apuntes trigonometria
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APUNTES DE TRIGONOMETRIA
Mtro. Óscar Ruiz Chávez
Mtro. Mario Silvino Ávila Sandoval
a
b
c
B
A
C
H
LEY DE COSENOS
Sea el segmento H perpendicular al segmento C, donde
C = C1 + C2
C1= B cos a y
C2= A cos b
C1
C2
Universidad Autónoma de Ciudad
Juárez
INDICE
1. TRIGONOMETRÍA_________________________________________________3
1.1. MEDIDA DE ÁNGULOS____________________________________________3
MEDIDA DE ÁNGULOS EN RADIANES._______________________________________5
EJERCICIOS___________________________________________________________________9
1.2. TRIÁNGULOS SEMEJANTES_____________________________________11
EJERCICIOS__________________________________________________________________12
1.3. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS______________________________13
EJERCICIOS__________________________________________________________________15
1.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS_______________________________16
EJERCICIOS__________________________________________________________________16
1.5. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS____________17
FÓRMULAS DE SUMAS Y DIFERENCIAS____________________________________20
FÓRMULAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES________________________________22
OTRAS IDENTIDADES_______________________________________________________24
EJERCICIOS__________________________________________________________________28
APÉNDICE A – LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS_________________________29
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¨CURSO PROPEDÉUTICO PARA LA MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA
1. TRIGONOMETRÍA
1.1. MEDIDA DE ÁNGULOS
Un ángulo está formado por la rotación de una semirrecta,
llamada rayo alrededor de su vértice. Un rayo k, llamado el lado
inicial del ángulo permanece fijo; un segundo rayo l, llamado el
lado Terminal del ángulo, comienza en la posición inicial y rota
alrededor del punto extremo común P en el plano, hasta que
alcanza su posición terminal. El punto extremo común P se
llama vértice. (figura 1).
Figura 1.
Podemos referirnos al ángulo de la figura 1 en cualquiera de las
siguientes formas:
Ángulo , q, Ángulo QPR, QPR, Ángulo P, P
No existe restricción respecto a la cantidad o la dirección de la
rotación sobre un determinado plano. Cuando el lado terminal
se hace rotar en sentido contrario a las manecillas del reloj, el
ángulo formado es positivo; cuando gira en el sentido de las
manecillas del reloj, el ángulo es negativo.
Un ángulo formado por una vuelta completa de un lado Terminal
en dirección contraria a las manecillas del reloj tiene una
medida de 360 grados, lo cual se escribe como 360º. Un ángulo
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL3
de 1 º, se forma por de una vuelta, en dirección contraria a
las manecillas del reloj.
Un ángulo de 90º se llama recto y representa de vuelta
completa, mientras que un ángulo de 180º se llama ángulo
llano o colineal. Un ángulo agudo tiene una medida que va de
0º a 90º. Un ángulo obtuso ve de 90º a 180º.
Dos ángulos positivos son complementarios si la suma de sus
medidas es 90º; son suplementarios si la suma de sus medidas
es 180º.
ACTIVIDAD 1: Midiendo ángulos en Cabrí.
Un grado se divide usando notación decimal. Por ejemplo,
36.25º, representa un ángulo que mide 36 grados mas una
cuarta parte de grado. Un grado también puede dividirse en
minutos y segundos (igual que una hora). Cada grado se divide
en 60 partes iguales llamadas minutos (expresadas en ‘) y cada
minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos
(expresadas con ‘’). En consecuencia, 5º12’32’’ es una forma
abreviada de escribir 5 grados, 12 minutos y 32 segundos.
EJEMPLO 1: Convierta 12º6’23’’ a la forma de grados decimales.
SOLUCIÓN: Puesto que 6º = y 23’’ = , entonces:
12º6’23’’ = = 12.106º
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EJEMPLO 2: Convierta 35.413º a la forma grados – minutos –
segundos.
35.413º = 35º (0.413•60)’
= 35º24.78’
= 35º24’(0.78•60)’’
= 35º24’47’’
MEDIDA DE ÁNGULOS EN RADIANES.
