apunts tema 6 ct 2003

MATEMÀTIQUES CIENTÍFIC TECNOLÒGIC

TEMA 6ELS NOMBRES COMPLEXOS

BREU HISTÒRIA

• Matemàtics italians del S. XVI com Bombelli, Cardano o Tartaglia, van treballar en fórmules per resoldre equacions de 2n i de 3r grau.

• Van trobar en tots dos problemes situacions on, en aplicar el algorisme, apareixien arrels quadrades de negatius.

• Això ja sabem què passa en algunes equacions de 2n grau, no?• El sorprenent és que els passava en resoldre algunes de 3r grau,

encara que les solucions finals eren reals i existien.• Encara que era difícil d’admetre , aquest matemàtics van veure que

era necessari l’existència de les arrels quadrades de negatius.• Posteriorment , Euler (1777) va definir la unitat imaginària (i) i es va

començar a admetre uns altres números: els complexos o imaginaris.

• Actualment s’apliquen sobretot en electrotècnia (corrent altern), en Mecànica Quàntica i, matemàticament, permeten trobar les arrels de qualsevol polinomi.

DEFINICIÓ DE LA UNITAT IMAGINÀRIA

• Per definir els nombres complexos, o imaginaris, es necessita definir primer la unitat.

• La unitat imaginària es defineix:

• De forma que:

• Amb la unitat imaginària podem “calcular” arrels de negatius i resoldre totes les equacions de 2n grau.

• Exemple 1:

DEFINICIÓ DE LA UNITAT IMAGINÀRIA

• Exemple 2:

• Exemple 3:

DEFINICIÓ DEL CONJUNT ℂ DELS COMPLEXOS

• En general, si observem com són les solucions de l’exemple 3, un nombre complex té la forma següent:

• On a és la part real del nombre i b és la part imaginària del complex.

• El conjunt de tots els nombres complexos es designa pel símbol ℂ

EXPRESSIÓ BINÒMICA D’UN COMPLEX

• Els complexos es poden expressar en forma binòmica, polar i es poden representar gràficament.

• L’expressió en la forma z = a + bi s’anomena forma binòmica.

• Si b = 0, és a dir, z no té part imaginària, z = a és un nombre real.

• Si a = 0, és a dir, z no té part real, z = bi és un nombre imaginari pur.

• Així que els nombres reals es poden considerar com a nombres complexos amb part imaginària nul·la.

EXPRESSIÓ BINÒMICA D’UN COMPLEX

• Dos complexos són iguals si tenen la mateixa part real i la mateixa part imaginària:

• L’oposat d’un complex és el complex canviat de signe:

• El conjugat d’un complex és el que té la part imaginària canviada de signe:

REPRESENTACIÓ GRÀFICA DELS COMPLEXOS

• Per representar un nombre complex utilitzarem un sistema de coordenades cartesianes.

• A l’eix X representem la part real (eix real)• A l’eix Y representem la part imaginària (eix

imaginari)• El nombre z = a + bi està representat pel punt del pla

complex P( a , b). Cada nombre complex té associat un únic punt del pla, i viceversa.

• També es pot representar z pel vector del pla amb origen en O i extrem en P :

REPRESENTACIÓ GRÀFICA DELS COMPLEXOS

OPERACIONS AMB NOMBRES COMPLEXOS

• POTÈNCIES DE i• Les potències successives de i es van repetint cada 4

potències:

• Si l’exponent és múltiple de 4, la potència val 1, i a partir

d’aquí es comencen a repetir els resultats. Això permet calcular potències de i fàcilment:

OPERACIONS AMB NOMBRES COMPLEXOS

• SUMA I RESTA DE COMPLEXOS• Per sumar o restar complexos es sumen, o resten, les parts

enteres entre elles i les parts imaginàries entre elles.

• Exemples:

OPERACIONS AMB NOMBRES COMPLEXOS

• MULTIPLICACIÓ DE COMPLEXOS• Per multiplicar complexos s’aplica la propietat distributiva i

les potències de la unitat imaginària:

• El producte d’un complex pel seu conjugat és sempre un nombre real:

• O aplicant la igualtat notable d’una suma per una diferència:

OPERACIONS AMB NOMBRES COMPLEXOS

• DIVISIÓ DE COMPLEXOS• Per dividir complexos multipliquem numerador i

denominador pel conjugat del denominador. És un procés semblant a la racionalització de fraccions amb radicals.

FORMA POLAR D’UN NOMBRE COMPLEX

• Un nombre complex queda totalment definit pel punt P(a, b) o pel vector

• Això permet definir el complex també utilitzant el mòdul del vector i l’angle que aquest forma amb el sentit positiu de l’eix X

FORMA POLAR D’UN NOMBRE COMPLEX

• Es defineix el mòdul del complex z com el mòdul del vector

• Es defineix l’angle α que forma el vector amb el sentit positiu de l’eix X com l’argument del nombre complex z.

• La notació emprada és:• Mòdul de z: • Argument de z: • Forma polar de z:

PAS DE FORMA BINÒMICA A POLAR• Donat un nombre complex en forma binòmica z = a + bi, la

seva expressió en forma polar és z = rα on:

• Com l’arctg té infinites solucions agafarem l’argument adequat depenent del quadrant on es trobi el nombre complex.

EXEMPLES DE PAS DE FORMA BINÒMICA A POLAR• Exemple 1: passa a forma polar

• Per α tenim infinites solucions al 1r i 3r quadrant. Com el nombre complex està al 3r quadrant ens quedem amb el primer angle que sigui d’aquest quadrant:

• Exemple 2: passa a forma polar

• Exemple 3: expressió en forma polar de reals i imaginaris purs

EXEMPLES DE PAS DE FORMA BINÒMICA A POLAR

PAS DE FORMA POLAR A BINÒMICA I VICEVERSA

• Donat un nombre complex en forma polar z = rα , la forma binòmica és z = a + bi, on:

Forma trigonomètrica d’un nombre complex

• Com que

• Traient factor comú el mòdul r obtenim la forma trigonomètrica del complex z

EXEMPLES DE PAS DE FORMA POLAR A BINÒMICA

• Exemple 4: expressa en forma binòmica

EXEMPLES DE PAS DE FORMA POLAR A BINÒMICA

• Exemple 5: expressa en forma binòmica