y−3

y−3 = x – 3 + c

4) dydx

+ y = (cos x−sen x ) y2

dydx

+ y = (cos x−sen x ) y2 ( y−2)

y−2 dydx

+y−1 = cos x−sen x (−1 )

y−2 dydx

+y−1 = sen x−¿ cos x

z = y−1 dzdx

= -y−2 dydx

Reemplazando:

dzdx

- z = sen x – cos x

z = e−∫−¿dx ¿. ¿

z = ex. ¿

z = ex. [ ∫ e−x . sen xdx− ∫ e− xcos xdx+c ]

Resolviendo por partes:

z = ex. [ ∫ e−x . sen xdx− ∫ e− xcos x− ∫ e− xsen xdx+c ]

z = ex. [−e− x .cos x+c ]

z = −cos x+e x. c

Reemplazando: z = y−1

y−1 = −cos x+e x. c

5) xdy – [ y+x y3(1+ lnx)] dx = 0

x dydx

– y + xy3 (1 + lnx) = 0

dydx

– yx− y3

(1 + lnx) = 0

dydx

– ( 1x¿ y=+ y3

(1 + lnx) ( y¿¿−3)¿

y−3 dydx

– ( 1x¿ y−2

= 1 + lnx (-2)

−2 y−3 dydx

– 2xy−2

= 2(1 + lnx)

z = y−2 dzdx

= −2 y−3 dydx

Reemplazando:

dzdx

+ 2xz = 2 (1 + lnx )

z = e− ∫ 2

xdx . [∫ e∫ 2

xdx. (2+2lnx )dx+c ]

z = e−2 lnx . [∫ e2 lnx . (2+2 lnx )+c ]

z = x−2 . [∫ x2 . (2+2 lnx )+c ]

z = x−2 . [∫2 x2dx+2 ∫ x2lnxdx+c ]

Resolviendo por partes:

z = x−2 . [ 23 x3+ x3lnx− x

3

9+c]

z = 23x+ x

3lnx− x

9+x−2 .c

z = 59x+ x

3lnx+x−2 . c

Reemplazando: z = y−2

y−2 = 59x+ xlnx

3+x−2 . c

6) 2xdy + 2ydx = xy3dx

dydx

+ 2 y2 x= xy

3

2 x

dydx

+ yx= y

3

2 (y−3 ¿

y−3 dydx

+ y−2

x=1

2 (-2)

z = y−2 dzdx

= -2y−3 dydx

dzdx

– 2xz = -1

z = e− ∫ 2

xdx

.[ ∫ e ∫ 2xdx

.−1dx+c ]

z = e−2 lnx . [ ∫ e2lnx . dx+c ]

z = x−2 . [ ∫ x2dx+c ]

z = x−2[ x3

3+c ]

z = x3

+ x−2 . c

Reemplazando: z = y−2

y−2 = x3

+ x−2 . c

7) dydx

= x

x2 y+ y3

dxdy

= x2 y+ y3

x

dxdy

= xy + y3

x (x)

xdxdy

- xy = y3 (2)

2xdxdy

– 2yx2 = 2y3

Haciendo cambio de variable:

z = x2 dzdy

= 2xdxdy

dzdy

- 2yz = y3

z = e−∫−2 ydy [∫ e∫−2 ydy . y3dy+c ]

z = e y2 [∫ e− y2

. y3dy+c ]Resolviendo por partes:

z = e y2[ y3 e

− y2

9+ y

3 e− y2

9+ 2 y4 e− y

2

9+c ]

z = e y2[ 29 y4 e− y

2

+c ]z =

29y 4+e y

2

. c

Reemplazando:

z = x2

x2 = 29y 4+e y

2

. c

8) y2(y6- x2) y1 = 2x

(y8-y2 x2 ¿ y1 = 2x

dydx

= 2x

y8− y2 x2

dxdy

= y8− y2 x2

2x

dxdy

= y8

2x - y

2 x2

dxdy

+ y2

2x = y

8

2. x−1 (x)

x dxdy

+ y2

2x2 = y

8

2 (2)

2x dxdy

+ y2 x2 = y8

Haciendo cambio de variable:

z = x2 dzdy

= 2xdxdy

dzdy

- y2 z = y8

z = e−∫ y2dy . [∫ e∫ y2dy . y8dy+c ]

z = e− y3

3 .[∫ e y3

3 . y8dy+c] Resolviendo por partes:

z = e− y3

3 .[ y8 . ey3

3

8– y7 e

y3

3 + 7 y6 e− y3

3

8+c ]

z = y8

8 - y7+¿

7 y6

8 + c . e

− y3

3

Reemplazando:

z = x2

x2 = y8

8 - y7+¿

7 y6

8 + c . e

− y3

3

9) ydx + ( x - x3 y2

) dy = 0

ydxdy

+ x - x3 y2

= 0

dxdy

+ xy

- x3

2 = 0

dxdy

+ xy

= x3

2 (x−3 ¿

x−3 dxdy

+ x−2

y =

12

(-2)

−2 x−3 dxdy

- 2x−2

y = -1

z = x−2 dzdy

= -2x−3 dxdy

Reemplazando:

dzdy

- 2yz = -1

z = e−∫−2

ydy. [∫ e∫−2

ydy.−1dy+c ]

z = e2 lny. [–∫ e−2 lnydy+c ]

z = y2. [ – y−2+c ]

z = -1 + y2. c

Reemplazando:

z = x−2

x−2 = -1 + y2c

10) 3xdy = y( 1 + x sen x - 3y3sen x ) dx

3x dy = ( y + yx sen x – 3x y3sen x ) dx

dydx

= y

3x+ y

3 sen x - y3sen x

dydx

- (1

3x+ sen x

3) y= y3sen x ( y3 ¿

y3 dydx

- (1

3x+ sen x

3) y−2=¿sen x (-2)

2 y−3 dydx

+ 2 (1

3x+ sen x

3) y−2=¿-2sen x

Luego: z = y−2 dzdx

= -2y−3 dydx

dzdx

+ 2 (1

3x+ sen x

3) z=¿-2sen x

z = e− ∫ ( 2

3x+ 2 senx

3 )dx.[∫e ∫ ( 2

3x+2 sen x

3 )dx.−2 sen xdx+c ]

z = e(−2lnx

3+2 cosx

3 ).[∫ e( 2 lnx3

−2 cosx3 )

2 sen xdx+c ]z = e

( 2cos x3

−2 ln x3 ).[2∫ e( 2 lnx3

−2 cosx3 )

2 sen xdx+c ]

Resolviendo por partes:

z = e23

cosx−23lnx. [e(23 lnx−2cos

3x). sen x . e

(2 lnx3 −2 cos3

x)+c ]

z = sen x – cos + e(23

cosx−23lnx) . c

11) 3xdydx

- 2y = x3

yz

dydx

- 2

3xy = x

2

3y−2 . (y2 ¿

y2 dydx

- 2 y3

3x= x

2

3(3)

3 y+2 dydx

- 2 y3

x = x

2

3

z = y3 dzdx

= 3y2 dydx

dzdx

- 2xz = x2

z = e−∫−2

xdx. [∫ e∫−2

xdx. x2dx+c ]

z = e2 lnx. [∫ e−2 lnx . x2dx+c ]

z = x2. [∫ x−2 . x2dx+c ]

z = x2 [ ∫ dx+c ]

z = x2 [ x+c ]

z = x3 + c . x2

Reemplazando:

z = y3

y3 = x3 + c . x2

12) (2xy3 - y) dx + 2xdy = 0

2xy3 – y + 2xdydx

= 0

y3 – y

2x +

dydx

= 0

dydx

– y

2x =− y3 . (y−3 ¿

y−3 dydx

– y−2

2x =−1 . (−2¿

−2 y−3 dydx

– y−2

x =2

z = y−2 dzdx

= -2y−3 dydx

Reemplazando:

dzdx

- zx = 2

z = e−∫ dxx . [∫ e∫ dxx .2dx+c ]

z = e−lnx. [2∫e lnx . dx+c ]

z = x−1. [2∫ x dx+c ]

z = x−1. [ x+c ]

z =. 1+c . x−1

Remplazando:

z = y−2

y−2 = 1+c . x−1

13) 2ydydx

+ y2 ctg x=¿cosec x

dydx

+ y2ctg x= cosec x

2

dydx

+ yctg x

2= y−1 cosec x

2 (y)

ydydx

+y2 ctg x

2= cosec x

2 (2)

2ydydx

+y2 ctg x=cosec x

z = y2 dzdx

= 2ydydx

Reemplazando:

dzdx

+ zctg x = cosec x

z = e− ∫ ctg xdx. [∫ e∫ ctg xdx . cosec xdx+c ]

z = e−ln (senx). [∫ eln (senx) . cosec xdx+c ]

z = 1

sen x [ ∫ dx+c ]

z = 1

sen x [ x+c ]

z = x

sen x +

csen x

Reemplazando:

z = y2

y2= x

sen x +

csen x

14) dydx

+ yx+1

= −12

(x+1)3 y2

dydx

+( yx+1

¿ y = −12

(x+1)3 y2 .(y2 ¿

y2 dydx

+ yx+1

. y−1 = −12

(x+1)3 . (-1)

-1y2 dydx

- 1x+1

. y−1 =

12

(x+1)3

z = y−1 dzdx

= -y−2 y

dydx

Reemplazando:

dzdx

- 1x+1

. z = 12

(x+1)3

z = e−∫−dxx+1 . [∫ e∫−dxx +1 .

12(x+1)3dx+c ]

z = e ln ( x+1). [ 12∫ e−ln (x+1).(x+1)3dx+c]z = ( x + 1). [ 12∫ 1

x+1.(x+1)3dx+c]

z = ( x + 1). [ 12 ∫ (x+1)2dx+c ]

z = ( x + 1) [ x3

6+ x

2

4+ x

2+c]

z = x4

6+ 5 x3

12+ 3x2

4+ x

2+ ( x+1 ) . c

Reemplazando: z = y−1

y−1 = x4

6+ 5 x3

12+ 3x2

4+ x

2+ ( x+1 ) . c

PRACTICA 6

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN “N”

I) INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES

1)

Derivando

(1) + (2)

2)

3)

ç

4) 5)

6)

7)

8)

WRONSKIANO

1) |1 x x2

0 1 2 x00⋮0

000

200

x3 …… xn−1

3 x2 …… n+ x2

6 x60

……¿……

(n−1 ) (n−2 ) x3

¿ (n−1 )1 ! |=1!2 !3 !…… (n−1 )!≠0

⇒1 , x , x2,……xn−1 sonC . I .

w=1 !2! 3!…… (n−1 ) !

2) | 2nx enx

memx nenx|=ne(m+n )x−me(m+n)x=(n−m ) e (m+n) x comon≠m

| emx enx

memx nenx|≠0⇒emx , en x son L. I . w=(n−m)e(m+n )x

3) |senhx coshxcoshx senhx|=se n2hx−cosn2hx=−1⇒ senhx ,coshx son L . I .

