Átomo de hidrógeno - uprh.eduinieves/qf_42/11_atomo_hidrogeno_p_s.pdf · 3 rrr,, ecuación de...
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1
Átomo de hidrógeno
Ileana Nieves Martínez
QUIM 4042 e-
mm22
p+
mm11
r
2
20; 0r
V
2
20; 0r
V
1
mm11
Dos partículas interaccionan por atracciónde carga eléctrica y culómbica.
Ley de Coulomb 2' ' l b
Descripción del sistema del Átomo de Hidrógeno
Cgs
Internacional ε = permitividad al vacío
312 2
2' '1 2
2 2
1
statcoulombQQ g cmF
r r s
g cmstatcoulomb
s
' '1 2
2
1
4
QQF
2
ε0 = permitividad al vacío = 8.85 x 10-12 C2 N-1 cm-1
1 C = 2.9979 x 109 esu o statcoulomb r = metros F = Newtons
204 r
4/1/2014
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 20TE V
m x y z m x y z
Ecuación de Schrödinger: Coordenadas cartesianas
1 1 1 1 2 2 2 2
2
2 2 2
2 1 2 1 2 1
m x y z m x y z
ZeV
x x y y z z
2 21 1 Coordenadas polares
3
22
2 2
0
1 1sin sin , , ,
2 sin sin
4
r U r r E rr r r
Ze ZeU r V SI V
r r
Función de onda con Hamiltoneano , ,r R r
n (Principal) l (orbital) ml (magnético)
Números Cuánticos
2 2
22
1 1sin sin , , ,
2 sin sinr U r r E r
r r r
4
2 2
04
Ze ZeU r V SI V
r r
4/1/2014
3
, ,r R r
Ecuación de Schrödinger en tres variables
, ,r R r P F
2
2 2 22 2
1 2 1 1sin 0
sin sin
d dR d dP d Fr Er ke r
R dr dr P d d F d
5
Solución existesolo si
Funciones por separado
Solución existesolo si
:masa reducida
m m
6
Solución existesolo si
e P
e p
m m
m m
4/1/2014
4
Ecuación azimutal2 2 2
22 2 2 2
1 1 2
2 sin l
d d IEE m
I d d
2
22
12l
d FC m F F n
F d
7
, 1,...liml
z l
F Ae m l l l
L m
Solución existesolo si
Funciones por separado
Solución existesolo si
:masa reducida
m m
8
Solución existesolo si
e P
e p
m m
m m
4/1/2014
5
Solución y polinomios asociados de Legendre
2
2
2
s ins in s in
1m
r
mlm
d d PC C
P d d
d P xP x x
12
,
,
1
2 1 !
2 !
c o s
l m
l m
mlm l m l
P x xd x
l l mN
l m
N P
9
0 1
2 32 3
4 2 5 34 5
1
1 13 1 5 3
2 21 1
3 5 3 0 3 6 3 7 0 1 58 8
P x P x x
P x x P x x x
P x x x P x x x x
Polinomios de Legendre
E ió d L d
221m
mlm
l m
d P xP x x
dx
Ecuación de Legendre
Forma general de los Polinomios de Legendre
2
22
1 2 1 0d y dy
x x n n ydx dx
10
2
0
12 2
2 21
2 ! ! 2 !
ó se escoge el que sea entero
mMl m
l lm
ll
lP x x
m l m l m
M
4/1/2014
6
Funciones asociadas de Legendre normalizadas
31,0 3,0
1 3 56 cos 14 cos cos
2 4 3
21,1 3,1
2 22,0 3,2
3
1 13 sin 42 sin 5cos 1
2 81 1
10 3cos 1 105 sin cos4 41 1
15 sin cos 70 sin
11
2,1 3,3
22,2
15 sin cos 70 sin2 81
15 sin4
Solución radial
2
2 2 22 2
1 2 1 1sin 0
sin sin
d dR d dP d Fr Er ke r
R dr dr P d d F d
2 2 21 21
d dRr Er ke r l l
21r Er ke r l l
R dr dr
,k
n l kL a r
0
2 2
, , 0 2 20.529
rnal
n l n le
R r L e donde a nme m e
12
1
donde el contador se asocia a por: 1k
k l n l k
4/1/2014
7
Resultado de energía
Condición de frontera solución satisfactoria:
2 2
20
4
donde Z=carga efectiva y 1,2...2n
Z eE n
n a
13
4
2 2 20
1 13.61,2,3,...
