Área medios de representación curvas cicloideas ing. guillermo ferrario
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Área Medios de Representación
Curvas cicloideas
Ing. Guillermo Ferrario
Objetivos
Conceptuales. Conocer el sistema de generación de las curvas cicloidales.
Diferenciar las curvas cicloides, hipocicloides y epicicloides, junto a sus características principales.
Destrezas.El alumno reconozca y trace una cicloide normal, corta y larga.
Reconozca una epicicloide y hipocicloide. Trace una curva epicicloide.
Actitudinales.El alumno tendrá iniciativa en el planteamiento de propuestas de resolución de casos
prácticos.
Defenderá y justificará las propuestas planteadas en un marco de respeto a otros planteamientos y preocupación por la calidad del resultado final.
La construcción del conocimiento se desarrolla relacionándolo con aquello que ya hemos adquiridos.
Veamos con que podemos relacionar este tema.
Curvas planas
Construcciones GeométricasCinemática
Curva cicloide natural o normal
Una cicloide es el lugar geométrico generado por un punto de una circunferencia al rodar sobre una línea recta; es la curva que describe un punto perteneciente a una rueda que gira sin deslizarse
Sea P (x,y) un punto genérico de la cicloide y r el radio del círculo generador
Tomamos como parámetro el ángulo t que forma el radio CP con la vertical ACEl arco AP es rt e igual al segmento OA, y de la figura podemos deducir:
x=OQ=OA-QA=rt-r sen t=r (t-sent)
y=AB=AC-BC=r-r cos t=r (1-cost).
Por tanto las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:
x=r (t- sen t)
y=r (1- cos t).
Descomposición del movimiento
La cicloide puede verse como la suma de dos trayectoriasDonde b es el radio de la ruleta y t el ángulo
Cicloide Acortada
Es el lugar geométrico descrito por un punto P situado sobre el radio de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta fija
Es el lugar geométrico descrito por un punto P situado sobre la prolongación del radio de una circunferencia, cuando dicha circunferencia rueda sin deslizar sobre una recta fija
Cicloide Alargada
Tipos de cicloide
• Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina:
• cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (R < r),
• cicloide común, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (R = r),
• cicloide alargada, si P está fuera de la circunferencia generatriz, (R > r).
• Donde la circunferencia tiene radio r, y la distancia del centro al punto P es R.
Cicloides
Ecuaciones paramétricas
Las constantes r y d corresponden, respectivamente, al radio de la circunferencia y a la distancia CP. El parámetro es el ángulo formado por los segmentos CP y CJ. - Si d>r obtenemos la cicloide alargada - Si d<r obtenemos la cicloide acortada
Ejemplo de Cicloide
• Cuando la rueda de ferrocarril avanza hacia la izquierda, la parte inferior de su reborde se mueve hacia la derecha, es decir, en dirección contraria
• Arriba se representa la curva («cicloide») que describe al girar cada uno de los puntos de la llanta de una rueda del carro de ferrocarril.
• Abajo, la curva que describe cada punto exterior del reborde de una rueda de ferrocarril.
Trazado de curvas cicloides
Trazado de las tangentes
Para trazar la tangente en un punto cualquiera P
1. Trazar la recta vertical que pasa por el centro C, obteniéndose el punto de contacto de la circunferencia A
2. Unir los puntos P y A, lo cual nos determina la recta normal en el punto P a la cicloide.
3. Perpendicular a la Normal por P se traza la recta tangente
Cicloide Normal
Cicloide Larga
Cicloide Corta
Curva Epicicloide
La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3).
La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz. Es un tipo de ruleta cicloidal.
con γ = α + β − π / 2 y, además, como la circunferencia rueda sin deslizamiento, los arcos l1 y l2 son iguales,
Considerando la figura podemos escribir:
Epicicloide
Ecuaciones de la Epicicloide
Ecuación Paramétrica
Considerando la figura podemos escribir:
tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide:
Casos particulares
Cuando r1/r2 es un número racional,
i.e., , siendo p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.
Cuando r1=r2, i.e, k = 1 tenemos el cardioide
Si es irracional, la curva es trascendente y cubre completamente la región entre los radios r1 y r2.
ejemplos de epicicloides
k=1
k=2
k=3
k=4
k=2.1=21/10
k=3.8=19/5
k=5.5=11/2
Epicicloide Normal de Cuatro Hojas Trazado para una relación de radios R= 4 r (R= radio base, r= radio ruleta)
• Dividir la rodante en un número de partes iguales , por ejemplo 8
• Siendo “a” el punto generador de la epicicloide se sitúa coincidente con A al cabo de una vuelta completa, por la relación de radios.