De igual forma en que se definió el ángulo correspondiente a
una vuelta completa del lado terminal con una medida de 360º;
podemos definirla también en radianes siendo la medida
equivalente de 2. Esto quiere decir que radianes
corresponde a 180º, radianes a 90º, etc.
EJEMPLO 3. Convierta 75º en radianes.
SOLUCIÓN: Podemos establecer la siguiente relación:
Por otro lado, podemos hacer una conversión inversa:
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL5
EJEMPLO 4: Convierta radianes a su equivalente en grados.
SOLUCIÓN: Estableciendo una relación similar:
ACTIVIDAD 2. Interpretando un radian.
ÁNGULOS Y ARCOS: Dado un arco RQ de un círculo con centro
en P, se dice que el ángulo RPQ es el ángulo central que
subtiende el arco RQ. También decimos que el ángulo RPQ
subtiende el arco RQ: (Figura 2).
Figura 2.
En general, para determinar la medida en grados de un ángulo
q subtendido por un arco de s unidades de un círculo con una
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circunferencia de C unidades, utilizamos la siguiente
proporción. (Figura 3).
q en grados decimales; s y C en las mismas unidades.
Figura 3.
MEDICIÓN APROXIMADA DE LA CIRCUNFERENCIA DE LA TIERRA:
Los antiguos griegos conocían la proporción que relaciona los
ángulos centrales y los arcos, la cual utilizó Eratóstenes (240
a.C.) para su famoso cálculo de la circunferencia de la tierra.
Razonó de la siguiente forma: es bien conocido que en Siena
(ahora Asuán), durante el solsticio de verano, el sol del mediodía
se refleja en el agua de un pozo profundo (esto significa que sus
rayos inciden verticalmente en el agua del pozo y, por lo tanto,
el sol debe estar exactamente encima de él). Eratóstenes pensó
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL7
que si los rayos del sol que entraban al pozo siguieran al interior
de la tierra, pasarían por su centro. El mismo día a la misma
hora, a 5000 estadios al norte (500 millas aproximadamente),
en Alejandría, los rayos del sol cruzaban una pértiga vertical en
un ángulo de 7.5º, como se indica en la figura 4. Puesto que los
rayos del sol son casi paralelos cuando llegan a la tierra,
Eratóstenes concluyo que el ACS medía sólo 7.5º.
Figura 4
A pesar de que el razonamiento era profundo, su cálculo final de
la circunferencia de la tierra requiere sólo álgebra elemental:
El valor calculado hoy en día es de 24,875 millas.
EJEMPLO 5. ¿Cuánto mide el arco subtendido por un ángulo
central de 6.23º sobre un círculo con un radio de 10 cm.?
SOLUCIÓN. Puesto que:
Entonces
DIAMETRO DEL SOL. Si la distancia entre la tierra y el sol es de
93,000,000 millas, determine el diámetro del sol si éste
subtiende un ángulo de 0º31’55’’
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Figura 5.
SOLUCIÓN: Como
ACTIVIDAD 3. Construcción de engranes.
EJERCICIOS
1.- Indique los grados que mide el ángulo formado por el lado
Terminal que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj
del valor que se indica:
a) revolución b) revolución c) revolución d)
revolución
2.- Clasifique los siguientes ángulos como agudos, rectos,
obtusos o colineales. Si el ángulo no es ninguno de éstos,
indíquelo así.
a) 123 º b) 18 º c) 180 º d) 90 º e) 45 º f)
91 º g) 270 º h) 225 º
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL9
3.- Describa el significado de un ángulo de un grado.
4.- Convierta a grados decimales
a) 43 º21’4’’ b) 61 º52’11’’ c) 2 º12’47’’ d)
23 º5’21’’
5.- Convierta a grados – minutos – segundos
a) 13.633º b) 22.767º c) 83.017º d) 74.023º
6.- Explique el significado de un radian
7.- Convierta a radianes los siguientes ángulos dados en grados:
a) 45º b) 15 º c) 125º d) 270º f) 330º
8.- Convierta a grados los siguientes ángulos dados en radianes
a) rad. b) rad. c) 1.264 rad. D)
1 rad.