ω=−1

4) |x x 2x

1 2x+xe x|=x2x+x2 ex−x ex=x2 ex

si x=0⇒ x , x ex sonL .O .

si x ≠0⇒ x , x ex sonL . I .

w=x2 ex

5)

| ex senx ex cosxexcosx+ex senx e xcosx−ex senx|=e2x senx cosx−e2x senx−e2x cos2 x−e2 xsenx cosx

¿−e2x (se n2 x+cos2 x )=−e2x≠0

⇒ e2x senx ,−2x cosx−son L . I .

w=−22 x

6) |1+cos2 x co s2 x−2 sen2x −2cos x sen x|=¿

¿−2cos x sen−cos2 x2cos x52nx+252n2 x cos2 x

¿−sen2 x−sen2 xcos2 x+2 sen2 x cos2 x

¿−sen2 x−¿

¿−sen2 x (co s2 x+sen2 x+co s2 x−sen2 x−2cos2 x )

¿0

⇒1+cos 2x ;co s2 x son L. D .

w=0

7) | e−x x2−x

−e−x e− x−e−x|=e−2x−2−2x+ xe−2x=e−2x

⇒2−x ; x 2− x son L. I .

w=e−2 x

8) |1 2−x 2e2x

0 −2−x 4e2x

0 2−x 8e2 x|=|1 e− x 2e2x

0 −e−x 4e2x

0 0 12e2 x|=−12 2− x

⇒1 ,2− x y 2e2x son L . I .

w=−12e−x

9) |2 cos x cos 2x0 −sen x −2 sen2x0 −cos x −4cos2 x|=2|−senx −2 sen2x

– cos x −4cos2 x|

¿2¿

¿2(2 se xcos 2x−2 sen2x xcos ¿ x+2 sen x cos 2 x)¿

¿2¿

¿2 (−2 se n2 x )=−8 se n3 x=¿

¿2 ; x y cos2 x son L. I .

w=¿

10) | e−3 x sen2 x e−3 xcos2 x−3e−3 x sen2x+2e−3x cos2 x −3e−3x cos2 x+2e−3 xsen 2x|=¿

¿−3e−6 xsen 2x+cos2 x−¿2e−6x sen2 x sen2 x+−3e−6x sen2 x x cos2 x−¿2e−6x cos22 x¿¿

¿2e−6x (se n2 2x+co s22 x )¿2e−6x ≠0

⇒ e−3 x sen2x ;2−3 xcos2 x son L . I .

w=2 2−6 X

III) MEDIANTE EL WRONSKIANO, DEMOSTRAR QUE CADA

UNA DE LOS SIGUIENTES CONJUNTOS DE FUNCIONES

SON L.I.

Para demostrar que son L.I. basta probar que la determinante es

distinta de cero.

1> |lnx xlnx1x

lnx+1| = ln2x + lnx – lnx = ln2x ≠ 0 lnx, xlnx son L.I.

2> |1 2−x 222 x

0 −2−x 422x

0 2−x 822x| = |1 2−x 2 22x

0 −2−x 4 22 x

0 2−x 12 22x| = -12 2x ≠ 0

3> | x1 /2

x1 /3

12x−1 /2 1

3x−1 /3| =

13

x−16 -

12

x−16 =

−16

x−16 ≠ 0 cuando x ≠ 0

4> | 2ax senbx 2axcosbxa2ax senbx+bcosbx2ax a2axcosbx+bsenbx 2ax|=

a2ax senbx cosbx - b2ax se n2bx -a2ax senbx cosbx - b2ax cos2bx = - b2ax (sen2bx + co s2bx) = - b2ax ≠ 0

5> |1 sen2 x 1−cosx0 2 senx cosx senx0 2co s2 x2 sen2 x cosx | = | sen2x senx

2 cos2 x cosx| =

L. L L

sen2x cosx – 2cos2x senx + 2 sen2 x co s2 x - 2co s2 x sen❑ x + 12sen3x =

2sen3x ≠ 0 cuando x ≠ mk, K ∈ Z

6> |ln (x−1) ln (x+1) 11x−1

− 1x+1

0| = 1x+1

- 1x−1

= x−1−x−1( x+1 )( x−1)

=

−2( x+1 )( x−1) ≠ 0; x ≠1 ∧ x ≠ -1

7> | √1−x2 x

−2√1−x2

21| = √1−x2 +

x2

√1−x2 =

1−x2+ x2

√1−x2 =

1

√1−x2 ≠ 0 ; x

≠1 ∧ x≠-1

8> | sen x2 cos2 x

12

cosx2−2cosxsenx| = -2senx cosxsen x

2 -

12

cos x2

cos2 x

Sen x2

y cos2x son L.I.

9> |x2 x4 xc

2x 4 x3 g x7

2 12 x2 s66| = |x2 x4 x8

0 2x3 6 x7

2 12 x❑ s 66| =|x2 x4 x8

0 2 x3 6 x7

0 10 x2 s 66| =|x

2 x4 x8

0 2 x3 6 x7

0 10 x2 2 46| =48x6. x3 x2=48 x11

10> 2x xex x2 ex

2x 2X+xe X 2 x2x+ x2 ex

e x 2ex+x ex 2ex+2 xe x+2 x ex+x2 ex =

ex x ex x2 ex

0 ex 2x ex

0 22x 2ex+4 xe x

= ex x ex x2ex

0 ex 2 x ex

0 o 2ex = 2ex ex ex=2e3 x≠0

ex , xe2 y x2 ex son L. I .

IV) DEMOSTRAR QUE LAS FUNCIONES SON L.I. Y SU WRONSKIANO ES CERO (GRAFICARLOS)

1) SI XE [ -1,0] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0

→ ∝1 X2 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0

SI XE [0, 1] → ∝1 f, (X) + ∝2 f2 (X) = 0

→0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0

UROSKIANO EN [-1,0]

f1 y P2 Son L.I.

X2 0

2X 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X

2) SI XE [0, 2] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0

∝1 0 + ∝2 (X-2)2 = 0 ∝2 = 0

Si XE [2, 4] → ∝1 f1 (0) + ∝2 f2 (X) = 0

∝1 (X-2)2 + 0 = 0 ∝1 = 0

WROSKIANO EN [-0,2]

0 (X-2)2

0 2(X-2)

WROSKIANO EN [2,4]

(X-2)2 0

2(X-2) 0

3) SI XE [-2, 0] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0

∝1 X3 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0

SI XE [0, 1] → ∝1 f1 (X) + ∝2 f2 (X) = 0

0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0

WROSKIANO EN [-2,0]

X3 0

3 X2 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X

X -1 < x < 0 -X2 -1 < x < 0

X2 0 < x < 1 X2 X2 0 < x < 1

SI XE [-1,0] → ∝1 X2 - ∝2 X2 = 0 (X) = 0

→ ∝1 X2 + ∝2 0 = 0 ∝1 = 0

SI XE [0, 1] → ∝1 f, (X) + ∝2 f2 (X) = 0 f1 y P2

→0 + ∝2 X2 = 0 ∝2 = 0 son L.I.

UROSKIANO EN [-2,0]

X3 0

3 X2 0

UROSKIANO EN [0,1]

0 X2

0 2X

V) DEMOSTRACIONES

= 0=

= 0

W=

4

0 2 4

= 0W=

f2 (X) =

4) f1=

= 0

W=

= 0

W=

f1 y P2

Son L.I.

P1 y P2 son L.I.

-2 0 1

-8

-1

-1 -1

1)

3)

PRÁCTICA Nº 7ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

I) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales

A) Raíces reales distintas.

1. y `+`2y´` - `15 `y`=````0`} {¿

Ecuación característica

λ2 + 2λ − 15 = 0 ⇔ ( λ − 3 ) ( λ+5) = 0λ −3 λ = 3 λ =−5 raíces de la ecuaciónλ +5La solución general es:

y = C1 e3 x + C2 e

−5 x

3. y ` - y`=````0`} {¿Ecuación característica

λ2 − 1 = 0 ⇔ ( λ + 1) ( λ−1)λ= −1 λ =1 Raíces de la ecuación

La solución general es:

y = C1 e− x + C2 e

x

7. y ´´´−6 y `+11y´` - `6y`=````0`} { ¿Ecuación característica

λ3 − 6 λ2 +11 λ − 6 = 0 ⇔ ( λ + 1) ( λ−2) ( λ−3 )= 0λ = 1 λ =2 λ=3 Raíces de la ecuación

1 -6 11 -6

1 1 -5 6

21

-52

6-6

0

1 -3 0

La solución general es:

y = C1 e3 x + C2 e

2 x + C3 ex

9. y ´´−4 y ´ +1= 0Ecuación característica

λ3 − 4 λ +1 = 0

λ =−(−4 )± √(−4 )2 . 4 (1 ) (1)2(1)

λ = 4 ± √122

λ = 4 ± 2√32

¿

{λ1 = 2+√3 ¿ ¿¿¿

La solución general es:

y = C1 e(2+√3 )x + C2 e

(2−√3 )x

B) Raíces múltiples

1. y ´´´−3 y `+3y´` - `y`=````0`} {¿

Ecuación característica

λ3 − 3 λ2 +3 λ − 1 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 = 0λ = 1

Raíces de la ecuación de múltiplicidad 3

La solución general es:

y = C1 ex + C2 x e

x + C3 x2 ex

3. yIV − yI II −9 y II − 11 yI −4 y = 0

Ecuación característica:

λ4 − 3 λ3−9 λ2 −11 λ − 4 = 0 ⇔ ( λ + 1)3 ( λ−4 ) = 0λ =−1λ = 4

Raíz de la multiplicidad 3

1 -1 -9 -11 -4

-1 -1 2 7 4

-11

-2-1

-73

-44

0

-11

-3-1

-44

0

1 -4 0

La solución general es:

y = C1 e− x + C2 x e

−x + C3 x2 e− x+ C4 e

4 x

5. yIV −6 y II +12 y II − 8 yI= 0

Ecuación característica

λ ( λ3 − 6 λ2 +12 λ − 8 ) = 0 ⇔ λ ( λ − 1)3 = 0λ = 0λ =2 Raíz de multiplicidad 3

1 -6 +12 -8

1 2 -8 8

21

-42

4-4

0

1 -2 0

La solución general es:

y = C1 + C2 e2 x + C3 x e

2 x+ C4 x2e2 x

7. yIII +3 y II +3 y I + y= 0

Ecuación característica

λ3 + 3 λ2 +3 λ +1 = 0 ⇔ ( λ + 1 )3 = 0λ =−1

Raíz de multiplicidad 3La solución general es:

y = C1 e−x + C2 x e

−x+ C3 x2e− x

9. yIV −8 yII +16 y 0

Ecuación característica

λ4 − 8 λ2 +16 = 0 ⇔ ( λ2−4 ) ( λ2−4 ) = 0λ2 − 4 ( λ+2)( λ−2)( λ+2)( λ−2 )= 0λ2 −4 ( λ+2)2 ( λ−2)2= 0

λ =−2 Raíz de multiplicidad 2λ = α Raíz de multiplicidad 2

La solución general es:

y = C1 e−2 x + C2 x e

−2 x+ C3 x2 x + C4 xe

2 x

C) Raíces complejas

1. y} } `+y`=```0} {¿¿¿

Ecuación característica

λ4 + 1 = 0λ2 =−1λ =± i Raíces de la Ec .

