bases ortonormales y proceso de ortonormalizacion de gram

BASES ORTONORMALES Y PROCESO DE

ORTONORMALIZACION DE GRAM- SCHMIDT

QUE ES UNA BASE ORTONORMAL?

Una base ortonormal es un espacio vectorial con producto interno(producto escalar) en el que los elementos son mutuamente ortogonales  y normales, es decir, de magnitud unitaria.

Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y una base ortonormal se transforma: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma (longitud o magnitud del vector) de cada elemento que la compone es unitaria.

Las bases ortonormales están formadas por vectores ortogonales y unitarios.La base de la figura es la base canónica del espacio R3 formada por 3 vectores unitarios y ortogonales, (1,0,0) (0,1,0) y (0,0,1,).

Estos vectores numéricos se identifican con los vectores libres i, j, k respectivamente, forman la base canónica de V 3.

DEFINICIONES

1.-CONJUNTO ORTONORMAL

2.-PRODUCTO ESCALAR

3.-LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR

NORMA DE UN VECTOR EN R

NORMA DE UN VECTOR

NORMA DE UN VECTOR

NORMA DE UN VECTOR

EJEMPLO:

ANGULO DE DOS VECTORES

TEOREMA 1

Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal

Cualquier conjunto finito de vectores ortogonales diferentes de cero son linealmente dependiente de cero.

PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM -SCHMIDT

El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo sencillo paraproducir una base ortogonal u ortonormal para cualquier subespaciovectorial

Paso1. Elección del primer vector unitario.