analisis de redes -electronica
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Departamento de Teoría de la Señal y ComunicacionesEscuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación
UNIVERSIDAD DE VIGO
web: www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/index.htmlweb: www.tsc.uvigo.es/Docencia/FichasAsignaturas/ar.php
Análisis de redesTransparencias de clase
Enrique SánchezArtemio Mojón
Vigo, enero 2003
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación. Lagoas-Marcosende, s/n. 36200 VIGOTfno.: 986812142. Fax: 986812116. Correo electrónico: esanchez@tsc.uvigo.es, amojon@tsc.uvigo.es
Análisis de redesTransparencias de clase
Índice
Conceptos básicos ....................................................................................... 1
Régimen transitorio .................................................................................... 25
Régimen sinusoidal permanente.................................................................... 79
Cuadripolos ............................................................................................... 169
Análisis de redesTransparencias de clase
Conceptos básicos
Conceptos básicos - 1: páginas 3-9Conceptos básicos - 2: páginas 10-22Ejercicios de repaso: página 23
Los sistemas electromagnéticos se analizan utilizando las ecuaciones de Maxwell.
Se requiere un proceso de cálculo complejo para determinarlas intensidades de los campos eléctrico y magnético.
Se utilizan simplificaciones matemáticas(teoría de circuitos, teoría de líneas de transmisión).
Aproximación básica de la teoría de circuitos (análisis de redes)
Las dimensiones de los elementos del sistema son mucho menoresque la menor de las longitudes de onda de las señales.
Consecuencia
Las magnitudes a calcular son
Magnitud Símbolo Unidadesvoltaje / tensión v(t) voltios (V)
corriente i(t) amperios (A)potencia |p(t)| = |v(t)i(t)| watios (W)
energía w = p(t)dtt1
t2
julios (J)
En general, estas magnitudes varían con el tiempo (t).
Análisis: se supone que el sistema está formado por elementos ideales y se aplican las leyes de Kirchhoff.
Elementos ideales
Esquemav = f (i)
i = f-1 (v)
+v-
i
term
inal
es(b
orne
s)
rela
cion
esfu
ncio
nale
s
CaracterísticasUn elemento ideal no puede descomponerse en otros.Sólo tiene dos terminales.Los terminales pueden estar a distinta tensión.La corriente que entra por un terminal es iguala la que sale por el otro.La corriente y la tensión están relacionadaspor una función (distinta en cada elemento).En el cálculo de la potencia se aplica el convenio pasivo.Se clasifican en activos y pasivos.
Convenio pasivo de signos
Se asignan arbitrariamente la polaridad de la tensión (+ -)y el sentido de la corriente (-> <-).
v +- - v+ -= i = - i
v
i
+ - v
i
+ - v
i
+- v
i
+-p = vi p = - vi p = - vi p = vi
Si p < 0, el elemento libera energía.Si p > 0, el elemento absorbe energía.
Elementos activos (fuentes, generadores)Representan la excitación que se aplica al resto del circuito.
ClasificaciónPor la magnitud: de tensión, de corriente.Por la relación con otros elementos:
independientes,dependientes (su valor depende de otros elementos).
Por la relación con el tiempo:continuas (el valor no cambia con el tiempo),variables (el valor cambia con el tiempo).
Representación gráfica
+ - + -
Fuente de tensiónindependiente
(continua o variable)
Fuente de tensiónindependiente
continua
Fuente de tensiónindependiente
sinusoidal
Fuente de corrienteindependiente
(continua o variable)
Fuente de corrientedependiente
(continua o variable)
Fuente de tensióndependiente
(continua o variable)
Fuente de tensiónImpone en sus bornes la tensión indicada por la relación funcional; soporta cualquier corriente.
Fuente de corriente:Impone en sus bornes la corriente indicada por la relación funcional; soporta cualquier tensión.
Elementos pasivosSoportan la excitación proporcionada por las fuentes.
Caracterización de los elementos pasivos
Esquema Elementoy unidades
Relaciónfuncional
Observaciones
v+
-
i
R
Resistencia
Ohmios (Ω)v = Ri Ley de Ohm
v+
-
i
G
Conductancia
Siemens (S)i = Gv Ley de Ohm
v+
-
i
L
Inductancia
Henrios (H)v = L di
dt
No soportacambios bruscos
de corriente
v+
-
i
C
Capacidad
Faradios (F)i = C dv
dt
No soportacambios bruscos
de tensión
+
-
i
R = 0Cortocircuito v = 0 Soporta
cualquier corriente
+
-
i
R = ∞Circuitoabierto
i = 0 Soportacualquier tensión
Si se cambia el sentido de la corriente con relación a la tensión, hay que utilizar un signo menos en el segundo miembro de la relación funcional.
L y C son elementos reactivos; almacenan y liberan energía.R y G son elementos resistivos; disipan energía.
Análisis
Analizaremos exclusivamente circuitos lineales(los elementos pasivos tienen valores positivos, constantes con eltiempo, e independientes de los valores de cualquier otro elemento),con lo que podremos aplicar el principio de superposición.
Principio de superposición
Si en un sistema lineal la respuesta a una excitación xk (k = 1, 2,... n) es una salida yk,la respuesta a una excitación compuesta por una combinación lineal de las excitaciones xkes una salida que es la misma combinación lineal de las excitaciones xk.
sistemalinealxk yk k = 1, 2,... n
sistemalineal
ak = cte, para todo k
Σ akxk Σ akyk
La linealidad (y el principio de superposición)sólo se mantiene si las salidas son tensiones o corrientes,y no si las salidas son potencias o energías.
Leyes de Kirchhoff
DefinicionesNudo: punto en el que se conectan dos o más elementos.Malla: conjunto cerrado de elementos conectados
uno a uno que puede recorrerse sin pasar dos veces por ninguno de ellos.
Ley de las corrientes en los nudosLa suma algebraica de las corrientes en un nudo es nula.
Σ ik = 0, k = 1, 2,... nn: número de elementos conectados al nudo
Ley de las tensiones en las mallasLa suma algebraica de las tensiones en una malla es nula.
Σ vk = 0, k = 1, 2,... nn: número de elementos que forman la malla
Análisis de redes
Analizar un circuito consiste en calcular las corrientes y las tensiones en sus elementos (y, en caso necesario, potencias y energías).
Para ello hay que: plantear las leyes de Kirchhoff en los nudos y en las mallas;relacionar la corriente y la tensión en cada elementomediante su correspondiente relación funcional.
Ejemplo de análisis de redes
vg
R1
R2
R3
Conocidos los valores de vg, R1, R2, y R3,se desea hallar los valoresde las corrientes y las tensionesen todos los elementos del circuito.
vg
R1
R2
R3
a b
cd
i1i2
i3
ig
+ v1 -
+ v3 -
+v2
-
Se identifican los nudos (a, b, c, y d)y las mallas (abcd) del circuito.
Se asignan tensiones y corrientesarbitrarias a los distintos elementos(excepto para la fuente,el sentido de cuya tensión ya está especificado).
nudo a: ig - i1 = 0nudo b: i1 + i2 = 0nudo c: i2 - i3 = 0nudo d: i3 + ig = 0
Se aplica la ley de las corrientesa los nudos(una ecuación por cada nudo).
malla abcd: vg - v1 - v2 + v3 = 0
Se aplica la ley de las tensionesa las mallas(una ecuación por cada malla).
v1 = R1i1
v2 = - R2i2
v3 = R3i3
Se consideran las relacionesfuncionales de los elementos(una relación por elemento).
A partir del sistema de ecuaciones es posible hallar las corrientes y las tensiones buscadas.
Refinamientos del análisis de redes
El análisis de un circuito mediante la aplicación directade las leyes de Kirchhoff puede ser muy complicado.
Para resolver este problema pueden utilizarsesimplificaciones y procedimientos derivados, sin aproximaciones matemáticas, de las leyes de Kirchhoff.
SimplificacionesElementos en serie.Elementos en paralelo.Equivalencia ∇ -Y (∏-T) entre agrupaciones de resistencias.Divisores de tensión.Divisores de corriente.
ProcedimientosAnálisis por mallas.Análisis por nudos.
Otros aspectos (también derivados de las leyes de Kirchhoff)Equivalentes de Thèvenin y Norton.
Elementos en serie
Se dice que dos elementos están en serie cuando tienen un nudo común,y a este nudo no se conecta ningún otro elemento.
a b c Los elementos a, b y cestán en serie
La corriente que circula por un conjunto de elementos en serie es igual en todos ellos. Por tanto:
no es posible conectar en serie fuentes de corriente de distintos valores;si los elementos en serie son idénticos en naturaleza y valor, la tensión es igual en ellos.
Elementos en serie de igual naturaleza pueden agruparse.
E1 En
i1 in= = = = i
Eeq
iElementos de igual naturaleza en serie Elemento equivalente
Fuentes de tensión vk (k = 1, 2,... n)
Resistencias Rk (k = 1, 2,... n)
Inductancias Lk (k = 1, 2,... n)
Capacidades Ck (k = 1, 2,... n)
veq = vk∑k = 1
n
Req = Rk∑k = 1
n
Leq = Lk∑k = 1
n
1Ceq
= 1Ck
∑k = 1
n
Elementos en paralelo
Se dice que dos elementos están en paralelo cuando los terminales de todos ellos se conectan a los mismos nudos.
a b c Los elementos a, b y cestán en paralelo
La tensión en un conjunto de elementos en paralelo es igual en todos ellos. Por tanto:
no es posible conectar en paralelo fuentes de tensión de distintos valores;si los elementos en paralelo son idénticos en naturaleza y valor, la corriente es igual en ellos.
Elementos en paralelo de igual naturaleza pueden agruparse.
E1v1 = ... = vn = vEn
+v1 -
+vn
-Eeq
+v -
Elementos de igual naturaleza en paralelo Elemento equivalente
Fuentes de corriente ik (k = 1, 2,... n)
Resistencias Rk (k = 1, 2,... n)
Inductancias Lk (k = 1, 2,... n)
Capacidades Ck (k = 1, 2,... n)
ieq = ik∑k = 1
n
1eq
= 1Rk
∑k = 1
n
1eq
= 1Lk
∑k = 1
n
Ceq = Ck∑k = 1
n
Divisor de tensión
v
+ v1 -
R1+v2
-R2
v1 = v R1
R1 + R2
v2 = v R2
R1 + R2
Divisor de corriente
iR1 R2i1 i2
i1 = i R2
R1 + R2
i2 = i R1
R1 + R2
Transformación de generadores
vR
a
b iR
a
b
Desde la perspectiva de un circuito externo conectado a los terminales a y b, ambos esquemas son iguales si se cumplen las relaciones indicadas más abajo. Sin embargo, téngase presente que para cálculos de corrientes y tensiones en el conjunto generador-resistencia la equivalencia no se mantiene en general.
v = Ri i = v/R
Utilización de las simplificaciones
vg ig
R1
R2
R3
R4
R5
R6
+v6
-
vg = 60 V, ig = 5.6 mA,R1 = 30 kΩ, R2 = 60 kΩ,R3 = 5 kΩ, R4 = 100 kΩ,R5 = 1 kΩ, R6 = 4 kΩ
Hallar v6
i1 igR1 R2
R3
R4
R5
R6
+v6
-
Transformación de fuente
i1 = vg
R1
i1 igR12
R3
R4
R5
R6
+v6
-
Agrupación de resistencias en paralelo
R12 = R1R2
R1 + R2
v12 ig
R12 R3
R4
R5
R6
+v6
-
Transformación de fuentev12 = R12i1
v12ig
R123
R4
R5
R6
+v6
-
Agrupación de resistenciasen serie
R123 = R12 + R3
igR123 R4
R5
R6
+v6
-
i2Transformación de fuentes
i2 = v12
R123
Utilización de las simplificaciones
i3 R1234
R5
R6
+v6
-
Agrupación de resistencias en paralelo
R1234 = R123R4
R123 + R4
Agrupación de fuentes en paraleloi3 = ig - i2
R1234 R5
R6
+v6
-v1234
Transformación de fuentev1234 = R1234i3
R12345
R6
+v6
-v1234
Agrupación de resistenciasen serie
R12345 = R1234 + R5
R12345
R6
+v6
-v1234
Divisor de tensión
v6 = v1234 R6
R12345 + R6 = 12.8 V
Equivalentes de Thèvenin y Norton
Un circuito puede conectarse a una red externaa través de dos o más terminales.
Si una red externa está conectada a un circuito a través de dos terminales, el comportamiento del segundo puede representarse mediante los equivalentes de Thèvenin y Norton.
Un circuito tiene tantos equivalentes distintoscomo parejas de terminales se consideren.
Equivalentes de Thèvenin y Norton en continua
a
b VTh
RTh
a
b IN RN
a
b
Circuito original Equivalentede Thèvenin
Equivalentede Norton
Entre los equivalentes se cumplen las relaciones(transformación de fuentes)
RTh = RN VTh = RNIN IN = VTh
RTh
Si entre los terminales a y b se conecta una resistenciaRL = RTh
la potencia disipada en dicha resistencia es la máxima posible, y vale
pmax = VTh2
4RTh
Análisis por mallas
Identificación de mallasEn un circuito hay r - (n - 1) mallas independientes.
n: número de nudos esenciales.nudo esencial: conecta tres o más elementos.
r: número de ramas esenciales.rama esencial: camino entre dos nudos esencialesque no pasa por otro nudo esencial.
Sistema de ecuacionesA cada malla independiente se asigna una corriente.Se formula una ecuación por cada malla independiente(refleja la ley de Kirchhoff de las tensiones en la malla).Las incógnitas son las corrientes de las mallas.
Ecuaciones adicionalesDebe formularse una ecuación adicional por:
cada fuente independiente de corriente,cada fuente dependiente.
Las incógnitas de las ecuaciones adicionalesestán relacionadas con los elementos que las introducen.
NotaLas corrientes de malla no tienen existencia real.Las corrientes que tienen sentido físico y pueden medirseson las corrientes de rama.En una rama no compartida entre dos mallasla corriente coincide con la de la mallade la que forma parte la rama.
Ejemplo de análisis por mallas
va vb
R1
R4
R2R3
R5
i3
Datos:va, vb, R1, R2, R3, R4, R5
Hallar i3
i3 = ia - ib
va vb
R1
R4
R2R3
R5
i3
+ v1 -
+ v4 -
+ v2 -
+ v5 -
+v3 -ia ib
Asignación de corrientesde malla (sentido arbitrario)y tensiones (polaridad arbitraria)
va - v1 - v3 + v4 = 0v3 - v2 - vb + v5 = 0
Ley de Kirchhoffde tensiones en las mallas
v3 = R3i3 = R3(ia - ib)v1 = R1ia, v4 = - R4ia
v2 = R2ib, v5 = - R5ib
Relaciones funcionales
va - R1ia - R3(ia - ib) - R4ia = 0R3(ia - ib) - R2ib - vb - R5ib = 0
Ecuaciones de malla
va = ia(R1 + R3 + R4) - ibR3
vb = iaR3 - ib(R3 + R2 + R5)Ecuaciones de malla(ordenadas)
Prescindiendo de signos:suma algebraica fuentes tensión independientes en malla == corriente de malla X suma resistencias malla ++ suma algebraica (resistencia compartida XX corriente en resistencia compartida)
Los signos dependen de las relaciones entre:corrientes y fuentes en una malla,corrientes en las ramas compartidas.
Ejemplo de análisis por mallasR1
R2
R3
i2ig vd
Datos: vd = ri2,
ig, r, R1, R2, R3
Hallar potencias en las fuentes
R2
i2+vg - ia ibig vd
R1 R3 Identificación de incógnitas
vg = ia(R1 + R2) - ibR2
vd = - iaR2 + ib(R2 + R3)Ecuaciones de malla
vd = ri2 = r(ib - ia) Ecuación adicionalpara la fuente dependiente
ia = ig Ecuación adicionalpara la fuente de corriente
pg = - vgig, pd = - vdib Cálculos
Análisis por nudos
Identificación del nudo de referenciaSe escoge arbitrariamente un nudo esencial como referencia y se le asigna una tensión arbitraria.Suele escogerse el nudo con más conexionesy suele asignársele una tensión nula.
