atomo hidrogeno
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1
Lic. Héctor Valdivia M. 1
ESTRUCTURAATÓMICA
ÁÁTOMO DE HIDRTOMO DE HIDRÓÓGENOGENO
Lic. Héctor Valdivia M. 2
Tabla 1: Observables Físicos y sus operadores cuánticos (single particle)
Observable Observable Operador OperadorNombre Símbolo Símbolo OperaciónPosición
Momentum
Energía Cinética T
Energía Potencial
Energía Total E
Momentum Angular lx
ly
lz
Lic. Héctor Valdivia M. 3
EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödinger (3D)dinger (3D)
Solución General
Ecuación Independiente del tiempo
Ecuación en coordenadas cartesianas
2 2 2 2
2 2 22V E
m x y z
r
Dependiente del tiempo
Lic. Héctor Valdivia M. 4
EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödinger (2D)dinger (2D)
Región Interna
2 2 2
2 22V E
m x y
r
Analizar el caso de una partícula libre en una caja 2D dedimensiones Lx y Ly
2 2 2
2 22E
m x y
Sea , x yx y x y
222 2
2 2
1 1
2 2yx
x y
ddE
m dx m dy
22
2
22
2
1
2
1
2
xx
x
yy
y
x y
dE
m dx
dE
m dy
E E E
con
2
Lic. Héctor Valdivia M. 5
EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödinger (2D)dinger (2D)
22
Luego , con2 2
yy xxx y
x y
pn pnx y x y Asen x sen y E
L L m m
Eje x2
22
2
2
22
2
2
20
2xx
x xx x
x x
d m pkEk E
mk
dx m
Sol: 1,2,3...xx x x x x
x
nx A sen k x A sen x n
L
Análogamente en el Eje y
22 2
Sol: 1,2,3...
con2 2
yy y y
y
yyy
ny A se
p
n y
kE
m m
nL
222 2 2 22 2 2 2
x y 22 2si L =L
2Luego
2yx
x yx y
nnE
mL E n n n
mLLn
L
Lic. Héctor Valdivia M. 6
EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödinger (2D)dinger (2D)Función de OndaEnergía nx ny n2 degeneración
1 1 2 No hay (estado base)
E12=E21= 5E0/2 2 1 5 Doble (1er estadoexcitado)
1 2 5E22= 8E0/2 2 2 8 No hay (2do estado exci)E13=E31= 10E0/2 1 3 10 Doble (3er estado
excitado)3 1 10
Use la normalización para hallar A del ejemplo anterior
Analizar el caso de una partícula libre en una caja 3D dedimensiones Lx Ly y Lz
Parte matemática
2 2
0 1 1 2
π hE = E =
m L
π πAsen x sen y
L L
x yψ x,y =ψ x ψ y
Asen 2πx L sen πy L
Asenπx L sen 2πy L
Asen 2πx L sen 2πy L
Asenπx L sen 3πy L
Asen 3πx L sen πy L
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EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödinger (3D)dinger (3D)
Ecuación en coordenadas esféricas
2 2
22 2 2 2 2
1 1 1
2r sen V E
m r r r r sen r sen
r
potencial esféricamentesimétri =Vc Vo rrcondición:ó fuerzas centrales conservativas
Como consecuencia de esta condición:
