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AC 7
CB 4
Tema 2 Dado el vector r que decide el segmento AB en la razón Encontrar los valores de x y y para los que la ecuación o la identidad es una proposición verdadera.
r = x a + y b
AB = AC + CB
AC = CB ó CB = AC
b = a + AB
r = a + AC
y AB = AC + AC
AB = A C b = a + AC
AC = b - a
AC = ( b – a )
r = a + b - a
A
CB
a
b
r
7
4
4
7
1
2
3
4
1 2
4
7
11
73
11
7
11
7 7
11
AC = b - a 11
7
7
114
7
11
7
11
r = a - a - b
r = a - b
r = x a + y b
7
11
7
11
4
11
7
11
X = 4
11y =
7
11
Tema 3 El siguiente gráfico muestra la variación de la velocidad v con respecto al tiempo t de un objeto moviéndose en línea – recta
La pendiente de un grafico m = 0 V vs t nos da la aceleración
¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor el cambio de la aceleración a con respecto al tiempo t?
A. B.-
C.- D.-
En el punto 1 la pendiente m(+) nos da una aceleración a (+), después de un tiempo t la pendiente se hace cero, por lo tanto la aceleración se hizo dero instantáneamente. En el punto 3 la pendiente negativa nos da una aceleración negativo. Del punto 1 al punto 2, la pendiente disminuye, la aceleración disminuye, del punto 2 al punto 3 la pendiente aumenta en forma negativa, por lo tanto la aceleración aumenta en forma negativa.
0
0
V
t
a
0
0
t
a
t0
0
a
0
0
a
t0
0
2
m(+) m(-)
1
3
T1=100 aA
WB – T2= mB aB
Tema 4Los dos bloques mostrados en la figura parten del reposo. El plano horizontal y la polea no tienen rozamiento y se supone que la polea es de masa despreciable. Determínese la aceleración de cada bloque y la tensión en cada cuerda.
XB= ½ XA
Vat + ½aBt2 = ½ (Vat + ½ aAt2 )AB = ½ aA
ΣFx = mA aA
ΣFy = mB aB
WB – T2 = mB ( ½ aA )
WB – T2 = mB /2 aA
2940 - T2 = 150 aA
A
NA
T1
WA= mAG
B
1
2T2
WB= mBG
WB= 240N3
ΣFy = 0
2 T1 = T2
2940 – T1 = 150 aA ( /2)
1470 – T1 = 75 aA
1470 - T1 = 75 aA
+ = + T1= 100 aA
1470 // = 175 aA
aA = 1470 / 175 m/ s2
aA = 8.4 m/ s2 ; aB = ½ ( 8.4 m/ s
2) ; aB = 4.2 m/s2
T1 = 100 (8.4) T2 = 2 (840)
T1 = 840N T2 = 168 N
C
T1 T1
T2
4
4 1
Tema 5¿Qué velocidad mínima debe tener la bola de masa m en el punto A para que pueda llegar hasta el punto B siguiendo la trayectoria curva (es decir, describiendo un arco de circunferencia de radio R) de la figura, sin desprenderse y suponiendo que no hay rozamiento en ningún punto de la trayectoria. Al final sustituye h= 1.5 R para obtener la velocidad pedida en función de g y R.
Conservación de la Energía
EA = E1 E1 = EB
½ mVA2 = ½mV12 + mgh ½ mV12 = ½m VB2 + mgR
Para que la velocidad de A sea minima la normal en el punto B tiene que ser cero. Para hallar la velocidad de B Usamos movimiento circular.
Reemplazamos en la ecuación
A 1 1 B
VA2 = V12 + 2gh1 2 V12 = VB2 + 2gR
mg
N
R ( +)
Σf = m Ac
mg + N = m VB2 / R
mg= mVB2 / R
VB2 = Rg
VB = √Rg
2 3
3
V12 = Rg + 2Rg
V12 = 3Rg
Reemplazamos en la ecuación
VA2 = 3Rg + 2gh
h= 3/2 R
VA2 = 3Rg + 2g (3/2)R
VA2 = 3Rg + 3Rg
VA2 = 6Rg
VA= √6 Rg
4 1
4
Tema 6
Una barcaza con masa 1.50 X 105 kg, avanza rio abajo a 6.20 m/s entre niebla espesa, cuando choca de costado contra otra que cruza el rio horizontalmente. La segunda barcaza tiene una masa de 2.78 X 105 kg y se desplazaba a 4.30 m/s. Inmediatamente después del impacto, su curso se desvia 18.0º rio abajo y su rapidez aumenta a 5.10 m/s. La corriente era prácticamente cero en el momento del accidente. ¿Qué rapidez y dirección de movimiento tendrá la primera barcaza de inmediato después de la colisión?