9.- ¿Cuál de los siguientes ángulos es mayor 47º33’41’’ o
47.572º?. Explique la forma que obtuvo la respuesta
10.- Realice la operación 62º40’15’’ - 47º37’49’’. Exprese la
solución tanto en la forma decimal, como en la forma grados –
minutos –segundos.
11. Observe la figura 3 y calcule el dato que falta usando los que
se proporcionan.
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a) C = 1000 cm., = 36º, s = ?
b) s = 12 m., C = 108m., = ?
c) r = 5,400,00 mi., = 2.6º , s = ?
d) s = 38,000 cm., = 45.3º , r = ?
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL11
1.2. TRIÁNGULOS SEMEJANTES
ACTIVIDAD 4. Triángulos semejantes.
TEOREMA DE EUCLIDES. Si dos triángulos son semejantes
(figura 6) sus lados correspondientes son proporcionales.
Figura 6.
Esto quiere decir que:
Recuerde que dos triángulos son semejantes si dos ángulos de
uno miden lo mismo que dos ángulos del otro.
EJEMPLO 6: Altura de un árbol: Un árbol proyecta una sombra
de 32 pies y, al mismo tiempo, un palo que mide una yarda (3.0
pies) proyecta una sombra de 2.2 pies (Figura 7). ¿Qué altura
tiene el árbol?
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Figura 7
SOLUCIÓN: Los rayos paralelos del sol forman el mismo ángulo
con el árbol y con el palo. Puesto que ambos triángulos son
rectángulos y tienen un ángulo agudo de la misma medida,
entonces los triángulos son semejantes. Los lados
correspondientes son proporcionales, por ello escribimos:
ACTIVIDAD 5. Altura de un cañón. y/o triángulos semejantes.
EJERCICIOS
1.- Si dos triángulos tienen un par de ángulos iguales, ¿Qué
puede decirse del tercer ángulo de ambos?
2.- Observe la figura 6. Use los datos otorgados y encuentre el
faltante:
a) a = 3, b = 7, a’ = 8, b’ = ?
b) b = 11, c = 7, b’ = 2, c’ =?
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL13
3.- En un juego de tenis, se manda un servicio desde el centro
de la línea de fondo de la cancha de tenis. Si la pelota se golpea
9 pies por arriba del piso, viaja en línea recta hacia el centro de
la cancha y la red está a 3 pies de altura ¿qué tan lejos de la
base de la red pegará la pelota en el piso si apenas alcanza a
pasar la parte superior de la red?
4.- Un trozo de espejo se encuentra en el suelo (supóngalo
perfectamente horizontal) entre la base de un árbol y los pies de
una persona. Al mirar ésta al espejo, observa el reflejo de la
punta superior del árbol. Si la distancia entre el espejo y la base
del árbol es de 8 metros y la distancia entre el espejo y los pies
de la persona es 3 metros y la altura de ésta es de 1.75 metros.
Determine la altura del árbol.
1.3. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
En la figura 8, podemos ver que existen 6 posibles razones entre
los lados de un triángulo rectángulo que pueden calcularse para
cada ángulo .
Figura 8
Dichas razones se conocen como razones trigonométricas, y
debido a su importancia,, cada una tiene un nombre: seno (sen),
coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y
cotangente (cot). Además, cada una se escribe de manera
abreviada como sigue:
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Observe que senθ y cscθ, cosθ y secθ , así como tanθ y cotθ
son recíprocas, es decir:
Que debemos considerar al momento de usar la calculadora
para calcular cscθ, secθ y cotθ.
EJERCICIO: Use la calculadora para encontrar a) sen20 º b)
cos 14 º15’16’’ c) tan 98.12 º d) ctg 15.24 º e)
csc 338.38 º f) sec 23 º55’36’’ g) halle si sen =
0.8280 h) halle si sec = 2.456.