Indicación del nudo de referencia con tensión nula(conexión a tierra, a masa).
Sistema de ecuacionesA cada nudo esencial se asigna una tensióncon relación al de referencia.Se formula una ecuación por cada nudo(refleja la ley de Kirchhoff de las corrientes en el nudo).Las incógnitas son las tensiones en los nudos(excepto la del de referencia).
Ecuaciones adicionalesDebe formularse una ecuación adicional por:
cada fuente independiente de tensión,cada fuente dependiente.
Las incógnitas de las ecuaciones adicionalesestán relacionadas con los elementos que las introducen.
NotaLas tensiones en los nudos no tienen existencia real.Las tensiones que tienen sentido físico y pueden medirseson las diferencias de tensiones entre los nudosy el de referencia.
Ejemplo de análisis por nudos
Rai1 Rb
Rc
i2
Datos:i1, i2, Ra, Rb, Rc
Hallar la potencia en Rc
Rai1 Rb
Rc
i2
icv1 v2
ia ibvo
Identificación de nudosy asignación de tensiones (vo = 0 V).Asignación arbitraria del sentido de las corrientes de rama.
i1 - ia - ic = 0i2 - ib - ic = 0
Ley de Kirchhoffde corrientes en los nudos
ia = (v1 - vo) / Ra = v1/Ra
ic = (v1 - v2) / Rc
ib = (vo - v2) / Rb = - v2/Rb
Relaciones funcionales
i1 - (v1/Ra) - (v1 - v2) / Rc = 0i2 - (- v2/Rb) - (v1 - v2) / Rc = 0
Ecuaciones de nudo
i1 = v11Ra
+ 1Rc
- v2
Rc
- i2 = - v1
Rc + v2
1Rb
+ 1Rc
Ecuaciones de nudo(ordenadas)
pc = ic(v1 - v2) Cálculo
suma algebraica fuentes corriente independientes en nudo == tensión de nudo X suma conductancias nudo -- suma algebraica (conductancia compartida XX tensión en otro nudo de conductancia compartida)
Los signos de las fuentes se toman positivossi sus corrientes entran en el nudo considerado.
Ejemplo de análisis por nudos
R1R2
R3 idvg
+ vb - Datos: id = gvb,
vg, g, R1, R2, R3
Hallar potencia en la fuente independiente
R1R2
R3 id
v1 v2
ig
vo
vg
+ vb - Identificación de nudosy asignación de tensiones(vo = 0 V)
- ig = v11R1
+ 1R2
- v2
R2
id = - v1
R2 + v2
1R2
+ 1R3
Ecuaciones de nudo
id = gvb = g(v1 - v2) Ecuación adicionalpara la fuente dependiente
v1 = - vg Ecuación adicionalpara la fuente de tensión
pg = - vgig Cálculo
CONTINUA 2003/1
VG = 5 V, IS = - 1 mA, ID = gV3,g = 1 mS, R1 = R2 = R3 = R4 = 1 kΩ
El circuito de la figura funciona en régimen perma-nente continuo. Hallad las potencias en las tres fuentes (indi-cando si liberan o absorben energía) y la tensión entre x e y.
R1
VG
+V3-
x y
IS
ID
R3
R4
R2
CONTINUA 2003/2
VG = 1 V, IS = 250 mA,R1 = R2 = R3 = R4 = 2 Ω
El circuito de la figura funciona en régimenpermanente continuo. Hallad la tensión V4.
R1
VG IS
R3
R4
R2
+V4-
Análisis de redesTransparencias de clase
Régimen transitorio
Transitorio-1: páginas 27-40Ejercicios para resolver en clase: página 41Transitorio-2: páginas 42-51Transitorio-3: páginas 52-69Ejercicios para resolver en clase: página 70Transitorio-4: páginas 71-78
En el régimen permanentela excitación mantiene sus características mucho tiempo;la excitación fue aplicada hace mucho tiempo.
En régimen permanente, las salidas del circuito (corrientes,tensiones) son de la misma forma que la excitación.
Una excitación continua provoca salidas continuas.Una excitación sinusoidal provoca salidas sinusoidales.
El régimen transitorio es el que se produce inmediatamente despuésde que se aplique o se suprima una excitación.
exci
taci
óny
elem
ento
sas
ocia
dos
otro
sel
emen
tos
t = taInterruptor cerrado: cortocircuito.
Interruptor abierto: circuito abierto.
En régimen transitorio, las salidas del circuitono son de la misma forma que la excitación.Ello se debe a la presencia de elementos reactivos(sus relaciones funcionales implican dependencias del tiempo).En un circuito puramente resistivo no hay régimen transitorio.
Condiciones de estudiodel régimen transitorio
La excitación que se aplica al circuito o se suprime de él es continua.Sólo se analizan respuestas de circuitoscon dos elementos reactivos como mucho.Los cálculos se realizan mediante análisis integro-diferencial.
Elementos reactivos en régimen transitorio
Relaciones funcionales
i
L o C+ v -
vL = L diL
dtiC = C dvC
dt
ConsecuenciasLa corriente no puede variar bruscamente (en un tiempo nulo)en una inductancia (provocaría tensión infinita).La tensión no puede variar bruscamente (en un tiempo nulo)en una capacidad (provocaría corriente infinita).La tensión en una inductancia y la corriente en una capacidadsí pueden variar bruscamente.(Las resistencias admiten cambios bruscos de corriente y tensión).En continua
la inductancia se comporta como un cortocircuito(tensión nula ya que la corriente es constante);la capacidad se comporta como un circuito abierto(corriente nula ya que la tensión es constante).
Condiciones iniciales y finalesIniciales (t = 0): las que hay en el circuito cuando cesa el permanente (t = 0-) y empieza el transitorio (t = 0+).Finales (t = ∞): las que hay en el circuitocuando cesa el transitorio y se llega al permanente.
Determinación de condicionesiniciales y finales(aplicación de excitación, cálculo directo, septiembre 1999)
IG C RR
L
t = 0iC +vC -
+vL
-
iL
Datos:IG (continua), R, L, C
Hallar condiciones ent = 0-, t = 0+, y t = ∞
iC(0-) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(0-) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(0-) = 0 L no está conectada a la excitación
vC(0-) = RIG toda corriente fuente se va por R paralelo C;las tensiones en R y C son iguales
vC(0+) = vC(0-) = RIG tensión en C no cambia bruscamente
iL(0+) = iL(0-) = 0 corriente en L no cambia bruscamente
vL(0+) = RIG en la malla que contiene a LvC (0+) = RiL(0+) + vL(0+)
iC(0+) = 0 vC (0+) = vC (0-) →toda corriente fuente se va por R paralelo Cmanteniendo la tensión en C
iC(∞) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(∞) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(∞) = IG/2 toda corriente fuente se reparte entre R y R(iC (∞) = 0) igual entre ambas
vC(∞) = RIG/2 tensión en C igual a tensión R paralelo C
Determinación de condicionesiniciales y finales(aplicación de excitación, cálculo directo, junio 2001)
IG C
R R
L
t = 0 iC +
vC
-
+vL
-
iLavL
Datos:IG (continua), a, R, L, C
Hallar: condiciones ent = 0-, t = 0+, y t = ∞;
wL (0 ≤ t ≤ ∞)
iC(0-) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(0-) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(0-) = 0 iL(0-) + iC(0-) = 0vC(0-) = 0 vC(0-) = avL(0-) + RiL(0-) + vL(0-)
vC(0+) = vC(0-) = 0 tensión en C no cambia bruscamente
iL(0+) = iL(0-) = 0 corriente en L no cambia bruscamente
iC(0+) = IG iC(0+) = IG - vC(0+)/R - iL(0+)vL(0+) = 0 vC(0+) = avL(0+) + RiL(0+) + vL(0+)
iC(∞) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(∞) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(∞) = IG/2 toda corriente fuente se reparte entre R y R(iC (∞) = 0) igual entre ambas
vC(∞) = RIG/2 vC(∞) = avL(∞) + RiL(∞) + vL(∞)
wL = pL(t)dt0
∞
= vL(t)iL(t)dt0
∞
= iL(t)Ld iL(t)
dtdt
0
∞
= L2
iL2 (∞) - iL2(0)
Determinación de condicionesiniciales y finales(aplicación de excitación, cálculo directo, diciembre 2002)
IG
R
t = 0
C
+vC
- aiC
iL
LiC
+vL-
Datos:IG (continua), a, R, L, C
Hallar: condiciones ent = 0-, t = 0+, y t = ∞;
wL (0 ≤ t ≤ ∞)
iC(0-) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(0-) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(0-) = 0 L no está conectada a la excitación
vC(0-) = 0 vC(0-) = vL(0-)
vC(0+) = vC(0-) = 0 tensión en C no cambia bruscamente
iL(0+) = iL(0-) = 0 corriente en L no cambia bruscamente
iC(0+) = IG/(1 - a) IG = vC(0+)/R + (1 -a)iC(0+) + iL(0+)vL(0+) = 0 vL(0+) = vC(0+)
iC(∞) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(∞) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(∞) = IG IG = vC(∞)/R + (1 -a)iC(∞) + iL(∞)
vC(∞) = 0 vC(∞) = vL(∞)
wL = pL(t)dt0
∞
= vL(t)iL(t)dt0
∞
= iL(t)Ld iL(t)
dtdt
0
∞
= L2
iL2 (∞) - iL2(0)
Determinación de condicionesiniciales y finales(supresión de excitación, cálculo directo, julio 1999)
CR
Lt = 0
iC +vC
-
iL
VG
+ vL -
R
Datos:VG (continua), R, L, C
Hallar: condiciones ent = 0-, t = 0+, y t = ∞;
wC (0 ≤ t ≤ ∞)
iC(0-) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(0-) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(0-) = 2VG/R iC (0-) = 0 → VG = vL(0-) + (R//R)iL(0-)vC(0-) = VG VG = vL(0-) + vC(0-)
vC(0+) = vC(0-) = VG tensión en C no cambia bruscamente
iL(0+) = iL(0-) = 2VG/R corriente en L no cambia bruscamente
iC(0+) = - VG/R iC(0+) + vC(0+)/R = 0vL(0+) = - VG VG = vL(0+) + RiL(0+)
iC(∞) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(∞) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(∞) = VG/R vL(∞) = 0
vC(∞) = 0 iC(∞) + vC(∞)/R = 0
wC = pC(t)dt0
∞
= vC(t)iC(t)dt0
∞
= vC(t)Cd vC(t)
dtdt
0
∞
= C2
vC2 (∞) - vC
2 (0)
Determinación de condicionesiniciales y finales(supresión de excitación, cálculo directo, junio 2000)
IG
t = 0
C
R R
L
iC +vC
-
+vL
-
iLavC
R
Datos:IG (continua), a, R, L, C
Hallar condiciones ent = 0-, t = 0+, y t = ∞
iC(0-) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(0-) = 0 L es un cortocircuito en continua
iL(0-) = IG(1 - a)/(3 - a)
vC(0-) = RIG/(3 - a)
IG = vC(0-)/R + iC(0-) + vC(0-)/R + iL(0-)
vC(0-) = avC(0-) + RiL(0-) + vL(0-)
vC(0+) = vC(0-) tensión en C no cambia bruscamente
iL(0+) = iL(0-) corriente en L no cambia bruscamente
iC(0+) = IG(2 - a)/(3 - a) IG = iC(0+) + vC(0+)/R
vL(0+) = RIG(a - 2)/(3 - a) 0 = RiL(0+) + vL(0+) + avC(0+) + RiL(0+)
iC(∞) = 0 C es un circuito abierto en continua
vL(∞) = 0 L es un cortocircuito en continua
vC(∞) = RIG IG = iC(∞) + vC(∞)/R
iL(∞) = - aIG/2 0 = RiL(∞) + vL(∞) + avC(∞) + RiL(∞)
Determinación de condicionesiniciales y finales(aplicación de excitación, cálculo directo, otras variables, septiembre 2002)
VG
R t = 0 R
+ v1 -
C
+vC
-RiL
iLL
iC
R
Datos:IG (continua), a, R, L, C
Hallar: v1, vC, iL e iC
en t = 0-, t = 0+, y t = ∞iL(0-) = 0 L no está conectada a la excitación
v1(0-) = 0 v1(0-) = RiL(0-)
iC(0-) = 0 C es un circuito abierto en continua
vC(0-) = 0 RiL(0-) = RiC(0-) + vC(0-)
iL(0+) = iL(0-) = 0 corriente en L no cambia bruscamente
v1(0+) = 0 v1(0+) = RiL(0+)
vC(0+) = vC(0-) = 0 tensión en C no cambia bruscamente
iC(0+) = 0 RiL(0+) = RiC(0+) + vC(0+)
iL(∞) = VG/(2R) VG = (R + R)iL(∞) + vL(∞), vL(∞) = 0
v1(∞) = VG/2 v1(∞) = RiL(∞)
iC(∞) = 0 C es un circuito abierto en continua
vC(∞) = VG/2 RiL(∞) = RiC(∞) + vC(∞)
Determinación de condicionesiniciales y finales(aplicación de excitación, cálculo directo, otras variables, junio 2002)
VG
R t = 0 R
+ v1 -
C
+vC
- gvC
RiL
L
i2
R
Datos:IG (continua), g, R, L, C
Hallar: v1, vC, iL e i2
en t = 0-, t = 0+, y t = ∞;wG (0 ≤ t ≤ ∞)
v1(0-) = 0 v1(0-) = RiC(0-), iC(0-) = 0 vC(0-) = 0 C no está conectada a la excitación
iL(0-) = 0 gvC(0-) = iL(0-) + i2(0-)i2(0-) = 0 vL(0-) = 0 → iL(0-) = i2(0-)
iL(0+) = iL(0-) = 0 corriente en L no cambia bruscamente
vC(0+) = vC(0-) = 0 tensión en C no cambia bruscamente
v1(0+) = VG/2 v1(0+) = RiC(0+), VG = (R + R)iC(0+) + vC(0+)i2(0+) = 0 gvC(0+) = iL(0+) + i2(0+)
v1(∞) = 0 v1(∞) = RiC(∞), iC(∞) = 0
vC(∞) = VG VG = (R + R)iC(∞) + vC(∞)
iL(∞) = gVG/2 gvC(∞) = iL(∞) + i2(∞)
i2(∞) = gVG/2 vL(∞) = 0 → iL(∞) = i2(∞)
wG = pG(t)dt0
∞
= - VGiC(t)dt0
∞
= - VGCdvC(t)dt
dt0
∞
= - CVG[vC(∞) - vC(0)]
Determinación de condicionesiniciales y finales(cálculo directo, otras variables, junio 1998)
t = 0
VG
+v3 -
i1RG
L1
i2C2 R3
i3
gVG R4
i4 i5C5 R6
i6t = 0 i7
L7
+v7 -
Datos: VG (continua), g, RG, L1, C2, R3, R4, C5, R6, L7
Hallar las variables que se indican en negrita
v3(0+) = vC2(0+) = vC2(0-) = vL1(0-) = 0i1(0+) = i1(0-) = [VG - vL1(0-)]/RG = VG/RG
i3(0+) = v3(0+)/R3 = 0i2(0+) = - i1(0+) - i3(0+) = - VG/RG
i7(0+) = i7(0-) = 0v7(0+) = vC5(0+) = vC5(0-) = gVGR4
i6(0+) = vC5(0+)/R6 = gVGR4/R6
i5(0+) = gVG - i4(0+) - i6(0+) - i7(0+) == gVG - vC5(0+)/R4 - i6(0+) - i7(0+) = - gVGR4/R6
v7(∞) = 0
i7(∞) = gVG - i4(∞) - i5(∞) - i6(∞) =
= gVG - vC5(∞)/R4 - vC5(∞)/R6 = gVG
Una vez conocidas las variables fundamentales (iL, vC) para un instante dado, es posible obtener cualquier otra corriente o tensión para el mismo instante.
