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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
APLICACIÓN DE OPCIONES REALES PARA LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE SUSTENTABILIDAD ECOLÓGICA
T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA)
P R E S E N T A OSCAR IVÁN HERNÁNDEZ BAUTISTA
DIRECTOR: DR. MIGUEL FLORES ORTEGA CODIRECTOR: DR. FRANCISCO ALMAGRO VÁSQUEZ
MÉXICO D.F., MAYO DE 2010
Agradecimientos
A mis padres y a mis hermanos por el apoyo
incondicional que siempre me han brindado.
Al Dr. Miguel Flores Ortega por sus consejos
y ayuda en la elaboración de la presente tesis.
Al Instituto Politécnico Nacional por su contribución
en mi formación académica y humana.
i
ÍNDICE i
Índice de cuadros, gráficas y tablas iii
Glosario iv
Abreviaturas vi
Resumen vii
Abstract viii
Introducción ix
Capítulo 1. Energía eólica y desarrollo sustentable
1.1 El concepto de desarrollo sustentable 1
1.2 Energías renovables 2 1.3 Energía eólica 3 1.4 Ventajas de un campo eólico 3 1.5 Bonos de carbono 5 1.6 Participantes de los bonos de carbono 5 1.7 Valor de los bonos de carbono 6 1.8 El protocolo de Kioto 6
1.8.1 Historia del protocolo de Kioto 7 1.8.2 Anexos del protocolo de Kioto 8
Capítulo 2. Teoría de opciones financieras y teoría de opciones reales
2.1 Introducción a las opciones financieras 12 2.2 Clasificación y finalidad de los derivados 12 2.3 Tipos de opciones financieras 13 2.4 Opción de compra y opción de venta en la fecha de vencimiento 14 2.5 Delimitación de una opción de compra 16 2.6 Factores y efectos previsibles sobre los precios de las opciones de compra y de venta 17 2.7 Opciones reales 18 2.8 Opciones financieras frente a opciones reales 20 2.9 Proyectos de inversión desde la perspectiva de opciones reales 21 2.10Determinación del precio de una opción real 24
2.10.1 Opción real de expansión 24
ii
2.10.2 Opción real de permanencia 26
2.10.3 Opción real de abandono 26
Capítulo 3. El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein y el modelo de Black-Scholes para valuar opciones
3.1 El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein 28 3.2 El modelo binomial para un periodo 29 3.3 Casos de valuación 33
3.3.1 El precio de ejercicio es mayor que el movimiento al alza 33 3.3.2 El precio de ejercicio es menor que el movimiento a la baja 34 3.3.3 El precio de ejercicio se ubica entre los movimientos al alza
y a la baja 34 3.4 El modelo binomial de dos y más periodos 34 3.5 El modelo de Black y Scholes 36
Capítulo 4. Aplicación de la teoría de opciones reales en la valuación de un campo de energía eólica
4.1 Fases de desarrollo del proyecto 41 4.2 Análisis del proyecto 43 4.3 Aplicación del modelo binomial y Black y Scholes 43 4.4 Aportación de los bonos de carbono al proyecto eólico 50 Conclusiones 53
Bibliografía 56
Índice de cuadros Cuadro 2.1.- Posiciones básicas de las opciones 13 Cuadro 2.2.- Flexibilidad directiva 19 Cuadro 2.3.- Variables que determinan el valor de una opción 21 Índice de gráficas Gráfica 2.1.- Opción de compra 15 Gráfica 2.2.- Opción de venta 15 Gráfica 2.3.- Limite superior e inferior de una opción de compra 16 Gráfica 2.4.- Valor de una opción de compra en función del precio
de una acción 18 Gráfica 3.1.- Expansión binomial de un periodo, subyacente y
opción 30 Gráfica 3.2.- Expansión binomial para dos periodos del activo
subyacente 35 Gráfica 3.3.- Rama del segundo árbol binomial 36 Gráfica 4.1.- Valor del proyecto eólico con una opción de abandono 48 Gráfica 4.2.- Valor del proyecto eólico con una opción americana de
expansión 50 Índice de tablas Tabla 1.1.- Impacto ambiental por GWh generado de acuerdo a la tecnología utilizada 4 Tabla 1.2.- Países del anexo B del protocolo de Kioto 9 Tabla 2.1.- Factores sobre los precios de las opciones 17 Tabla 2.2.- Similitudes entre opciones reales y opciones financieras 23 Tabla 4.1.- Parámetros para el modelo binomial 44 Tabla 4.2.- Valor del proyecto eólico con una opción de abandono 47 Tabla 4.3.- Valor del proyecto a 10 años, con el modelo Black y
Scholes 48 Tabla 4.4.- Valores del proyecto eólico con una opción americana de
expansión 49 Tabla 4.5.- Valor presente neto con bonos de carbono 52
iii
Glosario
Activo subyacente. Activo que se toma de referencia y sobre el que se establecen los contratos de futuros y opciones.
Ejercicio de la opción. Se refiere al acto de comprar o vender el activo subyacente vía un contrato de opción.
Fecha de vencimiento. Se refiere a la fecha de madurez de la opción. Después de la fecha pactada la opción pierde vigencia.
Opción. Contrato que da al comprador el derecho, pero no la obligación de comprar o vender un activo llamado subyacente en la fecha y al precio pactado.
Opción americana. Contrato que da el derecho de comprar o vender un activo determinado y el derecho se puede ejercer en cualquier momento entre la suscripción y la fecha de vencimiento.
Opción europea. Contrato que da el derecho de comprar o vender un activo determinado y solo puede ejercerse en la fecha de vencimiento. Opción de abandonar. Corresponde al derecho y no la obligación de abandonar un proyecto en una fecha o en un lapso acordado y el valor de rescate que corresponde al precio de ejercicio de una opción tipo americana.
Opción de ampliación. Corresponde al derecho más no la obligación de ampliar el proyecto, lo que ocurre en el caso de que las condiciones del mercado indiquen un valor mayor que el previsto, se tiene la oportunidad de ampliar el proyecto. Es similar a una opción de compra americana.
Opción de compra. Contrato que da a su tenedor el derecho más no la obligación de comprar un activo a un determinado precio de ejercicio en cierto tiempo tras haber pagado una prima.
Opciones compuestas. Es el derecho más no la obligación de ejecutar más de una opción, es posible ampliar, reducir o abandonar proyectos, es posible
iv
acordar más de un tipo de opción, que permite adaptarse a la nueva información obtenida del mercado. Opciones de crecimiento. Corresponde al derecho de ejecutar proyectos posteriores basados en el proyecto inicial. Opción de diferir. Es el derecho, no la obligación de postergar la ejecución es equivalente a tener una opción de compra en el proyecto.
Opciones secuenciales. Es un derecho en proyectos en los que existe una inversión secuencial, se permite abandonar el proyecto en el caso de que la información se va revelando en el proceso de desarrollo no sea positiva.
Opción de venta. Contrato que da a su tenedor el derecho más no la obligación de vender un activo a un precio de ejercicio en una fecha predeterminada, tras haber pagado una prima que corresponde al precio del contrato.
Precio de ejercicio o precio pactado. Es el precio fijo que establece el contrato de la opción, al cual el tenedor puede comprar o vender el activo subyacente.
Sustentabilidad. Es aquel sistema económico, ecológico y social capaz de sostenerse a si mismo, sin atentar en contra de su existencia futura y/o de las generaciones futuras.
Sustentabilidad ecológica. Es la capacidad de un sistema de mantener su estado en el tiempo, manteniendo para ello los parámetros de volumen, tasas de cambio y circulación invariables o haciéndoles fluctuar cíclicamente entorno a valores promedio.
Sustentabilidad económica. Se liga al concepto de renta de Hicks, que corresponde a la cantidad máxima que un individuo puede consumir en un periodo determinado de tiempo sin reducir su consumo en un periodo futuro.
Sustentabilidad social. Es cuando los costos y los beneficios son distribuidos de manera adecuada tanto en el total de la población actual como en el de la población futura, los agentes sociales y las instituciones desempeñan un papel muy importante en el logro del desarrollo sustentable.
v
Abreviaturas BS: Black y Scholes
CO2: Dióxido de Carbono
CER: Certificado de Emisiones Reducidas
CFE: Comisión Federal de Electricidad
GEI: Gases de Efecto Invernadero
IPCC: Grupo Intergubernamental de Expertos Sobre Cambio Climático
MDL: Mecanismo de Desarrollo Limpio
OCDE: Organización de Cooperación para el Desarrollo Económico
RCE: Reducción Certificadas de Emisiones
ROV: Valor de la Opción Real
RCE: Reducciones Certificadas de Emisión
SENER: Secretaria de Energía
VPN: Valor Presente Neto
vi
Resumen La presente investigación aborda la teoría de opciones reales y analiza la
utilización del modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein para determinar el
valor de las opciones reales de expansión y abandono, que se presentan en
los proyectos de inversión, se realiza la revisión del estado del arte y la teoría
propuesta de Lenos Trigeorgis, por otro lado se parte de los conceptos
fundamentales de sustentabilidad ecológica y los acuerdos suscritos en el
protocolo de Kioto de 1997 como mecanismo de conservación y cuidado del
medio ambiente para establecer la vinculación con los bonos de carbono y
aplicarlos en la valuación de proyectos de inversión sustentables.
La teoría de opciones reales resulta ser una herramienta indispensable para
proyectos de inversión cuando se incorpora el valor de las decisiones durante
la ejecución y operación del proyecto porque representa un valor intrínseco
que la metodología tradicional de valuación de proyectos por medio del valor
presente neto no considera, subvaluando de esta forma la oportunidad de
invertir.
De forma empírica se corrobora la teoría al analizar el caso real de la
valuación de un proyecto de generación eólica de la Comisión Federal de
Electricidad del que se tiene la información, los resultados muestran cómo
cambia el valor del proyecto a lo largo del tiempo conforme cambia el valor
de los parámetros y conforme cambian las condiciones existentes en el
mercado, se destaca como la metodología del valor presente neto
infravalora el proyecto de inversión al no considerar los cambios que
pudiesen sufrir los factores relevantes en la determinación del valor del
proyecto al ejercer las opciones reales a través del tiempo.
vii
Abstract
This research focuses on real option theory and analyzes the use of the
binomial model of Cox-Ross-Rubinstein to determine the value of real options
expansion and abandonment that they have the investment projects, is done
reviewing the state of art and theory proposal Lenos Trigeorgis, on the other
side of the fundamental concepts of ecological sustainability and the
agreements signed in the 1997 Kyoto Protocol as a mechanism of
conservation and environmental care for bonding with carbon credits and
apply them in the valuation of investment projects sustainable.
The real options theory turns out to be an indispensable tool for investment
projects when it incorporates the value of the decisions during implementation
and operation of the project because it represents an intrinsic value that
traditional valuation methodology of projects through the net present value
does not consider thus underestimating the opportunity to invest.
By empirical analysis corroborates the theory to the real case of the valuation
of wind generation project of the Federal Electricity Commission to have the
information, the results show how the project's value changes over time as it
changes the value of the parameters and conditions change in the market,
stands out as the net present value methodology underestimates the
investment project by not considering changes that could suffer the relevant
factors in determining the value of the project to exercise real choices over
time.
viii
Introducción La sustentabilidad es un concepto que al principio de la década de los años
setenta adquiere una significativa relevancia cuando la defensa del medio
ambiente se convirtió en uno de los temas más importantes de las campañas
y agendas políticas en distintos países.
Se conoce como energía renovable aquella cuya fuente de obtención se
renueva constantemente, poniéndose a disposición de forma periódica. Las
energías no renovables son, como su nombre lo indica, las que no se
renuevan o que tienen períodos de renovación relativamente largos, y se
conoce como energía alternativa a cualquier fuente de energía diferente que
sea capaz de suplir a las energías o fuentes energéticas actuales, ya sea por
su menor efecto contaminante o, fundamentalmente, por su posibilidad de
renovación.
El problema central que aborda el trabajo es incorporar la gran incertidumbre
que existe en el mundo real derivada del entorno económico que afecta a la
evaluación de proyectos de inversión y los supuestos que los sustentan, las
metodologías tradicionales para la evaluación de proyectos no permiten
incorporar. La aparición de la teoría de opciones reales abre nuevas
posibilidades en el análisis de proyectos de inversión porque permite
incorporar cambios en el escenario económico a lo largo del tiempo y
condiciones cambiantes y evalúa la toma de decisiones estratégicas a lo
largo de la vida de los proyectos, lo que establece un nuevo paradigma en la
valuación de proyectos de inversión.