8n
me eVE n
h n n
+
Energía de electrones y núcleos separados
R
continuo
Energías clásicamenteener
gía
+2
2 2 2 2
1 1
n
f i i f
RE
n
R RE h R
n n n n
14
e g as c ás ca e teperimitidas
-
©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
4/1/2014
8
Espectroscopía atómica
15
“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición
Determinación de constante de Rydberg
16 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
4/1/2014
9
Estados energéticos de degeneración nn22 = 4
nn ll mm n, l, mn, l, m2
20
2
2n
eE
a n
1 0 0 1 0 0
2 0 0 2 0 0
2 1 0 2 1 0
2
0
2
0
2
0
2
1
4 2
1
4 2
n
n
n
eE
a
eE
a
eE
a
17
2 1 +1 2 1 +1
2 1 -1 2 1 -1
2
0
2
0
1
4 2
1
4 2
n
n
eE
a
eE
a
Número cuántico orbital
2
2 2
1
1 1
r lC l l C m
l l L l l
NotaciónNotación espectroscópicaespectroscópican=1 n=2 n=3 n=4
“sharp” s l = 0 1s 2s 3s 4s“principal” p l = 1 2p 3p 4p“difuso” d l = 2 3d 4d
donde 0,1,2,3,... 1l n
18
difuso d l 2 3d 4d“fundamental” f l = 3 4f
g l= 4h l= 5
Por ejemplo, si n = 2, l = 1 el estado se designa 2p
Después de este punto la notaciónsigue el alfabeto.
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10
Números cuánticos del átomo de hidrógeno
,
,
1, 2, 3, 4....
0,1, 2, ... 1
, 1, ...0... 1,
n l
l m
m l
R r n
l n
m l l l l
Tres coordenadas esféricasQue se asocian a tresnúmeros cuánticos espaciales
, , , ,n l m n l l m mR r
o 2 1 valoresl
19
,
,
distancia del núcleo al electrón
geometría orbital
n l
l m m
R r
Normalización para funciones de hidrógeno
2
*
0
1m m d
*
0
sin 1m m d
20
* 2
0
* 2, , , ,
1
sin 1
m m
n l m n l m
R r R r r dr
r d d dr
4/1/2014
11
Funciones radiales
21 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Funciones hidrógeno - separadasn l ml F() P() R(r)
1 0 0 1
20
32
2 rae
1
2
2 0 0
2 1 0
2 20a2
2 03
200
12
2 2
rar
eaa
2 03
200
1
2 6
rar
eaa
1
2
1
21
26
cos2
22
2 1 ±1 2 03
200
1
2 6
rar
eaa
3sin
2
1
2ie
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
4/1/2014
12
Otras propiedades de l
2 2
( ) :
1. : 1
Número cuántico momentum angular orbital l
valores permitidos L l l
4.
ˆ
orientación con respecto al eje de z
Lm
2. : 1 0,1, 2,3... 1magnitud L l l donde l n
3. se asocia a geometría del orbital
23
cos
1zLm
Ll l
Geometría y orientación (propiedades de l)
ˆ
cos1
zLm
Ll l
24 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
4/1/2014
13
Características de números cuánticos
nn Número cuántico principal Tamaño del orbital Energía cinética del electrón Grado de degeneración nn22
ll Orientaciones del momentum angular (22ll+1+1)
25
g ( ) Número de nodos radiales (nn − − ll −1−1) Número de máximos (nn –– ll)
Geometría del orbital 1s de hidrógeno
26 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
4/1/2014
14
Probabilidad radial de hidrógeno para 11ss
1
0
Número
cuántico
n
l
12
0
0
2
l
s
l
m
m
Máximo
electrones
dad
rad
ial
27
Probab
ilid
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
Función de distribucióndistribución radial radial tipo ss
Válido solo para orbital tipo ss cascarónProbabilidad x VolumenVolumen
3 3 24 4~ 4r dr r r dr
r
~ 43 3
r dr r r dr
0
222 *
1 1 30
:
44
r
as s
Densidad de probabilidad
rD r r e
a
28
r+dr
0 0
2 22
3 30 0 0
:
8 4 20
r r
a a
Radio mas probable
dD r r re e
dr a a a
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15
Determinación del radio radio masmas probable probable tipo ss
1sProbabilidadRadial 2
0 03
2
2
23
1 44
r ra adP e dr r e dr
2
2 20 0
20
300
2
0
20 2
2 1 0
r ra a
ra
aa
dPre r e
dr a
rre
a
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydr.html#c1
29
0
2 2
0 2 20.509
a
cr a nm
mke mc
Determinación del radio radio promediopromedio tipo ss
0* 21 1 3
0
1ˆ sin
r
as sr r d re r d dr