1. El Momentum Angular LL es constante.
2. Es imposible especificar simultáneamente dos de las trescomponentes del Momentum Angular LL
3. Una componente del Momentum Angular LL está cuantizada
4. La energía total E está cuantizada.
Debido alprincipio de
incertidumbre
Lic. Héctor Valdivia M. 8
EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödinger (3D)dinger (3D)
La parte angular es:
La parte radial es:
2 2 2
2 22
r 1 d dR- r + V r -E r = - l l+12mR r dr dr 2m
Una Solución es: ψ = R r Y θ,φ
2 2 2 2 2
2 22 2 2
r 1 d dR 1 Y 1 Y- r + V-E r = + sen
θ = - l l+1
2mR r dr dr 2m Ysen
θ Ysenθ θ θ 2m
2 2 2
2 2
1 Y 1 Y+ sen
θ = - l l+1
2m Ysen
θ Ysenθ θ θ 2m
3
Lic. Héctor Valdivia M. 9
Y(θ,Φ) se conoce como ARMÓNICOS ESFÉRICOS: Yθ,φ =Θθ Φφ
lml
EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödingerdinger (3D)(3D)
±22-11
1
1
0
031
±120
020lml lm
lY lml lmlY
1
2
1 3c o s
2
1 3
2 2is e n e
21 53 c o s 1
4
1 3
2 2is e n e
1 1 5
2 2isen co s e
2 21 1 5
4 2is e n e
21 75 cos 3 cos
4
Lic. Héctor Valdivia M. 10
EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödingerdinger (3D)(3D)
3
3
04±2
±33±1lml lm
lY lml lmlY
21 215 1
8isen cos e
2 21 1 0 5
4 2isen co s e
3 31 3 5
8is e n e
Gráficos de armónicos esféricos
Lic. Héctor Valdivia M. 11
EcuaciEcuacióón de Schrn de Schröödingerdinger (3D)(3D)
0 0, 1, 2, 3,....limle m
Suponga una solución de la forma Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ), y obtengala forma explícita de Φ(φ). Use como constante paraseparar variables en la ecuación diferencial.
Sugerencia: use la condición de frontera Φ(φ)= Φ(φ+2π).
2lm
Compruebe que la condición de normalización de los armónicos es
2 2
0 0, 1lm
lY sen d d
Reemp. la solución propuesta en la parte angular de la ec. deschrödinger...
Parte matemática
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CuantizaciCuantizacióón del Espacion del Espacio
Se llama así cuando se tiene que la componentede LL respecto de un eje arbitrario (eje Z) estácuantizada:
1 0,1, 2,...l l l L
zL 0, 1, 2,..,l lm m l
Se cumple que:
c o s1
lm
l l
|L| y Lz toman valores discretos
potencial esféricamentesimétri = Vc Vo rrcondición:
4
Lic. Héctor Valdivia M. 13
CuantizaciCuantizacióónn deldel EspacioEspacio
Halle y grafique |L|, y Lz en 2D y 3D, si l=2:
6
2 , , 0, , 2z
L
L
Precesión de L
alrededor del ejeZ
Lic. Héctor Valdivia M. 14
Nótese que la ecuación de autovalores permite hallar lafunción de onda
CuantizaciCuantizacióón del Espacion del Espacio
F f
Usualmente, con excepciones las constantes de movimientoclásicas son observables nítidas (satisfacen (*))
Particularmente el momentum angular L de una partícula encoordenadas cartesianas es:
x z y
y x z
z y x
L yp zp y zi z y
L r p L zp xp z xi x z
L xp yp x yi y x
v
xy
z
rθ
R
Parte matemática
Lic. Héctor Valdivia M. 15
Halle Lx, Ly y Lz en coordenadas esféricas
CuantizaciCuantizacióón del Espacion del Espacio
Sug: Recuerde que: cos
cos
z r
y rsen sen
x rsen
2 2 2
1/ 22 2 2cos
r x y z
zz x y z
ry
tgx
r
z z r z z
cot cosxL i sen
cos cotyL i sen
zL i
Parte matemática
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Nótese que Lz es nítida, y reemplazando en (*), se halla la funciónde onda Ψ(r,θ,Φ) y Lz
CuantizaciCuantizacióón del Espacion del Espacio
,Lzi
zi L Ae donde A A r