El objetivo de este trabajo es probar empíricamente que la aplicación de la
teoría de opciones reales a un caso real permite analizar el efecto de
ix
incorporar en la valuación de proyectos de inversión, decisiones estratégicas
de la aplicación de bonos de carbono para la sustentabilidad ecológica, más
precisamente se incorporan las opciones reales de expansión y abandono en
la valuación del desarrollo de un campo eólico y mostrar la diferencia con
respecto a la valuación de proyectos con el valor presente neto. Se encontró
que el método de opciones reales es una mejor alternativa cuando se
incorporan condiciones cambiantes a lo largo del tiempo que se tiene para
tomar una decisión financieramente más viable como expandir o abandonar
un proyecto de inversión.
La hipótesis busca probar que la aplicación de la teoría de opciones reales
para la valuación de proyectos de inversión es una mejor alternativa ya que
permite incorporan condiciones cambiantes en la evaluación a lo largo de la
vida del proyecto, entonces, la aplicación de la teoría de opciones reales
permite una mayor proximidad a la realidad y, por lo tanto, es una mejor
alternativa para la valuación de proyectos de inversión con flexibilidad en la
toma de decisiones.
La investigación se reporta en cuatro capítulos a los que les precede una
introducción que establece la justificación del tema, el objetivo que se
persigue y la hipótesis que se busca probar, al final se incluye un apartado de
conclusiones donde se destacan las principales observaciones de la
investigación y la aportación del trabajo, así como las recomendaciones para
ampliar el tema.
En el primer capítulo se realiza la revisión conceptual de los aspectos
esenciales de la sustentabilidad y las características que requiere un campo
eólico. En el segundo capítulo se desarrolla el marco teórico de las opciones
financieras y el de las opciones reales para concluir con una comparación y
x
comprensión para su aplicación, el capítulo tres presenta el desarrollo del
modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein para compararlo con el modelo de
Black y Scholes, en el capítulo cuatro se presenta el análisis del proyecto de
inversión en un parque eólico de la Comisión Federal de Electricidad para
mostrar la diferencia en la aplicación de las metodologías estudiadas, por
último se incorpora un apartado de conclusiones destacando las principales
aportaciones del trabajo. El caso de estudio real muestra el efecto del
análisis en la evaluación del campo eólico la Venta III que actualmente está
en proceso de construcción, donde se muestra el efecto de incorporar el
análisis de opciones reales.
xi
1
CAPÍTULO 1. Energía eólica y desarrollo sustentable
El propósito de este capítulo es describir los conceptos teóricos sobre la
sustentabilidad ecológica, las energías alternativas y el valor que tiene la
conservación de los recursos naturales, adicionalmente se analiza la ventaja
que representa el uso de la energía eólica para la producción de electricidad.
1.1 El concepto de desarrollo sustentable
La Comisión de Medio Ambiente de la ONU en 1987 emitió un documento
titulado Nuestro futuro común, conocido con el nombre de Informe Brundtland,
por el apellido de la doctora que encabezó la investigación, en este texto se
define el concepto de desarrollo sustentable, como aquel que satisface las
necesidades actuales sin poner en peligro la capacidad de las generaciones
futuras para satisfacer sus propias necesidades. En la década de los noventa
se extiende el concepto de desarrollo sustentable y se especifican sus tres
principales componentes: ecológico, económico y social. Las cuales se definen
como preservación del mundo natural por sí mismo, eficiencia y satisfacción del
mundo natural por sí mismo y justicia distributiva respectivamente.
Desde el punto de vista académico, el concepto de sustentabilidad se divide en
tres vertientes. La sustentabilidad ecológica: Es la capacidad de un sistema de
mantener su estado en el tiempo, manteniendo para ello los parámetros de
volumen, tasas de cambio y circulación invariables o haciéndoles fluctuar
cíclicamente entorno a valores promedio (Giglo, 1987). La sustentabilidad
económica, se liga al concepto de renta de Hicks (Hicks, 1945), que
corresponde a la cantidad máxima que un individuo puede consumir en un
periodo determinado de tiempo sin reducir su consumo en un periodo futuro
(Hicks, 1945). Por último la sustentabilidad social, es cuando los costos y los
beneficios son distribuidos de manera adecuada tanto en el total de la población
actual como en el de la población futura, los agentes sociales y las instituciones
2
desempeñan un papel muy importante en el logro del desarrollo sustentable
(Cernea, 1993).
La sustentabilidad es un concepto que al principio de la década de los años
setenta adquiere una significativa relevancia cuando la defensa del medio
ambiente se convirtió en uno de los temas más importantes de las campañas y
agendas políticas en distintos países. En junio de 1972, durante la conferencia
de las Naciones Unidas sobre el medio ambiente humano que se celebró en
Estocolmo, Suecia, crece la convicción de que se atraviesa por una crisis
ambiental a nivel mundial, y a partir de esta fecha, donde se reunieron 103
Estados miembros de las Naciones Unidas y más de 400 organizaciones
gubernamentales, se reconoció que el medio ambiente es un elemento
fundamental para el desarrollo humano, y bajo esta perspectiva se iniciaron
programas y proyectos que trabajarían para construir nuevas vías y alternativas
con el objetivo de enfrentar los problemas ambientales y, al mismo tiempo,
mejorar el aprovechamiento de los recursos naturales para las generaciones
presentes y futuras. Este hecho muestra el desarrollo de nuevas tecnologías
para el aprovechamiento integral de la energía y se desarrollan nuevos
mecanismos para la generación de energías, como las renovables.
1.2 Energías renovables
Se conoce como energía renovable aquella cuya fuente de obtención se
renueva constantemente, poniéndose a disposición de forma periódica. Las
energías no renovables son, como su nombre lo indica, las que no se renuevan
o que tienen períodos de renovación relativamente largos. Se conoce como
energía alternativa a cualquier fuente de energía diferente que sea capaz de
suplir a las energías o fuentes energéticas actuales, ya sea por su menor efecto
contaminante o, fundamentalmente, por su posibilidad de renovación.
En México se asume que entre las principales energías renovables se
encuentran la energía solar, la energía eólica, la energía hidráulica, la energía
3
mareomotriz, la energía geotérmica y la energía obtenida de la biomasa. Para
los efectos de la investigación sólo se considera a la energía eólica.
1.3 Energía eólica
La energía eólica es una de las principales energías alternativas, esta se
obtiene de la energía cinética proporcionada por el viento, este viento que se
genera por el calentamiento de la superficie terrestre, que no es uniforme, el
aire caliente se eleva y el aire frío ocupa su lugar en la superficie, generando
así las corrientes de aire que dan principio a la energía eólica, esta tiene una
baja densidad energética, por lo que se requiere de la instalación de un gran
número de generadores de electricidad los cuales en su conjunto dan lugar a lo
que se conoce como un parque eólico o granja de viento.
Los dispositivos que generan electricidad a partir de la energía eólica son los
aerogeneradores, que consisten de equipos mecánicos de rotación provistos de
hélices conectadas al generador eléctrico con el eje alineado al sistema motriz,
el generador eléctrico utilizado es un dinamo o un alternador, la producción es
errática y sigue el comportamiento del viento. Una mejora es cuando se
acumula energía en otra forma, para aprovecharla en los periodos de tiempo sin
viento. La energía eólica se obtiene a partir de la energía mecánica que se toma
del viento y por tanto es directamente utilizable, al terminar la vida útil de un
aerogenerador se puede sustituir y continuar utilizando la infraestructura. Dentro
de sus ventajas es que no contamina, lo cual favorece al medio ambiente, la
generación de energía eléctrica sin utilizar una fuente de combustión, además
de no producir gases tóxicos y no participa en el efecto invernadero, por otro
lado se utiliza una fuente de energía inagotable.
1.4 Ventajas de un campo eólico
Un campo eólico o granja de viento tiene como ventaja que produce energía
eléctrica limpia, no genera contaminantes, y es una alternativa al uso de
4
combustibles fósiles, es una energía renovable, que no se agota porque
siempre habrá viento, no requiere de un proceso de combustión que produce
dióxido de carbono (CO2), por lo que no contribuye al incremento del efecto
invernadero, puede instalarse en espacios no aptos para otros fines, por
ejemplo en zonas desérticas, próximas a la costa, en laderas áridas y muy
empinadas para ser cultivables, puede convivir con otros usos del suelo, por
ejemplo pastizales para uso ganadero o cultivos tradicionales como trigo, maíz,
papa, es utilizable en todo lugar en donde exista un nivel adecuado de viento,
determinado a través de un estudio de la zona. Una ventaja significativa que
adquiere el proyecto de un campo eólico después de firmarse el protocolo de
Kioto, es que al ser un proyecto de energía limpia tiene la posibilidad de obtener
recursos a través de la venta de bonos de carbono. En la tabla 1.1 se presenta
un comparativo del impacto ambiental de acuerdo a las distintas tecnologías de
producir electricidad.
.
Fuente de energía CO2 NO2 SO2 PARTÍCULAS CO HIDROCARBUROS
RESIDUOS NUCLEARES TOTAL
Carbón 1.058,2 2.986 2,971 1,626 0,267 0,102 - 1.066,1
Gas Natural(ciclo combinado) 824 0,251 0,336 1,176 NA NA - 825,8
Nuclear 8,6 0,034 0,029 0,003 0,018 0,001 3,641 12,3
Fotovoltaica 5,9 0,008 0,023 0,017 0,003 0,002 - 5,9
Biomasa 0 0,614 0,154 0,512 11,361 0,768 - 13,4
Geotérmica 56,8 NA NA NA NA NA - 56,8
Eólica 7,4 NA NA NA NA - 7,4
Solar Térmica 3,6 NA NA NA NA NA - 3,6
Hidráulica 6,6 NA NA NA NA NA - 6,6,
Tabla 1.1 Impacto ambiental por GWh generado de acuerdo a la tecnología utilizada para producir electricidad.
Co
Fuente: US Departament of Energy, Council for Renewable Energy Education y AEDENAT. NA: No aplica. Nota: Los valores consideran también las emitidas durante el periodo de construcción de los equipos.
Co
5
1.5 Bonos de carbono
Los bonos de carbono son un mecanismo internacional para reducir las
emisiones contaminantes al medio ambiente y es uno de los tres mecanismos
propuestos en el Protocolo de Kioto para la reducción de emisiones causantes
del calentamiento global o efecto invernadero. El sistema ofrece incentivos
económicos para que las empresas privadas contribuyan a la mejora de la
calidad del medio ambiente. El acuerdo considera regular la emisión generada
por los procesos productivos, el derecho a emitir CO2 como un bien canjeable y
con un precio establecido en el mercado. Un bono de carbono representa el
derecho a emitir una tonelada de dióxido de carbono, en un rango que denota
eficiencia en la producción para mitigar la generación de gases de efecto
invernadero, se beneficia a las empresas nuevas que reducen la emisión de
contaminantes. Cada empresa tiene derecho a una cantidad que puede vender
en el mercado a las empresas que emiten más de lo permitido.
1.6 Participantes de los bonos de carbono
Los países que pueden participar en el mercado de bonos de carbono son
aquellos que firmado el protocolo de Kioto y posteriormente lo ratificaron, estos
países se denominan desarrollados y la lista el acuerdo lo refiere en su anexo,
estos países tienen el derecho a comprar los bonos de emisiones de carbono
para cumplir con su compromiso de reducción de emisiones, los bonos los
compran a los países en vías de desarrollo que cuentan con certificados de
reducción de emisiones de carbono.
EL protocolo permite que participen tanto proyectos públicos como privados en
el mercado de carbono. Las empresas contaminantes compran el permiso de
emisiones hasta un nivel determinado, al superar este nivel, las empresas
deben pagar una multa ó adquirir derechos de emisión a las empresas que han
reducido las emisiones a las que tienen derecho.
6
1.7 Valor de los bonos de carbono
Todas las operaciones de compra y venta en el mercado de bonos de carbono
están regidas por un contrato entre comprador y el vendedor. Es decir, no hay
un valor oficial sobre el precio de una tonelada reducida de CO2 ó no emitida. Y
aún cuando algunas agencias multilaterales han establecido precios para la
reducción de emisiones en proyectos financiados por ellas mismas, por ejemplo
hasta el año del 2005 el Banco Mundial empleaba un precio de US $5 dólares
por tonelada de CO2 equivalente no emitida, el precio de la tonelada de CO2
está sujeto a la oferta y la demanda de bonos de carbono en el mercado.
Existen diferentes esquemas para el comercio de bonos de carbono, y
diferentes sitios en el mundo donde se pueden comprar y vender. De tal
manera, los precios son diferentes por cada tonelada de CO2. Así por ejemplo
se tiene que en el Chicago Climate Exchange que entró en operación desde
diciembre del 2003, el precio ha fluctuado desde $0.90 hasta los $2.10 dólares
por tonelada de CO2 (manual protocolo de Kioto 2006, datos del 2005), y en el
mercado europeo el European Climate Exchange Carbón que entró en
operación desde abril de 2005, el precio ha fluctuado entre $6.40 y $19.70
euros por tonelada de CO2 (datos a junio de 2005).