a
234 rdP
2
03300 0
4 radP
r r dr r e drdr a
1sProbabilidadRadial
30
20 0 00
2 2 3 430 0
30
0
3 3 34 3
2 4 4 8 2
ra
r
r
a r a r aa r ar e
a
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
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16
Determinación de la probabilidadprobabilidad radialradial
202 2
30
4*
ra
c c
b b
P R r R r r dr r e dra
2 324
r c
a r aa r
En el intervalo:b =0.5 a0 a c= 2.0a0
la probabilidad es 0.681
1sProbabilidadRadial
20 00 0
30
4
2 2 4
ra
r b
a r aa rP e
a
31
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
Dependencia angular de los orbitales hidrogénicos
Tipo ss:
No dependen de ni
Su variación angular o geométrica se representa:
Coordenadas planares
32
(r): ()00 =1/(2)1/2
Coordenadas polares |()()|= 1/(4)1/2(valor absoluto)
4/1/2014
17
Dependencia angular de los orbitales hidrogénicos
Tipo ss: Densidad de puntos ofreceDensidad de puntos ofrece un índice de la
densidad de probabilidaddensidad de probabilidad relativapp
NoNo eses una nube difusanube difusa de carga con esa geometría.
La probabilidadprobabilidad de encontrar el electrón en esta superficie no es uniformeno es uniforme ya que depende depende de la distancia radialde la distancia radial
33
de la distancia radialde la distancia radial.
Superficie o curvas de probabilidad se hace con mapa de contorno mapa de contorno (posición en el 90%90%dentro de la superficie para determinar el tamaño del orbital.
Radio 0.900.90 – superficie de contornoz
x x
z
1 1 2
2 2* * 21 1 1 1
0 0 0 0
0.90 sins sr r
s s s sd R R r dr d d
Coordenadas planares Coordenadas polares
Å
34
1 1.41Åsr
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18
Densidad de probabilidad del orbital 1s1s
35 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Probabilidad radial de hidrógeno para 2s2s
2
0
Número
cuántico
n
l
12
0
2
l
s
m
m
Máximo
electrones
dad
rad
ial
36
Probab
ilid
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
4/1/2014
19
Densidad de probabilidad del orbital 2s2s
37 ©“Physical Chemistry” por P.W. Atkins; Noviembre 1998; W.H. Freeman & Company; 6ta edición
Función de distribución radial para pp y dd
Volumen diferencial de coordenadas polaresentre: r y r + dr y + d y + dy y y
Fución de distribución radial
0
22 2* 2
, , , , 300 0
4sin
r
an l m n l m
rP r r dr r d d dr e
a
11
38
2
* 2 * *. . , ,
0 0
sinn l n l l m l m m mP R r R r r dr d d
11
4/1/2014
20
Probabilidad radial de hidrógeno para 2p2p
2
Número
cuántico
n
12
1
1, 0,1
6
l
s
l
m
m
Máximo
electrones
dad
rad
ial
39
Probab
ilid
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
Funciones de onda de orbitales 1s, 2s, y 2p1s, 2s, y 2p
n l ml
1 0 0 1s0
32
1 rae
, , , ,ln l m r
2 0 0
2 1 0
20a
2 03
200
12
4 2
rar
eaa
2 03
200
1cos
4 2
rar
eaa
2s
2 p
40
2 1 ±1 2 03
200
1sin
8
ra ir
e eaa
2 p
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
4/1/2014
21
m = ± 1
Orbitales tipo pp (l = 1): Geometría y orientación de los orbitales 2p0 (mm = 0)
, , , , 2,1 1,0 0
, , 2,1
3cos
4
n l m n l l m m
n l m
R r R r
R r
mm = 0 Signo de la función cambia con los
ángulos en .
n = 2n = 2 ll = 1= 1 m = 0m = 02p2p00 = 2p= 2pzz
NoNo depende del ángulo . El (coscos es un máximomáximo cuando:
4
41
“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición
El (coscos es un máximomáximo cuando: = 0 y =
Es un mínimomínimo cuando: = /2 (nodo)
Funciones 22pp±±11
En este caso a pesar de que el signo de la funcióncambia con los ángulos en hay cierta dependenciadel ángulo . n = n = 22 l = l = 11 m = m = ±±11 2p2p±±11
1, 1 1 1
2 2 21, 1 1
3sin 2
83
: sin8
ie P
Forma real
42
1 12 2La función P y P tiene lamisma forma o distribución espacial.