La solución general es:y = C1 Cos x + C2 senx

3. y} } `+4y`=```0} {¿ ¿¿

Ecuación característica

λ2 + 41 = 0λ2 =−4 ⇔ λ=± 2i Raíces de la Ecuación

La solución general es:

y = C1 Cos 2 x + C2 sen2x

5. y} } `+4y´`+13 y`=```0} {¿ ¿¿

Ecuación característica

λ2 + 4 λ + 13 = 0

λ =−(−4 )± √(−4 )2−4 (13)(1 )2( t )

λ = 4 ± √16 − 522

λ = 4 ± √−362

λ = 4 ± 6 i2

¿ {λ = 2 + 3 i ¿ ¿¿

¿

La solución general es:

y = C1 e2 x (3 x ) + C2 e

2 x sen (3 x )

7. y} } `+y´`+y`=```0} {¿ ¿¿

Ecuación característica

λ2 + λ + 13= 0

λ =−(1) ± √(1)2−4(1)(1 )2(1 )

λ =−1± √−32

¿

{λ1=−1+√3 i2

¿¿¿¿

La solución general es:

y = C1 e− x cos(3 x ) + C2 e

−x sen (3x )

9. y} } ` - 2y´`+4y`=```0} { ¿¿¿

Ecuación característica

λ2 −2 λ + 4 = 0

λ =−(−2)± √(−2)2−4 (1)(4 )2(1 )

λ = 2± √−122

λ = 2± 2√ 3 i2

¿ {λ1= 1+√3i ¿¿¿

La solución general es:

y = C1 ex cos(√3 x ) + C2 e

x sen (√3 x )

10. y} } ` - `6y´`+ 25y`=```0} { ¿¿¿

Ecuación característica

λ2 −6 λ + 25 = 0

λ =−(−6) ± √(−6 )2−4 (1 )(25)2(1 )

λ = 6 ± √ 36 − 1002

λ = 6± √−642

¿ {λ1= 3+4 i ¿ ¿¿

La solución general es:

y = C1 e3 x cos (4 x ) + C2 e

3 x sen ( 4 x )

D) Raíces de cualquier índole

1. yIII

+4 y I = 0

Ecuación característica

λ3 +4 λ = 0λ ( λ2 + 4 ) =0 λ = 0 λ=2 i λ=−2 iRaíces de la ecuación .

La solución general es:

y = C1 + C2 cos(2 x ) + C3 sen (2x )

2. yIII

− yII

+ yI

− y = 0

Ecuación característica

λ3 − λ2+ λ − 1 = 0λ2 ( λ + 1) + ( λ+1 )=0 ( λ −1 ) ( λ2+1 )=0

λ= 1 λ=i λ =−iRaíces de la ecuación .

La solución general es:

y = C1ex + C2 cos x + C3 sen x

3. yIV

− y = 0

Ecuación característica

λ4 − 1 = 0( λ2+ 1) ( λ2−1 )=0λ = i λ=−i λ =1 λ=−1 Raíces de la ecuación .

La solución general es:

y = C1ex + C2 e

−x + C3 cos x + C4 sen x

4. yIV

+ 2 y II

+ y = 0

Ecuación característica

λ4 + 2 λ2 + 1 = 0 ⇔ ( λ2 + 1)2 = 0λ = i λ=−iRaíz de multiplicidad 2

La solución general es:

y = C1 Cos x + C2 Sen x + C3 x cos x + C4 x sen x

5. yIV

+ 16 yIV + 9 yII = 0

Ecuación característica

λ6 + 6 λ4 + 9 λ2 + 4 = 0( λ2 + 1) ( λ4−λ2 + 1 )+3 (2 λ4 + 3 λ2 + 1) = 0( λ2 + 1) ( λ4−λ2 + 1 )+3 (2 λ2 + 1) ( λ2 + 1 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4−λ2 + 1+6 λ2 + 3 ) = 0( λ2 + 1) ( λ4 +5 λ2 +4 ) = ( λ2 +1 ) ( λ2 +1) ( λ2 +4 )=0

= ( λ2 +1)2 ( λ2 +4 ) =0λ = i Raíz de multiplicidad 2λ =− i Raíz de multiplicidad 2λ =2 iλ =−2 iLa solución general es:

y = C1 Sen x + C2 Cos x + C3 x sen x + C4 x Cos x +C5 sen (2 x ) + C6 Cos (2 x )

6. yIII

+ 3 yII+ 3 yI + y = 0

Ecuación característica

λ3 + 3 λ2 + 3 λ + 1 = 0 ( λ +1)3=0λ =−1 Raíz de multiplicidad 3

La solución general es:

y = C1 e−x + C2 x e

− x + C3 x2 e−x

7. yIII

− yII+ yI− y = 0

Ecuación característica

λ3 − λ2 + λ − 1 = 0λ2 ( λ −1 ) + ( λ − 1 ) = 0( λ −1) ( λ2 + 1 ) = 0

¿

λ= 1¿ } λ = i ¿ }¿¿ Raíces de la ecuación ¿ ¿¿

La solución general es:

y = C1 ex + C2 cos x + C3 senx

8. yIII

− y = 0

Ecuación característica

λ3 − 1 = 0( λ −1) ( λ2 +λ + 1)⏟ = 0

λ2 +λ + 1= 0 λ =−1± √(1)2−9 (1 )(1)2(1 )

λ= −1± √3 i2

¿ {λ = −12+ √3 i

2¿ ¿¿

Las raíces de la ecuación son:

λ =−12

+ √3i2

λ=−12

− √3i2

La solución general es:

y = C1 ex + C2 e

− x2 cos (√3 x

2 ) + C3 e− x

2 sen (√32x)

10. yIV

− y = 0

Ecuación característica

λ4 − 1 = 0( λ2 +1) ( λ2−1 ) = 0λ=1 λ =−i λ=1 λ=−1 raíces de la ecuación

La solución general es:

y = C1 ex + C2 e

−x+ C3 cos x + C4 sen x

11. yIII

− yII − 3 y I − y= 0

Ecuación característica

λ3 − λ2−3 λ−1 = 0( λ +1 ) ( λ2−2 λ −1) = 0

λ =−(−2)± √(−2)2−4 (1)(−1)2(1 )

λ = 2± √ 4+42

λ = 2±2 √ 22

λ = 1 ± √2 λ = 1 + √2λ = 1 − √2 λ = 1 − √2 λ =−1Raíces de la ecuación

La solución general es:

y = C1 ex + C2 e

x (1+√2)+ C3 ex(1−√2)

12. yIII

+4 y II + 4 yI= 0

Ecuación característica

λ3 − 4 λ2 +4 λ = 0λ ( λ2 +4 λ+4 ) = 0 λ( λ+2)2=0

λ= 0 λ=−2 Raíz de multiplicidad 2

La solución general es:

1 -1 -3 -1

-1 -1 2 1

1 -2 -1 0

1 -1 -3 -1

-1 -1 2 1

1 -2 -1 0

y = C1 + C2 e−2 x+ C3 x e

−2 x

13. yIV

−14 y III− 2 y= 0

Ecuación característica

λ4 − 1 4 λ2−2 = 0

λ2 =−(−14 ) ± √(−14 )2−4 (1 )(−2)2(1)

λ2 = 14 ± √196 + 82

λ2 = 14 ± √1082

λ2 = 14 + √1082

La solución general es:

y = C1 e√14+√108

2x+ C2 e

−√14+√1082

x+ C3 e

−√14−√1082

x+

C4 e−√14−√108

2x

14. yIV

−2 yIII + yII+2 y ´−2 y 00

Ecuación característica

λ4 − 2λ3 + λ2 +2 λ +2= 0

Las raices son:

λ = 1 λ =−1λ = 1+iλ = 1−i( λ+1 ) ( λ−1 ) ( λ2−2 λ+2 ) = 0

λ =−(−2 ) ± √(−2 )2−4 (2)(1)2

λ = 2 ± √−42

λ = 1 ± i

La solución es

y = C1 ex + C2 e

−x+ C3 ex cos x + C4 e

x senx

15. yIV

+5 y II − 9 y= 0

1 -2 1 2 -2

1 1 -1 0 2

-111

-1-1

02

2-2

0

1 -2 2 0

Ecuación característica

4 λ4 + +5 λ2−9 = 04 λ2 +9λ2 −1

(4 λ2+9) ( λ2−1) = 0 4 λ2 +9 =0 λ2−1 =0

λ2 =±√94i λ =±1

λ =±32i λ =±1

Raíces de la ecuación

La solución general es:

y = C1 ex+ C2 e

−x + C3 (32 x)+ C4 sen ( 32 x)

PRACTICA 8

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS

1.- y’’ + 3y’ = 3 Solución:

y’’ + 3y’ = 3 y’ = p y’’ = dpdx

dpdx

+ 3p = 3 → dpdx

= 3 - 3p → ∫ dp3−3 p

=∫ dx U= 3 – 3p → du = - 3dp

-∫ du3u=∫dx=−3 lnu=x → x = -3lnu + c

X = - 3ln(3 – 3p) + c1

2.- yIV – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x Solución:

yIV – 3y’’ – 4y = - 4x5 + 390x y’’ = px y’’’=p yIV = dpdx

y = P6

x3

dpdx−¿3px – 4

P6

x3 = - 4x5 + 390x

dpdx=¿ - 4x5 + 390x + 3px +

46

px3

dp = (- 4x5 + 390x + 3px + 46

px3 )dx

∫dp = - 4∫x5dx + 390∫xdx + 3p∫xdx + 46

p∫x3dx

p = - 4 x6

6 + 390 x

2

2 + 3p x

2

2 +

46

p x4

4 + c1

p = - 2 x6

3 + 195x2 + 3p x

2

2 + p x

4

6 + c1

3.- y’’ – 4y’ = xe4 x Solución:

y’’ – 4y’ = xe4 x y’ = p y’’ = dpdx

dpdx−4 p=¿ xe4 x dp = ( xe4 x + 4p)dx

∫ x eaxdx=¿ eax

a2 ¿ (ax – 1) + c

∫ dp=∫ x e4x dx+∫ 4 pdx

p = e4x

42(4 x−1 )+4 px

p = e4x

42(4 x−1 )+4 px c1

4.- y’’ – 4y’ + 8y = e2x(sen2x – cos2x) Solución:y’’ – 4y’ + 8y = e2x(sen2x – cos2x)

y’ = p y’’ = dpdx

y = px

∫ excosxdx=12ex (senx+cosx )

∫ ex senxdx=12ex (sen−cosx)

dpdx−4 p+ px=e2x ( sen2 x−cos2 x )

dp=[4 p−px+e2x ( sen2x−cos2 x ) ]dx∫ dp=∫ 4 pdx−∫ pxdx+∫ e2x sen 2xdx−∫ excos2 xdx

p=4 px−p x2

2+ 1

2e2 x (sen 2x−cos2x )−1

2e2 x(sen2 x−cos2 x)