En el 2009 el metrobús de la Ciudad de México, permitió la reducción de 34,472
toneladas de CO2 y de otros contaminantes, produciendo así reducciones de
emisiones de gases de efecto invernadero y esas reducciones las ha venido
vendiendo el gobierno del D.F., según lo estipulado en el Protocolo de Kioto, del
cual recibió y recibe al año un cheque de 121,000 euros (CNN expansión.com,
12 de octubre de 2009).
1.8 El protocolo de Kioto
El protocolo de Kioto tiene como objetivo reducir la emisión de los gases
contaminantes de efecto invernadero que dan origen a un calentamiento
paulatino del planeta, estos gases están delimitados a seis: dióxido de carbono,
7
metano, óxido nitroso, hidrofluorocarbonados, perfluorocarbonados y
hexafluoruro de azufre (Manual sobre el protocolo de Kioto, 2005).
Con la limitación o reducción de los gases que produce el efecto invernadero se
pretende, asegurar que el desarrollo prosiga de manera sostenible de forma tal
que se satisfaga las necesidades del presente sin comprometer las
necesidades de las generaciones futuras, tal y como define el Informe
Brundtland bajo el título “ “Nuestro Futuro Común”.
1.8.1 Historia del protocolo de Kioto
La preocupación mundial sobre el deterioro de la atmósfera se ha reflejado en
una serie de foros, entre los que destacan, el de 1972, la conferencia de las
Naciones Unidas sobre el medio ambiente humano de 1979, la primera
conferencia mundial sobre el Clima, creándose en 1983 la comisión mundial
sobre el medio ambiente y el desarrollo y, en 1988, el grupo intergubernamental
de expertos sobre cambio climático. La convención marco de las Naciones
Unidas sobre el cambio climático, fue la primera medida internacional para
tratar el problema, se adoptó en mayo de 1992 y entró en vigor en marzo de
1994. El acuerdo obligaba a todos sus miembros a establecer programas
nacionales de reducción de las emisiones de GEl y a presentar informes
periódicos sobre el tema, además de exigir a los países industrializados,
aunque no a los países en vías de desarrollo, la estabilización de sus emisiones
de gases de efecto invernadero en el año 2000, a un nivel equivalente al de
1990.
En 1994 se reconoció que los compromisos iniciales de la convención marco de
las Naciones Unidas sobre el cambio climático no bastarían para atajar el
aumento mundial de las emisiones de GEl, por lo que el 11 de diciembre de
1997, los gobiernos dieron un paso más y adoptaron un protocolo en la ciudad
de Kioto. Partieron de la convención marco de las Naciones Unidas sobre el
8
cambio climático, el protocolo de Kioto establece límites jurídicamente
vinculantes a las emisiones de GEl en los países industrializados y, al mismo
tiempo, contempla mecanismos de ejecución innovadores basados en el
mercado, cuyo objeto es mantener los costos de limitar las emisiones tan bajos
como sea posible. El protocolo de Kioto es la continuación o consecuencia de la
convención marco sobre cambio climático, en donde se inscribe, ya una mayor
definición de objetivos, políticas, obligaciones y normas de aplicación.
1.8.2 Anexos del protocolo de Kioto
El protocolo de Kioto se divide en dos anexos. El anexo A se enfoca a los seis
gases de efecto invernadero y a las actividades sujetas al protocolo. Los gases
de efecto invernadero, son el dióxido de carbono, el metano, el óxido nitroso,
los hidrofluocarbonados, los perfluocarbonados y hexafluoruro de azufre. Las
actividades que producen estos gases son prácticamente todas las actividades
industriales, de servicios, agricultura, entre otras, que se describen a
continuación: Las actividades relacionadas con la producción o transformación
de energía, quema de combustibles para la manufactura, construcción,
transporte, combustibles sólidos, petróleo y gas natural, entre otros. Los
procesos industriales son los grandes productores de gases en la extracción y
procesamiento de producto mineral, la industria química, la producción y
manipulación de metales, producción de halocarbononados y hexafluoruro de
azufre, consumo de halocarbonos y hexafluoruro de azufre, entre otros.
Una contaminación importante surge de la utilización de disolventes y otros
productos en la agricultura para la fermentación entérica, el aprovechamiento
del estiércol, el cultivo del arroz, suelos agrícolas, quema en el campo de
residuos agrícolas, entre otros. El manejo de desechos como la eliminación de
sólidos en la tierra, tratamiento de las aguas residuales, incineración de
desechos, entre otros. El anexo B del protocolo de Kioto se refiere a los países
9
y a los compromisos cuantificados de limitación ó reducción de las emisiones en
porcentaje del nivel del año o período base. En total son 38 países, más la
Unión Europea como conjunto. En este anexo figuran los países comprometidos
a una reducción de emisiones de GEI.
Fuente: Manual sobre el protocolo de Kioto (2005).
Para aquellos que no les resulte viable la reducción de emisiones para alcanzar
los valores asignados, cuentan con mecanismos flexibles que les permiten
compensar sus deficiencias como: Los proyectos de aplicación conjunta el cual
es un mecanismo por el que se facilita a países industrializados el cumplimiento
de parte de sus compromisos de reducción de emisiones mediante proyectos
de reducción de emisiones en otros países industrializados sujetos en los
acuerdos de Kioto. Bajo este mecanismo, un país industrializado que pertenece
al acuerdo puede poner en práctica un proyecto de reducción de emisiones por
ejemplo, un plan de eficiencia energética ó de eliminación de emisiones como
un proyecto de reforestación en otro país que suscribió el acuerdo y este
País Objetivo 2008-2012 sobre 1990(*)
U.E. (*), Bulgaria, República Checa, Estonia, Letonia, Liechtenstein, Lituania, Mónaco, Rumania, Eslovaquia, Eslovenia, Suiza. -8%
E.U.A. (***) -7%
Canadá, Hungría, Japón, Polonia -6%
Croacia -5%
Nueva Zelanda, Rusia, Ucrania 0%
Noruega 1%
Australia 8%
Islandia 10%
(*) Los 15 Estados miembros de la UE redistribuyen su objetivo conjunto entre ellos mismos, asumiendo el compromiso de Kioto como una burbuja. (**) Algunos países han tomado como año de referencia o base otro distinto de 1990. (***) E.U.A., ha anunciado que no tiene intención de ratificar el Protocolo.
Tabla No. 1.2 Países del anexo B del protocolo de Kioto.
10
comprometido con los objetivos de emisión, con toda probabilidad esto tendrá
lugar, principalmente, en los países en transición a economías de mercado,
dado que es en estos países donde se ofrece un margen mayor de reducción
de emisiones a menor costo . Mediante este tipo de proyectos se consigue que
un determinado país pueda cumplir sus objetivos obteniendo créditos en otros
países donde el costo o la dificultad de reducir emisiones sean menores,
manteniendo globalmente controlado el nivel de emisiones.
No sólo los gobiernos sino también las empresas y organizaciones privadas
podrán participar directamente en estos proyectos, y se han utilizado a partir del
año 2008. Un mecanismo similar al de aplicación conjunta ofrece a gobiernos y
empresas la posibilidad de obtener créditos con cargo a proyectos de reducción
o supresión de emisiones en otros países. La diferencia fundamental radica en
que, en este mecanismo, los proyectos se desarrollan en países en vías de
desarrollo que son todos aquellos que quedan fuera del Anexo B (países
desarrollados) y que por tanto no están sujetos a objetivos de reducción de
emisiones. Mientras que la aplicación conjunta y el comercio de emisiones giran
entorno a la meta general del 5% impuesta a países industrializados. El
mecanismo para un desarrollo limpio se refiere a las emisiones en países en
desarrollo y que no tienen fijadas metas. La reducción de emisiones deberá ser
certificada por expertos independientes y se ha utilizado a partir del año 2000.
El Comercio de emisiones es un instrumento que faculta a los países
desarrollados a realizar operaciones de compra y venta de los derechos de
emisión a efecto de cumplir sus compromisos, aquellos cuyas emisiones reales
queden por debajo de las que le han sido asignadas, podrá disponer de ellas,
vendiéndolas a quienes excedan las emisiones asignadas a sus propios
permisos. Se trata de un intercambio de permisos, manteniendo la cantidad
total de emisiones asignadas, pero nunca aumentarla.
11
Los proyectos de inversión comúnmente se evalúan mediante la metodología
del valor presente neto, sin embargo este método no muestra la flexibilidad que
tienen algunos proyectos, por lo que se pretende dar una perspectiva distinta de
valuación mediante la teoría de opciones reales, para comprender esta teoría
es necesario introducirse al estudio de las opciones financieras para después
mostrar con una mejor claridad los conceptos y metodología de las opciones
reales.
12
CAPÍTULO 2. Teoría de opciones financieras, y teoría de opciones reales El propósito de este capítulo es analizar y describir los conceptos teóricos de
las opciones financieras y opciones reales, así como los fundamentos para
valuarlas, también se menciona la importancia que estas tienen y las diferencias
relevantes entre ellas.
2.1 Introducción a las opciones financieras
Se le llama producto derivado o derivado financiero a aquellos instrumentos
financieros cuyo valor está en función del precio de otro activo financiero, de ahí
el origen del nombre recibido, y a este activo financiero se le conoce con el
nombre de activo subyacente. Los productos derivados surgen por primera vez
como instrumentos de cobertura ante las fluctuaciones de los precios en
productos agroindustriales, en condiciones de elevada volatilidad, los activos
subyacentes pueden ser acciones, índices bursátiles, tipos de interés, también
materias primas entre otros.
En la investigación se utilizan opciones financieras que se definen como
contratos que otorgan a su propietario el derecho más no la obligación de
comprar o vender un activo a un precio fijo, en una fecha o periodo
determinado, quien vende la opción adquiere un compromiso irrenunciable de
cumplir el acuerdo del contrato a cambio de una prima, es equivalente a un
seguro.
2.2 Clasificación y finalidad de los derivados
Los productos derivados se clasifican de acuerdo a su activo subyacente por
tanto son: financieros, como tasas de interés, inflación, valores cotizados en
bolsa, entre otros y no financieros como el oro, la plata, el maíz, el petróleo,
entre otros, generalmente bienes básicos también llamados commodities.
13
El objetivo de los derivados financieros es cubrir ó eliminar los riesgos
financieros y disminuir la incertidumbre o inseguridad económica. Así bien sí la
principal función de los derivados es servir de cobertura ante fluctuaciones de
precios se puede aplicar a portafolios de inversión para protegerla contra los
efectos de la volatilidad, ó bien pueden utilizarse en las obligaciones
contratadas a tasa variable. Esto es, sirven para protegerse de las variaciones
adversas en las tasas de interés, pagos o cobranzas en moneda extranjera a
cierto plazo. Los derechos y obligaciones que un instrumento derivado otorga a
su tenedor, se cuantifican de acuerdo a las características establecidas en el
propio instrumento derivado y al valor que tome en el mercado el activo
relacionado al momento de la transacción.
2.3 Tipos de opciones financieras
Una opción es un contrato cuyo poseedor tiene derechos aunque no
obligaciones sobre un activo, por ejemplo: derecho a adquirir si corresponde a
una opción de compra y derecho a vender si corresponde a una opción de
venta. La opción fija el precio del activo por un periodo de tiempo definido en el
contrato. El precio que se paga por la opción se denomina prima. La opción,
dentro del ámbito financiero presenta numerosas variantes, tanto por la finalidad
del negocio, como por su utilización simple, o combinada con otros
instrumentos financieros. Existen dos tipos de opciones, la opción de compra y
la opción de venta, cuyas posiciones se observan en el cuadro 2.1.
COMPRADOR VENDEDOR
CALL
Derecho a
comprar
Obligación
de vender
PUT
Derecho a
vender
Obligación
de comprar
Fuente: Elaboración propia
Cuadro 2.1 Posiciones básicas de las opciones
14
De la tabla 2.1 se desprenden cuatro posiciones según se compren o vendan
opciones de compra u opciones de venta. El comprador de una opción de
compra, tiene el derecho, a cambio de una prima, a comprar un activo
subyacente en la fecha de vencimiento cuando se trata de una opción europea
o en cualquier momento si se trata de una opción americana, a cambio de un
precio prefijado en el contrato. El vendedor de una opción de compra, en
consecuencia, a cambio de la percepción de la prima, tiene la obligación de
vender el activo subyacente en la fecha de vencimiento cuando se trata de una
opción europea ó en cualquier momento si se trata de una opción americana. El
vendedor de la opción está obligado a cumplir con el contrato. El comprador de
una opción de venta, tiene derecho, a cambio del pago de una prima, a vender
el activo subyacente, al precio determinado de ejercicio en la fecha de
vencimiento cuando se trata de una opción europea y en cualquier momento si
se trata de una opción americana. El vendedor de una opción de venta tiene la
obligación, a cambio de recibir la prima, a comprar el activo en la fecha de
vencimiento o antes si se trata de una opción americana.