Lo que sabemos
La conservación del momento, se exige
Esto corresponde a una velocidad de
Que tiene una magnitud de 3.43 m/s dirigido 170 a la derecha
Tema7
Una escalera uniforme que pesa 200N esta reclinada contra una pared. La escalera se desliza cuando Ѳ = 60°. Suponiendo que los coeficientes de fricción estática entre la pared y el suelo son los mismos, obtenga un valor para µ
ΣT1 = 0 +
N2 L Sen60° + fs2 L Cos 60° - We L/2 Cos 60° = 0
N2 Sen60° + fs2 Cos 60° = We /2 Cos 60°
N2 Sen60° + US N2 Cos 60° = W2 Cos 60°
N2 Sen60° + US N2 Cos 60° = 2002 Cos 60°
N2 (√32 )+ US N2 (1/2) = 100(1/2)
Fs1
N2
N1
fs2
We= 200N
1
2
L
L/2 Cos 60°
We
L/2 Cos 60°
√3 N2 + UsN2 = 100 = N2 (√3 + Us) = 100 N2= 100
√3U s
ΣL2 = 0 +
N1 (L Cos60°) - fs1 (L Sen 60°) - W (L/2 Cos 60°) = 0
N1 Cos60° - fs1 Sen 60° - W /2 Cos 60° = 0
N1 Cos60° - Us1 N1 Sen 60° = W /2 Cos 60°
N1 Cos60° - Us1 N1 Sen 60° = 200 /2 Cos 60°
N1 (1/2) - Us1 N1 (√3/2) = 100 /2 (1/2)
N1 - √3 Us1 N1 = 100 = N1 ( 1 - √3 Us ) = 100 = N1= 100/( 1 - √3 Us )
Σfx = 0
N1 + fs2 = W
Σfy = 0
N2 = fs1
N2 = UsN1
100√3+Us
= Us ( 100
1−√3Us)
1 - √3Us = Us (√3 + Us )
1 - √3 + Us = √3 Us + Us2
0 = Us2 + √3 Us +√3 Us -1
0 = Us2 + 2 √3 Us -1
Us2 + 2 √3 Us -1 = 0
Us= −2√3±√2(√3)2−4 (1 )(−1)2(1)
Us= −2√3±42
Us= −√3±2
Us= 0.268
Tema 8
Un anillo de cobre de 21.6 g tiene un diámetro de 2.54000 cm a la temperatura de 0 oC. Una esfera de aluminio tiene un diámetro de 2.54533 cm a la temperatura de 1000 C La esfera se situa sobre el anillo, y se deja que ambos lleguen al equilibrio térmico, sin que se disipe calor alguno al entorno. La esfera pasa justamente a través del anillo a la temperatura de equilibrio. Halle la masa de la esfera
1000C
2.54000cm
00CCu
2.54533cm CCU= 387 J/KgK
CAl= 900 J/KgK
2.54000cm
2.54533cm
αCU= 17X 10-6/°C
αAl= 23X 10-6/°C
Anillo Esfera
m= 21.6g m=?
d= 2.54cm; T=0oC d=2.54533cm; T=100oC
QAnillo + QEsfera = 0
MCu CCu ΔT + MAl CAl ΔT = 0
MCu CCu(T – 0 ) + MAl CAl (T – 100) = 0
ΔAAnillo = ΔAEsfera Cuando alcanza la temperatura de Equilibrio : T
AfAnillo = AfEsfera
AOCu 1 + 2 αCu ( T – 0 ) = AOAl 1 + 2 αAl ( T – 100 )
π d2cu4
[1+2∝Cu❑T ] = π d2Al
4 [1+2∝ Al❑(T−100)]
d2 Cu (1 + 2 αCu T ) = d2
Al (1 + 2 αAlT – 200 αAl )
d2 Cu + 2 d2
CuαCuT = d2Al + 2 d2
Al αAlT – 200 d2
Al αAl
d2 Cu +200 d2
Al αAl - d2Al = 2 d2
Al αAlT – 2 d2
CuαCuT
(2.54)2 + 200 (2.54533)2 (23* 10-6) - (2.54533)2
2 (2.54533)2 (23* 10-6) -2(2.54)2(17* 10-6)
T= 34.2870C
QAnillo + QEsfera = 0
MCu CCu(T – 0 ) + MAl CAl (T – 100) = 0
Af =A0 ( 1 + 2 αAT)
T=
MAl CAl (T – 100) - MCu CCu(T – 0 ) = 0
MAl = - MCu CCuT
CAl (T - 100 )
MAl = - MCu CCuT