5.- y’’’ – 4y’ = xe2x+senx+ x2

Solución:y’’’ – 4y’ = xe2x+senx+ x2

y’ = px y’’’ = p y’’’ = dpdx

dpdx−4 px=xe2x+senx+x2

dp=(4 px+x e2x+senx+x2 )dx∫ dp=∫ 4 pxdx+∫ x e2 xdx+∫ senx dx+∫ x2dx

∫ x eaxdx= eax

a2(ax−1 )+c

p=4 px2

2+ e

2x

22(2 x−1 )−cosx+ x

3

3+c1

p=2 p x2+ e2x

4(2 x−1 )−cosx+ x

3

3+c1

6.- y’’ – y’ = x2

Solución:

y’’ – y’ = x2 y’ = p y’’ = dpdx

dpdx−p=x2

dp=( p+x2 )dx p=px+ x3

3+c1

7.- y’’’ – y’ = x + 1 Solución:

y’’’ – y’ = x + 1 y’ = px y’’ = p y’’’ =dpdx

dpdx−px=x+1

dpdx=x+1+ px

∫ dp=∫ ( x+1+ px )dxdp=∫ xdx+∫ dx+∫ pxdx

p= x2

2+x+ p x

2

2+c1

8.- y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2

Solución:y’’ + 2y’ + 2y = 2(x + 1)2

y = px y’ = p y’’ = dpdx

dpdx+2 p+ px=2 (x+1)2

dpdx=2(x+1)2−2 p−px

dpdx=2(x2+2 x+1)−2 p−px

dpdx=2 x2+4 x+2−2 p−px

∫ dp=¿ (2 x2+4 x+2−2 p−px )dx ¿∫ dp=∫2 x2dx+∫ 4 xdx+∫ 2dx−∫ 2 pdx−∫ pxdx

p=2x3

3+4x2

2+2 x−2 px−p x

2

2+c1

p=2x3

3+2 x2+2 x−2 px−p x

2

2+c1

9.- yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5) Solución:

yIV + 4y’’ = 8(6x2 + 5) y’’ = px y’’’ = p yIV =dpdx

dpdx+4 px=8 (6 x2+5 )⇾ dp

dx= (6 x2+5 )−4 px

dpdx=48x2+40−4 px

∫ dp=48∫ x2dx+∫ 40dx−4∫ pxdxp=48

x3

3+40 x−4 p

x2

2⇾ p=16 x3+40x−2 p x2

10.- 2y’’ – 9y’ + 4y = 18x – 4x2

Solución:

2y’’ – 9y’ + 4y = 18x – 4x2 y = px y’ = p y’’ =dpdx

2dpdx=18 x−4 x2+9 p−4 px

dpdx=9 x−2 x2+ 9

2p−2 px ⇾ dp=(9 x−2x2+ 9

2p−2 px )dx

∫ dp=9∫ xdx−2∫ x2dx+ 92px−2 p

x2

2

p=9x2

2−2 x3

3+ 9

2px−2 p

x2

2

p=92x2−2

x3

3+ 9

2px−p x2+c

VARIACIÓN DE PARÁMETROS1.- y’’ + y = cosecx Solución:

y’’ + y = cosecx y = px y’ = p y’’ = dpdx

dpdx+ px=cosecx⇾ dp

dx=cosecx−px

dp=(cosecx−px )dx⇾∫dp=∫cosecxdx−p∫ xdxp=ln|cosecx−cotx|+ p x

2

2+c1

2.- y’’ + y = sec2x Solución:

y’’ + y = sec2x y = px y’ = p y’’ = dpdx

dpdx+ px=sec2 x⇾ dp

dx=sec2 x−px

dp=( sec2 x−px )dx⇾∫ dp=∫ sec2 xdx−p∫ xdxp=tgx−p x

2

2+c

3.- y’’ + y = cotgx Solución:

y’’ + y = cotgx y = px y’ = p y’’ = dpdx

dpdx+ px=cotx

dp=(cotx−px )dx⇾∫dp=∫cot xdx−p∫ xdx

p=ln|senx|−p x2

2+c

4.- y’’ + 4y = 4ctg2x Solución:

y’’ + 4y = 4ctg2x y = px y’ = p y’’ = dpdx

dpdx+4 px=4ctg 2x⇾dp=(4ctg 2x−4 px )dx

∫ dp=4∫ctg 2xdx−4 p∫ xdx∫ cotudu=ln|senu|+c 2x=u2dx=du

∫ ctgu du2 =12

ln|senu|+c=12

ln|sen2 x|+c

p=4 (12 ln|sen2 x|)−4 px2

2+c

p=2 ln|sen2 x|−2 p x2+c

5.- y’’ + 4y’ + 4y = e-2e2x Solución:

y’’ + 4y’ + 4y = e-2e2x y = px y’ = p y’’ = dpdx

dpdx+4 p+4 px=e−2 e−2x

dpdx=e−2 e−2x−4 p−4 px

∫ dp=¿ e−2∫ e−2x dx−4 p∫ dx−4 p∫ xdx ¿∫ e−udu=−e−u+c u=−2 x du=−2dx

∫ e−u(−du2 )=−12

(−eu+c )=12e2x

p=12e2x e−2−4 px−4 p

x2

2+c

p=12e2x e−2−4 px−2 p x2+c

6.- y´´+ y´=sec2x.cscx

y=px y´=p y´´= dpdx

dpdx+ px=sec 2 x . cs cx

dpdx=sec 2x . cscx−px

dp=( sec2 x . cscx−px )dx∫ dp=¿∫ sec2 x . cscxdx−p∫ xdx ¿

sec2 x=1+ tan2 x

∫ sec2 x . cscxdx=∫ (1+ tan2 x )cscxdx=¿¿∫ cscx+∫ tan2 x .cscx

∫ cscxdx+¿∫ . sen2 x

cos2 x.

1senx

dx ¿∫ cscxdx+¿∫ . senxcosx.

1cosx

dx ¿

∫ cscxdx+¿∫secx . tanx dx ¿∫ dp=¿∫cs cxdx−p∫ secx .tanxdx−p∫ xdx¿

p=ln|cscx−cotx|+secx−p x2

2

7.- y ´ ´−3 y ´+2 y=e2 x (1+e2x )−1

y ´ ´−3 y ´+2 y= e2 x

1+e2x

y=px y´=p y´´= dpdx

dpdx−3 p+2 px= e2x

1+e2x

dpdx= e2x

1+e2x+3 p−2 px

dpdx= e2x

1+e2x+3 p−2 px

dp=∫ e2x

1+e2 x+3 p∫ dx−2 p∫ xdx

∫ duu =ln|u|u=1+¿ e2x ;du=e2xdx ¿

p=ln|1+e2x|+3 px−2 px2

2p=ln|1+e2x|+3 px−p x2

8. y´´+ y= tanx

y=px y´=p y´´= dpdx

dpdx+ px=tanx

dpdx=tanx−px

dp=∫¿¿)dx

∫ dp=∫ tanx−p∫ xdx P=ln|sec2 x|- p x

2

2+c

10.- y´´-3y´+2y=cos (e− x)

y= px y´= p y´´= dpdx

dpdx+3 p−2 px=cos (e−x )

dp=[cos (e−x )dx+3 p−2 px ]dx∫ p=∫ cos (e− x )dx−3 p∫ dx−2 p∫ xdx

P=sen(e− x¿+3px-px2 +c9.- y´´+ y=x2 . e

x2

2

y=px y´=p y´´= dpdx

dpdx

-px=x2 . ex2

2

dp=(px+x2 . ex2

2 )dx

∫ x . ex2

2 dx=a(x−a)exa+c

∫ p=p∫ xdx+∫ x2 .ex2

2 dx

P=p x2

2+2(x2−2)e

x2

2 +c

ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER1. x2y´´+xy´-y=0

X=e t→t=ln ( x )dydx=e−t dy

dt d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

En la ecuación diferencial

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−et .e−t dydx− y=0

d2 ydt− y=0

α 2−1=0→ (α−1 ) (α+1 )=0α=1 ; α=-1y(t)=c1 x+ c2x

2.- x2y´´+xy´+9y=0X=et t=lnx

dydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−et .e−t dydx−9 y=0

d2 ydt+9 y=0

α 2+9=0α =∓√9 i =∓3iy(t)=c1 e√9 i+c2 e

−√9 i=c1 e3 i+c2 e

−3i

y=c1 x√9 i+

c2

c1 x√9i=c1 x

3i+c2

x3i

y=c1 x3 i+

c2

x3 i

3.- x2y´´-3xy´+7y=0X=et t=lnx

dydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−3et . e−t

dydt+7 y=0

d2 yd t2−4

dydt

+7y=0

α 2−4 α+7=0→(α−2)2=−3α1=2+√3i; α2=2-√3iy(t)=c1 e(2+√3 i)t+c2 e

(2−√3i ) t

y=c1 e2+√3 i+ c2

x2−√3 i

4.- (x-2)2y´´-(3x-2)y´+7y=0X+2=et t=ln(x+2)

dydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )+8e t . e−t

dydt+12 y=0

d2 yd t2

+2dydt−3 y=0

α 2+2α−3=0α1=-3; α2=1y(t)=c1 et+c2e

−3 t

y=c1(x−2)+c2

(x+2)3

5.- .- (x-1)2y´´-8(x-1)y´+12y=0 X-1=et t=ln(x-1)dydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )+8e t . e−t

dydt+12 y=0

d2 yd t2

+7dydt+12 y=0

α 2+7α+12=0α1=-4; α2=-3y(t)=c1 e−4 t+c2 e

−3 t

y= c1

(x−1)4+

c2

(x−1)3

6.- x2y´´+xy´+y=x(6-lnx) X=et t=lnxdydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )+e t . e−t dydt + y=e t(6−t)

d2 yd t2

+ y=e t(6−t )

α 2+1=0α1=i ; α2=-iy(t)=c1 cost++c2 senty(t)=c1 coslnx++c2 senlnxyp=c1(At+B)e tYg=- t2+ 72Yp= lnx