2.4 Opción de compra y opción de venta en la fecha de
vencimiento
La gráfica 2.1 muestra el valor de la opción de compra europea en la fecha de
vencimiento contra el valor de su subyacente, donde si el precio del activo
subyacente es inferior al precio de ejercicio la opción de compra no es
redituable y no tiene valor. Si el precio del subyacente es superior al precio de
ejercicio, la opción de compra es redituable y su valor sube uno a uno con los
incrementos en el precio del activo subyacente.
15
La gráfica 2.2 ubica el valor de una opción de venta para los valores posibles
del activo subyacente, el valor de una opción viene determinado por una serie
de variables fundamentales relacionadas con el activo subyacente, la opción y
los mercados financieros.
Precio de ejercicio
(K)
Valor de la acción al
vencimiento
Gráfica 2.1 Opción de compra.
Fuente: Elaboración propia
Gráfica 2.2 Opción de venta
Valor de la acción al
vencimiento
Valor de la opción
al vencimiento
Precio de ejercicio
(K)
Fuente: Elaboración propia
Valor de la opción
al vencimiento
16
2.5 Delimitación del valor de una opción de compra
El límite inferior del precio de una opción de compra corresponde a la diferencia
entre el valor del precio de mercado y precio de ejercicio del activo subyacente
o cero cuando la diferencia es negativa, ya que cualquier otro precio provocaría
ganancias de arbitraje.
Esto se muestra suponiendo que el precio del activo subyacente es S y el
precio de ejercicio es Sk, el valor mínimo de la opción debe ser de S-Sk, sin
embargo si se supone que el valor de la opción es (S-Sk)-λ, λ>0 se podría
comprar la opción y ejercerla con lo que se tendría un gasto de S-λ luego se
puede vender el activo subyacente a su valor de mercado que es S con lo que
se obtiene una ganancia de λ unidades, esto provocaría una fuerte demanda de
estas opciones por lo que su precio aumentaría al menos hasta esta unidad que
se gana. El límite superior, es decir lo más que podría valer una opción de
compra, es el precio spot del activo subyacente ya que nadie pagaría por el
derecho de comprar un activo en un futuro, cuando éste pude comprar hoy a un
valor menor, es decir, nadie compra una opción por S+λ si se puede comprar el
propio activo por S. La gráfica 2.3 muestra el límite superior e inferior de una
opción de compra.
Valor del activo antes de
la fecha de vencimiento
Valor de la opción de
compra antes de la fecha de vencimiento
Limite = precio del
Superior activo
Limite = precio del - precio de
Inferior activo ejercicio
Precio de ejercicio
(K)
Fuente: Ross S., Westerfield, Jaffe (2005)
Gráfica 2.3 límite superior e inferior de una opción de compra
17
2.6 Factores y efectos previsibles sobre los precios de las
opciones de compra y de venta
La tabla 2.1 muestra cómo se comporta el precio de una opción de compra y
una opción de venta ante un cambio en los factores que determinan su precio.
Factor Valor de opción de
compra
Valor del opción de
venta
Aumento del activo
subyacente
Aumenta Disminuye
Aumento del precio de
ejercicio
Disminuye Aumenta
Aumento de la
volatilidad del activo
subyacente
Aumenta Aumenta
Aumento del tiempo
hasta la expiración
Aumenta Aumenta
Aumento de los tipos de
interés
Aumenta Disminuye
Aumento de los
dividendos pagados
Disminuye Aumenta
Fuente: Elaboración propia
Dado los factores de la tabla 2.2 se observa en la gráfica 2.4 que el aumento
del activo subyacente provoca un aumento en el valor de la opción de compra,
esto es el precio de la opción de compra se relaciona en forma positiva con el
precio del activo subyacente. Además el cambio en el precio de la opción de
compra, dado un cambio en el precio del activo, es mayor cuando el activo tiene
un precio alto que cuando su precio es bajo.
Tabla 2.1 Factores sobre los precios de las opciones.
18
2.7 Opciones reales
Una opción real consiste en el derecho más no la obligación de realizar una
acción, como postergar al inicio de un proyecto, expandir, contratar o
abandonar, a un costo predeterminado y durante un periodo determinado algún
proyecto o un activo físico real. Además la teoría de opciones reales aplica la
metodología de las opciones financieras a la gestión de activos reales, esto es,
a la valuación de inversiones productivas o empresariales. Una de las ventajas
del uso de la teoría de opciones reales frente a los métodos tradicionales es
que mientras el valor presente neto induce a una decisión basada en las
expectativas actuales sobre una información futura, la valuación mediante
opción reales permite la flexibilidad de tomar decisiones en el futuro, en función
de una mayor información.
Valor de la opción de
compra antes de la fecha
de vencimiento
Valor del activo antes de
la fecha de vencimiento
Precio de ejercicio (K)
Límite superior
de la opción de compra
Límite inferior de la
opción de compra
Valor de la opción de
compra en función del
activo subyacente
Gráfica 2.4 Valor de una opción de compra como función del precio de una acción.
Fuente: Ross S., Westerfield, Jaffe (2005)
19
Por tanto los métodos basados en la valuación de opciones incorporan en el
valor del proyecto el efecto de la flexibilidad, mientras que el método basado en
el valor presente neto no lo hace. El valor de un proyecto que incorpore
decisiones optativas basadas en opciones siempre será mayor que el que se
apoye en decisiones basadas en el valor presente neto.
El cuadro 2.2 muestra cuando es útil la flexibilidad directiva.
Una de las diferencias entre una opción financiera y una opción real radica en
que el activo subyacente en el caso de la opción financiera es un activo como
una acción, o un indicador, mientras que el activo subyacente de la opción real
es la decisión de realizar una acción.
Valor de la
flexibilidad
moderado
Valor de la
flexibilidad elevado
Valor de la
flexibilidad bajo
Valor de la
flexibilidad
moderado
1. Existe gran incertidumbre sobre el futuro. Es muy probable que se
reciba información nueva a medida que transcurre el tiempo.
2. Hay un margen amplio para la
flexibilidad directiva. Permite que la dirección responda de forma
adecuada a esta información nueva.
+ 3. El valor actual neto sin flexibilidad
es próximo a cero. Si un proyecto
no es claramente bueno o malo, es más probable que se recurra a la
flexibilidad para cambiar la
tendencia y, por tanto, tenga más valor.
▼
En estas condiciones, la diferencia entre el valor que ofrece el método de valoración de
opciones frente a otras herramientas de
decisión es sustancial.
En todos los escenarios, el valor de la flexibilidad es máximo cuando el valor de proyecto sin flexibilidad está próximo al
punto de equilibrio.
Baja Incertidumbre Alta Ca
p
ac
i
da
d
d
e
r
e
sp
u
es
t
a
Fuente: T. Copeland, T. Coller, and J. Murrin (2000).
Cuadro 2.2 Flexibilidad directiva.
20
2.8 Opciones financieras frente a opciones reales
A partir de los años 80, se han utilizado los métodos de valuación de opciones
reales para incorporar la flexibilidad asociada con inversiones físicas, ha esta
extensión se le conoce como opciones reales, sin embargo Lenos Trigeorgis
presenta que la flexibilidad operativa y las estrategias para tomar decisiones al
interactuar en el cambio de dirección de una compañía define lo que es una
opción real. La oportunidad de invertir en un proyecto de una empresa es una
opción real y es similar a la opción de invertir en acciones de la empresa que
corresponde a opciones financieras, en ambos casos se tiene el derecho más
no la obligación de adquirir un activo a cambio del pago de una cantidad de
dinero en un tiempo determinado.
Con algunas limitaciones las soluciones de opciones financieras se pueden
aplicar en un contexto de inversiones reales al realizar adaptaciones relevantes.
Sin embargo, no se puede aplicar directamente la teoría de opciones
financieras a la teoría de opciones reales, porque hay importantes diferencias
(Yeo, K.T. y Qui F., 2003).
Las principales diferencias que se presentan entre las opciones financieras y las
opciones reales, son que las opciones financieras tienen una vida corta (menor
a un año), mientras que las opciones reales tienen una vida larga y a veces
perpetua. Las opciones financieras se emiten sobre activos financieros que
cotizan en mercados de valores y los activos negociados no pueden tener un
valor negativo. En las opciones reales el activo subyacente no es un activo que
cotice en bolsa y es posible que llegue a un valor negativo. Las opciones
financieras tienen un precio de ejercicio único, en las opciones reales puede
variar el precio de ejercicio conforme transcurre el tiempo y pueden existir
varias opciones reales sobre el mismo activo subyacente.
21
El valor de la opción real y el momento óptimo para su ejercicio puede ser
influenciado por la posición de la empresa en el mercado. Si la competencia es
imperfecta podría ser óptimo ejercer la opción tan pronto como sea posible para
evitar la respuesta de los competidores y tomar ventaja de todas las
oportunidades futuras de crecimiento.
El cuadro 2.3 muestra las variables que determinan el valor de una opción real.
2.9 Proyectos de inversión desde la perspectiva de opciones
reales
Las opciones reales involucran seis variables fundamentales. El valor del activo
subyacente, que corresponde al valor del proyecto, y equivale al valor presente
de los flujos de caja esperados del proyecto de inversión. El precio de ejercicio,
que es la cantidad que se invierte para ejercer la opción, que en el proyecto son
Plazo hasta el vencimiento
Un plazo más largo permitirá aprender más
Sobre la incertidumbre y, por tanto, aumentará
El valor de la opción.
Incertidumbre (volatilidad) acerca del valor
Actual
En un entorno de flexibilidad de gestión, una mayor
Incertidumbre aumentará el valor de la opción
Costo de la inversión
Un mayor costo de inversión reducirá
el valor actual neto, VAN, (sin flexibilidad) y también pr tanto, el
valor de la opción.
Cash flow perdidos de competidores
absolutamente comprometidos.
Aumentar los cash flow perdidos a favor de los competidores reducirá claramente
el valor de la opcón.
Tipo libre de riesgo
Un aumento en la tasa libre de riesgo
aumentará el valor de la opción, puesto que también incrementará la ventaja temporal
del valor del dinero al aplazar el coste
asociado de la inversión.
Valor actual previsto de los cash flow de
la inversión
Un aumento en el valor actual del proyecto
aumentará el valor actual neto (sin
flexibilidad) y, por tanto, también el valor
de la opción.
Fuente: T. Copeland, T. Coller, and J. Murrin (2000).
Cuadro 2.3 Variables que determinan el valor de una opción.
22
los costos fijos. El tiempo de expiración de la opción, que es el tiempo de
espera durante el cual la oportunidad de inversión en el proyecto es válida. La
desviación estándar del valor del activo, que es el riesgo que incurre el proyecto
de inversión. La tasa de interés libre de riesgo sobre la opción, que en este
caso es similar al rendimiento de un activo libre de riesgo, con un periodo de
madurez equivalente a la opción. Los dividendos que se puedan llegar a pagar
por el subyacente, esto es los flujos de caja durante la vida del proyecto, es
decir los costos de mantener el proyecto o bien los flujos de caja perdidos
cuando un competidor toma la delantera.
Las opciones reales adquieren una especial importancia cuando el grado de
incertidumbre es alto y cuando los gerentes tienen la flexibilidad necesaria para
responder a la incertidumbre. El valor de las opciones reales respecto al valor
presente neto es alto cuando el valor presente neto es cercano a cero, esto es
cuando se toman decisiones difíciles, y el valor adicional de la flexibilidad hace
la diferencia.
Al comparar la inversión de un proyecto y una opción financiera de compra
sobre una acción, se observa que, el inversionista tiene el derecho pero no la
obligación de comprar el activo subyacente que es la acción y corresponde al
valor presente de los flujos de caja del proyecto que es el precio de ejercicio, en
el caso de la opción real corresponde al costo de la inversión durante un
periodo de tiempo limitado.
La tabla 2.2 muestra las similitudes existentes entre las opciones financieras y
las opciones reales.
23
Características del proyecto Opción de compra
Valor presente del proyecto Precio de la acción
Inversión necesaria para emprender el
proyecto
Precio de ejercicio
Tiempo durante el cual podemos realizar la
inversión
Tiempo de expiración
Riesgo del proyecto, medido como la
volatilidad de los rendimientos esperados
Volatilidad de los rendimientos de la acción
Tipo libre de riesgo Tipo libre de riesgo
Los modelos basados en la metodología de opciones reales, permiten evaluar
proyectos, que aunque inciertos, tienen flexibilidad gerencial, es decir, el
inversionista a lo largo de la vida del proyecto, y a través de sus decisiones
puede variar el resultado obtenido de la inversión según recibe nueva
información.