Ambas son independientes de . La densidad de probabilidad es simétrica
con respecto al eje de z y el mínimo es en =0 y el máximo es en =
.2
4/1/2014
22
Geometría y orientación de los orbitales 22pp±±11 Signo de la función cambia con los ángulos en .
n = 2n = 2 ll = 1 = 1 m = m = ±±11 2p2p±±11 independiente del ángulo .
El (sin sin es un máximomáximo cuando: El (sin sin es un máximomáximo cuando: =
Es un mínimomínimo cuando: = 0 y = (nodo)
m = ± 1
43“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula W.H. Freeman & Company; 8va. edición
Orbitales 2ppxx y 2ppyyPor geometría se construye una combinación lineal usando las dos funciones.
1
32 sin
8iP = e
1
3 32 sin sin cos sin
8 8iP e i
1 8
44
1
3 32 sin sin cos sin
8 8iP e i
4/1/2014
23
1
3 32 sin sin cos sin
8 8
3 32 sin sin cos sin
i
i
P e i
P e i
Orbitales 2px y 2py
12 sin sin cos sin8 8
P e i
1, 1 1 1, 1 1 1 1
12 2
21
x
Combinación lineal:
2P P P
45
1, 1 1 1, 1 1 1 1
12 2
2y2P P P
1 1
1 1 32 2 sin cos sin cos sin
82 2x2P P P i i
Orbitales 2px y 2py (continuación)combinacióncombinación lineal lineal
2 3
1 1
1 32 2 sin cos sin cos sin
82y2P P P i i
2 3sin cos sin cos
82x2P A
46
2 3sin sin 'sin sin
82y
i2P A
4/1/2014
24
n l ml F() P() R(r)
Funciones de onda de orbitales 3s3s y 3p3p
1 1 3 0 0
3 1 0
3 1 ±1
1
21
2
3 03
46
rar r
e
3 03
2
0
2
200
227 18 2
81 3
rar r
ea aa
1
26
cos2
3sin
1 ie
3 03
20 00
46
81 6
rar r
ea aa
3 1 1
47
32
0 0081 6 a aa
sin2
2
e
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
Funciones de onda de orbitales 3d3d
n l ml F() P() R(r)
3 2 0
3 2 ±1
1
23 0
32
0
2
20
4
81 30
rar
eaa
2103cos 1
4
15sin cos
2
1
2ie
3 03
2
0
2
20
4
81 30
rar
eaa
3 0
24 rar
e
215i
21 ie
48
3 2 ±2
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
32
0
2081 30
eaa
2sin2
2e
4/1/2014
25
Funciones de onda del nivel 33
n l ml
3
, , , ,ln l m r
21 rr r 3 0 0
3 1 0
3 1 ±1
3s
3p
3p
3 03
2
0
200
127 18 2
81 3
rar r
ea aa
3 03
20 00
26 cos
81
rar r
ea aa
3 03
20 0
26 sin
81
ra ir r
e ea aa
49
3 2 0 3 03
2
0
22
20
13cos 1
81 6
rar
eaa
3d
2
0 20.529 primer radio de Bohra nm
me
0 0081 a aa
Densidad de probabilidad del orbital 3s3s
3
Número
cuántico
n
12
0
0
2
l
s
l
m
m
Máximo
electrones
ad r
adia
l
50
Probab
ilida
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
4/1/2014
26
Densidad de probabilidad del orbital 3p3p
3
Núm ero
cuántico
n
12
3
1
1, 0,1
6
l
s
n
l
m
m
M áxim o
electrones
ad r
adia
l
51
electrones
Probab
ilida
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
Funciones de onda orbitales 3d3d
n l ml
3
, , , ,ln l m r
3
221
3 1rr
3 2 0
3 2 ±1
3 2 ±2
3s
3p
3d3 0
32
22 2
20
1sin
162
ra ir
e eaa
3 03
2
0
2
20
1sin cos
81
rar
e e iaa
3 03
2
0
22
0
3cos 181 6
aeaa
52
00
4/1/2014
27
Densidad de probabilidad del orbital 3d3d
3
2
Número
cuántico
n
l
12
2
2, 1, 0
10
l
s
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http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hydwf.html#c1
Geometría de orbitales 3d3d
54“Physical Chemistry” © 2006 P.W. Atkins & J. de Paula
W.H. Freeman & Company; 8va. edición
4/1/2014
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