Determinación de condicionesiniciales y finales(cálculo de derivadas, septiembre 2000)
IG
LiC
C
R +vC
-
+ vL -
iLR
t = 0R
RiL
Datos: IG (continua), R, L, C
Hallar las derivadasque se indican en negrita
iL(0+) = 2IG
3, vC(0+) = - RIG
3
- RiC(0+) = RiL(0+) + vC(0+) →
→ iC(0+) = - IG
3 → dvC
dt 0+ = iC(0+)
C = - IG
3C
IG = vL(0+) + RiL(0+)R
+ iL(0+) → vL(0+) = - RIG
3 →
→ diL
dt 0+ = vL(0+)
L = - RIG
3L
El cálculo de la corriente y la tensión en t = 0+
se hace como se indicó en problemas anteriores.
Las derivadas de cualquier variable en régimen permanente continuo son nulas.
Determinación de condicionesiniciales y finales(influencia de distintas condiciones iniciales, diciembre 1994)
IG
t = 0 +
v1
-i1L1
iCC
RbgvC
Ra
t = 0 +
v2
-i2L2
- vC +
Datos: IG (continua), g, Ra, Rb, L1, L2, C
Hallar i1(∞) e i2(∞)
Solución aparente: i1(∞) = i2(∞) = 0.Es falsa porque i1 e i2 tienen corrientes distintas en t = 0.
t = ∞ 0 = iC(∞) = i1(∞) + i2(∞) (1)
t ≥ 0 v1(t) = v2(t) → L1di1
dt = L2
di2
dt →
→ L1di1
dtdt = L2
di1
dtdt → L1i1(t) = L2i2(t) + K
t = 0+ L1i1(0+) = L2i2(0+) + Ki1(0+) = gRbIG, i2(0+) = 0 → K = L1gRbIG (2)
t = ∞ L1i1(∞) = L2i2(∞) + K (3)
i1(∞) = gRbIGL2
L1 + L2 = - i2(∞) Combinando (1-3)
El cálculo de las corrientes en t = 0 se hacecomo se indicó en problemas anteriores.
Determinación de condicionesiniciales y finales(influencia de distintas condiciones iniciales, diciembre 1996)
LiL
R
t = 0
+ v1 -
i1riLVG
+vL -
C1
+ v2 -
i2C2 R
Datos:VG (continua), r, R, C1, C2, L
Hallar v1(∞) y v2(∞)
Solución aparente: v1(∞) = v2(∞) = 0(C1 y C2 están entre dos cortocircuitos).Es falsa porque v1 y v2 tienen tensiones distintas en t = 0.
t = ∞ 0 = vL(∞) = v1(∞) + v2(∞) (1)
t ≥ 0 i1(t) = i2(t) → C1dv1
dt = C2
dv2
dt →
→ C1dv1
dtdt = C2
dv2
dtdt → C1v1(t) = C2v2(t) + K
t = 0+ C1v1(0+) = C2v2(0+) + K
v1(0+) = 0, v2(0+) = - rVG
R → K = C2rVG
R(2)
t = ∞ C1v1(∞) = C2v2(∞) + K (3)
v1(∞) = C2rVG
(C1 + C2)R = - v2(∞) Combinando (1-3)
El cálculo de las tensiones en t = 0 se hacecomo se indicó en problemas anteriores.
Determinación de condicionesiniciales y finales(problema inverso, diciembre 1999
1+ v1 -
i1 2i2
+v2 -
4i4
+v4
-3i3+v3
-
5i5
+v5
-6i6
+v6
-VG
t = 0 t = 0
t i1 v1 i2 v2 i3 v3 i4 v4 i5 v5 i6 v6
0+ VG2R
VG2
VG2R
0 VG2R
VG2
0 VG2
0 0 0 0
0- VG2R
VG2
VG2R
0 VG2R
VG2
- 1 A VG2
1 A VG2
0 VG2
Identificar la naturaleza (R, L, C) de los elementos
1 i1(0-) ≠ 0 → no C; v1(0-) ≠ 0 → no L resistencia
2 i2(0-) ≠ 0 → no C; v2(0-) = 0 → no R inductancia
3 i3(0-) ≠ 0 → no C; v3(0-) ≠ 0 → no L resistencia
4 v4(0-) ≠ 0 → no L; i4(0-) = 0 → no R capacidad
5 cambio brusco de corriente y tensión resistencia
6 cambio brusco de tensión → no C
v6(0+) ≠ 0 e i6(0+) = 0 → no R
inductancia
Ejercicios para resolver en clase
TRANSITORIO-CONDICIONES 2003/A
El circuito de la figura funciona enrégimen permanente continuo.
Hallad los valores de i1, iC, v2, y vL
para t = 0-, t = 0+, y t = ∞.
+v2
-IG
R
t = 0
R
+ v3 -
C
+vC
-
kvC
LR
iC +vL-
i1 iL
Son datos los valores de todos los elementos del circuito.
TRANSITORIO-CONDICIONES 2003/B
El circuito de la figurafunciona en régimen permanentecontinuo.
Hallad los valores de v1, vC,i2, e iL para t = 0-, t = 0+, y t = ∞.
VG
R t = 0 R
+ v1 -
C
+vC
-
gvC
R
iL
L
i2
R
iC
- vL +
Son datos los valores de todos los elementos del circuito.
TRANSITORIO-CONDICIONES 2003/C
El circuito de la figura funcionaen régimen permanente continuo.
Hallad los valores de v1, vL, v3, yvC para t = 0-, t = 0+, y t = ∞.
IGR
t = 0
R
+ vL -
C
+vC
-
RiLiL
L
RiC
+v1
-
+v3-
Son datos los valores de todos los elementos del circuito.
Respuesta en régimen transitorio
Se entiende por respuesta de un circuito en transitoriola evolución temporal de sus corrientes y tensionesentre dos estados permanentes.
La respuesta de un circuito en régimen transitorioes igual para todas sus corrientes y tensiones(excepto cuando son variables desacopladas).Es decir, un circuito tiene un único tipo de respuestaen régimen transitorio.
Tipos de respuestasnatural: la que se tiene cuando se suprime la excitación;forzada: la que se tiene cuando se aplica la excitación.
Objeto del análisis en régimen transitorioHallar las expresiones temporales (ecuaciones que reflejanla variación de corrientes y tensiones con el tiempo)que caracterizan matemáticamente la respuesta.
Metodología de estudioAnálisis de respuestas en circuitos con un solo elemento reactivo.Análisis de respuestas en circuitos con dos elementos reactivos.Caso particular: circuitos con variables desacopladas.Circuitos con cambios sucesivos.
Respuesta natural de un circuito RL
IG
t = 0
RG +vL -
iL
L RDatos: IG (continua), RG, L, R
Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t ≥ 0.
En esas condiciones la parte de interés (la que contiene a L)está caracterizada por la ecuación de malla
vL + RiL = 0 → LdiL
dt + RiL = 0
Se trata de la ecuación diferencial que caracterizala evolución temporal de iL para t ≥ 0.
Por ser una ecuación diferencial de primer ordencon segundo miembro nulo, la solución es de la forma
iL(t) = Ae-t/τ, constante de tiempo: τ = L/R
Esta ecuación es la expresión temporal de iL para t ≥ 0y caracteriza la respuesta del circuito.
Para que la expresión temporal esté completaes necesario determinar el valor de la constante A.Para ello se tienen en cuenta las condiciones iniciales.
Por el circuito Por la expresión temporaliL(0+) = iL(0-) = IG iL(0) = A → A = IG
La respuesta del circuito esiL(t) = IGe-t/τ
Significado de la constante de tiempo
iL(t)
tτ 5τ
IG
0.007IG
respuestanatural
respuesta pararitmo de descenso
constante
0.37IG
Representación gráficade la expresión temporalque caracterizala respuesta naturalde un circuito RL
La constante de tiempo es una medida de lo rápido que desaparece el régimen transitorio.
Puede decirse que el nuevo régimen permanentese establece una vez que ha transcurrido un tiempo igual a cinco constantes de tiempo(pasado ese tiempo apenas hay variacionesen la respuesta del circuito).
Esto valida la suposición de que el circuito está en régimen permanenteantes del cambio de posición del interruptor(se supone que el circuito ha permanecido en el mismo estado mucho tiempo antes de que se produzca dicho cambio).
Ejempo de respuesta natural en circuito RL
VG
t = 0
RG+vL -
iL
LR1
+v1 -
R2 R3
Datos:VG = 24 V, L = 5 mH,RG = 12 Ω, R1 = 6 Ω,R2 = 4 Ω, R3 = 10 Ω
Hallar:v1(t ≥ 0) y wR3(0 ≤ t ≤ ∞)
t ≥ 0
vL
R1 + R2 + iL + vL
R3 = 0 Ecuación de nudo
L 1R1 + R2
+ 1R3
diL
dt + iL = 0 Ecuación diferencial
iL = Ae-t/τ, τ = L 1R1 + R2
+ 1R3
= 1 ms Expresión temporal
Por circuito Por expresión temporaliL(0+) = iL(0-) =
= VGR1
RG(R1 + R2) + R1R2 = 1 A
iL(0) = A→ A = 1 A
vL(t) = LdiL
dt = - 5e-t V (t en ms)
v1(t) = divisor de tensión = vLR1
R1 + R2 = - 3e-t V (t en ms)
wR3 = pR3(t)dt0
∞
= vR3(t)iR3(t)dt0
∞
= vL(t)vL(t)R3
dt0
∞
= 1.25 mJ
Respuesta natural de un circuito RC
IG
t = 0
RG +vC -
iC
C RDatos: IG (continua), RG, C, R
Se pretende encontrar la respuesta del circuito para t ≥ 0.
En esas condiciones la parte de interés (la que contiene a C)está caracterizada por la ecuación de nudo
iC + vC
R = 0 → CdvC
dt + vC
R = 0
Se trata de la ecuación diferencial que caracterizala evolución temporal de vC para t ≥ 0.
Por ser una ecuación diferencial de primer ordencon segundo miembro nulo, la solución es de la forma
vC(t) = Ae-t/τ, constante de tiempo: τ = RC
Esta ecuación es la expresión temporal de vC para t ≥ 0y caracteriza la respuesta del circuito.
Para que la expresión temporal esté completaes necesario determinar el valor de la constante A.Para ello se tienen en cuenta las condiciones iniciales.
Por el circuito Por la expresión temporal
vC(0+) = vC(0-) = IG(RG//R) vC(0) = A → A = IG(RG//R)
La respuesta del circuito esvC(t) = IG(RG//R)e-t/τ
Ejempo de respuesta natural en circuito RC
VG
t = 0
RG
C2
+vC
-iC1 R
iC2
C1
Datos:VG (continua), RG, R, C1, C2
Hallar vC(t ≥ 0)
t ≥ 0
iC1 + vC
R + iC2 = 0 Ecuación de nudo
(C1 + C2)dvC
dt + vC
R = 0 Ecuación diferencial
vC = Ae-t/τ, τ = R(C1 + C2) Expresión temporal
Por circuito Por expresión temporalvC(0+) = vC(0-) =
= VGR
RG + R
vC(0) = A → A = VGR
RG + R
El circuito contiene dos elementos reactivos,pero, como pueden ser agrupados en un solo,el circuito es del tipo RC.
Respuesta forzada en circuitos RL y RC (t ≥ 0)
VG
RG
t = 0
R iL
LL descargada para t ≤ 0
VG
RG+vC
-
t = 0
RC
C descargada para t ≤ 0
Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal
LdiL
dt + (RG + R)iL = VG (RG + R)CdvC
dt + vC = VG
Por ser una ecuación diferencial de primer ordencon segundo miembro no nulo, la solución es de la forma
iL(t) = B + (A - B)e-t/τ
τ = LRG + R
vC(t) = B + (A - B)e-t/τ
τ = (RG + R)C
Esta ecuación es la expresión temporal para t ≥ 0y caracteriza la respuesta del circuito.
Es necesario determinar las constantes A y B.Para ello se consideran condiciones iniciales y finales.
Circuito
→ A = 0
Circuito
→ A = 0iL(0+) = iL(0-) = 0 vC(0+) = vC(0-) = 0
Ex. temporal Ex. temporaliL(0) = A vC(0) = ACircuito
→ B =
= VG
RG + R
Circuito
→ B = VGiL(∞) = VG
RG + RvC(∞) = VG
Exp. temporal Exp. temporal
iL(∞) = B vC(∞) = B
Respuesta forzada de circuitoscon un solo elemento reactivo (t ≥ 0)
La ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporales de la forma (x = iL; x = vC)
dxdt
+ xτ = K ⇔ τdxdt
+ x = Kτ = xf
La expresión temporal que representa la respuestaes de la forma (x = iL; x = vC)
x(t) = xf + (xo - xf)e-t/τ
xo = x(t = 0), xf = x(t = ∞)
Respuesta general de circuitoscon un solo elemento reactivo (t ≥ 0)
La respuesta natural es un caso particularde la respuesta forzada en el que
K = 0 = xf
Procedimiento de análisis en régimen transitorioFormular ecuaciones de mallas o de nudos.Establecer la ecuación diferencial relativaa la variable fundamental (iL, vC).Obtener la expresión temporal.Determinar la(s) constante(s) de la expresión temporalcomparando lo que ocurre en el circuito(condiciones inicial y final) con la expresión temporal.
Ejemplo de respuesta forzada
IG
R1
t = 0
L1
i1
+vL
-
R2
L2
i2
Datos: IG (continua), R1, R2, L1, L2
Hallar i1(t ≥ 0)
t ≥ 0
IG
iL+vL
-
R
L
Simplificación para t ≥ 0
L = L1L2
L1 + L2, R = R1R2
R1 + R2
IG = iL + vL
REcuación de nudo
LR
diL
dt + iL = IG
Ecuación diferencial
iL = iLf + (iLo - iLf)e-t/τ, τ = L/R Expresión temporal
circuito 0 = iL(0) = iLo exp. temporalcircuito IG = iL(∞) = iLf
exp. temporal
iL = IG(1 - e-t/τ), τ = L/R Respuesta
circuitooriginal L1
di1
dt = L2
di2
dt = LdiL
dtcircuito
simplificado
L1di1
dtdt = LdiL
dtdt → L1i1 = LiL + K
t = 0 → i1 = 0 = iL → K = 0 →→ i1(t) = LiL(t)/L1
Ejemplo de respuesta forzada
VA
R1
t = 0
iC
C
+vC
-
t = 0
R3
R2
VBiB
Datos:VA = 2 V = VB, C = 1µF,
R1 = R2 = R3 = 2 Ω
Hallar potencia en VB para t ≥ 0
t ≥ 0
iB = VB - vC
R2 = iC + vC
R3
Ecuación de nudo
R2CdvC
dt + R2 + R3
R3vC = VB
Ecuación diferencial
vC = vCf + (vCo - vCf)e-t/τ Expresión temporal
τ = R2R3C/(R2 + R3) = 1 µs
circuito 2 V = VA = vC(0) = vCo exp. temporalcircuito 1 V = VBR3/(R2 + R3) = vC(∞) = vCf
exp. temporal
vC = 1 + e-t V (t en µs) Respuesta
pB(t) = - VBiB(t) = - VBVB - vC(t)
R2 = - 1 + e-t W (t en µs)
Respuesta en régimen transitoriode circuitos con dos elementos reactivosdistintos, o iguales pero no agrupables
VG
t = 0
iCC
+vC
-
R
+ vL -
iLL Caracterización de la respuesta
para t ≥ 0
(1)
(2)
VG = RiL + vL + vC
vL = LdiL
dt, iL = iC = CdvC
dt
Ecuaciones del circuito
Relaciones entre variables
(3)
(4)
Sustituyendo (2) en (1),
LCd2vC
dt2 + RCdvC
dt + vC = VG
Despejando vC en (1)y sustituyendo en (2),
LCd2iL
dt2 + RCdiL
dt + iL = 0
(3) y (4) son las ecuaciones diferenciales
que caracterizanla evolución temporal
de vC e iL para t ≥ 0
La respuesta de un circuito con dos elementos reactivosse caracteriza por dos ecuaciones diferencialesde segundo orden(al igual que la de un circuito con un elemento reactivose caracteriza por una ecuación diferencialde primer orden).