2+7

2 Y=yp+yg=c1cos(lnx) +c2sen(lnx) - - lnx2 + 72

7.- x2y´´-xy´+y=2x

X=et t=lnxdydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−et .e−t dydt + y=2e t

d2 yd t2−2

dydt+ y=2e t

α 2−2α+1=0α=1y(t)=c1 e

t+c2et→ yp=c1x+c2xlnxYp(t)=At2e t → Yp(t)= t2e tYp=xln2xY=c1x+c2xlnx+xln2x

8.- x2y´´-xy´-3y=-(16 lnx) x-1

X=et t=lnxdydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−et .e−t dydt −3 y=−16 e−t .t

d2 yd t2−2

dydt−3 y=−16 t e−t

α 2−2α−3=0α 1=3 ,α 2=−1yg(t)=c2 e

3 t+c2e−t

yg(t)=c1x3+c2x

yp(t)=t(At+B)e−t

yp(t)=2t2e−t+ t e−t

yp=2 ln2 xx+ lnxx

y= yp+ ygy=c1x3+c2x+2

ln2 xx

+lnxx

9.- x2y´´+4xy´+2y=-2 ln2x+12xX=et t=lnx

dydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )+4e t . e−t

dydt+2 y=2 t2+12e t

d2 yd t2

+3dydt+2 y=2 t2+12e t

α 2+3α+2=0α 1=−1 ,α 2=−2yg(t)=c1 e

−t+c2 e−2t

yg(t)= c1

x+c2

x2

yp(t)=At2+Bt+D+Det

yp(t)=t2−3 t+7+2et

yp =ln2x- 3lnx+7+2xy= =c1x+ c2x+ ln2 x+3 lnx+7+2x

10.- (1+x)2y´´-3(1+x)y´+4y=(1+x)3

X=et t=lnx

dydx=e−t dy

dx d2 yd x2=e

−2 t ( d2 ydt−dydt)

e2 t . e−2t ( d2 yd t2−dydt )−3et . e−t

dydt+4 y=e3 t

d2 yd t2−4

dydt+4 y=e3 t

α 2−4 α+4=0α=2yg(t)=c1 e

−2t

yg(t)= c1 x2

yp(t)=Ae3 t

yp(t)=e3 t

32−1 → x3

32−1

y= yp+ yg=c1 x2+ x3

32−1

ECUACIONES DE BESSEL Y GAUSS

1) Comprobar que :

d J 0(X)

dx=−J 1(X)

J0( X)=∑n=0

∞

¿¿

J0( X)=1−( x

2)

2

+ 1(2! )2

( X2)

4

− 1(3 !)2

( X2)

6

+….+¿¿

d J 0(X )

dx=−( x2 )+ 1

1!2 ! ( x2 )3

− 12!3 ! ( x2 )

5

++…(−1)n+1 1(n !) (n+1 ) !

( x2)2n+1

d J 0(X )

dx=¿ −¿¿]

d J 0(X )

dx=−∑

n=0

∞

¿¿

d J 0(X )

dx=−J 1(X)

2) Comprobar que :

a)ddx (x

K J k ( X ))=xK J k−1( X )

xK J k( X )=( x

2

2)k

¿

+12 ! (k+2 )! ( x2 )

4

−…+ 1n! (k+1 ) ! ( x2 )

2n}

ddx (x

K J k ( X ))=(2k )x2 K−1

2k { 1k !− 1

1 ! (k+1 ) ! ( x2 )2

+12! ( k+2 )! ( x2 )

4

−…+(−1) n

n! (k+n )! ( x2 )2n

}

+ x2 K

2k { −10 ! (k+1 ) ! ( x2 )+ 1

1 ! (k+2 )! ( x2 )3

− −12! ( k+3 ) ! ( x2 )

5

+…+(−1)n+1

n! ( k+n+1 ) ! ( x2 )(2n+1)}

ddx (x

K J k ( X ))= x2 K−1

2k−1 ¿

k2! ( k+2 )! ( x2 )

4

−…+(−1¿¿ )n kn ! (k+n )! ( x2 )

2n

}¿

+

x2 K−1

2k−1 { −10 ! (k+1 )! ( x2 )

2

+ 11! ( k+2 )! ( x2 )

4

− −12 ! (k+3 )! ( x2 )

6

+…+(−1)n+1

n ! (k+n+1 ) ! ( x2 )2(n+1)}

ddx (x

K J k ( X ))= x2 K−1

2k−1 ¿

k+22! ( k+2 )! ( x2 )

4

−…+k+n

n! (k+n )! ( x2 )2n

}

ddx (x

K J k ( X ))= x2 K−1

2k−1 ¿

12! ( k+1 )! ( x2 )

4

−…+(−1)n

n! (k+n−1 )! ( x2 )2n

}

Por lo tanto :

ddx (x

K J k ( X ))=xK J k−1( X )

b)ddx (x

−K Jk ( X ))=−x−K J k +1( X )

Debemos llegar a :

−x−K J k+1( X )=−x−K ( x

2

2)k +1

¿

+12! ( k+3 ) ! ( x2 )

4

−…+1

1! (k+n+1 ) ! ( x2 )2n

}

K ! = (k-1)! K KK!= 1

(K−1 )!

(K+1)! = K! (K+1) K+1(K+1)!

= 1K !

−x−K J k+1( X )=−X

2k+1¿

+12! (K+3 )! ( x2 )

4

−…+1

1 ! (K+n+1 )! ( x2 )2n

}

Partimos de :

x−K J k ( X )= 1

2K¿

+12 ! (k+2 )! ( x2 )

4

−…+ 1n! (k+1 ) ! ( x2 )

2n}ddx (x

−K Jk ( X ))=¿

12K { −1

0 ! (k+1 )! ( x2 )+ 11! (k+2 ) ! ( x2 )

3

− −12 ! (k+3 )! ( x2 )

5

+…+(−1)n+1

n ! (k+n+1 )! ( x2 )(2n+1)}

ddx (x

−K Jk ( X ))=¿

−X2K+1 { 1

0 ! ( k+1 )!− 1

1 ! (k+2 ) ! ( x2 )2

+ 12! (k+3 ) ! ( x2 )

4

−…+(−1)n+1

n! (k+n+1 ) ! ( x2 )2n}

ddx (x

−K Jk ( X ))=¿ −x−K J k+1( X )

4.- probar que:

ex2(t−1

t)=J0 ( x )+ t J 1 ( x )+⋯+t

k J k ( x )+⋯+1tJ−1 ( x )+⋯+

1t kJ−k ( x )+⋯⋯=∑

n=−∞

∞

tn J n (x )

Partimos de la igualdad:

ex2(t−1

t)=J0 ( x )+ t J 1 ( x )+⋯+t

k J k ( x )+⋯+1tJ−1 ( x )+⋯+

1t kJ−k ( x )+⋯

x2 (t−1

t )=ln (1×J 0 (x ) )+ ln (t × J 1 ( x ) )+⋯+ ln ( tk×J k ( x ) )+⋯+ ln( 1t × J−1 ( x ))+⋯+ ln( 1

t k×J−k ( x ))+⋯

x2 (t−1

t )=ln (1 )+ ln (J 0 ( x ))+ ln ( t )+ ln (J 1 ( x ) )+⋯+ ln (t k)+ ln (Jk ( x ) )+⋯+ln( 1t )+ ln (J−1 ( x ) )+⋯+ ln( 1

t k )+ln (J−k ( x ) )+⋯⋯

x2 (t−1

t )=ln (J 0 (x )×J1 ( x )×⋯×J k ( x )×⋯ )+ ln (J−1 ( x )×⋯×J−k (x )×⋯ )+ ln (1×t×t 2×⋯×t k×⋯ )+ln( 1t × 1

t 2×⋯×1

t k×⋯)

Hallando el equivalente en sumatorias:

x2 (t−1

t )=∑n=0

∞

ln (Jn ( x ))+∑n=−∞

−1

ln (J n (x ) )+∑n=0

∞

ln (t n )+∑n=−∞

−1

ln (tn )

x2 (t−1

t )=∑−∞∞

ln (J n ( x ))+∑−∞

∞

ln (t n )

x2 (t−1

t )=∑−∞∞

[ ln (Jn ( x ) )+ln (t n ) ]x2 (t−1

t )=∑−∞∞

ln (t n×J n ( x ) )

ex2(t−1

t)=∑−∞

∞

t n×J n (x )

∴ ex2(t−1

t)=J0 ( x )+t J1 ( x )+⋯+t

k J k (x )+⋯+1tJ−1 ( x )+⋯+

1t kJ−k ( x )+⋯⋯=∑

n=−∞

∞

t n Jn ( x )

5.-

SOLUCION:

+ + 1 = 2 ; = 3/2

= 1 - = 1/4

(1 - ) = 1/4

- 2 - ¼ = 0

2 - + ¼ = 0

= ½ ; = ½ ; = 3/2

ANALOGAMENTE:

y = Ay1 + By2

6.- resolver mediante serie:(x−x2 ) y´ ´+4 (1−x ) y´−2 y=0

Solución:(x−x2 ) y´ ´+4 (1−x ) y´−2 y=0 ,mediante gaussγ=4 , αβ=2 , α+β+1=4 , resolviendoobtenemos :

α=1 , β=2 , γ=4 , x=xy 1=F (α , β , γ , x ) , reemplazandoobtenemos :

y 1=(1+ x2+ 3

10x2+ 1

5x3……)

Análogamente:y 2=x1−γ F (α−γ+1 , β−γ+1,2−γ , x ) , reemplazandoobtenemos

y 2=x1−γ F (−2 ,−1 ,−2 , x )y 2=x−3 (1+2x .. )

La solución completa será:

y=A (1+ x2 + 310x2+ 1

5x3……)+Bx−3 (1+2 x .. )

7.- probar que:

a) F (α , β , β , x )=(1−x )−α

b) xF (1,1,2 ,−x )=ln(1+x )

a) F (α , β , β , x )=(1−x )−α

Como:

y=F (α ,β , γ , x )=F (α ,β , β , x )tenemos : α=α , β=β , γ=β , x=x

Como:

y=1+αβ1 γ

x+α ( α+1 )β ( β+1)1x 2xγ (γ+1)

x2+

α (α+1)(α+2) β (β+1 )( β+2 )1 x2 xγ( γ+1 )(γ+2 )

x3+.. . .

Reemplazando obtenemos:

y=1+x+α(α+1)1 x2

x2+

α (α+1)(α+2)1 x2 x3

x3+

α (α+1)(α+2)(α+3)1 x2 x3 x 4

x4+. .. .. . ..

Como :

(1−x )−n=1+x+n(n+1)2 !

x2+

n( n+1)(n+2 )3 !

x3+

n( n+1)(n+2 )(n+3 )4 !

x 4+. .. . .. ..

entonces :y= (1−x )−αEntonces queda probado que:

F (α , β , β , x )=(1−x )−α

b) xF (1,1,2 ,−x )=ln(1+x )

Como:

y=F (α ,β , γ , x )=F (1,1,2 ,−x )tenemos : α=1 , β=1 , γ=2 , x=−x

Como:

y=xalignl [1+ αβ1 γx+ ¿] [α (α+1 )β ( β+1)

1 x2 xγ (γ+1 )x2+ ¿][α (α+1)(α+2) β (β+1 )( β+2 )

1 x2 xγ( γ+1)( γ+2 )x3 ¿]¿

¿¿¿

Reemplazando obtenemos:

y=xalignl [1−x2 +2x 22x 2x 3

x2+2x 3 x2 x32x 3 x2 x3 x 4

x3 ¿]¿¿

¿¿

¿

Entonces queda probado que:xF (1,1,2 ,−x )=ln(1+x )

8.- probar que el cambio de variable dependiente y=z √ x transforma

la ecuación y' '+ y=0en una ecuación de Bessel.