Ψ satisface la condición de frontera Ψ(r,θ,Φ)= Ψ(r,θ,Φ+2π), luego
2 21L L Lz z zi i i
z lAe Ae e L m
Muestre que Lx y Lz NO pueden ser nítidas simultáneamente parael mismo estado . Para ello vale la forma de anterior y ademásdebe cumplirse que LLxΨ= LxΨ, lo que implica que Ψ=0 ó Lx=Lz=0
Sug: Reemp. Lx y elegir Φ=0 para simplificar; luego use el resultadoanterior
Parte matemática
5
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|L| es nítida,
CuantizaciCuantizacióón del Espacion del Espacio2 2 2 2
x y zL L L L Reemp. por las ec. anteriores2 2
2 2 22 2
cot cosL ec
2 222 2 2
2 2cot cosL ec L
222
2 2z z z
l
L L Lm
i i
2
22 2 22
cot coslm ec L
La solución de esta ec. son los polinomios asociados de Legendre
cos 1lmlP l l con autovalores
Finalmente, el factor angular de la función de onda es:
0 cos ,l l lim m ml le P Y Armónicos Esféricos
Parte matemática
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ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno
M m eM
rµ
Sistema real Sistema modelo
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ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoEc. De Schrödinger en coordenadas esféricas
Ec. De Schrödinger radial
2 2 22
2 2 2 2 20
1ψ 1 ψ 1 ψ e
- r + sen
θ - ψ = Eψ
2 r r r r sen
θ r senθ θ θ 4π r
2 2 2
22 2
0
dR r1 d e- r + l l +1 - -E R r = 02
μ r dr dr 2μr 4π r
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ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoSolución Radial
La energía está cuantizaday depende del númeroprincipal nn
2
20
0
4em
a
2 1n
0
2rL es el polinomio de Laguerrena
ll
6
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ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno
Lic. Héctor Valdivia M. 22
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ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno
La onda de materia radial efectiva es g r = rR rPues la ecuación de onda radial se convierte en:
2 2
22 e f f
d gU r g r E g r
d r
Con potencial efectivo Ueff:
2 2
2 2
1
2 2
L l lU r U r
r r
P(r)dr es la probabilidad de encontrar el electrón en cualquierparte de la capa esférica de radio r y grosor dr:
2 22P r g r r R r Densidad de Probabilidad
radial para cualquierestado
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ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoLa condición de Normalización es:
0
1 P r dr
0
r r P r d r
Para el electrón en el estado base del hidrógeno Ψ100. Calcule :a) La probabilidad de que se encuentre mas allá del radio de
Bohrb) La distancia media del electrón al núcleoc) La distancia más probable del electrón al núcleo
0
0
2 /2 230
4) 5r a
aa P r e d r e
a
02 /33 00
4) r ab r r e d r
a
0
32 /2
1 30
4) zr a
s
d d zc P r r e
dr dr a
Parte matemática
Distancia media deun electrón al núcleo
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NotaciNotacióón Espectroscn Espectroscóópicapica
n Símbolocapa l
ml Símbolosub-capa
Not.espectr
Degeneración
1 K 0 0 s 1s 12 L 0
10-1,0,1
Sp
2s2p
4
3 M 012
0-1,0,1-2,-1,0,1,2
SPd
3s3p3d
9
ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno
Lic. Héctor Valdivia M. 26
Reglas de SelecciReglas de SeleccióónnNo es posible todas las transiciones de un orbital a otro.Se debe conservar el momentum angular y la paridad delátomo.