• 8 es la posición del centro de la ruleta
• Se divide el arco 08 en igual numero de partes que la rodante, obteniéndose las posiciones 1 a 8 del centro de la rodante para las sucesivas posiciones del punto generador.
• Para media vuelta de la ruleta , la posición de “a” es E, su normal se obtiene uniendo la posición correspondiente con el centro de la ruleta, la tangente es la perpendicular a esta en ese punto
• La normal a D se obtiene uniendo 3 con el centro de la base con dicho punto y perpendicular a esta se traza la tangente por D
Hipocicloide
Hipocicloide (curva de trazo rojo). Parámetros: R = 3, r = 1, k = 3.
Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia
directriz, sin deslizamiento.
Es un tipo de ruleta cicloidal.La curva hipocicloide es comparable a la cicloide, donde la circunferencia generatriz rueda sobre una línea directriz (o circunferencia de radio infinito)
Las constantes R y r corresponden a los radios de las circunferencias fija y móvil, respectivamente, y el parámetro es el ángulo que forma el segmento OC con la dirección positiva del eje de las abscisas
Casos particulares
• Cuando K = r1/r2 es un número racional, es decir,
siendo p y q números enteros, las hipocicloides son curvas algebraicas.
• Cuando r1=4 r2 se tiene la astroide (x2/3+y2/3=R2/3)
• Si es irracional, la curva es trascendente y da infinitas vueltas dentro de la circunferencia directriz.
radio r1 que rueda dentro de una circunferencia de radio r2,
Ejemplos]
k=3
k=4
k=5
k=6
k=2.1
k=3.8
k=5.5
k=7.2
La Astroide o hipocicloide de cuatro hojas. Se obtiene cuando R=4r.
R=2; r=0,5
Algunos ejemplos de Epicicloides
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda exteriormente sobre otra circunferencia fija.
R=4r
Epicicloide Natural
La Nefroide, una epicicloide con R=2r:
R=1,6; r=0,8
- La cardioide, una epicicloide con R=r:
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre el radio de la rodante C, a una distancia d del centro, describe una curva llamada epicicloide acortada.
R=8; r=2; h=1.5
Epicicloide Acortada
Epicicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda exteriormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre la prolongación del radio de la rodante C, a una distancia d del centro C, describe una curva llamada epicicloide alargada.
Algunos ejemplos de Hipocicloides
La Deltoide. Se obtiene cuando R=3r.
Hipocicloide Natural
Es una curva plana descrita por un punto de una circunferencia que rueda interiormente sobre otra circunferencia fija.
R=1,40; r=0,4
Hipocicloide Acortada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre el radio de la rodante C, a una distancia d del centro de C, describe una curva llamada hipocicloide acortada.
R=5; r=2; h=1
Caso particular
La hipocicloide acortada con R=2r resulta ser una elipse:
R=6; r=3; h=1
Hipocicloide Alargada
Si una circunferencia C (de radio r) rueda interiormente, sin resbalar, sobre otra fija O (de radio R), un punto P sobre la prolongación del radio de la rodante C, a una distancia d del centro de C, describe una curva llamada hipocicloide alargada
R=5; r=2; h=2.5
Clasificación de Curvas Cicloidales
Curvas Cicloidales
Epicicloides
Cicloides
Hipocicloides
Epicicloide Corta Epicicloide Normal Epicicloide Larga
Cicloide Corta Cicloide Normal Cicloide Larga
Hipocicloide Corta Hipocicloide Normal Hipocicloide Larga
TRANSMISIÓN del movimiento POR ENGRANAJES • Los primeros datos que
existen sobre la transmisión de rotaciones con velocidad angular uniforme por medio de engranajes, corresponden al año 1674, Olaf Roemer propuso la forma o perfil del diente en epicicloide.
• Robert Willis, profesor de Cambridge, fue el que obtuvo la primera aplicación práctica de la epicicloide al emplearla en la construcción de una serie de engranajes intercambiables.
PERFIL CICLOIDAL DE DIENTE DE ENGRANAJES
• Para la transmisión de una relación constante de velocidades con engranajes cicloidales los círculos primitivos tienen que permanecer tangentes.
• En los engranes de perfil cicloidal el contacto se efectúa entre superficies convexas y cóncavas
• El diente con perfil de evolvente es más sólido, a igualdad de paso, que el cicloidal.
• para la transmisión de una relación constante de velocidades con engranajes cicloidales los círculos primitivos tienen que permanecer tangentes
• La lubricación de los dientes cicloidales es algo más eficaz que la de los dientes de evolvente, y esta propiedad es útil en las transmisiones por tornillo sin fin que transmiten cargas importantes.
porción de dos ruedas con dientes cicloidales
Fin del desarrollo temático
Muchas gracias por su atención
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