ACTIVIDAD 6: Razones trigonométricas.
EJEMPLO 7: Un bote está navegando a lo largo de la costa en un
curso recto. Se avizora un punto rocoso en un ángulo de 31º
desde la ruta. Después de seguir 4.8 millas, se hace otra
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL15
inspección ocular y se descubre que el punto está a 55º
respecto a la ruta (véase figura 9). ¿cuál será la mas corta
distancia que habrá entre el bote y el punto?
Figura 9
SOLUCIÓN. La distancia más corta a la que pasará el bote del
punto rocoso es y . Podemos establecer la siguiente relación
partiendo del triángulo más pequeño:
Ahora desde el triángulo grande vemos que:
Al sustituir la primer igualdad en la segunda tenemos
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EJERCICIOS
1.- Una escalera de 8 metros está recargada en la pared
formando un ángulo con respecto al suelo de 61º ¿a qué altura
estará la parte superior de la escalera sobre el edificio?
2.- Para el problema anterior, ¿que tan lejos está la parte inferior
de la escalera de la base de la pared?
3.- Una persona que se encuentra en lo alto de un acantilado de
70 metros de altura, tiene que bajar la vista un ángulo de 20º
con respecto a la horizontal para ver directamente un barco, ¿a
qué distancia se encuentra el barco de la base del acantilado?
4.- Del problema anterior, ¿Qué tan lejos se encuentra el barco
de la cima del acantilado?
5.- Determine la longitud de un lado de un polígono regular de
nueve lados inscrito en un círculo de radio igual a 8.32
centímetros.
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL17
1.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
ACTIVIDAD 8: formación de las gráficas de las funciones
trigonométricas y criterios de graficación.
EJERCICIOS
Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas
1.- f(x) = sen2x
2.- f(x) = -5cosx
3.- f(x) = -sen(x+b)
etc.
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1.5. IDENTIDADES Y ECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Recordando, las seis razones posibles entre dos lados de un
triángulo rectángulo constituyen las funciones
trigonométricas de uno de los ángulos agudos
Definimos como identidad trigonómetrica a una igualdad
algebraica entre razones de un mismo ángulo, que se verifica
para cualquier valor de dicho ángulo.
Cofunciones: Si tomamos el ángulo α, que es complementario
al ángulo θ. (α=90°-θ), tenemos que
El coseno, la cotangente y la cosecante de un ángulo son
respectivamente iguales al seno, tangente y secante del ángulo
complementario,
Recíprocas:
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL19
a
cb
Cociente:
Por el Teorema de Pitágoras sabemos que: c2=a2+b2,
entonces si dividimos la ecuación por c2:
, de donde se
desprenden las identidades:
Dividiendo por a2:
, por lo tanto:
Dividiendo por b2:
, por lo tanto:
Identidades
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EJERCICIOS
1. Si sen a = .25, calcular las demás funciones del mismo
ángulo.
2. Comprobar las siguientes identidades:
a.
b.
c.
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL21
FÓRMULAS DE SUMAS Y DIFERENCIAS
Seno y coseno de la suma de dos ángulos:
Tenemos el triángulo
rectángulo BOD con uno de
sus ángulos agudos igual a la
suma de α y β, tal que:
y
A su vez, tambien tenemos
dos triángulos rectángulos
AOC y AOB con ángulos
internos agudos α y β respectivamente y un triángulo ABE semejante a
AOC. Las funciones seno y coseno para α y β quedan de la siguiente manera:
En la figura podemos ver que BD = BE + AC y en las ecuaciones
anteriores que BE = AB cos α , AC = OA sen α , AB = OB sen β y OA
= OB cos β.
Por lo tanto,
para el coseno de α mas β, vemos que , OD = OC – DC
donde DC y AE tienen la misma longitud por lo tanto OD = OC – AE.
OC = OAcos α , AE = ABsen α, OA = OBcos β y AB = OBsen β.