l 1 l 1 lm 0, 1
E e V0
0 , 81, 5
3 , 4
1 3 , 6
2 s
1s
3 s4 s
2 p
3 p4 p
3 d4 d 4 f
permitidaprohibida
ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno
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ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno
Orbitales S
nodos
Bolas con el 90% de laprobabilidad
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ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoOrbitales p
Nodo en el núcleo
Bolas de orbitales 2p, con el 90% de probabilidadadentro
8
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ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno
Orbitales 3d
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ÁÁtomo de Hidrtomo de HidróógenogenoOrbitales 4f
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EfectoEfecto ZeemanZeeman
Momento MagnMomento Magnééticotico AIμ
EnergEnergíía Potenciala Potencialde Interaccide Interaccióón Un U BμU
eμ L2 m
m2eμ B
BμmBm2
emBμU BllZ
Si BB coincide con el eje z y Z lL = m
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De la Física clásica:
EfectoEfecto ZeemanZeeman
B AcciAccióón de B que obliga an de B que obliga a μμ
aa precesarprecesar alrededor dealrededor de ééll
B
μ
L
dL
L send
d L
d t
dL dt Lsen d B sen dt
2B
L
d B eBB
dt L m
ωL= Frecuencia de Larmor
l LU m La EnergLa Energíía Magna Magnééticaticaestestáá cuantizadacuantizada
9
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La energía total es:
EfectoEfecto ZeemanZeeman
0 0 l LE E U E m E0 es la energía coulombiana
La función de onda NO CAMBIA!!
Halle la frecuencia de Larmor y la energía magnética máxima para unelectrón de hidrógeno en el estado n=3, suponiendo que el átomo estáen un campo magnético B= 1,5 T
2 41 1
3 4
9 , 2 7 4 1 01, 5 1, 3 2 1 0 /
1, 0 5 5 1 0B
L B ra d s
3 4 1 12 1, 0 5 5 1 0 1, 3 2 1 0l LU m
23 52,78 10 17,4 10U J eV
NOTA.NOTA.-- La energLa energííaamagnmagnéética puedetica puedeser:ser: ±±22ωωLLhh/(2/(2ππ),),±±ωωLLhh/(2/(2ππ) y 0) y 0
Lic. Héctor Valdivia M. 34
El EspEl Espíín del electrn del electróón (S)n (S)
Uhlenbeck y Goudsmidt, en 1925,postularon la existencia de unmomento angular intrínseco (espín)del electrón. (Estructura fina de H)
El espín está cuantizadocuantizado, s=1/2, s=1/2
43
121
21
S
21
sZ
En el modelo semiclásico ms=±1/2, es elnúmero cuántico de espín para el electrón.
Experimento deExperimento de SternStern yy GerlachGerlach (1922)(1922)
G.E. UHLENBECK -S.GOUDSMIT
EjemploEjemplo Calcule el ángulo entre el eje z y SS1
cos3
zs
S
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El EspEl Espíín del electrn del electróónn
La razón giromagnética g=2,00232
2B
s
eg g
m
μ S S
En presencia de un campo magnéticoB,B, el momento magnético total μμ es
2
BL s
eg g
m
μ μ μ L S L S
2z z z B l s
eg m gm
m μ L S
z B l sU B B m gm μ B
La Energía Magnética U es:
Lic. Héctor Valdivia M. 36
Experimento deExperimento de SternStern yy GerlachGerlach (1921)(1921)
Experimento deExperimento de PhippsPhipps y Taylor (1927)y Taylor (1927)
La fuerza media sobre μ en un campo magnético NONOhomoghomogééneoneo es::
zz z
BF
z
10
Lic. Héctor Valdivia M. 37
Experimento deExperimento de SternStern yy GerlachGerlach (1921)(1921)
Experimento deExperimento de PhippsPhipps y Taylor (1927)y Taylor (1927)
Se hace pasar un haz de átomos de hidrógeno provenientes de un horno a 400 K, através de un imán Stern - Gerlach de x=1 m de longitud. Los átomos experimentanun campo B con un gradiente de 10 T/m. Calcule la deflexión transversal de unátomo típico en cada componente del haz, debida a la fuerza ejercida sobre sumomento magnético de espín, en el punto donde el haz abandona el imán
z
z zz S B S
B BUF g m
z z z
2 312 2
3x x
kTM kT
M v v
3
Mt x
k T
22
2 31 12 2 2 , 8 1 0
3 6
zB
zz
BxF x M zz a t m
M k T k T
MRU en x:
MRUV en :z
Equiparticiónde la Energía:
Fuerza media en z:
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EfectoEfecto ZeemanZeeman ananóómalomalo
SodioSodio0, 1l sm m
Regla deRegla deSelecciSeleccióónn
1,0
1
j
l
Lic. Héctor Valdivia M. 39
Acoplamiento espAcoplamiento espíínn--óórbita (J)rbita (J)
SLJ
1jjJ 1 1 1,
2 2 2j l l l
jjjjmj ,1,..,1, jmzJ
12l = 1 s = + 1 5
j =2
Se genera un campo magnético B en la posición del electrón debido almovimiento orbital del núcleo. El efecto del campo B sobre el espín delelectrón es desdoblar los niveles de energía, denominado ESTRUCTURAHIPERFINA.