Hacemos el cambio de variable y=z √ xy=z √ xy '=z '√ x+z

2√xy ' '=z ' ' √x+z

'

2√x+z '

2√ x−z

4 x3

2

y ' '=z ' ' √x+z'

√ x−z

4 x3

2Reemplazando en la ecuación

obtenemos:

y ' '+ y=z ' ' √x+z'

√ x−z

4 x3

2

+z √x=0

x2 z ' '+x z '−z4+x2 z

x3

2

=0 , para∀ x>0

x2 z ' '+x z '−z4+x2 z=0

x2 z ' '+x z '+( x2− z4) z=0

Vemos que con el cambio de variable de

y=z √ x a la ecuación y' '+ y=0 se transforma en una ecuación de

Bessel.

INTEGRACION POR SERIES

1).-Resolver y '− y−x2=0 mediante una serie de potencia de x que satisfaga la condición y= y0 para x=o.

SoluciónSuponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+…---(¿)

Donde A0= y0 y las restantes Ai∀ i=1,2 ,…son constantes para determinar.Sea:y '=A1+2 A2 x+3 A3 x

2+4 A4 x3+5 A5 x

4+…+nAn xn−1+…

− y=−A0−A1 x−A2 x2−A3 x

3−A4 x4−…−An x

n−…

−x2=−x2

y '− y−x2= (A1−A0 )+ (2 A2−A1 ) x+ (3 A3−A2−1 ) x2+(4 A4−A3 ) x3+…+(n An−An−1 ) xn−1+((n+1)An+1−An ) xn+…0=( A1−A0 )+(2 A2−A1) x+(3 A3−A2−1 ) x2+(4 A4−A3) x3+…+(n An−An−1 ) xn−1+ ((n+1) An+1−An ) xn+…

Por lo tanto: A1−A0=0 ⇒ A1=A0= y0 ⇒ A1= y0

2 A2−A1=0 ⇒ A2=12A

1 ⇒ A2=

12y

0

3 A3−A2−1=0 ⇒ A3=13(A¿¿2+1)¿ ⇒ A3=

12∗3

( y¿¿0+2)¿

4 A4−A3=0 ⇒ A4=14(A ¿¿3)¿ ⇒ A4=

12∗3∗4

( y¿¿0+2)¿

.

nAn−An−1=0 ⇒ An=1n(A ¿¿n−1)¿ ⇒ An=

1n !( y¿¿0+2)∀ n≥3¿

.

.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:

y= y0+ y0 x+y0

2x2+ 1

3 !( y0+2 ) x3+ 1

4 !( y 0+2 )x4+…+ 1

n!( y0+2 ) xn+…

NOTA.-

ex= 10 !+ x

1!+ 1

2!x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+…+ 1

n!xn+…

y=( y¿¿0+2−2)+( y0 x+2 x−2x )+( y0

2x2+ 2

2x2−2

2x2)+ 1

3 !( y0+2 ) x3+…+ 1

n!( y0+2 ) xn+…¿

y=( y0+2 )

0 !1+

( y0+2 )1 !

x+( y0+2)

2 !x2+ 1

3 !( y0+2 ) x3+…+ 1

n !( y0+2 ) xn+…+(−2−2 x−x2)

y=( y0+2 )ex+(−2−2x− x2)

∴ y=( y0+2 )ex−(2+2 x+x2)

2).- Resolver y '=x2−4 x+ y+1 satisfaciendo la condición y=3 cuando x=2.SoluciónSea:y0= y=3 ; x0=x=2i ¿.−Hacemos v=x−2⇒ x=v+2⇒ dx=dv

Luegodydx=dydv=v2+ y−3=F(v , y)

ii¿ .−¿Suponiendo que:y=A0+A1 v+A2 v

2+A3 v3+A4 v

4+…+An vn+…---(¿)

Luego:y '−v2− y+3=0 será de la forma:y '=A1+2 A2 v+3 A3 v

2+4 A4 v3+…+nAn v

n−1+…−v2=−v2

− y=−A0−A1 v−A2 v2−A3 v

3−A4 v4−…−An v

n−…3=3

y '−v2− y+3=( A1−A0+3 )+(2 A2−A1 ) v+(3 A3−A2−1 )v2+¿

Como y '−v2− y+3=0 se dirá lo siguiente: 2 A0−A1=0 ⇒ A1=A0−3= y0−3 ⇒A1=O

2 A0−A1=0 ⇒ A2=0

3 A3−A2−1=0 ⇒ A3=13

4 A4−A3=0 ⇒ A4=1

4∗3

5 A5−A4=0 ⇒ A5=1

5∗4∗3

.

. An=1

n∗(n−1 )∗…4∗3∗(2

2)

⇒ An=2n!

∀n≥3

Luego reemplazando en (¿) tenemos lo siguiente:

y=3+ 13v3∗( 22 )+…+ 2

n !vn+…

iii¿ .−Haciendov=x−2 se tiene :

∴ y=3+ 23!(x−2)3+ 2

4 !(x−2)4…+ 2

n!( x−2)n+…

3).- Resolver (1−x ) y'=2x− y mediante una serie que satisfaga la condición y= y0 cuando x=o.SoluciónLa ecuación diferencial será:

(1−x ) y'+ y−2x=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+…---(¿)

Donde A0= y0 y las restantes Ai∀ i=1,2 ,…son constantes para determinar.Sea:(1−x ) y '=A1 (1−x )+2 A2 (x−x2 )+3 A3 (x2−x3 )+…+nAn(x¿¿n−1−xn)+(n+1)An+1(x¿¿n−x

n+1)+…¿¿y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+An+1 x

n+1+…−2 x=−2 x

(1−x ) y '+ y−2 x=( A1+A0 )+ (2 A2−2 ) x+¿0=( A1+A0 )+ (2 A2−2 ) x+¿

Por lo tanto: A1+A0=0 ⇒ A1=−A0=− y 0 ⇒ A1=− y0

2 A2−2=0 ⇒ A2=1

−A2+3 A3=0 ⇒ A3=13

−2 A3+4 A4=0 ⇒A4=1

2∗3.

−(n−1)An−(n+1)An+1=0 ⇒

2

(n−1 )∗n∀n≥2

.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:

∴ y= y0− y0 x+22x

2

+ 2∗12∗3

x3+ 24∗3

x4+…+ 2(n−1)∗n

xn+…

5).- Resolver xy '− y=x+1 mediante potencias de (x−1).

SoluciónLa ecuación diferencial será:

xy '− y−x−1=0Además:v=x−1⇒ x=v+1⇒ dx=dv

Luegodydx=dydv= y+v+2

(v+1 )=F (v , y )

Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 v+A2 v

2+A3 v3+A4 v

4+…+An vn+…---(¿)

Luego:( v+1 ) y '− y−v−2=0 será de la forma:

( v+1 ) y '=A1v+A1+2 A2 v+2 A2 v2+3 A3 v

2+4 A4 v3+4 A4 v

4+…+nAn vn−1+nAn v

n+…− y=A0−A1 v−A2 v

2−A3 v3−A4 v

4−…−An vn−…

−v=−v−2=−2

( v+1 ) y '− y−v−2=(−A0−2+A1 )+(2 A2−1 )v+(3 A3+A2 )v2+¿

Como: ( v+1 ) y '− y−v−2=0

Se dirá lo siguiente: −A0−2+A1=0 ⇒ A1=3

2 A2−1=0 ⇒ A2=12

3 A3+A2=0 ⇒ A3=−12∗3

4 A4+2 A3=0 ⇒ A4=2

2∗3∗4

3 A4+5 A5=0 ⇒ A5=6

2∗3∗4∗5.

⇒ An+1=−(n−1)An

(n+1 ) n∀ ≥2

Luego reemplazando en (¿) tenemos lo siguiente:

y=1+3 v+ v2

2− v3

2∗3+ 2v4

2∗3∗4− 6v5

2∗3∗4∗5+…

y=1+3 v+ v2

2 !− v

3

3 !+2 v4

4 !−6v5

5!+…

y=Haciendo v=x−1 setiene :

∴ y=1+3(x−1)+(x−1)2

2 !−( x−1)3

3 !+

2( x−1)4

4 !−

6 (x−1)5

5!+…

7).- Resolver (1+x2 ) y ' '+x y '− y=0 mediante potencias de x.SoluciónLa ecuación diferencial será:

(1+x2 ) y ' '+x y '− y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+…---(¿)

Sea:(1+x2) y ' '=2 A2+2 A2 x

2+6 A3 x+6 A3 x3+12 A4 x

2+12 A4 x4+20 A5 x

3+20 A5 x5+30 A6 x

4+30 A6 x6+…+(n∗(n−1 ) ) An xn−2+(n∗(n−1 ) ) An xn+…

x y'=A1 x+2 A2 x2+3 A3 x

3+4 A4 x4+5 A5 x

5+6 A6 x6+…+nAn x

n+…− y=A0−A1 x−A2 x

2−A3 x3−A4 x

4−…−An xn−…

(1+x2 ) y ' '+x y '− y=(2 A2−A0 )+(6 A3 ) x+¿

0=(2 A2−A0)+ (6 A3 ) x+¿

Por lo tanto:

2 A2−A0=0 ⇒ A2=A0

2 6 A3=0 ⇒ A3=0

3 A2+12 A4=0 ⇒ A4=−A0

8

8 A3+20 A5=0 ⇒A5=0

2 A6+A4=0 ⇒ A6=A0

16.

Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:

y=A0+A1 x+A0

2x2+(0 ) x3−

A0

8x4+(0 ) x5+

A0

16x6+…

∴ y=A0(1+ x2

2− x

4

8+ x

6

16…)+A1 x+5¿ XXXX

9).- Resolver y ' '−2x2 y '+4 xy=x2+2 x+2 mediante potencias de x.Solución

La ecuación diferencial será:y ' '−2x2 y '+4 xy−x2−2 x−2=0

Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+…---(¿)

Sea:y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x

2+20 A5 x3+30 A6 x

4+…+¿(n∗(n−1 )) An x

n−2+…−2 x2 y '=−2 A1 x

2−4 A2 x3−6 A3 x

4−8 A4 x5−10 A5 x

6−…−2nAn xn+1−…

4 xy=4 A0 x+4 A1 x2+4 A2 x

3+4 A3 x4+4 A4 x

5+…+4 An xn+1+…

−x2=−x2

−2 x=−2 x−2=−2

y ' '−2x2 y '+4 xy−x2−2 x−2=(2 A2−2 A1−2 )+(6 A3+4 A0−2 ) x+¿

0=(2 A2−2 A1−2 )+(6 A3+4 A0−2 ) x+¿

Por lo tanto: 2 A2−2 A1−2=0 ⇒ A2=A1+1

6 A3+4 A0−2=0 ⇒ A3=1−2 A0

3

12 A4−2 A1+4 A1−1=0 ⇒ A4=1−2 A1

12

2 0 A5−4 A2+4 A2=0 ⇒A5=0

30 A6−6 A3+4 A3=0 ⇒ A6=1−2 A0

45.

(n+1 )∗(n+2) An+2−(2n−2)An−1+4 An−1=0

.