Respuesta de circuitos con dos elementos reactivos
Las ecuaciones diferenciales que caracterizanla evolución temporal son de la forma (x = iL; x = vC)
ad2xdt2
+ bdxdt
+ cx = K
Los coeficientes a, b y c son iguales para todaslas variables fundamentales del circuito(corrientes en inductancias, tensiones en capacidades)excepto en el caso de variables desacopladas.
El valor de K puede ser distinto para cada variable.
La solución general (expresión temporal) de la ecuación diferencial (ecuación diferencial de segundo orden en una sola variable con coeficientes constantes)es de la forma (x = iL; x = vC)
x(t) = xf + xh(t)
xf = x (t = ∞), (= 0 si K = 0)xh(t): solución de la ecuación homogénea
Solución de la ecuación homogénea
Ecuación característica:as2 + bs + c = 0 (aunque K ≠ 0)
Raíces de la ecuación característica:
s1,2 = - b ± b2 - 4ac
2a = - α ± α2 - ω0
2
Coeficiente de amortiguamiento: α s-1 = b/(2a)
Frecuencia angular de resonancia: ω0 rad/s = s-1 = c/a
Caso 1 (respuesta supercrítica o sobreamortiguada):
(s1 y s2 reales y < 0) y (s1 ≠ s2) ⇔ ω02 < α2
xh(t) = Aes1t + Bes2t
Caso 2 (respuesta crítica o amortiguada):
(s1 y s2 reales y < 0) y (s1 = s2) ⇔ ω02 = α2
xh(t) = Ate-αt + Be-αt
Caso 3 (respuesta subcrítica o subamortiguada):
(s1 y s2 complejas) y (s1 = s2*) ⇔ ω0
2 > α2
xh(t) = Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt), ωd = + ω02 - α2
Procedimiento de análisis de circuitos con dos elementos reactivos
Formular dos ecuaciones de circuitoaplicando las leyes de Kirchhoff.
Formular relaciones entre variables.
Transformar las ecuaciones de circuitoen dos ecuaciones diferenciales(una por cada variable fundamental).
Seleccionar una de las variables fundamentales.
Obtener la solución de la ecuación homogéneacorrespondiente a la variable seleccionada.
Obtener las soluciones generales (expresiones temporales)correspondientes a las dos variables.
Determinar las constantes de las soluciones generalescomparando lo que ocurre en el circuito(condiciones iniciales y finales)con las expresiones temporales (soluciones generales).
Ejemplo de análisis de circuitoscon dos elementos reactivos(respuesta supercrítica)
VG
t = 0
iCC
+vC
-
t = 0
R
kiLR
a
iLL
+vL
-
R
Datos:VG = 1 V, k = - 1,
R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
Hallar:iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)
t ≥ 0
(1)
(2)
RiC + vC = va = RiL + vL
kiL = iC + va/R + iL
Ecuaciones del circuito
(3)
(4)
vL = LdiL/dt
iC = CdvC/dt
Relaciones entre variables
Combinando (1-4),
2LCd2vC
dt2 + (3 - k)RC + L
RdvC
dt + (2 - k)vC = 0
2LCd2iL
dt2 + (3 - k)RC + L
RdiL
dt + (2 - k)iL = 0
Ecuacionesdiferenciales
a = 2LC = 2 s2, b = (3 - k)RC + L/R = 5 s, c = 2 - k = 3
α = b/(2a) = 5/4 s-1, ω0 = c/a = 3/2 s-1
α2 > ω02 → respuesta supercrítica
Ecuación.característ.
Ejemplo de análisis de circuitoscon dos elementos reactivos(respuesta supercrítica)
(5) vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t
s1,2 = - α ± α2 - ω02 → s1 = - 1 s-1, s2 = - 1.5 s-1
Sustituyendo (5) en (4), y el resultado en (2),
iL(t) = 1k - 1
×
× vCf
R + A 2Cs1 + 1
Res1t + B 2Cs2 + 1
Res2t =
= - vCf
2 + Aes1t
2 + Bes2t
Expresionestemporales
circuito 1 V = VG = vC(0) = vCf + A + B exp. temporalcircuito 0 = vC(∞) = vCf
exp. temporal
circuito 0 = iL(0) = - vCf
2 + A
2 + B exp. temporal
vCf = 0, A = 2 V, B = - 1 V
vC(t) = 2e-t - e-1.5t V (t en s)iL(t) = e-t - e-1.5t A (t en s)
Respuesta
Circuitos con dos elementos reactivos(respuesta crítica, diciembre 1997)
IG
t = 0
iCC
+vC
-
t = 0
R
R
a
iLL
+vL
-
R
IG
L
R
pG
Datos:IG = 2 A, R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
Hallar: iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0);
pG(t ≥ 0)
t ≥ 0
(1)(2)
RCdvC/dt + vC = va = RiL + LdiL/dtIG = CdvC/dt + va/R + iL
Ecuaciones del circuitoy relaciones
2LCd2vC
dt2 + (3RC + L
R)dvC
dt + 2vC = RIG
2LCd2iL
dt2 + (3RC + L
R)diL
dt + 2iL = IG
Ecuacionesdiferenciales
a = 2LC = 2 s2, b = 3RC + L/R = 4 s, c = 2α = b/(2a) = 1 s-1, ω0 = c/a = 1 s-1
α2 = ω02 → respuesta crítica
Ecuacióncaracterística
(3) vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt
Combinando (1-3),
iL(t) = IG - vCf
R + A 2αC - 1
Rte-αt +
+ -2CA + B 2αC - 1R
e-αt =
= 2 - vCf + Ate-αt + (B - 2A)e-αt (t en s, vCf en V)
Expresionestemporales
Circuitos con dos elementos reactivos(respuesta crítica, diciembre 1997)
circuito 2 V = RIG = vC(0) = vCf + B exp. temporalcircuito 1 V = RIG/2 = vC(∞) = vCf
exp. temporal
circuito 1 A = IG/2 = iL(0) = 2 - vCf + B - 2A exp. temporalvCf = 1 V, A = 0.5 V/s, B = 1 V
vC(t) = 1 + 0.5te-t + e-t V (t en s)iL(t) = 1 + 0.5te-t A (t en s)
Respuesta
pG(t) = - va(t)IG = - RiL + LdiL
dtIG = - (2 + e-t) W (t en s)
Circuitos con dos elementos reactivos(respuesta subcrítica, septiembre 1999)
IG
iCC
+vC -
t = 0
R iLL
+vL
-
R
Datos:IG = 2 A, R = 1 Ω, L = 1 H, C = 1 F
Hallar: iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0);
wC(0 ≤ t ≤ ∞)
t ≥ 0
(1)(2)
vC = RiL + LdiL/dtIG = CdvC/dt + vC/R + iL
Ecuaciones del circuitoy relaciones entre variables
LCd2vC
dt2 + (RC + L
R)dvC
dt + 2vC = RIG
LCd2iL
dt2 + (RC + L
R)diL
dt + 2iL = IG
Ecuacionesdiferenciales
a = LC = 1 s2, b = RC + L/R = 2 s, c = 2
α = b/(2a) = 1 s-1, ω0 = c/a = 2 s-1
α2 < ω02 → respuesta subcrítica, ωd = ω0
2 - α2 = 1 s-1
Ecuacióncaracteríst.
(3) iL(t) = iLf + Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt)
Sustituyendo (3) en (2),
C(t) = RiLf + Ae-αt (R - αL)cos(ωdt) - ωdLsen(ωdt) ++ Be-αt (R - αL)sen(ωdt) + ωdLcos(ωdt) =
= iLf - Ae-tsen(t) + Be-tcos(t) (t en s, iLf en A)
Expresionestemporales
Circuitos con dos elementos reactivos(respuesta subcrítica, septiembre 1999)
circuito 0 = iL(0) = iLf + A exp. temporalcircuito 1 A = IG/2 = iL(∞) = iLf
exp. temporal
circuito 2 V = RIG = vC(0) = iLf + B exp. temporaliLf = 1 A, A = - 1 A, B = 1 A
iL(t) = 1 - e-tcos(t) + e-tsen(t) A (t en s)vC(t) = 1 + e-tsen(t) + e-tcos(t) V (t en s)
Respuesta
wC = pC(t)dt0
∞
= vC(t)iC(t)dt0
∞
= vC(t)Cd vC(t)dt
dt0
∞
=
= C2
vC2 (∞) - vC
2 (0) = - 1.5 J
(los valores de vC para t = 0 y t = ∞ se obtienen directamente de la correspondiente expresión temporal)
Circuitos con dos elementos reactivos(respuesta crítica)
R iL
LC+ vC - R
Rt = 0
VG
Datos:VG continua; RC = τ = L/R
Hallar: iL(t ≥ 0), vC(t ≥ 0)
t ≥ 0
(1)(2)
VG = RiL + LdiL/dt + R(iL + CdvC/dt)VG = RCdvC/dt + vC + R(iL + CdvC/dt)
Ecuaciones del circuitoy relaciones
2LCd2vC
dt2 + (3RC + L
R)dvC
dt + 2vC = VG
2LCd2iL
dt2 + (3RC + L
R)diL
dt + 2iL = VG
R
Ecuacionesdiferenciales
RC = τ = L/R → (RC)(L/R) = τ2 = LC
a = 2LC = 2 τ2, b = 3RC + L/R = 4 τ, c = 2
α = b/(2a) = 1/τ, ω0 = c/a = 1/τα2 = ω0
2 → respuesta crítica
Ecuacióncaracterística
(3) vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt
Sustituyendo (3) en (1),
iL(t) = IG - vCf
R + A 2αC - 1
Rte-αt +
+ -2CA + B 2αC - 1R
e-αt
Expresionestemporales
Circuitos con dos elementos reactivos(respuesta crítica, diciembre 1997)
circuito 0 V = vC(0) = vCf + B exp. temporalcircuito VG/2 = vC(∞) = vCf
exp. temporal
circuito 0 A = iL(0) = VG - vCf - 2CA + B 2αC - 1 exp. temporal
vCf = VG
2, A = 0 V/s, B = VG
2
vC(t) = VG
2(1 - e-t/τ)
iL(t) = VG
2R(1 - e-t/τ)
Respuesta
Ejemplo de circuito con más de dos elementos reactivos (agrupables)
t = 0
R
VG
L1
L2
C1
C2
Datos:VG = 0.5 V, R = 0.5 Ω,
L1 = 0.6 mH, L2 = 0.4 mH,C1 = 2 mF, C2 = 2 mF
Hallar pC2(t ≥ 0)
t ≥ 0
IG iCC
+vC
-
t = 0
iLL
+vL -R
Simplificación para t ≥ 0
IG = VG/R = 1 AL = L1 + L2 = 1 mH
C = C1C2
C1 + C2 = 1 mF
vC = LdiL/dt- IG = CdvC/dt + vC/R + iL
Ecuaciones del circuitoy relaciones entre variables
LCd2vC
dt2 + L
RdvC
dt + vC = 0
LCd2iL
dt2 + L
RdiL
dt + iL = - IG
Ecuacionesdiferenciales
a = LC = 10-6 s2, b = L/R = 2×10-3 s, c = 1
α = b/(2a) = 103 s-1, ω0 = c/a = 103 s-1
α2 = ω02 → respuesta crítica
Ecuacióncaracterística
Ejemplo de circuito con más de dos elementos reactivos (agrupables)
iL(t) = iLf + Ate-αt + Be-αt
vC(t) = L A(1 - αt)e-αt - αBe-αt
Expresionestemporales
circuito 0 = iL(0) = iLf + B exp. temporalcircuito - 1 A = - IG = iL(∞) = iLf
exp. temporal
circuito 0 = vC(0) = L(A - αB) exp. temporaliLf = - 1 A, A = 103 A/s, B = 1 A
iL(t) = - 1 + te-t + e-t A (t en ms)vC(t) = - te-t V (t en ms)
Respuesta
CdvC
dt = iC = C2
dvC2
dt → CdvC
dtdt = C2
dvC2
dtdt → C2vC2(t) = CvC(t) + K
t = 0 → vC2 = 0 = vC → K = 0 → vC2(t) = CvC(t)C2
pC2(t) = vC2(t)iC(t) = CvC(t)C2
CdvC
dt = t(1 - t)e-2t
2 W (t en ms)
Circuitos con dos elementos reactivos(problema inverso-directo, junio 1999)
iCC
+vC
-
t = 0
iLL
RVG
+ vL -
R
Datos:VG = 2 V, R = 1 Ω,
α = 1 s-1, ω0 = 1 rad/s
Hallar:L y C; vC (t ≥ 0) e iL (t ≥ 0)
t ≥ 0
iL = vC(1/R + 1/R) + CdvC/dtVG = LdiL/dt + vC
Ecuaciones del circuitoy relaciones entre variables
LCd2vC
dt2 + 2L
RdvC
dt + vC = VG
Ecuación diferencial
a = LC, b = 2L/R, c = 1
1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(RC) → C = 1 F
1 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC → L = 1 H
α2 = ω02 → respuesta crítica
Ecuacióncaracterística
vC(t) = vCf + Ate-αt + Be-αt
iL(t) = 2vCf + A(1 + t)e-αt + Be-αt A (vCf en V, t en s)Expresionestemporales
circuito 0 = vC(0) = vCf + B exp. temporalcircuito 2 V = VG = vC(∞) = vCf
exp. temporal
circuito 2 A = VG/R = iL(0) = 2vCf + A + B exp. temporalvCf = 2 V, A = 0, B = - 2 V
vC(t) = 2 - 2e-t V (t en s)iL(t) = 4 - 2e-t A (t en s)
Respuesta
Circuitos con dos elementos reactivos(problema inverso-directo, septiembre 1999)
IG
iCC
+vC -
t = 0
R iLL
+vL
-
R
Datos:IG = 2 A, R = 1 Ω,
α = 1 s-1, ω0 = 2 rad/s
Hallar: L y C; vC (t ≥ 0) e iL (t ≥ 0)
t ≥ 0
vC = RiL + LdiL/dtIG = CdvC/dt + vC/R + iL
Ecuaciones del circuitoy relaciones entre variables
LCd2vC
dt2 + (RC + L
R)dvC
dt + 2vC = RIG
Ecuación diferencial
a = LC, b = RC + L/R, c = 2 Ecuacióncaracterística1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(2RC) + R/(2L)
→L = 1 H
2 s-1 = ω0 = c/a = 2/(LC) C = 1 F
α2 < ω02 → respuesta subcrítica, ωd = ω0
2 - α2 = 1 s-1
vC(t) = vCf + Ae-αtcos(ωdt) + Be-αtsen(ωdt)L(t) = (2 - vCf) + Ae-tsen(t) - Be-tcos(t) V (vCf en V, t en s)
Expresionestemporales
circuito 2 V = RIG = vC(0) = vCf + A exp. temporalcircuito 1 V = RIG/2 = vC(∞) = vCf
exp. temporal
circuito 0 = iL(0) = 2 - vCf - B exp. temporalvCf = 1 V, A = 1 V, B = 1 V
vC(t) = 1 + e-tsen(t) + e-tcos(t) V (t en s)iL(t) = 1 - e-tcos(t) + e-tsen(t) A (t en s)
Respuesta
Circuitos con dos elementos reactivos(problema inverso, diciembre 1999)
iCC
+vC -
t = 0 iL
L
+vL -
R
VGR
t = 0
L
Datos (t ≥ 0, t en s):vC = (1 - t)e-t ViL = 0.5te-t A
Hallar: α y ω0;VG (continua), R, L y C
t ≥ 0
vC = LdiL/dt0 = CdvC/dt + vC/R + iL
Ecuaciones del circuitoy relaciones entre variables
LCd2iL
dt2 + L
RdiL
dt + iL = 0 Ecuación diferencial
a = LC, b = L/R, c = 1 Ecuación característica
La respuesta es crítica, ya que en las expresiones temporalesfiguran términos de la forma te-t.En la respuesta crítica α es el coeficiente del exponenteen el término exponencial; luego α = 1 s-1.En la respuesta crítica α2 = ω0
2; luego ω0 = 1 s-1.