La opción real que se emplee está en función del proyecto que se analiza, así
por ejemplo si se tiene una opción de aplazamiento los cálculos son distintos
que si se tiene una opción de abandono o alguna otra opción, y cada escenario
u opción con la que se cuente dará un valor presente distinto. Si se tiene un
proyecto sin flexibilidad, con una inversión inicial I0, un flujo de efectivo C, una
tasa r y un tiempo t, se tendría un valor actual como la ecuación 2.1.
0
0 0,)1(t
tr
CIMAXVAN
(2.1)
Tabla 2.2 Similitudes entre las opciones financieras y las opciones reales.
Fuente: Elaboración propia.
24
Si se tiene un proyecto con una opción de aplazamiento de un año se tendrá un
valor del proyecto de acuerdo a la expresión 2.2 donde u es el valor que puede
tomar si es un flujo mayor que C y d es el valor que tiene si es un flujo menor
que C.
1
0
10,
0 0],11
[)1(]0,11
[t
tt
tr
d
r
IMAXp
r
u
r
IMAXpVAN
(2.2)
Se observa que el valor del proyecto es más alto por tener flexibilidad, la teoría
establece que por cada opción real que exista se debe realizar un
planteamiento distinto al contar con distintas decisiones.
2.10 Determinación del precio de una opción real
Existen múltiples opciones reales y, por lo tanto, distintos precios. A
continuación se muestra cómo se determina el precio de las principales
opciones reales. Considérese que el precio del proyecto sigue un movimiento
browniano, por lo que el valor presente de los flujos de efectivo esperados por
el proyecto se considera que en cada tiempo t, es St, que se calcula con la
ecuación 2.3 y se considera que la volatilidad y la tendencia son diferentes de
cero.
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇 𝑆𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑆𝑡 , 𝑡 𝑑𝑊𝑡 (2.3) Donde:
µ(St,t) : La tendencia. σ(St,t) : La volatilidad.
2.10.1 Opción real de expansión
Una empresa que tiene la capacidad de expandir su mercado se evalúa por el
valor presente de los flujos de efectivo esperados del proyecto en una
proporción α. Por ejemplo mediante el incremento en el nivel de precios o
capacidad de producción, para lo cual se requiere invertir la cantidad K´ en el
25
tiempo T. Esta posibilidad estratégica de tomar la decisión de expansión
corresponde a una opción asociada al subyacente existente. Si (1+α)ST- K es el
valor presente neto aumentado en la proporción α menos el costo de la
inversión adicional K´ al tiempo T, el valor intrínseco de esta opción viene dado
por la ecuación 2.4.
𝑐𝑒 𝑆𝑇 , 𝑇; ∝, 𝐾´ = 𝑚𝑎𝑥 1+∝ 𝑆𝑇 − 𝐾´, 𝑆𝑇
= 𝑆𝑇 + 𝑚𝑎𝑥 ∝ 𝑆𝑇 − 𝐾´, 0
= 𝑆𝑇+∝ 𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑇 − 𝐾, 0
= 𝑆𝑇+∝ 𝑐 𝑆𝑇 , 𝑇; 𝐾 (2.4)
Donde K=K´/α y c(ST,T;K) es el valor intrínseco de la opción de compra. Si el
valor presente de los flujos de efectivo esperados es conducido por un
movimiento geométrico browniano neutral al riesgo, que representa la ecuación
2.5.
𝑑𝑆𝑇 = 𝑟𝑆𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡𝑑𝑊𝑡 (2.5)
Donde:
r: tasa de interés libre de riesgo.
σ>0: volatilidad instantánea.
El valor de la opción real de expansión en el tiempo t se calcula con la ecuación
2.6, para incorporar el efecto en el valor de la aportación de la expansión.
𝑐𝑒 𝑆𝑡 , 𝑡 = 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)𝐸 𝑆𝑇+∝ max 𝑆𝑇 − 𝐾, 0 | ℱ𝑡
= 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) 𝑆𝑇+∝ max(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) ∞
−∞𝑓𝑆𝑇 |𝑆𝑡
𝑠 𝑆𝑡 𝑑𝑠
= 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)𝐸 𝑆𝑇|𝑆𝑡 +∝ 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) (𝑠 − 𝐾)∞
𝐾𝑓𝑆𝑇 |𝑆𝑡
(𝑠|𝑆𝑡)𝑑𝑠
= 𝑆𝑡+∝ 𝑐𝐵𝑆(𝑆𝑡 , 𝑡) (2.6)
26
2.10.2 Opción real de permanencia
En los proyectos de etapas múltiples se pasa de una etapa a la siguiente sí el
beneficio es positivo, en el caso de no tener un beneficio no se invierte en la
siguiente etapa y por consiguiente en las subsecuentes. De esta manera, en
cada etapa en que se invierte también se adquiere una opción de permanecer
en el proyecto en la próxima etapa, que corresponde a una opción europea de
compra para permanecer en el proyecto si el valor presente de los flujos de
efectivo esperados del proyecto ST, es mayor que el costo de inversión K. El
valor intrínseco, está dado por la ecuación 2.7.
𝑐𝑝 𝑆𝑇 , 𝑇; 𝐾 = max(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) (2.7)
2.10.3 Opción real de abandono
El valor de mercado de una empresa en el tiempo T puede, en algunos casos
exceder el valor presente de los flujos de efectivo esperados en T, ST. En este
caso surge la opción de vender la empresa ya que su valor de mercado excede
el valor presente de los flujos de efectivo esperados. El valor intrínseco para
esta opción real está dado por la ecuación 2.8.
𝑐𝑎 𝑆𝑇 , 𝑇 = 𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑇 , 𝑉𝑇 (2.8)
Si VT > ST la opción se ejerce. Si VT es constante, como, Vt = K, la opción sólo
se ejerce en T, y entonces se tiene:
𝑐𝑎 𝑆𝑇 , 𝑇 = max 𝑆𝑇 , 𝐾 = max 𝑆𝑇 − 𝐾, 0 + 𝐾
27
En este caso el valor de la opción se calcula como:
𝑐𝑎 𝑆𝑡 , 𝑡 = [max 𝑠 − 𝐾, 0 + 𝐾]∞
0𝑓𝑆𝑇 |𝑆𝑡
𝑠 𝑆𝑡 = 𝑐𝐵𝑆 𝑆𝑡 , 𝑡 + 𝐾 (29)
Para calcular el valor de las opciones reales es necesario conocer la
metodología de aplicación del modelo binomial y el modelo de Black y Scholes,
los cuales se trataran con detalle en el capítulo 3.
28
CAPÍTULO 3. El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein y el modelo de Black y Scholes para valuar opciones
El propósito de este capítulo es analizar el desarrollo intuitivo y la formulación
matemática del modelo de Cox-Ross-Rubinstein y el modelo de Black y
Scholes en la valuación de opciones financieras y opciones reales para realizar
la comparación de los modelos y las consideraciones utilizadas en cada
modelo.
3.1 El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein
La teoría para valuar opciones parte del trabajo publicado por Fisher Black y
Myron Scholes en 1973, a los que se añaden los de Robert Merton (1973), John
C. Cox, Stephen, A Ross y Mark Rubinstein (1973).
El modelo binomial para valuar opciones desarrollado en 1979 por Cox, Ross y
Rubinstein, se basa en la formulación del movimiento de los precios de las
acciones, las cuales en cualquier periodo sólo tiene dos alternativas para
moverse hacia arriba, o hacia abajo, conformando un árbol binomial.
En la literatura el modelo binomial se denomina modelo de Cox-Ross-
Rubinstein, las ramas del árbol binomial representan las posibles trayectorias
que puede tomar el precio del activo subyacente durante la vida de la opción y
el supuesto esencial sobre el cual descansa el modelo es que no existen
oportunidades de arbitraje lo que significa que si hay dos alternativas de
inversión libres de riesgo, ambas producen el mismo rendimiento, esto es que
no hay una oportunidad de obtener una ganancia libre de riesgo en la toma de
decisiones.
29
3.2 El modelo binomial para un periodo
En la propuesta para la construcción del modelo binomial de Cox-Ross-
Rubinstein se parte de la construcción de un portafolio que contiene al activo
subyacente y una opción, sobre este activo la idea es que al final del periodo
de inversión el portafolio proporciona el mismo rendimiento para todas las
posibles trayectorias que puede tomar el precio del activo subyacente.
En la formación del portafolio se incorporan w1 unidades de una acción y w2
unidades de una opción sobre dicha acción para producir el mismo flujo de
efectivo, la vida de la opción corresponde al intervalo [t,T], también se
considera que t es el momento en que inicia el contrato y T es la fecha en que
vence. El valor del portafolio al inicio del contrato, es decir en (𝛱𝑡 ) corresponde
a la ecuación 3.1.
𝛱𝑡 = 𝑤1𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑡 (3.1)
Donde:
𝑆𝑡 : el precio de acción.
𝑐𝑡 : el precio de opción
en t respectivamente. Se parte del supuesto de que en la fecha de vencimiento
del contrato el activo subyacente puede tomar dos valores posibles, 𝑢𝑆𝑡 y 𝑑𝑆𝑡 ,
donde 0<d<1<u. Si el precio del activo tiene un movimiento hacia arriba se
presenta el valor 𝑢𝑆𝑡 y si el precio tiene un movimiento hacia abajo se presenta
el valor 𝑑𝑆𝑡 , tal como se muestra en la gráfica 3.1.
30
El primer valor del portafolio en T es determinado con la ecuación 3.2.
𝛱𝑇(𝑢)
= 𝑤1𝑢𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑢 (3.2)
Donde:
𝑐𝑢 = max(𝑢𝑆𝑡 − 𝐾, 0)
En donde 𝑐𝑢 es el valor de la opción dado un movimiento hacia arriba y K es el
precio de ejercicio de la opción. En el segundo caso cuando se presenta un
movimiento hacia abajo, el valor del portafolio en T, está determinado por la
ecuación 3.3.
𝛱𝑇(𝑑)
= 𝑤1𝑑𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑑 (3.3)
Donde: 𝑐𝑑 = max(𝑑𝑆𝑡 − 𝐾, 0)
Se supone una valuación neutral al riesgo, se pueden obtener 𝑤1 y 𝑤2 de tal
forma que el portafolio proporcione el mismo rendimiento en las dos posibles
trayectorias del activo subyacente y este rendimiento debe coincidir con el que
se obtendría de un depósito inicial de monto П𝑡 , esto es:
(St,ct)
(uSt, cuT) p
(dSt, cdT) 1-p
Gráfica 3.1 Expansión binomial para un periodo, subyacente y opción
Fuente: Venegas Martínez, F. (2006)
31
П𝑇(𝑢)
= П𝑡𝑒𝑟(𝑇−𝑡) (3.4)
П𝑇(𝑑)
= П𝑡𝑒𝑟(𝑇−𝑡) (3.5)
Lo significativo es que se puede elegir 𝑤1 y 𝑤2 de tal forma que П𝑇(𝑢)
= П𝑇(𝑑)
, el
efecto de igualar las ecuaciones (3.4) y (3.5) se tiene que:
𝑤1𝑢𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑢 = 𝑤1𝑑𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑑 (3.6)
Ya que la ecuación (3.6) nos conduce a infinitas soluciones, se fija w2=1, lo cual
se obtiene de la ecuación 3.7.
𝑤1 ≡ −∆= −𝑐𝑢−𝑐𝑑
𝑆𝑡(𝑢−𝑑) (3.7)
Esto es que este portafolio consiste en adquirir una opción de compra y vender
una acción. Esta selección de w1 y w2 hace que П𝑇(𝑢)
= П𝑇(𝑑)
.
Considérese el valor del portafolio de la ecuación (3.1) con w2=1 y w1= -∆, se
tiene que:
− 𝑐𝑢−𝑐𝑑
𝑆𝑡(𝑢−𝑑) 𝑑𝑆𝑡 + 𝑐𝑑 𝑒
−𝑟(𝑇−𝑡) = − 𝑐𝑢−𝑐𝑑
𝑆𝑡(𝑢−𝑑) 𝑆𝑡 + 𝑐𝑡 (3.8)
Despejando se obtiene.
𝑐𝑡 = 𝑒𝑟(𝑇−𝑡)−𝑑
𝑢−𝑑 𝑐𝑢 +
𝑢−𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)
𝑢−𝑑 𝑐𝑑 𝑒
−𝑟(𝑇−𝑡) (3.9)
32
Si se denota.
𝑝 =𝑒𝑟(𝑇−𝑡)−𝑑
𝑢−𝑑 (3.10)
Se obtiene.
1 − 𝑝 =𝑢−𝑒𝑟(𝑇−𝑡)
𝑢−𝑑 (3.11)
Así se obtiene el valor de la opción en el tiempo t:
𝑐𝑡 = 𝑝𝑐𝑢 + (1 − 𝑝)𝑐𝑑 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) (3.12)
De los cálculos anteriores se nota que p es siempre positivo, pero puede darse
el caso de que p>1, dependiendo de los valores de u, d, r, y T-t, en cuyo caso
1-p<0. Las cantidades p y 1-p reciben el nombre de precios de estado y, por
razones obvias, no siempre pueden ser vistas como probabilidades.