.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:

y=A0+A1 x+(A ¿¿1+1)x2+( 1−2 A0

3 )x3+( 1−2 A1

12 ) x4+(0 ) x5+(1−2 A0

45)x6+…¿

∴ y=A0(1−23x3− 2

45x6+…)+A1+5¿(x+x2−1

6x 4+…)+x2+ 1

3x3 +1

12x

4

+ 145x6

10).- Resolver y ' '+ (x−1 ) y '+ y=0 mediante potencias de (x−2).Solución

La ecuación diferencial será:y ' '+ (x−1 ) y '+ y=0

Además:v=x−2⇒ x=v+2⇒ dx=dv

Luegodydx=dydv=−( y¿¿ ' '+ y )

(v+1 )=F(v , y)¿

Suponiendo que la solución es de la forma:

y=A0+A1 v+A2 v2+A3 v

3+A4 v4+…+An v

n+…---(¿)Luego:y ' '+ (v+1 ) y '+ y=0 será de la forma:y ' '=2 A2+6 A3 v+12 A4 v

2+12 A5 v3+30 A6 v

4+…+n∗(n−1)An vn−2+…

( v+1 ) y '=A1v+A1+2 A2 v+2 A2 v2+3 A3 v

2+4 A4 v3+4 A4 v

4+…+nAn vn−1+nAn v

n+…y=A0+A1 v+A2 v

2+A3 v3+A4 v

4+…+An vn+…

y ' '+ (v+1 ) y '+ y=(A1+2+2 A2 )+(2 A2+2 A1+6 A3 )v+(3 A3+3 A2+12 A4 )v2+¿

Como:

y ' '+ (v+1 ) y '+ y=0

Se dirá lo siguiente:

A1+2+2 A2=0 ⇒ A2=−2−A1

2

2 A2+2 A1+6 A3=0 ⇒ A3=2−A1

6

3 A3+3 A2+12 A4=0 ⇒ A4=4 A1+4

48

4 A4+4 A3+20 A5=0 ⇒ A5=4 A1−20

240

⇒ An+2=An+An+1

(n+2 )n∀ ≥1

Luego reemplazando en (¿) tenemos lo siguiente:

y=A0+A1 v+(−2−A1

2 )v2+( 2−A1

6 )v3+( 4 A1+4

48 )v4+( 4 A1−20

240 ) v5+…

y=A0+A1(v− v2

2− v

3

6+ v

4

12+ v

5

60+…)+ v2

2+ v

3

3+ v

4

12− v

5

12+…

Haciendo v=x−2 se tiene :

∴ y=A0+A1((x−2)−(x−2)2

2−(x−2)3

6+(x−2)4

12+(x−2)5

60+…)+ (x−2)2

2+(x−2)3

3+(x−2)4

12−(x−2)5

12+…

11).- Resolver (1−x ) y '=x2− y según potencias de x.

SoluciónLa ecuación diferencial será:

(1−x ) y '−x2+ y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+…---(¿)

Sea:(1−x ) y '=A1−A1 x+2 A2 x−2 A2 x

2+3 A3 x2−3 A3 x

3+4 A4 x3−4 A4 x

4+…+nAn xn−1−nAn x

n+…−x2=−x2

y=A0+A1 x+A2 x2+A3 x

3+A4 x4+…+An x

n+…

(1−x ) y '−x2+ y=( A1+A0 )+(2 A2 ) x+ (3 A3−A2 ) x2+ (4 A4−2 A3) x3+…+( (n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…

0=( A1+A0 )+ (2 A2 )x+(3 A3−A2 ) x2+(4 A4−2 A3 ) x3+…+( (n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…xn+…

Por lo tanto: A1+A0=0 ⇒ A1=−A0=− y 0

2 A2=0 ⇒ A2=0

3 A3−A2=0 ⇒ A3=0

4 A4−2 A3=0 ⇒A4=0

..

(n+1 ) An+1−(n−1)An=0

..Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:y= y0− y0 x

∴ y= y0(1−x )

13).- Resolver y '=2 x2+3 y mediante potencias de x .

SoluciónLa ecuación diferencial será:

y '−3x−2x2=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+…---(¿)

Sea:y '=A1+2 A2 x+3 A3 x

2+4 A4 x3+5 A5 x

4+…+nAn xn−1+…

−3 y=−3 A0−3 A1 x−3 A2 x2−3 A3 x

3−3 A4 x4−…−3 An x

n−…−2 x2=−2x2

y '−3 x−2 x2=(A1−3 A0 )+(2 A2−3 A1 ) x+ (3 A3−3 A2−2 )x2+(4 A4−3 A3 ) x3+(5 A5−3 A4 ) x4+…+( (n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…

0=( A1−3 A0 )+(2 A2−3 A1 ) x+ (3 A3−3 A2−2 )x2+(4 A4−3 A3 ) x3+(5 A5−3 A4 ) x4+…+((n+1 ) An+1−(n−1)An ) xn+…Por lo tanto: A1−3 A0=0 ⇒ A1=3 y0

2 A2−3 A1=0 ⇒ A2=3 y0

2

3 A3−3 A2−2=0 ⇒ A3=9 y0+4

2∗3

4 A4−3 A3=0 ⇒A4=3(9 y0+4)

2∗3∗4

5 A5−3 A4=0 ⇒ A5=9 (9 y0+4 )2∗3∗4∗5

. (n+1 ) An+1−(n−1)An=0

.

Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:

y= y0+3 y 0 x+3 y0

2x2+(9 y0+4)

2∗3x3+( 3(9 y0+4)

2∗3∗4 ) x4+( 9(9 y0+4)2∗3∗4∗5 )x5+…

∴ y= y0+3 y0 x+3 y0

2x2+(9 y0+4 )[ x3

3 !+ 3 x4

4 !+ 9 x5

5 !+… ]

17).- Resolver y ' '−x y '+x2 y=0 mediante potencias de x.

SoluciónLa ecuación diferencial será:

y ' '−xy '+x2 y=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+…---(¿)

Sea:y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x

2+20 A5 x3+30 A6 x

4+…+¿(n∗(n−1 )) An x

n−2+…−x y '=−A1 x−2 A2 x

2−3 A3 x3−4 A4 x

4−5 A5 x5−6 A6 x

6−…−nAn xn−…

x2 y '=A0 x2+A1 x

3+A2 x4+A3 x

5+A4 x6+…+An x

n+2+…

y ' '+2 x2 y−1−x−x2=(2 A2 )+(6 A3−A1 ) x+¿

0=(2 A2 )+(6 A3−A1 ) x+¿Por lo tanto: 2 A2=0 ⇒ A2=0

6 A3−A1=0 ⇒ A3=A1

6

12 A4−2 A2+A0=0 ⇒ A4=−A0

12

2 0 A5−3 A3+A1=0 ⇒A5=3 A1

40

30 A6−4 A4+A2=0 ⇒ A6=−A0

90.

(n+1 )∗(n+2 ) An+2−n An+An−2=0

.

.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:

y=A0+A1 x+A0

6x3+(−A0

12 )x 4+( 3 A1

40 ) x5+(−A0

90) x6+…

∴ y=A0(1− x4

12− x

6

90+…)+A1+5¿(x+ x3

6+ 3x5

40+…)

19).- Resolver y ' '+x2 y=1+x+x2según potencias de x.

SoluciónLa ecuación diferencial será:

y ' '+2 x2 y−1−x−x2=0Suponiendo que la solución es de la forma:y=A0+A1 x+A2 x

2+A3 x3+A4 x

4+…+An xn+…---(¿)

Sea:y ' '=2 A2+6 A3 x+12 A4 x

2+20 A5 x3+30 A6 x

4+…+¿(n∗(n−1 )) An x

n−2+…x2 y '=A0 x

2+A1 x3+A2 x

4+A3 x5+A4 x

6+…+An xn+2+…

−1=−1−x=−x−x2=−x2

y ' '+2 x2 y−1−x−x2=(2 A2−1 )+(6 A3−1 )x+¿

0=(2 A2−1 )+(6 A3−1 ) x+¿

Por lo tanto:

2 A2−1=0 ⇒ A2=12

6 A3−1=0 ⇒ A3=16

12 A4+A0−1=0 ⇒ A4=1−A0

12

2 0 A5+A1=0 ⇒A5=−A1

20

30 A6+A2=0 ⇒ A6=−160

. (n+1 )∗(n+2) An+2+An−2=0

.Reemplazando los valores de los Ai en la serie supuesta dado en (¿) se tiene:

y=A0+A1 x+x2

2+ x

3

6+( 1−A0

12 ) x4+(−A1

20 ) x5+(−160) x6+…

∴ y=A0(1− x4

12+…)+A1+5¿(x− x5

20+…)+ x2

2+ x

3

6+ x

4

12+ x

6

60+…

Operadores Diferenciales

I) Ecuación lineal homogénea

1.- d2 yd x2 +

dydx−6 y=0

Sol:Haciendo la sig. Sustitución dydx=Dy , Reemplazando en la ecuación. Diferencial y Factorizando

“y” se tieneF (D )=(D2+D−6 ) y=0 →r1=3 , r2=−2 La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e

3 x+c2 e−2x

2.- d3 yd x3 +

d2 yd x2−12

dydx=0

Sol:Haciendo la sig. Sustitución dydx=Dy

Reemplazando en la ec. Diferencial y Factorizando ”y” se tieneF (D )=(D3−D2−12D ) y=0

→r1=4 , r2=−13

La solución general de la ecuación homogénea es:

Y g=c1 e4 x+c2 e

−13x

3.- d3 yd x3 +2

d2 yd x2−5

dydx−6 y=0

Sol:Haciendo la sig. Sustitución dydx=Dy

Reemplazando en la ec. Diferencial y Factorizando ”y” se tieneF (D )=(D3+2D 2−5D−6 ) y=0

→r1=−1 , r2=−3 , r3=2 La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e

−x+c2e−3 x+c3 e

2x

4.- (D3−3D 2+3D−1 ) y=0 Sol:F (D )=(D3−3D2+3D−1 ) y=0 →r1=−1 , r2=1 , r3=1 La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e

−x+ex (c2+c3 x )

5.- (D 4−6D3+5D2−24D−36 ) y=0 Sol:

F (D )=(D4−6D3+5D 2−24D−36 ) y=0

→r1=−1 , r2=6 , r3=3 , r 4=−2 La solución general de la ecuación homogénea es:

Y g=c1 e−x+c2e

6 x+c3 e3x+c4 e

−2x

6.- (D 4−D3−9D 2−11D−4 ) y=0 Sol:F (D )=(D4−D3−9D2−11D−4 ) y=0 →r1=−1 , r2=−1 , r3=−1 , r4=4 La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=e

− x(c1+c2 x+c3 x2)+c4 e

4 x

7.- (D2−2D+10 ) y=0Sol:

F (D )=(D2−2D+10 ) y=0→r1=1+3 i , r2=1−3 i La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=e

x (c1 cos3 x+c2 sen3 x)

8.- (D3+4D ) y=0 Sol:

F (D )=(D2−2D+10 ) y=0 →r1=−1 , r2=2 i , r3=−2i La solución general de la ecuación homogénea es: Y g=c1 e

−x+c2cos 2x+c3 sen2 x

9) (D 4+D3+2D2−D+3 ) y=0 Sol:F (D )=(D4+D3+2D2−D+3 ) y=0

→r1=−1 , r2=1 , r3=−12+ √11

2i ,r 4=

−12−√11

2i

La solución general de la ecuación homogénea es:

Y g=c1 e−x+c2e

x+c3 e−12xcos √11

2x+c4 e

−12xsen √11

2x

10) (D 4+5D 2−36 ) y=0 Sol:

F (D )=(D4+5D2−36 ) y=0→r1=2 , r2=−2 , r3=3 i ,r 4=−3 iLa solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e

2 x+c2 e−2x+c3 cos3 x+c4 sen3 x

11) (D2−2D+5 ) y=0 Sol:

F (D )=(D2−2D+5 ) y=0 →r1=1+4 i , r2=1−4 iLa solución general de la ecuación homogénea es:Y g=e

x (c1 cos4 x+c2sen 4 x )

12) (D2+2D−15 ) y=0 Sol:

F (D )=(D2+2D−15 ) y=0→r1=−5 , r2=3La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1 e

−5 x+c2e3x

13) (D3+D2−2D ) y=0Sol: F (D )=(D3+D2−2D ) y=0 →r1=0 , r2=1 , r3=−2La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=c1+c2 e

x+c3 e−2x

14) (D 4−6D3+13D2−12D+4 ) y=0 Sol:

F (D )=(D4−6D3+13D2−12D+4 ) y=0 →r1=1 , r2=1 ,r 3=2 , r4=2La solución general de la ecuación homogénea es:Y g=e

x (c1+c2 x )+e2x (c3+c3 x)

II) Ecuaciones lineales con coeficientes constantes:

1.- (D2−3D+2 )Y=eXSol: P(r )=r

2−3 r+2=0

r1=2; r2=1

Y c=C1 e2 X+C2 e

X

Y p= ex

(D−1 )(D−2) Y p=e

2 X∫e(1−2) X∫e−X eXdx2

Y p=−X eX−ex

y g=C1e2X+C2e

X−X eX−ex

2.-(D3+3D−4 )Y=Xe−2X

Sol:P(r )=r

2+3r−4=0

r1=−2, multiplicidad 2; r2=1

Y c=C1 e−2 X+C2 xe

−2 X+C3 eX

Y p= xe−2x

(D+2 )2(D−1) Y p=e

−2X∫ e(0) X∫ e3X∫ e−X Xe−2X dx3

Y p=e−2X (−x

3

18− X

2

18)

y g=C1e−2 x+C2 xe

−2 x+C3ex+

e−2 x(−x2

18−x

2

18 )3.-(D2−3D+2 )Y=e5X

Sol: P(r )=r

2−3 r+2=0

r1=2; r2=1

Y c=C1 e2 X+C2 e

X

Y p= e5 x

(D−2)(D−1) Y p=e

2 X∫e−X∫ e−X e5 Xdx2

Y p=e5 X ( 1

12)

y g=Y c=C1e2 X+C2 e

X+e5 X ( 112)

4.-(D2+5D+4 )Y=3−2 X Sol:

P(r )=r2+5 r+4=0

r1=−4; r2=−1

Y c=C1 e−4 X+C2 e

−X

Y p= 3−2 X

(D+4)(D+1) Y p=e

−4 X∫e3X∫ eX (3−2 X)dx2

Y p=(2116− X

2)

y g=C1e−4 X+C2 e

−X+( 2116− X

2)

5.- (D3−5D2+8D−4 )Y=e2X

Sol:P(r )=r

3−5 r2+8 r−4=0 r1=1; r2=2,multiplicidad 2

Y c=C1 eX+C2 e

2X+C3 Xe2X

Y p= e2X

(D−1)(D−2)2

Y p=e2 X∫e0 X∫e−X∫e−X e2 Xdx3

Y p=e2 X x

2

y g=C1eX+C2 e

2 X+C3 Xe2 X+e2 X x

2

6.-(D2+9 )Y=X cos xSol: P(r )=r

2+9=0

r1=0−3 i; r2=0+3 i Y c=C1 cos3 X+C2 sen3 X

Y p= XcosX

D2+9

Y p=XcosX

D2+9−cosX 2D

(D¿¿2+9)2¿

Y p=XcosX

8−X2 senX

4

y g=C1cos3 X+C2 sen3 X+X cosX8−X2 senX

4

7.-(D2+4 )Y=2cos xcos 3 xSol:P(r )=r

2+4=0r1=2 i; r2=−2i Y c=C1 cos2 X+C2 sen 2 X

Y p= 2cosXcos3 X

D2+4 y g=C1cos2 X+C2 sen2 X

8.-(D2−9D+18 )Y=ee−3 X

Sol: P(r )=r

2−9 r+18=0 r1=6; r2=3

Y c=C1 e6 X+C2 e

3 X

Y p= ee

−3 X

(D−6 )(D−3)

Y p=XcosX

D2+9−cosX 2D

(D¿¿2+9)2¿

Y p=XcosX

8−X2 senX

4 y g=C1e

6 X+C2 e3 X

9.-(D2−4D+3 )Y=1Sol: P(r )=r

2−4 r+3=0 r1=3; r2=1

Y c=C1 e3 X+C2 e

X

Y p= R0 X

k

k=

13X2

y g=C1e3X+C2e

X+ 13X2

10.-(D2−4D )Y=5Sol: P(r )=r

2−4 r=0 r1=0; r2=4

Y c=C1+C2 e4 X

Y p= R0 X

k

k=−54X

y g=C1+C2 e4 X+−5

4X

11.-(D3−4D2 )Y=5Sol: P(r )=r

3−4 r2=0 r1=0 ,multiplicidad 2; r2=4

Y c=C1+C2 x+C3 e4 X

Y p= R0 X

k

k=−54X

y g=C1+C2 x+C3 e4 X+−5

4X

12.-(D5−4D3 )Y=5Sol: P(r )=r

5−4 r3=0 r1=0 ,multiplicidad 3; r2=4

Y c=C1+C2 x+C3 X2+C4 e

4 X

Y p= R0 X

k

k=−54X 2

y g=C1+C2 x+C3 X2+C4 e

4 X+−54X2

III) Ecuaciones lineales con coeficientes constantes (variación de parámetros, coeficientes indeterminados, otros):

1.- (D ²−2D ) y=exSenx

Sol:F (D )=D ²−2D=0 D= 0

D=2

yC=C1e0 x+C2e

2 x

yP=ex SenxD (D−2 )

= ex

(D+1 ) (D−2+1 ).Senx

yP=ex .[ SenxD ²−1 ]=ex[ Senx−1−1 ]

yP=−12ex Senx

y g=C1+C2e2 x−1

2xSenx

2.- (D ²−6D+9 ) y=x−2e3 x

Sol:F (D )=(D−3 ) ²=0 D = 3 (multiplicidad 2)

yC=C1e3 x+C2 xe

3 x ………. (1)

yP=x−2e3 x

(D−3 ) (D−3 )=e3 x .

1(D−3 ) (D−3 )

x−2

yP=e3 x

(D−3+3 ) (D−3+3 )x−2

yP=e3 x . x−2

D ²= e3 x

D ² x ²= e

3 x

2 ..….. (2)

y g=C1e3 x+C2 xe

3 x+ e3 x

2

4.- (D ²−2D ) y=exSenxSol: D = 0F (D )=D (D−2 )=0

D = 2

yC=C1e0 x+C2e

2 x …………… (1)

yP=ex

D (D−2 ).Senx= e xSenx

(D+1 ) (D−2+1 )

yP=exSenxD ²−1

yP=exSenx−1−1

=−12e xSenx

y g=C1+C2e2 x−1

2exSenx

5.- (D ²−2D+3 ) y=x ³+SenxSol:

F (D )=D ²−2D+3=0 D=1±√2iyC=C1e

xCos√2x+C2ex Sen√2 x

yP=x ³

D ²−2D+3+ SenxD ²−2D+3

yP=( 13 + 29D+ 1

27D ²− 2

81D ³) x ³+ Senx

−1−2D+3

yP=13x ³+6

x ²9+ 6 x

27−12

81+ Senx(2−2D )

(2+2D )(2+2D )

yP=x ³3+ 2x ²

3+ 2x

9−4

9+ 1

4(Senx+Cosx )

y g=C1exCos (√2 x )+C2 e

xSen (√2 x )

+ x ³3+ 2 x ²

3+ 2x

9−4

9+ 1

4(Senx+Cosx )

6.- (D ³+2D ²−D−2 ) y=ex+x ²

Sol:

F (D )=D ³+2D ²−D−2=0 D = -1D = -2 D = 1

(D+2 ) (D+1 ) (D−1 )=0yC=C1e

−2 x+C2e−x+C3 e

x

yP=e x

(D+2 ) (D+1 ) (0−1 )+ x ²D ³+2D ²−D−2

yP=ex

(3 ) (2 ) (D−1 )+(−1

2+ 1

4D−5

8D ²) x ²

yP=16xex−1

2x ²+ x

2−5

4

y g=C1e−2 x+C2e

− x+C3ex+ 1

6xe x−1

2x ²+ x

2−5

4

11.- (D2−4D+3 ) y=(1+e− x)−1

Sol:(D2−4D+3 ) y=(1+e− x)−1

(D−3 )(D−2 ) y=(1+e− x)−1

La solución complementaria es:yc=c1ex+c2e3x

La solución particular es:

y p=1

(1+e− x)(D−3)(D−2)Resolviendo obtenemos:

y p=1

8 (1+e− x )

La solución general:

y g=c 1e x+c 2e3 x+ 1

8 (1+e− x )

13.- (D2+2 ) y=2+ex

Sol:(D2+2 ) y=2+ex

La solución complementaria es:yc=c1 cos (√2 x)+c2 sen (√2x )

La solución particular es:

y p=2+ex

(D2+2 ), resolviendoobtenemos

y p=2

(D2+2 )+ ex

(D2+2 )

y p=2+ ex

(12+2 )=2+ e

x

3

La solución general es:

y g=c 1cos (√2 x )+c 2 sen (√2x )+ ex

3+2

14.- (D¿¿2−1) y=e xsen 2x ¿Sol:

(D¿¿2−1) y=e xsen 2x ¿

(D+1 )(D−1) y=ex sen2xLa solución complementaria es:

yc=c1e−x+c 2e x

La solución particular es:

y p=ex sen2x

(D+1 )(D−1)

y p=e x sen2x

(D+1+1 )(D−1+1)= ex sen2x

(D+2 )(D)

y p=ex sen 2xD2+2D

= ex sen2x−4+2D

y p=ex sen 2x (D+2 )

2 (−4−4 )=−ex sen2x (D+2 )

16

y p=ex (sen2 x+cos2x )

16La solución general:

y g=c 1e− x+c2ex+ex (sen2 x+cos2 x)

16

15.- (D2+2D+2 ) y=senx+x2

Sol:(D2+2D+2 ) y=senx+x2

La solución complementaria es:yc=c1e−x cos2x+c2e−x sen2 x

La solución particular es:

y p=senx+x2

(D2+2D+2 )

y p=senx

(D2+2D+2 )+ x2

(D 2+2D+2 )La solución general:

y g=c 1e− xcos 2x+c 2e− x sen2 x+ y p

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