(circuito) VG = vC(0) = 1 V (exp. temporal) → VG = 1 V
e-t
L - te
-t
L = vC
L = diL
dt = 0.5e-t - 0.5te-t → igualando
términos → L = 2 H
1 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC → C = 0.5 F
1 s-1 = α = b/(2a) = 1/(2RC) → R = 1 Ω
Circuitos con dos elementos reactivos(problema inverso, septiembre 1996)
VG
t = 0
iCC
+vC
-
R
+ vL -
iLL
Datos (t ≥ 0, t en s):vC = 10 - 5e-9000t - 5e-9000t V
iL = 9e-9000t + e-1000t mA
Hallar: α y ω0;VG (continua), R, L y C
t ≥ 0
iL = CdvC/dtVG = LdiL/dt + vC + RiL
Ecuaciones del circuitoy relaciones entre variables
LCd2vC
dt2 + RCdvC
dt + vC = VG
Ecuación diferencial
a = LC, b = RC, c = 1 Ecuación característica
La respuesta es supercrítica, ya que en las expresionestemporales figuran dos términos exponenciales distintos.En la respuesta supercrítica los coeficientes de los exponentes son las raíces de la ecuación característica.
s1 = - 9000 s-1, s2 = - 1000 s-1
s1,2 = - α ± α2 - ω02 →
α = - s1 + s2
2 = 5000 s-1
ω0 = + α2 - s1 - s2
22 = 3000 s-1
(circuito) VG = vC(∞) = 10 V (exp. temporal) → VG = 10 V
0.009e-9000t
C + 0.001e-1000t
C = iL
C =
= dvC
dt = 45000e-9000t + 5000te-1000t → igualando
términos → C = 200 nF
3000 s-1 = ω0 = c/a = 1/ LC → L = 5/9 H
5000 s-1 = α = b/(2a) = R/(2L) → R = 50/9 kΩ
Ejercicios para resolver en clase
TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/A
El circuito de la figura funciona en régimen permanentecontinuo. Llegó al estado indicado en ella en t = 0; en esemomento, la corriente en la inductancia y la tensión en lacapacidad valían I0 y V0, respectivamente. Con posterioridad,el circuito no experimenta más cambios. Hallad la expresióntemporal de la potencia en la fuente para t ≥ 0.
VG
+vC-
CiL
R R RL
VG = 2 V,V0 = 1 V, I0 = 2 A,
R = 1 Ω,L = 1 µH, C = 1 µF
TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/B
El circuito de la figura funciona en régimenpermanente continuo. Llegó al estado indicado en ella ent = 0; en ese momento, la corriente en la inductancia y latensión en la capacidad valían I0 y V0, respectivamente.Con posterioridad, el circuito no experimenta máscambios. Hallad la expresión temporal de la potencia enla fuente para t ≥ 0.
IG
+vC-C
iLR
LR
IG = 2 mA,V0 = 2 V, I0 = 2 mA,
R = 1 kΩ,L = 1 mH, C = 1 nF
TRANSITORIO-RESPUESTA 2003/C
El circuito de la figura funciona en régimenpermanente continuo. Llegó al estado indicado en ella ent = 0; en ese momento, la corriente en la inductancia y latensión en la capacidad valían I0 y V0, respectivamente.Con posterioridad, el circuito no experimenta máscambios. Hallad la expresión temporal de la potencia enla fuente para t ≥ 0.
IG
+vC-C
iL
RL
R
IG = 1 A,V0 = 1.62 V, I0 = 0 A,
R = 1 Ω,L = 2.62 µH, C = 0.38 µF
Circuitos con dos elementos reactivosparcial o totalmente desacoplados(julio 1999)
CR
Lt = 0
iC +vC
-
iL
VG
+ vL -
R
Datos:VG (continua), R, L, C
Hallar iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)
t ≥ 0
VG = LdiL/dt + RiL
0 = CdvC/dt + vC/REcuacionesdel circuito
iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL
Lo = iL(0) = 2VG/R, iLf = iL(∞) = VG/R, τL = L/R
vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/τC
vCo = vC(0) = VG, vCf = vC(∞) = 0, τC = RC
Expresionestemporales
Para t > 0 los dos elementos no se influyen entre sí(las variables son independientes -están desacopladas-).A cada variable fundamental le corresponde una ecuación diferencial de primer orden.
Puede haber influencia de un elemento en otrosin que el segundo influya en el primero(circuito parcialmente acoplado -desacoplado).A la variable independiente le correspondeuna ecuación diferencial de primer orden.A la variable acoplada le correspondeuna ecuación diferencial de segundo orden.
En circuitos parcial o totalmente desacopladosno hay respuesta única.
Circuito desacoplado
RG
C
R
L iSC+vC
-
iL
RVG
t = 0
a Datos:VG = 2 V, RG = 2 Ω,
R = 1 Ω, L = 1 H, C = 0.5 F
Hallar iSC(t ≥ 0)
t ≥ 0
vC(t) + RCdvC/dt = va = 0
VG = RGiL + LdiL/dt + va = RGiL + LdiL/dt
vC(t) = vCoe-t/τC, τC = RC = 0.5 s
vCo = vC(0) = VGR/(R + RG) = 2/3 V
iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL, τL = L/RG = 0.5 s
iLo = iL(0) = VG/(R + RG) = 2/3 A
iLf = VG/RG = 1 A
Ecuacionesdel circuito
Expresionestemporales
iSC(t) = iL - CdvC
dt = 1 + e-2t
3 A (t en s)
Circuito parcialmente acoplado(junio 2000)
IG
t = 0
CR
R
L
iC +vC
-
+vL
-iLkvCR
Datos:IG = 2 A, k = 1, R = 1 Ω,
L = 1 H, C = 1 F
Hallar iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)
t ≥ 0
(1)
(2)
(3)
IG = vC/R + CdvC/dt0 = (R + R)iL + LdiL/dt + kvC
vC(t) = vCf + (vCo - vCf)e-t/τC, τC = RC = 1 s
Co = vC(0) = RIG/(3 - k) = 1 V, vCf = vC(∞) = RIG = 2 V
Ecuacionesdel circuito
Cálculode vC(t)
Despejando vC de (2) y sustituyendo en (1),
LCd2iL
dt2 + 2RC + L
RdiL
dt + 2iL = - kIG
a = LC = 1 s2, b = 2RC + L/R = 3 s, c = 2α = b/(2a) = 1.5 s-1, ω0 = c/a = 2 s-1
α2 > ω02 → respuesta supercrítica
Ecuacióndiferencial de iL
Ecuacióncaracterística
(4) iL(t) = iLf + Aes1t + Bes2t
s1,2 = - α ± α2 - ω02 → s1 = - 1 s-1, s2 = - 2 s-1
Expresióntemporal de
iL(t)
(5) (4) en (2) → vC(t) = - 2iLf - Ae-t V (iLf en A, t en s)
(3) = (5) → iLf = - vCf/2 = - 1 A, A = - (vCo - vCf) = 1 A
(circuito) 0 = iL(0) = iLf + A + B (exp. temporal) → B = 0
vC(t) = 2 - e-t V, iL(t) = - 1 - e-t A (t en s)
Circuito parcialmente acoplado(septiembre 2000)
CR
L +vC
-
iLR
VG
t = 0
R RiL
Datos:VG = 2 V, R = 1 Ω,
L = 4 H, C = 1 F
Hallar iL(t ≥ 0) y vC(t ≥ 0)
t ≥ 0
(1)
(2)
(3)
VG = (R + R)iL + LdiL/dt
0 = RCdvC/dt + vC + RiL
iL(t) = iLf + (iLo - iLf)e-t/τL, τL = L/(2R) = 2 s
iLo = iL(0) = 2VG/(3R) = 4/3 A, iLf = iL(∞) = VG/(2R) = 1 A
Ecuacionesdel circuito
Cálculode iL(t)
Despejando iL de (2) y sustituyendo en (1),
LCd2vC
dt2 + 2RC + L
RdvC
dt + 2vC = - VG
a = LC = 4 s2, b = 2RC + L/R = 6 s, c = 2α = b/(2a) = 3/4 s-1, ω0 = c/a = 1/ 2 s-1
α2 > ω02 → respuesta supercrítica
Ecuacióndiferencial de vC
Ecuacióncaracterística
(4) vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t
s1,2 = - α ± α2 - ω02 → s1 = - 1 s-1, s2 = - 0.5 s-1
Expresióntemporal de
vC(t)
(5) (4) en (2) → iL(t) = - vCf - 0.5Be-0.5t A (vCf en V, t en s)
(3) = (5) → vCf = - iLf = - 1 V, B = - 2(iLo - iLf) = - 2/3 V(circuito) - 2/3 = vC(0) = vCf + A + B (exp. temporal) → A = 1 V
iL(t) = 1 + e-0.5t
3 A, vC(t) = - 1 + e-t - 2e-0.5t
3 V (t en s)
Circuitos con cambios sucesivos
La evolución de un circuito en régimen transitorioestá determinada por
las constantes de tiempo de las expresiones temporalescorrespondientes a variables independientes;
los términos exponenciales de las expresiones temporales correspondientes a variables acopladas.
En un circuito pueden producirse cambios en distintos instantes. La evolución del circuito se calcula como se indicó anteriormente,con algunas peculiaridades:
El circuito no sabe que va a producirse un cambio;en consecuencia, tras cada cambio evolucionacomo si fuera a alcanzar el régimen permanente.
Las condiciones iniciales correspondientes a un intervalose obtienen de las expresiones temporalesque caracterizan el intervalo anterior.
La variable t ha de ser sustituida por t - t0,donde t0 es el instante final del intervalo anterior.
Circuitos con cambios sucesivos(junio 1997)
C
R
L
+vC
-iL
R
VA
1
RkvC
iC
2 3R
VB
1 2 3t < 0
0 ≤ t < t1t1 ≤ t < t2
t ≥ t2
AbiertoCerradoCerradoCerrado
AbiertoAbiertoCerradoAbierto
AbiertoAbiertoAbiertoCerrado
Datos:VA = 200 mV, VB = 2 V, t1 = 1 s, t2 = 2 s,R = 0.5 kΩ, L = 0.5 H, C = 2 µF, k = 2
Hallar dvC
dt 0+, dvC
dt 100 ms, iL(1.1 s), e iL(t ≥ t2)
Circuitos con cambios sucesivos(junio 1997)
dvC
dt 0+ = iC(0+)
C = 1
CVA - vC(0+)
R = 1
CVA - vC(0-)
R = VA
RC = 200 V/s
0 ≤ t < t1 → VA = RCdvC/dt + vC → τC = RC = 1 ms << 100 ms
Esto indica que la parte del circuito formada por VA, R y Cha alcanzado el régimen permanente para t = 100 ms(no hay cambios en el circuito entre 0 y 100 ms), con lo que
iC(100 ms) = cte = 0 → dvC
dt 100 ms = 0
Por el mismo motivo, vC (para todo t > 5τC = 5 ms) = cte = VA.Así, en la parte del circuito que contiene a L,
t1 ≤ t < t2 → kvC = kVA = LdiL/dt + RiL → τL1 = L/R = 1 ms << 100 ms
Esto indica que la parte del circuito que contiene a Lha alcanzado el régimen permanente para t = 1.1 s(no hay cambios en el circuito entre 1 y 2 s), con lo que
iL(1.1 s) = cte = kVA/R = 0.8 mA = iL(2 s)
t ≥ t2 → VB = 2RiL + LdiL/dt →→ iL(t ≥ t2) = iLf + (iLo - iLf)e- (t - t2)/τL2, τL2 = L/(2R) = 0.5 ms
iLo = iL(t2+) = iL(t2
- ) = 0.8 mA, iLf = iL(∞) = VB/(2R) = 2 mA
Circuitos con cambios sucesivos(diciembre 1998)
CR
L+vC
-
R
VA
1 2
3
R
VB
t = t1
t = t1t = 0
45
6Datos:
0 ≤ t ≤ t1 →→ α = 10 s-1, ω0 = 8 rad/s
en malla 123451
Hallar:vC(t1 = 100 s),
tipo de respuesta en malla 126451
para t > t1
0 ≤ t ≤ t1, malla 123451
α2 > ω02 → respuesta supercrítica
α = 10 s-1
ω0 = 8 s-1 → s1,2 = - α ± α2 - ω02 → s1 = - 16 s-1
s2 = - 4 s-1
vC(t) = vCf + Aes1t + Bes2t
vCf = vC(∞) = 0ya que el circuito no sabe que va a haber cambio en t = t1
es1t1 ≈ 0 ≈ es2t1
vCf = vC(∞) = 0 → vC(t1) ≈ 0
Para t ≥ t1, la malla 126451 es de la misma formaque la malla 123451; los elementos R, L y C siguen en serie, con los mismos valores, y la presencia de la fuente no afecta al tipo de respuesta.Luego ésta es también supercrítica.
Análisis de redesTransparencias de clase
Régimensinusoidal permanente
Sinusoidal-1: páginas 81-89Sinusoidal-2: páginas 90-101Sinusoidal-3: páginas 102-107Sinosoidal-4: páginas 108-115Sinusoidal-5: páginas 116-123Sinusoidal-6: páginas 124-139Ejercicios para resolver en clase: 140Sinusoidal-7: páginas 141-167Ejercicios para resolver en clase: 164
Señales sinusoidalesUna señal sinusoidal es de la forma indicada en la figura.Se hace referencia a régimen sinusoidal permanentecuando la señal no varía su forma en mucho tiempo (>> T).
t
a(t) = Amcos(ωt + ϕ)
Am
- Am
- ϕ/ω
T
T
Caracterización matemática de una señal sinusoidal
Símbolo Significado Dimensionesa señal (corriente, tensión) A, V
Am módulo, amplitud A, Vf = 1/T > 0 frecuencia Hz, s-1
ω = 2πf > 0 frecuencia angular rad/s, s-1
T = 1/f > 0 período sϕ fase rad, ˚
Interés práctico de las señales sinusoidalesSon soportadas por muchos circuitos electrónicos.Señales no sinusoidales pueden ser tratadascomo combinaciones lineales de señales sinusoidales.
Respuesta de un circuitoa una señal sinusoidal permanente
t = 0
vgR
Li
Datos: R, L,
vg(t) = Vmcos(ωt + ϕv)
Hallar i(t > 0)
Ldidt
+ Ri = Vmcos(ωt + ϕv) Ecuación diferencialque caracteriza la evolución
del circuito para t > 0
i(t) = - Imcos(ϕi)e-t/τ + Imcos(ωt + ϕi)respuesta = transitorio
(desaparece para t > 5τ)+ permanente
Consideraremos únicamente la respuesta permanente.
Características de la respuestaLa respuesta es una señal sinusoidalde la misma frecuencia que la excitación.El módulo y la fase de la respuestadependen del módulo y la frecuencia de la excitación,y de los elementos del circuito.
Im = Vm
R2 + ω2L2 , ϕ i = ϕv - arctg ωL
R
Objeto del análisis en régimen sinusoidal permanenteCalcular el módulo y la fase de la respuesta.
Tratamiento matemático
Las corrientes y las tensiones se tratan mediante fasores(el concepto de fasor deriva de las identidades de Euler).
Los elementos pasivos se tratan como impedancias.
Se aplican técnicas de análisis por mallas y nudos.
Identidades de Euler
Un número complejo, z, verifica las identidades (a y b reales)
z = a + jb ≡ kejθ ≡ k∠θ ≡ kcos(θ) + jksen(θ)
unidad de los números imaginarios: j ≡ - 1
módulo: k = a2 + b2, fase: θ = arctg ba
Re z = a ≡ kcos(θ) ≡ kRe ejθ , Im z = b ≡ ksen(θ) ≡ kIm ejθ
complejo conjugado de z: z* ≡ a - jb ≡ ke-jθ
Fasores
A cualquier señal (corriente, tensión) sinusoidalse le puede asociar un fasor.
señal: a(t) = Amcos(ωt + ϕ) (1)
fasor: A ≡ A ≡ Amejϕ
Un fasor no tiene entidad real.En un circuito sólo tienen significado físicoseñales caracterizadas por expresiones temporales como (1).