Por lo tanto,
22
O
A
B
D C
E
a
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Tenemos entonces que
y
Seno y coseno de la diferencia de dos ángulos:
Recordemos que sen(-A) = -sen(A) y que cos(-A) = cos(A),
entonces la diferencia de los ángulos α y β la podemos tratar
como una suma: α- β α+(-β). De aquí que
y
Tangente y cotangente de la suma o la diferencia de dos
ángulos:
Como ya sabemos,
Entonces, , dividiendo
numerador y denominador por cosα cosβ tenemos
analogamente tenemos para la diferencia de ángulos que :
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL23
Para la cotangente usamos la identidad
De manera que ,
si dividimos por senα senβ obtenemos:
para cot(α-β) sustituimos cot(-β) por –cot β:
multiplicando numerador y denominador por (-1 ) se obtiene
Fórmulas de suma o diferencia de dos ángulos
FÓRMULAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES
Funciones de ángulo doble ( 2α ):
Si tomamos el ángulo doble 2α como la suma α + α, tendremos
que:
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de la segunda identidad: , si sustituimos
tendremos , y
despejando cos α:
ó
tambien, sustituyendo cos2α por 1 – sen2α, obtenemos la ecuación
, y despejando sen α:
ó
y
Funciones del ángulo :
Si tenemos un ángulo A = ó 2A = α, tal que
, y ,
sustituyendo A y 2A por sus equivalentes de α.
Funciones del ángulo α si conocemos las funciones de :
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL25
Considerando el ángulo A = ó 2A = α, tenemos:
ó
ó
ó
OTRAS IDENTIDADES
Hemos visto que
sumando y restando término a termino ambas igualdades
tenemos
si hacemos que A=α+β y B=α-β tal que A+B=2α y A-B=2β,
de donde sustituyendo en las
ecuaciones anteriores
haciendo el mismo tratamiento con la función coseno
sumando y restando término a termino ambas igualdades
tenemos
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sustituyendo para A y B en las ecuaciones anteriores
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL27
Ejemplos:
1. Comprobar que y que
2. comprobar que
3. comprobar que
sabemos que
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M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL29
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Una ecuación trigonométrica es una igualdad algebraica
entre razones trigonométricas de un mismo ángulo, que se
satisface para determinado valor o valores del ángulo.
Por ejemplo, para encontrar los valores positivos menores de
360° ó 2π rad para la ecuación
Resolvemos para x ( o para una función de x)
sabemos que el período de la función tangente es π radianes,
entonces para . Para ángulos positivos
menores de 2π radianes las soluciones son:
radianes.
Resolver la ecuación 4 sen2x + 8 cos x = 7
Usamos la identidad
Resolvemos para cos x: 4 cos2x -8 cos x + 3 = 0
las soluciones para cos x serían:
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la primera solución no es posible para ningún valor de x
mientras que cos x = 0.5 en valores de x hasta 2π radianes es
para radianes.
EJERCICIOS
Comprobar las siguientes identidades:
1.
2.
3.
4.
5.
Resuelva las ecuaciones para ángulos positivos menores de 2π
radianes.
1. 2 sen x = sen 2x
2. tan x + tan 2x = tan 3x
3. 3 sen x – cos 2x = 1
4. 3 sen x + 4 cos x = 5
5.
6. resuelva el siguiente sistema:
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL31
APÉNDICE A – LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS
a
b
c
B
A
C
H
LEY DE SENOS
Sea el segmento H perpendicular al segmento C, entonces:
H=B sen a como tambien H=A sen b por lo tanto
B sen a = A sen b ó
sen a / A = sen b / B
a
b
c
B
A
C
H
LEY DE COSENOS
Sea el segmento H perpendicular al segmento C, donde
C = C1 + C2
C1= B cos a y
C2= A cos b
C1
C2
Por el teorema de Pitágoras tenemos que y depejando H2 e igualando:
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como entonces :
resolviendo el siguiente sistema para C1 y C2
, Sumando y restando: ¨
sustituyendo C1 = B cos a y C2 = A cos b de donde
de forma análoga tendremos:
M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ M.C MARIO S. AVILA SANDOVAL33
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