Si se pide que se satisfaga la condición.
𝑑 < 𝑒𝑟(𝑇−𝑡) < 𝑢 (3.13)
Entonces 0<p <1, se puede notar que d, u y r (T-t) son variables que no están
relacionadas entre sí, razón por la cual siempre es posible escogerlas de tal
forma que se cumpla 3.13. En este caso, p y 1-p pueden interpretarse en forma
natural como probabilidades. Si se define a 𝑆𝑇 como una variable aleatoria,
junto con su probabilidad, P, de tal forma que.
𝑃 𝑆𝑇 = 𝑢𝑆𝑡 = 𝑝 𝑦 𝑃 𝑆𝑇 = 𝑑𝑆𝑡 = 1 − 𝑝
33
El valor esperado del valor intrínseco de la opción, en T, está dado por:
𝐸 max 𝑆𝑇 − 𝐾, 0 𝑆𝑡] = 𝑃 𝑆𝑇 = 𝑢𝑆𝑡 𝑐𝑢 + 𝑃{𝑆𝑇 = 𝑑𝑆𝑡}𝑐𝑑
= 𝑝𝑐𝑢 + (1 − 𝑝)𝑐𝑑 (3.14) y su valor presente es el precio de la opción ct.
Conviene mencionar que los valores de u y d implícitos en el modelo están
determinados como.
𝑢 = 𝑒𝜎 (𝑇−𝑡) 𝑛 y 𝑑 = 𝑒−𝜎 (𝑇−𝑡) 𝑛
3.3 Casos de valuación
En este punto se estudian algunos casos de la fórmula de valuación binomial
obtenida de la ecuación 3.12, para una opción de compra sobre una acción,
considerando como el precio de ejercicio a K y la fecha de vencimiento como T.
3.3.1 El precio de ejercicio es mayor que el movimiento al alza
Primero si se supone que uSt < K, entonces esto implica que dSt < K, de lo cual
se deduce:
cu = cd = ct = 0 (3.15)
En este caso no tiene sentido entrar en un contrato de opción ya que existe
siempre la posibilidad de conseguir el subyacente en el mercado a un precio
más barato.
34
3.3.2 El precio de ejercicio es menor que el movimiento a la baja
Ahora se supone que K < dSt, entonces esto implica que K < uSt, de lo cual se
deduce.
𝑐𝑡 = [𝑝 𝑢𝑆𝑡 − 𝐾 + 1 − 𝑝 𝑑𝑆𝑡 − 𝐾 ]𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)
= (𝑝𝑢𝑆𝑡 − 𝑝𝐾 + 𝑑𝑆𝑡 − 𝑝𝑑𝑆𝑡 − 𝐾 + 𝑝𝐾)𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)
= 𝑝 𝑢 − 𝑑 𝑆𝑡 + 𝑑𝑆𝑡 − 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) > 0 (3.16)
Esto garantiza una prima positiva cuando el precio de ejercicio es menor que un
movimiento a la baja.
3.3.3 El precio de ejercicio se ubica entre los movimientos a la
alza y a la baja
En este caso si se supone que dSt < K < uSt, entonces cd = 0, de lo cual se
deduce.
𝑐𝑡 = 𝑝 𝑢𝑆𝑡 − 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) > 0 (3.17)
Y así la prima de la opción es positiva.
3.4 El modelo binomial de dos y más periodos
El modelo binomial se puede extender a dos periodos, cada uno de longitud
(T-t)/2. Se desea encontrar el valor de la opción real en t como se ilustra en la
grafica 3.2.
35
Al igual que en el caso anterior también se repite el procedimiento del árbol
binomial para un periodo, para cada una de las ramas del segundo periodo, y
se obtienen las siguientes ecuaciones.
𝑐𝑢 = 𝑝𝑐𝑢𝑢 + 1 − 𝑝 𝑐𝑑𝑢 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)/2 (3.18)
𝑐𝑑 = 𝑝𝑐𝑑𝑐 + 1 − 𝑝 𝑐𝑑𝑑 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)/2 (3.19)
En la gráfica 3.3 se ilustra una de las ramas del segundo árbol. Esta rama es
una replica de la primera, excepto que aparece una u de más en todos los
nodos, ya sea como subíndice o como variable. En tal caso se aplica
completamente la metodología en el primer árbol, justo como en las ecuaciones
(3.18) y (3.19).
tS
tuS
tdS
tSu2
tSd2
tudS
p
p
p
1-p
1-p
1-p
Gráfica 3.2 Expansión binomial para dos periodos del activo subyacente
Fuente: Venegas Martínez, F. (2006)
36
Al sustituir las ecuaciones (3.18) y (3.19) en el valor de la opción real en t, dado
en (3.10), se obtiene la siguiente expresión.
𝑐𝑡 = 𝑝2𝑐𝑢𝑢 + 2𝑝 1 − 𝑝 𝑐𝑑𝑢 + (1 − 𝑝)2𝑐𝑑𝑑 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)/2 (3.20)
Cuando el modelo se extiende a n periodos queda de la siguiente forma.
𝑐𝑡 = 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)
𝑛 𝑛𝑘
𝑛𝑘=1 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘𝑐𝑢𝑘 𝑑𝑛−𝑘 (3.21)
3.5 El modelo de Black y Scholes
El modelo de Black y Scholes permite calcular el precio de una opción, bajo el
supuesto de que el activo con riesgo sigue un movimiento geométrico
browniano. En este modelo el valor de una opción depende de cinco variables:
el valor del activo, la volatilidad, la tasa de interés, el precio de ejercicio y el
tiempo de maduración, así el precio se calcula en función de los parámetros de
interés.
1-p
p
),( ut cuS ),( 2
uut cSu
),( dut cduS
Gráfica 3.3 Rama del segundo árbol binomial.
Fuente: Venegas Martínez, F. (2006)
37
𝑐 𝑆, 𝐾, 𝑇 − 𝑡, 𝜎𝑠 , 𝑟 = 𝑐 𝑆, 𝑡 (3.22)
Donde:
S: el precio spot.
K: el precio de ejercicio.
T-t: el tiempo.
𝜎𝑠: la varianza del activo.
r: la tasa de interés libre de riesgo.
Para calcular el precio de la opción bajo el principio de no arbitraje, se utiliza la
propiedad de que el cambio en el valor de la opción está perfectamente
correlacionado con el cambio del valor del activo con riesgo, esto es un punto
importante en el precio de una opción, ya que se puede construir un portafolio
que consista de una cantidad de opciones y una cantidad de activos de modo
de eliminar totalmente la incertidumbre de ese portafolio. Este portafolio sin
riesgo debe de pagar una tasa libre de riesgo, por lo tanto, sabiendo esto se
forma un portafolio que tenga una posición larga en la opción y una posición
corta en una cantidad delta: ∆ en el activo con riesgo, si se denota a π como el
valor del portafolio se tiene:
п = 𝑐 𝑆, 𝑡 − ∆𝑆 (3.23)
Si el activo con riesgo sigue un movimiento browniano se denota como:
𝑑𝑆
𝑆= µ𝑠𝑑𝑡 + 𝜎𝑠𝑑𝑧 (3.24)
El cambio del portafolio se denota como:
𝑑п = 𝑑𝑐 𝑆, 𝑡 − ∆𝑑𝑆 (3.25)
Utilizando el Lema de Ito se sabe que el activo con riesgo sigue un movimiento
browniano, el derivado también lo sigue y por lo tanto el cambio en el valor de la
opción de compra (call) puede escribirse como:
38
𝑑𝑐 𝑆, 𝑡 = 𝑐𝑡𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑑𝑆 +1
2𝑐𝑠𝑠(𝑑𝑆)2
= 𝑐𝑡𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑆 µ𝑠𝑑𝑡 + 𝜎𝑠𝑑𝑧 +1
2𝑐𝑠𝑠𝑆
2𝜎𝑠2𝑑𝑡
= 𝑐𝑡 + 𝑐𝑠𝑆µ𝑠 +1
2𝑐𝑠𝑠𝑆
2𝜎𝑠2 𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑆𝜎𝑠𝑑𝑧 (3.26)
Lo que implica que el cambio en el portafolio sigue el siguiente movimiento
browniano.
𝑑 п = 𝑐𝑡𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑆 µ𝑠𝑑𝑡 + 𝜎𝑠𝑑𝑧 +1
2𝜎𝑠
2𝑆2𝑐𝑠𝑠𝑑𝑡 − ∆𝑆(µ𝑠𝑑𝑡 + 𝜎𝑠𝑑𝑧)
= 𝑐𝑡 + 𝑐𝑠𝑆µ𝑠 +1
2𝜎𝑠
2𝑆2𝑐𝑠𝑠 − ∆𝑆µ𝑠 𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑆𝜎𝑠 − ∆𝑆𝜎𝑠 𝑑𝑧 (3.27)
Para obtener el precio de la opción de compra (call), elegimos ∆ tal que elimina
el riesgo del portafolio, esto es ∆= cs.
Una vez eliminado el riesgo, el portafolio en el tiempo debe ser igual, por el
principio de no arbitraje, a colocar la misma cantidad de dinero en un
instrumento con tasa libre de riesgo.
𝑐𝑡𝑑𝑡 +1
2𝜎2𝑆2𝑐𝑠𝑠𝑑𝑡 = 𝑟 𝑐 𝑆, 𝑡 − 𝑐𝑠𝑆 𝑑𝑡 (3.28)
Si el retorno del portafolio fuera mayor, entonces todos los individuos pedirían
préstamos en el banco, y reinvertirían en este portafolio. Estos movimientos de
capitales terminarían con la oportunidad de arbitraje, haciendo que finalmente
los precios se ajusten eliminando la oportunidad de arbitraje. Si el retorno del
portafolio fuese menor el razonamiento es análogo.
Reescribiendo la ecuación 3.28 se obtiene la ecuación diferencial parcial que
una vez resuelta obtiene el valor del derivado al tiempo t.
𝑐𝑡 +1
2𝜎2𝑆2𝑐𝑠𝑠 + 𝑟𝑆𝑐𝑠𝑠 − 𝑟𝑐 = 0 (3.29)
39
Note que en la ecuación no aparece la tendencia de la acción, es decir del
activo (µ) sino solo aparece la tasa libre de riesgo (r), esto es porque una vez
que se hizo la cobertura delta se pudo eliminar el riesgo perfectamente, no hay
necesidad de tomar riesgo y así la tendencia desaparece con el término dS.
Cuando se habla de calcular el precio de la opción usando la solución de Black
y Scholes, se está refiriendo a dos cosas; la ecuación diferencial parcial y la
fórmula de Black y Scholes.
La ecuación diferencial parcial se puede usar con cualquier condición terminal
para encontrar numéricamente el precio de una opción, mientras que la fórmula
es una solución dada bajo ciertas condiciones particulares.
La fórmula de Black y Scholes es la solución a la ecuación diferencial, dadas
las condiciones terminales de una opción de compra europea, para describirla
se asume que: el activo con riesgo sigue un movimiento geométrico browniano,
la tasa libre de riesgo es conocida, no existen dividendos, el delta de la
cobertura es dinámico y continuo, no existen costos de transacción, no existen
oportunidades de arbitraje.
La derivación de la ecuación diferencial de Black-Scholes fue hecha en
términos de una opción de compra (call) en las condiciones terminales, por
tanto dicho procedimiento es válido para cualquier tipo de opción, esto es para
encontrar el precio de una opción de compra y una opción de venta,
estableciendo dichas condiciones terminales como las que se muestran
enseguida.
Para una opción de compra.
Call = Max (S – K, 0)
Para una opción de venta.
Put = Max (K – S. 0)
40
El resultado de una opción de compra una vez resuelta la ecuación diferencial
está dado por la expresión (3.30).
𝑐 𝑆, 𝑇 − 𝑡 = 𝑆𝑁 𝑑1 − 𝐾𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)𝑁(𝑑2) (3.30)
Donde:
𝑑1 ={ln
𝑆𝐾 + 𝑟 +
12 𝜎2 𝑇 − 𝑡 }
𝜎 𝑇 − 𝑡
𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎( 𝑇 − 𝑡)
y el resultado para una opción de venta (put) está dada por la expresión (3.31).
𝑃 𝑆, 𝑇 − 𝑡 = −𝑆𝑁 −𝑑1 + 𝐾𝑒−(𝑇−𝑡)𝑁(−𝑑2) (3.31)
41
CAPÍTULO 4. Aplicación de la teoría de opciones reales en la valuación de un campo de energía eólica En el capítulo se presenta la valuación de un campo de energía eólica mediante
la metodología de opciones reales, se aplica el modelo binomial de Cox-Ross-
Rubinstein y el modelo de Black y Scholes y se comparan los resultados. La
información que se utilizó para el desarrollo se obtuvo del documento del
proyecto eólico la Venta 3 de CFE, que fue realizado por el banco mundial en
junio de 2006.