Conocido un fasor, la señal a la que aquél está asociadose obtiene como
a(t) = AmRe ej(ωt + ϕ) = Re Amej(ωt + ϕ) == Re Amejϕejωt = Re Aejωt
Dado que la respuesta en régimen sinusoidal permanentees una señal con la misma frecuencia que la excitación,su cálculo se reduce a la determinacióndel fasor asociado a la respuesta.
En otras palabras, el fasor combina en un solo parámetrola información de módulo y fase,que son las incógnitas a calcular.
Obsérvese que a la derivada de la señal, da/dt,le corresponde el fasor jωA.
Impedancias
Caracterización de elementos pasivos en régimen sinusoidal
Elemento(R, L, C)
Corriente ytensión reales
Fasoresasociados
i+v -
v(t) = Vmcos(ωt + ϕv) V = Vmejϕv
i(t) = Imcos(ωt + ϕi) I = Imejϕi
Relaciones funcionales en régimen sinusoidal
Elemento Relaciónfuncional
Equivalenciaen términosde fasores
Relaciónentre fases
R v = Ri V = RI ϕv = ϕi
L v = Ldi/dt V = jωLI ϕv = ϕ i + 90 ˚
C i = Cdv/dt I = jωCV ϕv = ϕ i - 90 ˚
Cualquier elemento pasivo puede representarsepor una impedancia asociada
V = ZI = I/Y I = YV = V/Z Ley de Ohm generalizada
Impedancia: Z Ω = R + jX (R: resistencia; X: reactancia)Admitancia: Y S = G + jB (G: conductancia; B: susceptancia)
R → Z = RY = 1/R , L → Z = jωL
Y = 1/(jωL) , C → Z = 1/(jωC)Y = jωC
Técnicas de análisis
El circuito se caracteriza en términosde fasores e impedancias.
Se aplican las leyes de Kirchhoff
Vk = 0, k = 1, 2,... n (n: elementos en una malla)∑k
Ik = 0, k = 1, 2,... n (n: elementos en un nudo)∑k
y las simplificaciones del análisis de redes(elementos en serie y paralelo, agrupación de elementos,divisores de tensión y de corriente, equivalentes,...).
El análisis se hace aplicandola técnica de corrientes en las mallas;la técnica de tensiones en los nudos.
Obtenido el fasor correspondiente a la respuesta,se determina la expresión temporal.
Si el circuito es lineal,es posible aplicar el principio de superposición.
Agrupación de elementos
Elementos pasivos
Se agrupan teniendo en cuenta sus impedancias
Agrupación en serie
Zeq = Z1 + ... + Zn, 1Yeq
= 1Y1
+ ... + 1Yn
Agrupación en paralelo
Yeq = Y1 + ... + Yn, 1Zeq
= 1Z1
+ ... + 1Zn
En régimen sinusoidal permanente es posible agruparelementos pasivos de distinta naturaleza(resistencias y/o inductancias y/o capacidades)una vez que cada uno de ellos ha sido caracterizadopor su impedancia correspondiente;de ahí que la impedancia sea compleja en general.
Elementos activos
Pueden agruparse siempre que sean independientes;sean de la misma naturaleza;tengan la misma frecuencia.
Agrupación de fuentes de corriente en paralelo
Ieq = I1 + ... + In
Agrupación de fuentes de tensión en serie
Veq = V1 + ... + Vn
Ejemplo de análisis por mallas
vgL
RL
C
RC
igRig
Ro
Datos:
R = 1 Ω, L = 1 µH, C = 1 µF,RL = 3 Ω, RC = 1 Ω, Ro = 1 Ω,
vg(t) = Vmcos(ωt + ϕv), Vm = 2 V,
ω = 1 Mrad/s, ϕv = 45 °
Hallar po(t)
Vg
RIg
RoZ
Ig
I1 I2
Simplificación del circuitoy caracterización en términos
de fasores e impedancias
Vg = Vmejϕv = 1 + j V
ZL = RL + jωL = 3 + j ΩZC = RC + 1
jωC = 1 - j Ω
1Z
= 1ZL
+ 1ZC
→ Z = ZLZC
ZL + ZC = 1 - j0.5 Ω
Vg = I1Z - I2Z0 = - I1Z + I2(Z + Ro) + RIg
Ig = I1
Ecuaciones de mallas
Ecuación adicional para la fuente dependiente
Io = 0.3 - j0.1 A → io(t) = Re Ioejωt = 0.1cos(ωt + ϕo) A
Vo = RoIo = 0.3 - j0.1 V → vo(t) = Re Voejωt = 0.1cos(ωt + ϕo) V
po(t) = vo(t)io(t) = 0.1cos2(ωt + ϕo) W, ϕo = arctg - 0.10.3
Ejemplo de análisis por nudos
vgL
RL
C
RC
igRig
Ro
Datos:
R = 1 Ω, L = 1 µH, C = 1 µF,RL = 3 Ω, RC = 1 Ω, Ro = 1 Ω,
vg(t) = Vmcos(ωt + ϕv), Vm = 2 V,
ω = 1 Mrad/s, ϕv = 45 °
Hallar po(t)
Vg
RIg
RoZIg Io
Vz
Simplificación del circuitoy caracterización en términos
de fasores e impedancias
Vg = Vmejϕv = 1 + j V
ZL = RL + jωL = 3 + j ΩZC = RC + 1
jωC = 1 - j Ω
1Z
= 1ZL
+ 1ZC
→ Z = ZLZC
ZL + ZC = 1 - j0.5 Ω
Ig = Vz/Z + Io
Vz = Vg = RIg + RoIo
Ecuación de nudo
Ecuaciones adicionales para las fuentes
Io = 0.3 - j0.1 A → io(t) = Re Ioejωt = 0.1cos(ωt + ϕo) A
Vo = RoIo = 0.3 - j0.1 V → vo(t) = Re Voejωt = 0.1cos(ωt + ϕo) V
po(t) = vo(t)io(t) = 0.1cos2(ωt + ϕo) W, ϕo = arctg - 0.10.3
Inducción mutua
En general, la tensión en una inductancia depende dela corriente que circula por ella (autoinducción);la corriente que circula por inductancias próximascon las que está acoplada (inducción mutua).
Está regida porla ley de Ampère(una corriente tiene un campo magnético asociado);la ley de Faraday-Henry(el voltaje inducido es proporcional a la variación del campo magnético).
Dos inductancias (L1, L2) acopladas se caracterizan porel coeficiente de acoplamiento, k (0 ≤ k ≤ 1);el coeficiente de inducción mutua, M
M H = + k L1L2
En continua no hay fenómenos de inducción mutuaya que no hay variación de corriente, ni, por tanto,del campo magnético creado por aquélla.
Inducción mutuaLa tensión total en una inductancia es la suma algebraicade las debidas a la autoinducción y a la inducción mutua.
Caracterización de la autoinducción
i' i
+va
-
-v'a+L
va = Ldidt
= - Ldi'dt
= - v'a
Caracterización de la inducción mutuaSi la corriente entra en (sale de) uno de los elementospor el terminal marcado con el punto,la tensión inducida en el otro es positiva (negativa)en el terminal marcado con el punto.
+v1m
-
-v'1m
+ L1
i1i'1
+v2m
-
-v'2m
+L2
i2i'2
M
v1m = Mdi2
dt = - Mdi'2
dt = - v'1m
v2m = Mdi1
dt = - Mdi'1
dt = - v'2m
Tensión total en L1
Tensión total en L2
v1 = v1a + v1m = v1a - v'1m == - v'1a + v1m = - v'1a - v'1m = - v'1
v2 = v2a + v2m = v2a - v'2m == - v'2a + v2m = - v'2a - v'2m = - v'2
En régimen sinusoidal permanente
Tensión total en L1
Tensión total en L2
V1 = V1a + V1m = - V'1a - V'1m = - V'1V1m = jωMI2 = - jωMI'2 = - V'1m
V2 = V2a + V2m = - V'2a - V'2m = - V'2V2m = jωMI1 = - jωMI'1 = - V'2m
Circuito con inducción mutua(septiembre 1992)
L1
R1C1
L2M12
I1 Vg L3 C2 R2
L4M34
IsI2
R3
M45
L5
C3
I3
Hallar
I1, I2, e I3
Datos:
Vg = 35 + j77 V, Is = 1 A, R1 = 100 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 15 Ω,
ωL1 = 4 Ω, ωL2 = 9 Ω, ωL3 = 1 Ω, ωL4 = 25 Ω, ωL5 = 25 Ω,
ωM12 = 4 Ω, ωM34 = 3 Ω, ωM45 = 20 Ω,
(ωC1)-1 = 5 Ω, (ωC2)-1 = 7 Ω, (ωC3)-1 = 10 Ω
Vs: tensión en la fuente de corriente(positiva en el extremo por el que sale la corriente)
0 = I11
jωC1 + jωL1 + jωL2 + R1 - I2R1 - I1jωM12 - I1jωM12
ec. malla 1 sin inducción mutua L1 en L2 L2 en L1
- Vg = -I1R1 + I2 R1 + jωL3 + 1jωC2
+ R2 + Vs + I3jωM34
ec. malla 2 sin inducción mutua L4 en L3
Vs = I3 jωL4 + R3 + jωL5 + 1jωC3
+ I2jωM34 + I3jωM45 + I3jωM45
ec. malla 3 sin induc. mutua L3 en L4 L4 en L5 L5 en L4
Is = I3 - I2 ecuación adicional para la fuente de corriente
I1 = - 2 A, I2 = - 2 A, I3 = - 1 A
Circuito con inducción mutua(septiembre 1996)
L1R1
L2I1Vg L3
R2
I2M+V2
-
Datos:
Vg = 9 + j30 V,
R1 = 3 Ω, R2 = 5 Ω,
ωL1 = 1 Ω, ωL2 = 4 Ω,
ωL3 = 1 Ω, ωM = 1 Ω
Hallar k y V2
k = ωM(ωL1)(ωL2)
= 0.5
Vg = I1(R1 + jωL1 + jωL2) - I2jωL2 - I1jωM - (I1 - I2)jωMec. malla 1 sin inducción mutua L1 en L2 L2 en L1
0 = - I1jωL2 + I2(jωL2 + R2 + jωL3) + I1jωMec. malla 2 sin inducción mutua L1 en L2
I1 = 5 + j5 A, I2 = j3 A
V2 = (I1 - I2)jωL2 - I1jωM = - 3 + j15 V = I2(R2 + jωL3)
Transformadores
Son dispositivos que incluyen dos inductancias acopladaselectromagnéticamente (afectadas por inducción mutua).
excitación+
otroselementos pr
imar
iootros
elementos
secundario
transformador
bobinasacopladas
Esquemageneral
de untransformador
Un transformador modifica las condiciones en las queuna excitación llega a una carga (conjunto de elementos pasivos) con relación a las que existen en ausencia de aquél.
TiposTransformador lineal.Transformador ideal.
Serán analizados sólo en régimen sinusoidal permanente.
Un transformador no funciona como tal en continuaya que en dichas condiciones no hay inducción mutua(las inductancias que lo constituyense comportan como simples cortocircuitos).Un transformador elimina la componente continuade una excitación combinada.
Transformador lineal
VG
ZG Z1
L1
Z2
L2
ZLM
excitación
transformador lineal
carga
IG
Esquema
ZG: impedancia asociada a la excitaciónZ1: impedancia de pérdidas asociada al primario
Z2: impedancia de pérdidas asociada al secundarioZL: impedancia de carga
En un transformador lineal se cumple (con independencia de lasposiciones de los puntos en las inductancias)
VG = IG(ZG + Z), Z = ZP + ZR
impedancia del primario: ZP = Z1 + jωL1
impedancia reflejada en el primario: ZR = (ωM)2
ZTS
impedancia total en el circuito secundario: ZTS = ZS + ZL
impedancia del secundario: ZS = Z2 + jωL2
El transformador altera las condicionesen las que la excitación ve la carga.Si no estuviera el transformador, se cumpliría
VG = IG(ZG + ZL)
Ejemplo de transformador lineal(diciembre 1996)
VG
ZG
L1
L2
ZL
MC2
+VL
-
Hallar VL
Datos:
VG = 1 + j V,
ZG = 0.75 Ω,
ωL1 = 1 Ω, ωL2 = 1 Ω,
ωM = 0.5 Ω, ωC2 = 1 S,
ZL = 1 + j Ω
VG
ZG
IG Z
L2
Z2L
M I2+
VL-
ZTS = jωL2 + 1jωC2
//ZL = 1 Ω
ZR = (ωM)2
ZTS = 0.25 Ω
Z = jωL1 + ZR = 0.25 + j ΩVG = IG(ZG + Z) → IG = 1 A
1Z2L
= jωC2 + 1ZL
→ Z2L = 1 - j Ω
= IGjωM + I2(jωL2 + Z2L) → I2 = - j0.5 A
VL = I2Z2L = - 0.5 - j0.5 V
Ejemplo de transformador lineal(febrero 1992)
G
Z1
L1 L2 Z3
I1
M12
Z2
I2
M23 L3
I3
Hallar:I1, I2, e I3;
impedancia total del secundario
Datos:
VG = - j54 V, Z1 = 2 - j4 Ω,
ωL1 = 4 Ω, ωL2 = 9 Ω,
ωM12 = 4 Ω, Z2 = 8 - 65 Ω,
ωL3 = 36 Ω, ωM23 = 10 Ω,
Z3 = 23 - j36 Ω
VG = I1(Z1 + jωL1) + I2jωM12
0 = I2(jωL2 + Z2 + jωL3) - I3jωL3 +
+ I1jωM12 + I2jωM23 + (I2 - I3)jωM23
0 = - I2jωL3 + I3(jωL3 + Z3) - I2jωM23
I1 = - j25 A, I2 = - 1 A, I3 = - j2 A
VG = I1(Z1 + jωL1 + ZR) → ZR = 0.16 Ω
ZR = (ωM12)2
ZTS → ZTS = 100 Ω
Transformador ideal
Es un transformador lineal llevado al límite.
k = 1, L1 = ∞ = L2
Se caracteriza por la relación de transformación.
a = n2/n1; ni: número de espiras de la bobina i, i = 1, 2
Los voltajes en los terminales de las inductanciasincluyen los efectos de autoinducción e inducción mutua.
+v1
-
-v'1+
i1i'1+v2
-
-v'2+
i2 i'21:a
1/a:1
n1 n2
Esquema
v2v1
= i1
i2 = n2
n1 = a
Caracterización matemática
Relación de voltajes: positiva si ambos tienen la misma polaridad en los puntos
v2 = av1 = - av'1, v'2 = - av1 = av'1Relación de corrientes: negativa si ambas entran o salen simultáneamente por los puntos
i1 = - ai2 = ai'2, i'1 = ai2 = - ai'2
En régimen sinusoidal permanente
V2 = aV1 = - aV'1, V'2 = - aV1 = aV'1I1 = - aI2 = aI'2, I'1 = aI2 = - aI'2
Transformador ideal
G
ZG
ZLIG
1:aEsquema
ZG: impedancia asociada a la excitaciónZL: impedancia de carga
En un transformador ideal se cumple (con independencia de las posiciones de los puntos en las inductancias)
VG = IG(ZG + ZR)
impedancia reflejada en el primario: ZR = ZL
a2
El transformador altera las condicionesen las que la excitación ve la carga.Si no estuviera el transformador, se cumpliría
VG = IG(ZG + ZL)
Obsérvese que, si se refleja la impedancia del primarioen el secundario, se tiene
ZR = a2ZG
Es decir, el transformador ideal es asimétrico,mientras que el lineal es simétrico.