CAl (100 - T )
MAl = (21.6g) (387 J/KgK) (34.287)
(900 J/KgK) (100-34.287)
MAl= 4.85g
Tema 9
Un bloque de madera flota en el agua sobresaliendo de la superficie 5 cm. Cuando se pone en glicerina, de densidad relativa 1.35, sobresalen 7.5cm de la superficie del líquido. Determinar la densidad relativa de la madera
Agua Glicerina
h1+5=h2+7.5
Σfy=0 h1=h2+7.5-5
Σ H2O = W Σfy=0 h1= h2 +2.5
Σ G = w
Σ H2O = ΣG
H2O gVsumergidoH2O = G gVsumergidoGlicerina
H2O (Ah1) = G(Ah2)
H2O h1 = Gh2
(1)h1 = (1.35)h2
h1 = 1.35h2
=
h2 + 2.5 = 1.35 h2
2.5=1.35 h2 - h2
2.5= 0.35 h2
N
W
N
wH=h1+5H=h2+7.5
h1
5cm 7.5cm
h2
HH
2
1 2
h2= 2.5/0.35 = 7.14cm
h2 = 7.14cm
H = 7.14 +7.5
H = 14.64cm
Σ G = w
GgVs = Madera g Vmadera
GA h2 = MaderaAH
G h2/H = Madera
Madera = (1.35) (7.14cm) / (14.64cm)
Madera= 0.658cm
Tema 10Tres cargas de valores Q1 =2 µ, Q2 = 2 µ y Q3 desconocida, están en el plano XY en los puntos Q1: (1,0), Q2: (-1,0) y Q3: (0,2), en metros. Determinar el valor de Q3 para que la fuerza sobre una carga situada en (0,1) sea nula.
Q1 = Q2 = Q = 2uCr1= r2 = r
r = √2F1 =
KQqr 2
F2 = KQqr 2
F1 = F2 = F
F1 F2
F3Q2 Q1
Q3
(-1 , 0 ) (1 , 0 )(0 , 0 )
(0 , 1 )
(0 , 2 )
q
r r
45°45°
r
1
1
F3= KQ3
q
r32
r3= 1m
Σ F = 0
F1 + F2 + F3 = 0
(F1 + F2 ) + F3 = 0
F1 + F2 = F3
√F2+F2 = F3
√2 F = F3
√2 KQqr 2
= KQ3
q
r32
√2Q Q3
(√2 )2 ( 1 )2
√2Q / 2 = Q3
Q3= √2 Q/ 2
Q3= √2 Q/ 2 (2UC)
Q3 = √2UC Q3 = 1.41 UC
F2F1
F3
F1 + F2
45° 45°
=
Soluciones
Tema 1
Un hito importante en la evolución del universo, justo después de la gran explosión es el tiempo planck tp. Cuyo valor depende de tres constantes fundamentales:Velocidad de la luz C = 3 x 108 m/sConstante de gravitación de Newton G= 6.67 X 10-11 m3/Kgs2
Constante de Planck h = 6.63 x 10-34 Kgm2/s
Haciendo que el tiempo de Planck dependa de estas constantes tp = ci Gj hk
donde i, j y k son exponentes a determinar, con base en un análisis dimensional.Escriba la expresión resultante, y encuentre el valor del tiempo Planck.
Unidad S. I. Dimensión
Longitud m L
Masa kg M
Tiempo s T
Rapidez m/s L/T
Aceleración m/s2 L/T2
Densidad kg/m3 M/L3
T = (L/T)i (L3/MT2)j (ML2/T)K
T= (Li / Ti ) (L3j/M jT2j) (Mk L2k/TK)
T= (Li +3j +2k M k-j) / Ti+2j+k
L°M°/ T-1 = (Li +3j +2k M k-j) / Ti+2j+k
1) i + 3j + 2k =02) i +2j + k =-13) k –j =0
k=j
Restamos 1 – 2
i + 3j + 2k =0i +2j + k =-1// j + k = 1
k + k = 1 2k =1 K= ½ = j
1) i + 3j + 2k =0i = -3j - 2k i = -3(1/2) - 2(1/2)i = -3/2 -1i = -3-2/2
i = -5/2
tp= c-5/2 G1/2 h1/2
tp= c-5 .1/2 G1/2 h1/2
tp=√❑Gh/c5
tp=√❑(6.67 * 10-11)(6.63*10-34)(3*10-8)
tp= 1.35 * 10-43 REG
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