4.1 Fases de desarrollo del proyecto
Los datos necesarios para la valuación del proyecto corresponden a las
siguientes variables.
PV.- El valor actual de los flujos de caja esperados del proyecto.
σ.- La volatilidad esperada del rendimiento del proyecto.
r .- El tipo de interés determinado para el proyecto.
I.- El costo de la inversión para el lanzamiento del proyecto.
k´.- El costo de las inversiones intermedias.
La valuación del proyecto se realizó para un periodo de vida útil de 20 años y el
comportamiento estocástico de las expectativas se modela con ayuda de un
proceso de difusión binomial para determinar el valor esperado del proyecto
referido al valor presente.
El proceso se desarrolla en las siguientes fases: La metodología utilizada en
crear el proceso de difusión del valor del proyecto por medio de un árbol
binomial sin flexibilidad, que debe de ser igual al valor determinado con el
método del valor presente neto.
Cálculo del valor de la opción real. A partir del caso base se incorpora en forma
individual la opción de abandonar y la opción de expansión que se calcula por
42
un proceso de difusión hacia atrás a partir de los datos del caso base, el valor
presente neto al compararlo con el caso base determina el efecto de contar con
la opción real.
El proceso de difusión del valor del proyecto se basa en los movimientos de
subida u y de bajada d del valor del proyecto en un proceso binomial hacia
delante y se repite cada periodo durante la vida del proyecto, al mismo tiempo
se determina el árbol binomial.
Al comparar el valor presente del proyecto cuando se incorpora la opción real
con el valor del caso base se determina si se amplía el proyecto, o se
abandona. La opción de abandono del proyecto permite determinar de forma
anticipada cuando las condiciones de rentabilidad son negativas y entonces se
abandona recuperando un determinado valor de rescate, en todo momento se
elige el valor máximo entre el valor obtenido por el proyecto y el valor de
rescate. Para determinar el valor de la opción real en cada periodo se ajusta
hacia atrás a partir del caso base y solo se ejerce cuando tiene un valor
superior. .
PVu
PVd
PV
2PVu
2PVd
PVud
Fuente: Elaboración propia.
43
En el caso de una opción de abandono.
k´: Valor de rescate.
4.2 Análisis del proyecto
Los datos del estudio del banco mundial que público Comisión Federal de
Electricidad (CFE) del costo de implementación de un campo eólico en el
estado de Oaxaca son con los que se trabajaran posteriormente. Este estudio
utiliza la metodología del valor presente neto, además de que proporciona los
datos necesarios para realizar la valuación mediante opciones reales, como no
se obtuvo la información de la volatilidad del proyecto, esta corresponde a la
volatilidad de un proyecto similar hecho en España.
4.3 Aplicación del modelo binomial y el modelo de Black y
Scholes
Para calcular los parámetros del modelo binomial, se recopila la información del
proyecto y se aplican las formulas descritas en el capítulo 3, en un principio se
cuenta con la siguiente información: el tiempo de vida del proyecto que es de 20
años, la delta del proyecto (T-t) de un 1 año, la tasa de libre de riesgo de 8%, la
´,max2
kPVu
´,max kPVud
´,max2
kPVd ROV2=[ )*(2 },max*´,max*{ tTrekPVdqkPVudp ,k´]
ROV1=[ )*(2 },max*´,max*{ tTrekPVudqkPVup ,k´]
)(
21 }**{ tTreROVqROVpROV
Fuente: Elaboración propia.
44
volatilidad del 30%, el costo del proyecto es de 120 millones de dólares y el
valor actual de los flujos que son de 127,300,523 dólares.
Se calcula el parámetro de subida u:
𝑢 = 𝑒0.30 1
20
= 1.3498
Se calcula el parámetro de bajada d:
𝑑 = 𝑒−0.30 1/20 = 0.7408
Se calculan las probabilidades.
𝑝 =𝑒0.08(1) − 0.7408
1.3498 − 0.7408
1 − 𝑝 =1.3498 − 𝑒0.08(1)
1.3498 − 0.7408
Una vez calculados los parámetros, se crea el modelo binomial, utilizando los
datos de la tabla 4.1 para el desarrollo del árbol binomial y la implementación
de las opciones reales.
So 127300523
σ 0.3
r 0.08
delta t 1
u 1.34985881
d 0.74081822
vida del proyecto 20
p 0.74937394
1-p 0.25062606
VPN descontado a una tasa de 18% 7300523
Inversión inicial 120000000
valor presente de los flujos 127300523
Tabla No. 4.1 Parámetros para el modelo binomial.
Fuente: Elaboración propia.
45
Para el desarrollo del modelo binomial, se aplican los parámetros de subida y
bajada, partiendo del valor presente de los flujos de caja del proyecto.
1 2 3 4 5 6
127300523 171837732 231956676 313108762 422652621 570521363 770123286
94306546.9 127300523 171837732 231956676 313108762 422652621
69864008.3 94306546.9 127300523 171837732 231956676
51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523
38342180.7 51756530.3 69864008.3
28404586.1 38342180.7
21042634.9
7 8 9 10 11 12 13
1039557701 1403256118 1894197631 2556899355 3451453115 4658974386 6288957609
570521363 770123286 1039557701 1403256118 1894197631 2556899355 3451453115
313108762 422652621 570521363 770123286 1039557701 1403256118 1894197631
171837732 231956676 313108762 422652621 570521363 770123286 1039557701
94306546.9 127300523 171837732 231956676 313108762 422652621 570521363
51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523 171837732 231956676 313108762
28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523 171837732
15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3 94306546.9
11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.3
8555296.92 11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1
6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.4
4695246.5 6337919.84 8555296.92
3478324.16 4695246.5
2576805.91
14 15 16 17 18 19 20
8489204818 1.1459E+10 1.5468E+10 2.088E+10 2.8185E+10 3.8046E+10 51356696405
4658974386 6288957609 8489204818 1.1459E+10 1.5468E+10 2.088E+10 28185152578
2556899355 3451453115 4658974386 6288957609 8489204818 1.1459E+10 15468339700
1403256118 1894197631 2556899355 3451453115 4658974386 6288957609 8489204818
770123286 1039557701 1403256118 1894197631 2556899355 3451453115 4658974386
422652621 570521363 770123286 1039557701 1403256118 1894197631 2556899355
231956676 313108762 422652621 570521363 770123286 1039557701 1403256118
127300523 171837732 231956676 313108762 422652621 570521363 770123286.2
69864008.3 94306546.9 127300523 171837732 231956676 313108762 422652620.7
38342180.7 51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523 171837732 231956676.3
21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523
11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3
6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7
3478324.16 4695246.5 6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.4 21042634.92
1908944.77 2576805.91 3478324.16 4695246.5 6337919.84 8555296.92 11548442.9
46
1414181.07 1908944.77 2576805.91 3478324.16 4695246.5 6337919.842
1047651.1 1414181.07 1908944.77 2576805.91 3478324.158
776119.026 1047651.1 1414181.07 1908944.772
574963.116 776119.026 1047651.103
425943.153 574963.1162
315546.4485
Una vez modelado el valor del proyecto en el tiempo, se procede a incluir las
opciones existentes. Y se resuelve el modelo binomial siguiendo las reglas de
maximización.
El primer objetivo es valorar el proyecto con una opción de abandono en el año
diez y con un valor de recuperación del 70% de su valor original, para esto se
hace uso del modelo binomial, y muestra el valor que el proyecto alcanza si se
considera esta opción, el cual asciende a $130,244,167.7 dólares, como se
muestra en la tabla 1 del anexo. Sin embargo si la opción se pudiese ejercer a
lo largo de su vida y no sólo en la mitad de la misma, el valor del proyecto es de
$133,265,765.67 dólares, como se observa en la tabla 2 del anexo.
La tabla 4.1 muestra el desarrollo del valor del proyecto, de acuerdo al
porcentaje de recuperación que éste pudiese obtener de su valor original, si se
decidiera abandonarlo en cualquier momento de su vida.
47
La gráfica 4.1 muestra el cambio del valor del proyecto, conforme cambia el
porcentaje de su valor de recuperación relacionado con su costo original.
porcentaje del valor valor del proyecto
de recuperación
0% 127,300,523.00
5% 127,301,465.96
10% 127,313,468.26
15% 127,351,645.63
20% 127,435,767.48
25% 127,569,298.68
30% 127,756,271.98
35% 128,065,510.61
40% 128,424,316.05
45% 128,902,773.53
50% 129,516,748.12
55% 130,150,487.84
60% 131,009,425.56
65% 132,137,595.62
70% 133,265,765.67
75% 134,397,297.80
80% 135,820,054.31
85% 137,775,870.20
90% 139,731,686.09
95% 141,697,415.28
100% 143,672,633.44
Tabla 4.2 Valor del proyecto eólico con una opción de abandono.
Fuente: Elaboración propia.
48
Si el proyecto considera la opción de expandirse en la mitad de su vida, un 20%
con un costo adicional de 24 millones de dólares, el proyecto se valoraría en
$143, 328,988 de dólares utilizando el modelo binomial, valor que se observa
en la tabla 3 en el anexo, y mediante el modelo de Black y Scholes el proyecto
se valora en $143,139,598.89 dólares.
Black Scholes
d1 1.336839048
d2 0.38815575
Valor del proyecto 143,139,598.89
evolución del valor del proyecto
115,000,000.00
120,000,000.00
125,000,000.00
130,000,000.00
135,000,000.00
140,000,000.00
145,000,000.00
0% 10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
porcentaje de recuperación
valor del proyecto
Gráfica 4.1 Valor del proyecto eólico con una opción de abandono.
Fuente: Elaboración propia.
Tabla. 4.3 Valor del proyecto a 10 años, con el modelo Black y Scholes.
Fuente: Elaboración propia.
49
Si el proyecto considera la opción de expandirse un 20%, con un costo de 24
millones de dólares en cualquier año de su vida, éste se valora entonces en
$148,527,717 dólares, según el modelo binomial que se presenta en la tabla 4
del anexo.
La tabla 4.2 muestra el comportamiento del valor del proyecto, con una opción
de expansión, considerando el porcentaje que se amplia y el costo que la
expansión conlleva.
Los valores de la tabla se muestran en la gráfica 4.2.
porcentaje costo valor del proyecto
0% 0 127,300,523
5% 6000000 132,607,322
10% 12000000 137,914,120
15% 18000000 143,220,919
20% 24000000 148,527,717
25% 30000000 153,834,516
30% 36000000 159,141,315
35% 42000000 164,448,113
40% 48000000 169,754,912
45% 54000000 175,061,711
50% 60000000 180,368,509
55% 66000000 185,675,308
60% 72000000 190,982,106
65% 78000000 196,288,905
70% 84000000 201,595,704
75% 90000000 206,902,502
80% 96000000 212,209,301
85% 102000000 217,516,099
90% 108000000 222,822,898
95% 114000000 228,129,697
100% 120000000 233,436,495
Tabla 4.4. Valores del proyecto eólico con una opción americana de expansión
Fuente: Elaboración propia.
50
4.4 Aportación de los bonos de carbono al proyecto eólico
El nuevo enfoque de los proyectos de inversión debe incluir el efecto del
beneficio o deterioro del medio ambiente, una forma de incluir esto es
incorporar los preceptos del protocolo de Kioto que se detallan en el artículo 12.
El mecanismo de cooperación entre países desarrollados y países emergentes
busca promover el desarrollo sostenible en base a energías limpias, para lo cual
se promueven los proyectos que reduzcan las emisiones de CO2, por medio del
otorgamiento de recursos económicos a cambio de la certificación de la
reducción de gases contaminantes, que se denominan bonos de carbono.
Entre los sectores que mayor potencial tiene para la utilización de los beneficios
de los bonos de carbono son los proyectos de energías renovables que es el
caso de los proyectos de energía eólica. Es importante destacar que el precio
Expanción del proyecto
0
50,000,000
100,000,000
150,000,000
200,000,000
250,000,000
0% 15%
30%
45%
60%
75%
90%
porcentaje del costo
valor del proyecto
Gráfica 4.2. Valor del proyecto eólico con una opción de expansión.
Fuente: Elaboración propia.
51
de los bonos de carbono está sujeto a la oferta y la demanda que determinan
los países industrializados los cuales cuentan con recursos para adquirir los
certificados y reducir el efecto de sus emisiones a fin de cumplir con los
acuerdos suscritos en el protocolo de Kioto.
Para efectos de análisis en la investigación se asume un promedio conservador
de un precio de cinco dólares por tonelada de carbono que corresponde a un
certificado o bono, la ventaja de utilizar un valor conservador es que cualquier
incremento mejora las conclusiones obtenidas.