Ejemplo de transformador ideal(febrero 1992)
VG
Ia
+V1
-
R1
+V2-
+V3
-Ib
+V4
-Ic
IS
+VS
-
R2 R31:a1 1/a2:1
Datos:
VG = 600 V, IS = 12 A, a1 = 6, a2 = 1/3,
R1 = 24 Ω, R2 = 18 Ω, R3 = 2 Ω
Hallar VS
VG = IaR1 + V1
V2 = IbR2 + V3
V4 = IcR3 + VS
Ic = - IS
V2 = a1V1, Ia = a1Ib
V4 = - a2V3, Ib = - a2Ic
Ecuaciones de mallas
Ecuación adicional para la fuente
Ecuaciones de los transformadores
VS = 0 V
Ejemplo de transformadores(septiembre 1999)
VGI1 I2
+VL
-ZL
R bVL1:a
R CL M I3
R C
L
Son datos las características de todos los elementos.
Escribir un sistema algebraico de tres ecuacionescuyas incógnitas sean únicamente las corrientes de malla.
VG = R + 1a2
R + jωL + 1jωC
+ (ωM)2
R + jωL + 1jωC
+ ZL
I1 + bZLI3
impedancia reflejadaen el primario del lineal
impedancia reflejada en el primario del ideal
I1 = aI2
0 = I3 R + jωL + 1jωC
+ ZL + I2jωM
NotaNo se puede reflejar impedancias en el primariosi el secundario contiene fuentes(a menos que se trate de fuentes independientesque estén desactivadas).
Potencia en régimen sinusoidal
Potencia instantánea (real): p(t) = v(t)i(t) (¡signos!)
Caso particular
v(t) = Vmcos(ωt + ϕ) ↔ V, i(t) = Imcos(ωt) ↔ I
Potencia media W : P = VmIm
2cos(ϕ), factor de potencia: cos(ϕ)
Potencia reactiva VAR (voltio-amperio reactivo) : Q = VmIm
2sen(ϕ)
Potencia instantánea: p(t) = VmIm
2cos(ϕ) + VmIm
2cos(ϕ)cos(2ωt) -
- VmIm
2sen(ϕ)sen(2ωt) = P + Pcos(2ωt) - Qsen(2ωt)
Potencia compleja VA (voltio-amperio) : S = P + jQ = VI*2
Siempre
Potencia mediaen un elemento resistivo puro
P = V 2
2R =
I 2R2
Potencia reactivaen un elemento reactivo puro
Q = V 2
2X =
I 2X2
ConclusionesLa potencia instantánea tiene frecuencia doble.R → ϕ = 0 ° → p(t) = P + Pcos(2ωt) ≥ 0 para todo t
(la resistencia siempre absorbe energía)L → ϕ = 90 ° → p(t) = - Qsen(2ωt)
(absorbe-libera energía en cada ciclo)C → ϕ = - 90 ° → p(t) = - Qsen(2ωt)
(absorbe-libera energía en cada ciclo)
Valores eficaces(rms, root mean square -valor cuadrático medio-)
Valor eficaz de una función f(t) de período T:
Feff = 1T
f2(t)dtT
En régimen sinusoidal permanente
ensión eficaz: Veff = Vm
2 =
V2
, corriente eficaz: Ieff = Im
2 =
I2
fasores eficaces: Veff = V2
, Ieff = I2
potencias:S = VeffI*eff
P = VeffIeffcos(ϕ)
Q = VeffIeffsen(ϕ)
Cálculos de potencias(septiembre 2001)
VS
IaIb
+V2
-
1:aM Ic
L1
IG
L2
R2
R3
- VG +
+V3
-
Datos:
VS = 2 + j2 V, IG = - j2 A, ω = 100 krad/s, a = 2,R2 = 5 Ω, R3 = 4 Ω,
L1 = 10 µH, L2 = 50 µH, M = 10 µH
HallarVG y pL1(t)
VS = IajωL1 + IbjωM
0 = IajωM + Ib(jωL2 + R2) - VG + V 2
V3 = IcR3
Ib = IG
Ib = - aIc, V3 = - aV2
Ecuaciones de mallas
Ecuación adicionalfuente de corriente
Transformador ideal
Ia = 2 A, Ib = - j2 A, VG = 10 - j10 V
IajωL1 + IbjωM = VL1 = V S = 2 + j2 V
∠ VL1 ≠ 0 °, ∠ Ia = 0 ° → SL1 = VL1Ia*
2 = 2 + j2 VA
P = Re SL1 = 2 W, Q = Im SL1 = 2 VAR
pL1(t) = 2 + 2cos(2ωt) - 2sen(2ωt) W
Cálculos de potencias(junio 2001)
VGIM I1
+V2
-
1:aM Ia
L1 ISL2
R1 Ra+
VS-
+V1
-CM
RM C1
Datos:
VG = 10 V, IS = j A, ω = 100 krad/s, a = 5,
RM = 1 Ω, R1 = 1 Ω, Ra = 50 Ω, CM = 5 µF, C1 = 5 µF,
L1 = 20 µH, L2 = 20 µH, M = 10 µH
HallarpV1(t)
0 = IM1
jωCM + RM + jωL2 - I1jωM
VG = I11
jωC1 + R1 + jωL1 - IMjωM + V1
V2 = IaRa + VS
Ia = - IS
I1 = aIa, V2 = aV1
Ecuaciones de mallas
Ecuación adicionalfuente de corriente
Transformador ideal
I1 = - j5 A, IM = 5 A, V1 = 10 + j10 V
∠ V1 ≠ 0 °, ∠ I1 ≠ 0 ° → caso general
i1(t) = 5cos(ωt - 90 °) A, v1(t) = 10 2cos(ωt + 45 °) V
pV1(t) = v1(t)i1(t)
Cálculos de potencias(diciembre 2000)
VGIG
a:1
L3
L2 R1C2 C1L1
Datos:
VG = 2 + j2 V, ω = 100 krad/s, a = 10,R1 = 1 Ω, C1 = 10 µF, C2 = 50 nF,L1 = 10 µH, L2 = 1 mH, L3 = 2 mH
Hallarlas potencias
media y reactivaen la fuente
Reflejando impedancias,
VG = IG1
jωC1 + jωL1 + R1 + 1
a2jωL2 + 1
jωC2 + jωL3 → IG = 2 A
∠ VG ≠ 0 °, ∠ IG = 0 ° → SG = - VGIG*
2 = - 2 - j2 VA
PG = Re SG = - 2 W, QG = Im SL1 = - 2 VAR
Cálculos de potencias(junio 1997)
VG
I1
1:aL3
L2
R1
C3
C1 L1
M
I2
R2
R3
Datos:
VG = - j2 V, a = 0.5,
R1 = 2 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 0.5 Ω,
ωL1 = 3 Ω, ωL2 = 1 Ω, ωL3 = 2 Ω,
(ωC1)-1 = 6 Ω, (ωC2)-1 = 0.75 Ω, ωM = 1 Ω
HallarpG(t)
(se suponeω conocida)
Reflejando impedancias,
VG = I1 R1 + 1jωC1
+ jωL1 + jωL2 - I2jωL2 + I1jωM + (I1 - I2)jωM
0 = - I1jωL2 + I2 jωL2 + R2 + jωL3 + 1a2
R3 + 1jωC3
- I1jωM
I1 = - j0.75 A
∠ VG ≠ 0 °, ∠ I1 ≠ 0 ° → caso general
i1(t) = 0.75cos(ωt - 90 °) A, vG(t) = 2cos(ωt - 90 °) V
pG1(t) = - vG(t)i1(t)
Equivalente Thèveninen régimen sinusoidal permanente
Dado un circuito su comportamiento hacia el exterior,desde la perspectiva de dos de sus terminales,puede ser caracterizado mediantelos equivalentes de Thèvenin y Norton.
Equivalentes de Thèvenin y Norton
a
b
ZTh = ZN
VTh
ZTh
a
b
VTh = ZNIN
IN ZN
a
b
IN = VTh/ZTh
Procedimientos para calcular el equivalente (a-b)VTh: tensión de circuito abierto entre a y b.IN:: corriente de cortocircuito de a a b.ZTh:
cociente entre VTh e IN.Desactivación de fuentes independientes,aplicación de Vaux (positivo en a),cálculo de Iaux (sale por el positivo de Vaux),y ZTh = Vaux/Iaux.Si no hay fuentes dependientes,desactivación de fuentes independientes,y ZTh = impedancia total entre a y b.
Máxima transferencia de potencia
VTh
a
b
ZTh = RTh + jXTh
ZL =
RL +
jX
L Dado un circuito caracterizadopor su equivalente Thèvenin,se trata de determinar la cargaque debe conectarseentre sus terminales.
SiZL = Z*Th ⇔ RL = RTh, XL = - XTh
la potencia media en la carga es la máxima posible y vale
PL = Pmax = VTh
2
8RTh
Casos particulares
RL y XL no pueden tomar valores cualesquiera,sino algunos fijados previamente:
se escoge el valor de XL lo más próximo posible a - XTh,se escoge el valor de RL lo más próximo posible a
RTh2 + (XL + XTh)2
La fase de ZL no puede ser cualquiera, sino una fija:se escoge el módulo de ZL lo más próximo posible al de ZTh.
Cálculo de equivalente Thèvenin(cálculo completo, septiembre 1997)
1:a
L3
C5C1
L4
MR2
bV5
+ V5 -
IG
c
dDatos:
IG = - j5 A, a = 2, b = 2,
ωL3 = 2 Ω, ωL4 = 8 Ω, ωM = 2 Ω,
(ωC1)-1 = 0.5 Ω, (ωC5)-1 = 0.5 Ω, R2 = 2 Ω
Hallareq. Th.entrec y d
Cálculo de la tensión de circuito abierto
1:a
L3
C5C1
L4
MI2
R2
bV5
+V1-
+V2
-
+ V5 -
IG
d
+V3
-
c
V1 = bV5 = b - IG
jωC5 = 5 V, V2 = aV1 = 10 V
V2 = I2(R2 + jωL3) + IGjωM → I2 = 0 A
I2jωL3 + IGjωM = V3 = VTh = Vcd = V2 - I2R2 = 10 V
Cálculo de equivalente Thèvenin(cálculo completo, septiembre 1997)
Cálculo de la corriente de cortocircuito
I3
1:a
L3
C5C1
L4
MI2
R2
bV5
+V1-
+V2
-
+ V5 -
IG
d
c
V1 = bV5 = b - IG
jωC5 = 5 V, V2 = aV1 = 10 V, I2 = V2
R2 = 5 A
0 = Vcd = - I3jωL3 + IGjωM → I3 = - j5 A
Icd = IN = I2 + I3
Cálculo de la impedancia equivalente
ZTh = VTh
IN = 1 + j Ω
Cálculo de equivalente Thèvenin(cálculo de impedancia con fuente auxiliar, junio 1999)
1:a
MZL
bVL
+VL
-IG
R C
L L
R C R
Datos:
IG = - j5 A, ω = 1 Mrad/s, a = 2, b = 0.25,R = 1 Ω, L = 2 µH, M = 1 µH, C = 500 nF
Hallar el valor de ZL para que disipe la máxima potencia
Se desactiva la fuente de corriente (queda en circuito abierto)con lo que el primario del transformador lineal no actúa.
El cálculo se hace sin ZL ya que es la impedancia a calcular.
Se aplica una fuente auxiliar.
Iaux
1:a
I2
bVL+V2
-
+VL
-
+V3
-L
R C R Vaux
0 = I2 jωL + R + 1jωC
- bVaux + V2
Vaux = IauxR + V3, V3 = - aV2, I2 = aIaux
Eliminando I2, V2, y V3,
ZTh = Vaux
Iaux =
a jωL + R + 1jωC
- Ra
b + 1a
= 3.33 Ω
ZL = ZTh* = 3.33 Ω
Cálculo de equivalente Thévenin(cálculo agrupando impedancias, febrero 1994)
1:a
MVG
R C
LL R
ZL
Se suponen conocidos los datos de todos los elementos.
Hallar ZL para que disipe la máxima potencia
El cálculo se hace sin ZL ya que es la impedancia a calcular.
Se desactiva la fuente de tensión (queda en cortocircuito)y se van reflejando impedancias.
1:a
MR C
LL R
1:aCL RZR1
RZR2
ZTh = R + ZR2 = R + a2 ZR1 + jωL + 1jωC
=
= R + a2 (ωM)2
R + jωL + jωL + 1
jωC
ZL = ZTh*
Cálculo de equivalente Thèvenin(cálculo completo, junio 2002)
L3
+V3
-
+V2
-
xy
I3
C L2M
L1
I2
I1
VG
Datos:VG = j5 V, a = 2, ω = 100 krad/s,
L1 = 40 µH, L2 = 20 µH, L3 = 160 µH,M = 10 µH, C = 5 µF
Hallareq. Thèveninentre x e y
I1, I2 e I3
son corrientesde rama
Cálculo de la tensión de circuito abierto
Se considera el circuito tal y como está
VG = I1jωL1 + I2jωM, V3 = I3jωL3
VG = I1jωM + I2 jωL2 + 1jωC
V3 = aV2, I2 = aI3
⇒ I1 = 1 AI2 = 1 A
VTh = Vxy = I2 jωL2 + 1jωV
+ I1jωM = j V
Cálculo de equivalente Thèvenin(cálculo completo, junio 2002)
Cálculo de la corriente de cortocircuito
L3
+V3
-a:1
xy
I3
C L2M
L1
I2
I1
VG
IP
+V2
-
IN
IP = V2
jωL3
a2
= VG
jωL3
a2
= 54
A
VG = I1jωL1 + I2jωM
0 = Vxy = I1jωM + I2 jωL2 + 1jωC
⇒ I1 = 0 AI2 = 5 A
IN = IP - I2 = - 154
A
Cálculo de la impedancia equivalente
ZTh = VTh
IN = - 4
15 Ω
Aplicación del principio de superposición
Cuando un circuito soporta distintas excitaciones,una o más continuasy/o una o más sinusoidales de distintas frecuencias,
el análisis se realiza aplicando el principio de superposición.
Si las excitaciones están simbolizadas en una sola fuente independiente
(sólo es posible si las excitacionesson de igual naturaleza -corrientes o tensiones-),
se realiza un análisis separadopara cada una de las excitaciones.
Si las excitaciones están simbolizadas en más de una fuente independiente,se realiza un análisis para cada una de ellas,estando las restantes fuentes independientes desactivadas.
Desactivación de fuentesDesactivar una fuente de corrientesupone sustituirla por un circuito abierto.Desactivar una fuente de tensiónsupone sustituirla por un cortocircuito.
Ejemplo de aplicación del principio de superposición(diciembre 2000)
vg
R
R
C
L R
Datos: vg(t) = VD + VAcos(ωt),
D = 2 V, VA = 26 V, ω = 2 rad/s,R = 2 Ω, L = 2 H, C = 5/8 F
Hallar pC(t)
El circuito tiene una componente continua (VD)y una componente sinusoidal. La respuesta es
vC(t) = VCD + VCAcos(ωt + ϕv), iC(t) = ICD + ICAcos(ωt + ϕi)
VD
R
R C
ICD+
VCD
-
ContinuaEn continua la inductancia y la capacidad
son, respectivamente, un cortocircuito y un circuito abierto.
VCD = VDRR + R
= 1 V, ICD = 0 A
VA
R
RICA
IG Z
SinusoidalZ = 1/(jωC) + (jωL)//R = 1.6 Ω
VA∠ 0 ° = VA = IG(R + R) - ICAR0 = - IGR + ICA(R + Z)
ICA = 5 A → ICA = 5 A, ϕ i = 0 °VCA = ICA/(jωC) = - j4 V → VCA = 4 V, ϕv = - 90 °
RespuestapC(t) = vC(t)iC(t) = 1 + 4cos(ωt - 90 °) 5cos(ωt) W
Ejemplo de aplicación del principio de superposición(febrero 1994)
L2
R1 C2
R2
+
vO
-vg
L1 C1
Datos:
vg(t) = VC +
+ V1cos(ω1t) + V2cos(ω2t + 270 °),
ω1 = 1 Mrad/s, ω2 = 2 Mrad/s,
VC = 3 V, V1 = 1 V, V2 = 2 V,L1 = 1 µH, L2 = 2 µH,C1 = 1 µF, C2 = 2 µF,R1 = 1 kΩ, R2 = 2 kΩ
Hallar vO(t)
El circuito tiene una componente continua (VC)y dos componentes sinusoidales de distintas frecuencias.Ha de ser analizado aplicando el principio de superposición.
