angela

1

– Valores de x tales que f ´(x) no existe– Es el conjunto vacío, porque f ´(x) esta definida

para todo x.

• Los únicos puntos críticos de f son x = -1, x = 0, x = 2.

• Evaluación de f en los puntos críticos– f(-1) = 0 , f( 0) = 5 , f(2) = -27

• Evaluación de f en x = -2 y x = 4– f(-2) = 37 , f(4) = 325

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2

Punto terminal izquierdo

Punto crítico

Punto crítico

Punto crítico

Punto terminal derecho

x = -2 x = -1 x = 0 x = 2 x = 4

f (-2) = 37 f (-1) = 0 f (0) =5 f (2) = -27Mínimo

f (4) = 325Máximo

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Ejemplo 2

Determinar los extremos de f (x) = x 2/3(6 – x)1/3

en el intervalo [-3, 7]

• Solución• Puntos críticos de f en el intervalo (-3, 7)

– Valores de x tales que f ´(x ) = 0– f ´(x) = 0 4 – x = 0 x = 4

3/23/1 )6(

4)´(

xx

xxf

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– Valores de x tales que f ´(x) no existe– f ´(x) no existe x = 0 , x = 6

• Los puntos críticos de f son x = 0, x = 4, x = 6.

• Evaluación de f en los puntos críticos– f(0) = 0 , f( 4) = 3.175 , f(6) = 0– Evaluación de f en x = -2 y x = 7– f(-3) = 4.327 , f(7) = -3.659

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Punto terminal izquierdo

Punto crítico

Punto crítico Punto crítico

Punto terminal derecho

x = -3 x = 0 x = 4 x = 6 x = 7

f (-3) = 4.327Máximo

f (0) = 0 f (4) =3.1750 f (2) = 0 f (7) = - 3.659Mínimo

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1. Puntos x para los cuales f ´´ (x ) = 0 o f ´´(x) no existe– Valores de x tales que f´´(x ) = 0– f ´´(x) = 0 3(x2 – 9) = 0

x2 = 9de donde x = -3 y x = 3

– Valores de x tales que f ´(x) no existe– El conjunto de valores de x tales que f ´´(x) no está

definida es igual al conjunto vacío, porque f ´´(x) esta definida para todo x.

Los intervalos de prueba vienen a ser (- ∞, - 3), (-3, 3) y (3, +∞)

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Intervalo (-∞, -3) (-3. 3) (3, + ∞)

Valor de prueba

-4 0 4

Signo de f ´´(x)

f ´´(-4)>0 f ´(-0)<0 f ´(4)>0

Conclusión Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba

2. El análisis del signo de f´´ (x) y la aplicación del criterio de concavidad, se resume el siguiente cuadro

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Definición• • Sea f una función continua en un intervalo

abierto y sea c un punto en ese intervalo. Si la gráfica de f tiene una recta tangente en este punto (c, f( c)), entonces ese punto es un punto de inflexión de la gráfica de f si la concavidad de f cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo ( o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba)

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Teorema

• Si (c, f( c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces f´´( c) = 0 o f´´(c) no existe.

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¿Cómo determinar los puntos de inflexión de la gráfica de una función?

Sea c un punto tal que f’’(c)=0 o f’’(c) no existe, entonces

• Si f ´´ (c) cambia de negativa a positiva en c, entonces la gráfica de f tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).

• Si f ´´(c) cambia de positiva a negativa en c, entonces la gráfica de f tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).

• Si f ´´(c) es positiva o negativa a ambos lados de c, entonces la gráfica de f no tiene un punto de inflexión en (c, f (c) ).

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Criterio de la segunda derivada y extremos relativos

• Sea f una función tal que f ´( c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.

• Si f ´´ ( c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f( c)).

• Si f ´´ ( c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f( c)).

• Si f ´´ ( c) = 0, entonces el criterio falla. (en tal caso se puede utilizar el criterio de la primera derivada)

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Ejemplo 6• La gráfica del ejemplo 5 tiene dos puntos de

inflexión: (-3, f(-3) ) y (3, f(3) ).• Verificar.

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Problema 1

La tasa de operación (expresada como un porcentaje) de las fábricas, minas y servicios en cierta región del país en el día t del año 2007 está dada por la función.

¿En cuál de los primeros 250 días del 2007 alcanzó un

máximo la tasa de operación?

2500,40000

120080)(

2

tt

ttf

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Problema 2

• La demanda de los neumáticos Super Titán es de 1000000 por año. El costo de inicio de cada nueva producción es de $4000y y el costo de producción es de $20 por neumático. El costo de almacenamiento de cada neumático durante el año es $2. Si se supone que la demanda es uniforme durante el año y que existe una producción instantánea ¿Cuántos neumáticos deben fabricarse en cada nueva producción para mantener los costos al mínimo?

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Actividad grupal

Ver hoja adjunta

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