Lic. Héctor Valdivia M. 40
Estructurahiperfina deHidrógeno.
Acoplamiento espAcoplamiento espíínn--óórbitarbita
NO hay campomagnético BBexterno
11
Lic. Héctor Valdivia M. 41
ÁÁtomos con muchos electronestomos con muchos electrones
Dos electrones no pueden tener losmismos números cuánticos (n, l, ml, ms)
Principio de ExclusiPrincipio de Exclusióón den de PauliPauli (1925)(1925)
Ocho partículas que no interactúan entre sí se colocan en una caja cúbicade arista L=0,2 nm. Encuentre la energía mínima del sistema (en eV), si: a)Si son electrones; y b) Poseen la misma masa del electrón pero no cumplenel principio de exclusión
2
2 2 2x y z2
h= n +n +n
8mLx y zn n nSe sabe1p: E
0 111E E 3vecesdegenerado02E
3vecesdegenerado03E
EN
ER
GÍA
2
2 2 22
h= 1 +1 +1 =28,3eV
8mL111E
=2 +3·2 =396,2eV 111 211 121 112 0 0a E=2 E E E E E E
8 =226,4eV111 0b E=8E E
Lic. Héctor Valdivia M. 42
ÁÁtomos con muchos electronestomos con muchos electrones
• Zeff es un número real
•n es entero
ApantallamientoApantallamiento
eV13,6nZE 2
effn
Lic. Héctor Valdivia M. 43
ÁÁtomos con muchos electronestomos con muchos electrones
Modelo delModelo del áátomo (tomo (hidrogenoidehidrogenoide))
Zee-
r eV13,6nZ
n1
2eμZ
4π1E 2
2
22
42
0n
• No sirve para cálculos cuantitativos,•Ignora la interacción e-e
EjemploEjemplo
SoluciSolucióónn
• El problema más importante es la interacción electrón – electrón (e-e)
Lic. Héctor Valdivia M. 44
ÁÁtomos con muchos electronestomos con muchos electronesPotencial central efectivoPotencial central efectivo
• Mismos valores permitidos delos números cuánticos
•Los valores de la energíadependen de n y de l.
EjemploEjemplo
SoluciSolucióónn
12
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Tabla periTabla perióódicadica
litioberilioborocarbononitrógenooxígenofluorneón
LiBeBCNOFNe
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Tabla periTabla perióódicadicaRegla deRegla de HundHund
Lic. Héctor Valdivia M. 47
TablaTabla periperióódicadica2 He = 1s2
10 Ne = 1s22s22p6
18 Ar = 1s22s22p63s23p6
Lic. Héctor Valdivia M. 48
Tabla periTabla perióódicadica
Ene
rgía
de
prim
era
ioni
zaci
ón (
kJ/m
ol)
500
1000
1500
2000
2500
8 8 18 18
EnergEnergíía de Ionizacia de Ionizacióónn
13
Lic. Héctor Valdivia M. 49
Tabla periTabla perióódicadica
Lic. Héctor Valdivia M. 50
Bibliografía
Lic. Héctor Valdivia M. 51
ÁÁtomo de Hidrtomo de Hidróógenogeno
)1(L ll lmLZ
1n0,1,2,...,l ll 2,...,1,0,m
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