El caso de estudio del proyecto eólico de CFE denominado la Venta 3
corresponde a una capacidad instalada de 100 MW, se parte del dato utilizado
por el banco mundial de un factor de planta del 42%, por lo que la producción
anual esperada de electricidad es de 367,929 MWh, el efecto de sustitución en
caso de producir con energías contaminantes representa un ahorro de
emisiones de 147,168 toneladas de CO2, que al convertirse en bonos de
carbono representa un monto anual de $735,840 dólares al año a valor
corriente y el acuerdo durante 20 años, de lo anterior se calcula el valor
presente neto que corresponde a un ahorro de $14,535,473 dólares si se utiliza
la misma tasa de descuento del proyecto de 18%, cuyo efecto es significativo
en el análisis y evaluación del proyecto porque mejora la viabilidad de la
inversión y es inmune a la sensibilidad de cambios en el precio del proyecto y el
incremento de la tasa de descuento hasta en cuatro puntos porcentuales como
se observa en la tabla 4.5.
52
EL Análisis sin considerar los bonos de carbono indica que el proyecto deja de
ser rentable con una tasa de descuento de 20%, a la que se encuentra un VPN
negativo de $2,262,510 dólares, cuando se consideran los beneficios que se
obtienen de la venta de bonos de carbono el proyecto se hace más atractivo, y
la tasa de descuento de equilibrio corresponde al 22.5%.
tasa de descuento VPN CO2 VPN inicial VPN total
0.18 $ 14,576,252 $ 7,300,523 $ 21,876,775
0.2 $ 14,558,549 -$ 2,262,510 $ 12,296,039
0.22 $ 14,540,179 -$ 11,964,898 $ 2,575,280
0.225 $ 14,535,473 -$ 14,188,377 $ 347,096
0.23 $ 14,530,720 -$ 16,332,173 -$ 1,801,452
0.24 $ 14,530,720 -$ 20,395,644 -$ 5,864,924
Fuente: Elaboración propia
Tabla 4.5. Valor presente neto con bonos de carbono.
53
Conclusiones Cuando se valúa el proyecto mediante el método de valor presente neto, se
deja a un lado la flexibilidad que existe en el proyecto de energía eólica y no
toma en cuenta el hecho de que el precio de la energía eólica pudiera cambiar
en un futuro en forma considerable así como la posibilidad de recibir
financiamiento de los bonos de carbono que hace mención el protocolo de
Kioto, y estos recursos y las opciones existentes en el proyecto incrementan el
valor del mismo significativamente.
El valor actual neto infravalora el proyecto, ya que no tiene en cuenta la
flexibilidad en la toma de decisiones a lo largo de la vida del proyecto. El valor
actual neto considera que una vez puesto en marcha el proceso de inversión,
es irreversible y en ningún caso habrá estados del mercado desfavorables, o
más favorables de lo previsto, para la continuación del proyecto.
El proyecto de generación eólica La Venta 3 de CFE fue evaluado mediante el
método del valor presente neto con una tasa de descuento del 18% que llega a
un valor de $127,300,523 dólares que se asumió como el caso de referencia
para el análisis comparativo, los parámetros utilizados para el análisis realizado
se encuentran reportados en el documento del Banco Mundial, el análisis del
estudio sirvió de base para establecer los criterios de comparación
fundamentado en moneda referida a 2006.
Al incorporar la posibilidad de abandonar el proyecto cuando el entorno
económico es desfavorable y evaluar la opción de abandono tipo europeo con
fecha de ejercicio en el año 10 y un valor de recuperación del 70% de la
inversión inicial se determina que el valor del proyecto con la opción de
abandono es de $130,224,167.7 dólares, lo que representa un incremento de
$2,943,645 que corresponde al 2.31% del valor original del proyecto.
54
Cuando se repitió el análisis con la opción de abandono tipo americano que
corresponde a incorporar el derecho de ejercer la opción a lo largo de la vida
del proyecto el valor crece a $133,265,765.67 dólares que representa una
diferencia de $5,965,242.67 dólares lo que representa el 4.68% por lo que el
diferencial del valor corresponde al derecho de cambiar de opinión cuando las
condiciones del proyecto no son las esperadas.
Al incorpora la posibilidad de expandir el proyecto en un 20% con un costo de
$24 millones de dólares cuando el entorno económico es favorable,
corresponde a la opción de expansión que es equivalente a una opción
americana de compra, en esta condición el proyecto alcanza un valor de
$148,527,717 dólares que al deducirlo del valor del proyecto sin opción de
expansión representa un valor presente $21,227,194.4, que es inferior a la
inversión original por lo que la opción no se ejerce.
Cuando se incorpora el efecto de los ingresos provenientes de los bonos de
carbono para producir energía limpia se tiene un ingreso de $735,840 dólares
anuales a valor corriente, incrementa el valor presente neto del proyecto en
$14,575,252, lo que hace significativamente más rentable invertir en esta clase
de proyectos, esto significa un rendimiento adicional de 14.12% sobre la
inversión más del doble del rendimiento evaluado originalmente por CFE, por lo
tanto se puede aseverar que la incorporación de los bonos de carbono en este
tipo de proyectos los hace altamente competitivos con cualquier tipo de
tecnología.
A partir de los datos reportados en el estudio del Banco Mundial sobre el
proyecto de comisión federal de electricidad se determinó que el factor de
planta asociado al proyecto corresponde al 42%, esto significa que por las
condiciones del viento la producción máxima que se debe esperar del proyecto
55
es equivalente a que los generadores operen diez horas diarias a plena carga.
Desde el punto de vista financiero el efecto de la incorporación de los bonos de
carbono hace sensible el proyecto ante grandes cambios en la tasa de
descuento, el proyecto sigue siendo viable aun si la tasa de descuento crece al
22.5%, esto es de gran valor para la propuesta analizada.
Por ultimo se concluye que en un proyecto de energía eólica crece
enormemente en valor cuando se tomo en cuenta el efecto de los bonos de
carbono y la posibilidad de asumir decisiones estratégicas a lo largo de la vida
del proyecto.
56
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57
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58
Anexo Tabla 1. Opción de abandono en el año 10
1 2 3 4 5 6
130244167.7 173568409 232798641 313412481 422714120 570521363 770123286
99368648.3 130502268 173531406 232629370 313260974 422652621
78279391.9 100054986 130628149 173307104 232333400
65199519.5 79816357.4 100654706 130453238
58827678.8 68233043.5 81525378
57938618.5 64140053.8
60996519.1
7 8 9 10
1039557701 1403256118 1894197631 2556899355
570521363 770123286 1039557701 1403256118
313108762 422652621 570521363 770123286
172770126 231956676 313108762 422652621
100911664 129608199 171837732 231956676
72132755.8 83246984.2 100018052 127300523
66076740.3 71580078.3 77541773.1 84000000
66076740.3 71580078.3 77541773.1 84000000
71580078.3 77541773.1 84000000
77541773.1 84000000
84000000
59
Tabla 2. Opción americana de abandono
1 2 3 4 5 6
133,265,765.67 175144072 233736016 314024323 423093716 570714694 770197264
104822833 133197777 175065368 233656008 313952100 423036075
88315552.8 104755673 133105773 174960136 233551309
84000000 88267529.3 104663156 132979831
84000000 84000000 88200348.6
84000000 84000000
84000000
7 8 9 10 11 12 13
1039580877 1403261410 1894198293 2556899355 3451453115 4658974386 6288957609
570674684 770173850 1039569947 1403257757 1894197631 2556899355 3451453115
313860838 422967131 570630775 770151489 1039561757 1403256118 1894197631
174818250 233414009 313746612 422887185 570585954 770133326 1039557701
104533732 132805054 174625179 233234008 313606329 422799585 570546211
84000000 88104562.7 104349200 132558454 174359900 232999346 313440578
84000000 84000000 84000000 87964657.4 104079673 132203362 173992054
84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 87753769.1 103673397
84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000
84000000 84000000
84000000
14 15 16 17 18 19
8489204818 11459227894 15468339700 20880074583 28185152578 38045976451
4658974386 6288957609 8489204818 11459227894 15468339700 20880074583
2556899355 3451453115 4658974386 6288957609 8489204818 11459227894
1403256118 1894197631 2556899355 3451453115 4658974386 6288957609
770123286 1039557701 1403256118 1894197631 2556899355 3451453115
422714120 570521362.6 770123286.2 1039557701 1403256118 1894197631
232698910 313260974.1 422652620.7 570521362.6 770123286.2 1039557701
131678916 173479215.3 232333400.5 313108762.4 422652620.7 570521362.6
87421999.1 103034242.5 130879214.8 172770125.6 231956676.3 313108762.4
84000000 84000000 86867478.14 101965958.7 129608199.4 171837732.2
84000000 84000000 84000000 84000000 85856365.94 100018052.4
84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000 84000000
84000000 84000000 84000000
60
84000000 84000000
84000000
20
51356696405
28185152578
15468339700
8489204818
4658974386
2556899355
1403256118
770123286.2
422652620.7
231956676.3
127300523
84000000
84000000
84000000
84000000
84000000
84000000
84000000
84000000
84000000
84000000
61
Tabla 3. Opción de expansión en el año 10
1 2 3 4 5 6
143,328,988.00 195386081 266155375 362208714 492375967 668537954 906720367
103724113 141647153 193400137 263904528 359750803 489755568
74741171.7 102112940 139623634 190987001 261187659
53798528.5 73353162 100204918 137141519
38913561.9 52814467 71819612.8
28459608.6 38448181.5
21042634.9
7 8 9 10
1228590172 1663455891 2250882364 3044279226
665746566 903696492 1225314449 1659907342
356851446 486731694 662470843 900147943
187987592 257896561 353575723 483183145
97915062.6 133946100 184050486 254348012
51960740.7 70257419.3 95064452.8 128760628
28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3
15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7
11548442.9 15588767.4 21042634.9
8555296.92 11548442.9
6337919.84
62
Tabla 4. Opción de expansión americana
1 2 3 4 5 6
148527717 201420976 272993303 369790126 500642680 677468026 916349888
108837860 147798742 200584070 272048170 368738339 499486324
79494668.8 108108830 146941624 199596110 270930581
57860435.1 78791468.3 107256708 145932206
41980115.5 57214745.3 77979282.2
30396231.4 41425459.6
22010826.4
7 8 9 10 11 12 13
1238998438 1674721148 2263082837 3057495331 4130061683 5578114244 7533040113
676207998 914984328 1237521854 1673124609 2261355103 3055624208 4128034720
367495131 498122109 674725225 913380878 1235790064 1671252324 2259328139
198427243 269606267 366023637 496512218 672981537 911500047 1233760223
106260056 144740622 197040015 268032566 364279295 494612919 670934243
56484996.7 77043411.9 105093076 143328988 195386081 266155375 362208714
29960975.8 40821657 55667953.2 75968679.6 103724113 141647153 193400137
15985526 21709282.2 29516231.1 40180197.1 54766715.8 74741171.7 102112940
11673969.5 15810573.7 21432631.3 29086449.7 39526630.7 53798528.5
8581017.63 11596379.9 15678008.6 21208568.1 28712716.3
6339993.31 8559291.45 11556138.4 15603592.6
4695246.5 6337919.84 8555296.92
3478324.16 4695246.5
2576805.91
14 15 16 17 18 19 20
1.0172E+10 1.3735E+10 1.8545E+10 2.5037E+10 3.3802E+10 45633016949 61604035686
5575918461 7530661449 1.017E+10 1.3732E+10 1.8542E+10 25033934707 33798183094
3053428425 4125656056 5573341686 7527870062 1.0167E+10 13728918680 18538007640
1669056541 2256949476 3050851649 4122864669 5570317812 7524594338 10163045782
909297142 1231381560 1666479765 2254158088 3047827775 4119588945 5566769263
492375967 668537954 906720367 1228590172 1663455891 2250882364 3044279226
263904528 359750803 489755568 665746566 903696492 1225314449 1659907342
139623634 190987001 261187659 356851446 486731694 662470842.8 900147943.4
73353162 100204918 137141519 187987592 257896561 353575722.6 483183144.8
38913561.9 52814467 71819612.8 97915062.6 133946100 184050486.3 254348011.5
21071195.8 28459608.6 38448181.5 51960740.7 70257419.3 95064452.77 128760627.6
11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.32 69864008.3
6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.08 38342180.7
3478324.16 4695246.5 6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.36 21042634.92
1908944.77 2576805.91 3478324.16 4695246.5 6337919.84 8555296.92 11548442.9
63
1414181.07 1908944.77 2576805.91 3478324.16 4695246.5 6337919.842
1047651.1 1414181.07 1908944.77 2576805.914 3478324.158
776119.026 1047651.1 1414181.069 1908944.772
574963.116 776119.0264 1047651.103
425943.1527 574963.1162
315546.4485
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