La respuesta es
vO(t) = VOC + VO1cos(ω1t + ϕ1) + VO2cos(ω2t + ϕ2)
ContinuaDado que en continua la inductancia y la capacidad son,respectivamente, un cortocircuito y un circuito abierto,el circuito queda reducido a la fuente y a las dos resistencias. Por tanto,
VOC = divisorde tensión = VCR2
R1 + R2 = 2 V
Ejemplo de aplicación del principio de superposición(febrero 1994)
Régimen sinusoidalHacemos las siguientes agrupaciones de elementos:
Z1(ω) = R1 + (jωL1)// 1/(jωC1) = R1 + L1/C1
jωL1 + 1/(jωC1)
Z2(ω) = R2// jωL2 + 1/(jωC2) = R2 jωL2 + 1/(jωC2)
R2 + jωL1 + 1/(jωC1)
con lo que la respuesta para cualquier frecuencia es
VOk∠ϕ k = VOk = divisorde tensión = VkZ2(ωk)
Z1(ωk) + Z2(ωk); k = 1, 2
En consecuencia,
respuesta para la frecuencia 1:
k = 1 → V1 = V1ej0 ° = 1 V → VO1 = 0 V
respuesta para la frecuencia 2:
k = 2 → V2 = V2ej270 ° = - j2 V → VO2 = 0 V
Respuesta totalLa respuesta es continua, ya que son nulaslas componentes sinusoidales.
Ejemplo de aplicación del principio de superposición
- vR +
iA
R L
C
L
C
vD
R R
R
R
GvR
+vd
-
RDatos:
iA(t) = IAcos(ωt),IA = 1 A, ω = 1 rad/s,
vD(t) = VD = 2 V,R = 1 Ω, G = 2 S,L = 1 H, C = 1 F
Hallar vd(t)
El circuito tiene una componente continua (vD(t))y una componente sinusoidal. La respuesta es
vd(t) = VdD + VdAcos(ωt + ϕv)
VDR
R
+VdD
-
VdD = VDRR + R
= 1 V
ContinuaSe desactiva la fuente independiente
de corriente (se sustituye por un circuito abierto),con lo que vRD = 0 V.
En consecuencia, y teniendo en cuentaque en continua la inductancia
y la capacidad son, respectivamente, un cortocircuito y un circuito abierto,
el circuito queda como se indica en la figura adjunta.
Ejemplo de aplicación del principio de superposición
IA
R
- VRA +
Z1R
R
RR
R
GV
RA +
VdA
-
Z2
SinusoidalSe desactiva la fuente
de tensión (se sustituye por uncortocircuito).
Z1 = jωL + 1jωC
= 0 Ω (cortocircuito)
Z2 = (jωL)// 1/(jωC) = ∞ Ω (circuito abierto)
VRA = - IAR, VdA = GVRA R + (R + R)//(R + R) →
→ VdA = 4 V → VdA = 4 V, ϕv = 0 °
Respuestavd(t) = 1 + 4cos(ωt) V
Ejemplo de aplicación del principio de superposición(septiembre 2000)
vg
R
R C
L
R
Datos: vg(t) = VD + VAcos(ωt),
VD = 3 V, VA = 4 V, ω = 1 rad/s,R = 1 Ω, L = 0.5 H, C = 1 F
Hallar pL(t)
El circuito tiene una componente continua (VD)y una componente sinusoidal. La respuesta es
vL(t) = VLD + VLAcos(ωt + ϕv), iL(t) = ILD + ILAcos(ωt + ϕi)
RVD
R
R
ILD
+ VLD - ContinuaEn continua la inductancia y la capacidad
son, respectivamente, un cortocircuito y un circuito abierto.
ILD = VD
3R = 1 A, VLD = 0 V
VA
R
RILA
IG Z
SinusoidalZ = jωL + R// 1/(jωC) = 0.5 Ω
VA∠ 0 ° = VA = IG(R + R) - ILAR0 = - IGR + ILA(R + Z)
ILA = 2 A → ILA = 2 A, ϕ i = 0 °VLA = ILAjωL = j V → VLA = 1 V, ϕv = 90 °
RespuestapL(t) = vL(t)iL(t) = 1 + 2cos(ωt) cos(ωt + 90 °) W
Ejemplo de aplicación del principio de superposición
iS
R
R
L iL
C
RvG
Datos: vG(t) = cos(ωGt) V, ωS = 1 Mrad/s,
iS(t) = 2cos(ωSt - 45 °) A, ωS = 1 krad/s,R = 1 Ω, L = 1 mH, C = 1 mF
Hallar iL(t)
El circuito tiene dos componentes sinusoidales de distintasfrecuencias. La respuesta es
iL(t) = ILScos(ωSt + ϕS) + ILGcos(ωGt + ϕG)
R
R
L
C
RI3S
ILSIS
IS = 2 ∠ - 45 ° A
Componente ωs
0 = - ISR + ILS R + jωL + 1jωC
- I3S
jωC
0 = - ILS
jωC + I3S R + 1
jωC
ILS = 4 A ⇒ ILS = 4 A, ϕS = 0 °
R
L
C
RI3G
ILGVG
VG = 1 V
Componente ωG
0 = ILG R + jωL + 1jωC
- I3G
jωC
VG = ILG
jωC - I3G R + 1
jωC
ILG ≈ 0 A ⇒ ILG = 0 A
Problemas de repaso(cortocircuito en inductancia mutua, diciembre 1994)
VG
I2R1
I1
ab
Isc L1
L2
R2
MZG
ZL
Son datos las característicasde todos los elementos
Escribir un sistema algebraicode ecuaciones cuyas incógnitas
sean las corrientes de malla
Podría pensarse que no circula corriente por R1 y L1
ya que el cortocircuito impone una tensión nula en los extremos de esa rama.
Sin embargo hay tensión en L1 debido al efecto de inducción mutua.Esa tensión debe ser compensada por otra igual y de signo opuesto en R1 y L1 para que la tensión total sea nula. Y, si hay tensión en la resistencia, también hay corriente en ella.
En consecuencia el sistema de ecuaciones es
Vab = I1(R1 + jωL1) - Isc(R1 + jωL1) - (I1 - I2)jωM = 0
VG = I1(ZG + R2 + jωL2) + Vab - I2(R2 + jωL2) - (I1 - Isc)jωM
0 = - I1 (R2 + jωL2) + I2(ZL + R2 + jωL2) + (I1 - Isc)jωM
Problemas de repaso(inducción mutua, potencia)
MC4 LIG
RaV3
L
+V4
-I1 I2 C3
+V3-
y
x Hallar:Zxy, y P en R
Datos:IG = 1 A, ω = 1 krad/s, a = 0.5,
L = 1 mH, M = 0.5 mH, R = 0.5 Ω, C3 = 1 mF, C4 = 1.5 mF
V4 + aV3 = I1jωL - I2jωM
0 = - I1jωM + I2 jωL + R + 1jωC3
V4 = IG - I1
jωC4,V3 = I2
jωC3
I1 = - 2 A, I2 = - j2 A
Vxy = I1jωL - I2jωM = - 1 - j2 V ⇒ Zxy = Vxy
I1 = 0.5 + j Ω
PR = I2
2R2
= 1 W
Problemas de repaso(inducción mutua, potencia)
MCL
IG aV1LI1
+V1-
I2
x y
C
Hallar:Zxy, y la potenciainstantánea en la
fuente independiente
Datos:IG = 1 A, ω = 1 krad/s, a = 0.5,
L = 1 mH, M = 0.5 mH, C = 1 mF
V1 = I1(jωL + jωL) - I2jωL + I1jωM + (I1 - I2)jωM
0 = - I1(jωM + jωL) + I2 jωL + 1jωC
+ aV1
V1 = IG - I1
jωC
I1 = - 0.5 A, I2 = 0 A
Vxy = I1jωL + (I1 - I2)jωM = - j0.75 V ⇒ Zxy = Vxy
I1 = j1.5 Ω
V1 = IG - I1
jωC = - 1.5 V ⇒ v1(t) = 1.5cos(ωt - 90 °) V
IG = 1 A ⇒ iG(t) = cos(ωt) ApG(t) = - v1(t)iG(t)
Problemas de repaso(inverso a partir de potencia, febrero 1995)
R
VG
+V-
ZG
jX
Hallar VG
Datos: R = 3 kΩ, ZG = 300 + j21 kΩ,V = Vmejϕ, Vm = 5 V,
arctg(4/3) = ϕ ∈ primer cuadrante;X absorbe 2 mVAR
y minimiza la potencia media en R
La corriente que circula por el circuito es
I = VR + jX
→ I = V
R + jX = Vm
R2 + X2
La potencia absorbida en el elemento reactivo es
QX = I 2X2
= Vm2 X
2(R2 + X2) → X = 4 kΩ
X = 2.25 kΩ
La potencia media en R es
PR = I 2R2
= Vm2 R
2(R2 + X2)
PR mínima → I mínimo → X máximo = 4 kΩ
V = Re V + jIm V =
Vm = Re2 V + Im2 V
tg(ϕ) = Im VRe V
ϕ primer cuadrante
= 3 + j4 V
I = V/(R + jX) = 1 mA, VG = IZG + V = 303 + j25 V
Problemas de repaso(equivalente Thèvenin, junio 2001)
VG
1:aM
L ISL
R RS+
V1
-C
R Cx
y
Datos:
VG = 10 V, IS = j A, ω = 100 krad/s, a = 5,
R = 1 Ω, RS = 50 Ω, C = 5 µF, L = 20 µH, M = 10 µH
Hallar el equivalente Thèvenin entre x e y
Aplicando las propiedades de los transformadores,
VG = - aIS(ωM)2
R + jωL + 1/(jωC) + R + jωL + 1
jωC + V1 → V1 = 10 + j10 V
VTh = Vxy = aV1 + ISR = 50 + j100 V
Desactivando las fuentes, y reflejando y agrupando impedancias,
ZTh = Zxy = RS + a2 (ωM)2
R + jωL + 1/(jωC) + R + jωL + 1
jωC = 100 Ω
Problemas de repaso(potencia, equivalente Thèvenin, septiembre 2002)
R1
1:a
C
L2
M
L1
I1VG
x
y
R2
Hallar:la potencia instantánea en L1, y el equivalenteThèvenin entre x e y
Datos:VG = 4 V, ω = 100 krad/s, a = 2, R1 = 1 Ω, R2 = 4 Ω,
L1 = 40 µH, L2 = 40 µH, M = 10 µH, C = 1 µF
Reflejando impedancias en el transformador ideal,
VG = I1 R1 + jωL1 + jωL2 + j2ωM + 1jωC
+ R2
a2 ⇒ I1 = 2 A ⇒
⇒ i1(t) = Re I1ejωt = 2cos(ωt) A
VL1 = I1(jωM + jωL) = j10 V ⇒⇒ vL1(t) = Re VL1ejωt = 10cos(ωt + 90 °) V
pG(t) = vL1(t)i1(t)
Decir “equivalente entre x e y” es lo mismo que “equivalente en elprimario del transformador ideal”.La tensión de circuito abierto se calcula en las condiciones de lafigura.
VTh = Vxy = I1R2
a2 = 2 V
Cuando hay un cortocircuito entre x e y, la tensión es nula en elprimario.
VG = IN R1 + jωL1 + jωL2 + j2ωM + 1jωC
⇒ IN = 4 A
ZTh = VTh
IN = 0.5 Ω
Problemas de repaso(equivalente Thèvenin, diciembre 2002)
RS
1:aCG
LGMLS VG
x
yIS
RG R4
C4
Hallar la impedanciaque hay que colocarentre x e y para queen ella se disipe lamáxima potencia
Datos:VG = - 1 + j V, IS =1 A, ω = 100 krad/s, a = 2,
RS = 1 Ω, RG = 1 Ω, R4 = 1 Ω,LS = 20 µH, LG = 20 µH, M = 10 µH, C G = 5 µF, C4 = 10 µF
Desactivando las fuentes y reflejando impedancias,
ZTh = Zxy = jωLS + (ωM)2
jωL2 + RG + 1jωCG
= 1 + j2 Ω
ZL = ZTh* = 1 - j2 Ω
Problemas de repaso(equivalente Thèvenin, máxima potencia con limitación de impedancias)
VG
R1 C R2 R3
ZL
1:a1 1:a2 1:a3
Son datos las características de todos los elementos
Hallar el valor que ha de tomar ZL para que en ellase disipe la máxima potencia posible
sabiendo que tal valor sólo puede ser resistivo
Se desactiva la fuente. El cálculo se hace sin ZL ya que es la impedancia a calcular. Se reflejan impedancias.
ZTh = R3 + a32 R2 + a2
2 1jωC
+ a12R1
En principio debería ser ZL = Z*Th, pero ello resultaría en una impedancia compleja.
Puesto que la impedancia ha de ser resistiva, ello significa que hay una limitación de fase (0 ˚). En consecuencia
ZL = ZTh
Problemas de repaso(equivalente Thèvenin, problema inverso, junio 1998)
VG C RLIG
+VC
-
R
IC
ML
L IL
M
bVC
I1
1:a
I2R
Demostrar que VC no depende de RL
Hallar R sabiendo que a = 2, RL = 4 Ω,y que en RL se disipa la máxima potencia media posible
Sabiendo que VC = (IG - IC)/(jωC) y reflejando impedancias,el circuito queda descrito por el sistema de ecuaciones
VG = IG R + 1jωC
- IC
jωC
0 = - IG
jωC + IC
1jωC
+ j2ωL + j2ωM - IL(jωL + jωM)
0 = - IC(jωL + jωM) + IL jωL + jωM + b(IG - IC)jωC
b(IG - IC)jωC
= I1 R + RL
a2, I1 = - aI2
Las tres primeras ecuaciones conforman un sistema cerradodel que es posible obtener IG e IC independientemente de RL.En consecuencia VC también puede ser obtenidaindependientemente de la resistencia.
Problemas de repaso(equivalente Thèvenin, problema inverso, junio 1998)
Equivalente Thèvenin
Sustituyendo RL por un circuito abierto,
I2 = 0 → I1 = 0 → VTh = - abVC
Sustituyendo RL por un cortocircuito,
I1 = bVC
R → IN = - I1
a = - bVC
aR
Puesto que VC es igual en ambos casos ya que no depende de RL (engeneral sí cambiaría),
RL = RL* = ZTh = VTh
IN = a2R → R = 1 Ω
Problemas de repaso(equivalente Thèvenin, problema inverso, junio 1996)
VG
1:aZG M
L
Z2
LZL
Hallar ZG
Datos: VG = 5 - j V, ω = 1 Mrad/s, L = 1 µH, M = 0.5 µH,
a = 2, Z2 = 1 - j5 Ω, ZL = 0.25 - j Ω;en ZL se disipa la máxima potencia media posible
Desactivando la fuente, prescindiendo de ZL,y reflejando impedancias,
ZL* = ZTh = jωL + (ωM)2
jωL + Z2 + a2ZG → ZG = j Ω
Problemas de repaso(superposición, septiembre 2001)
C
LvG
RG C
RC
Hallar la potencia instantánea en la capacidad en serie con RG
Datos: vG(t) = V1 + V2cos(ωt), V1 = 12 V, V2 = 5 V, ω = 1 rad/s,
L = 1 H, C = 1 F, RG = 2 Ω, RC = 2 Ω
El circuito tiene una componente continua (V1)y una componente sinusoidal. La respuesta es
vC(t) = VCD + VCAcos(ωt + ϕv), iC(t) = ICD + ICAcos(ωt + ϕi)
CvG
RGContinua
La inductancia y las capacidades son,respectivamente, un cortocircuito y circuitos
abiertos.ICD = 0 A, VCD = V1 = 12 V
Vale el circuito delenunciado, con VG = V2
SinusoidalZ1 = RG + jωC = 2 - j Ω
Z2 = jωL // RC + jωC = 0.5 + j Ω
ICA = VG
Z1 + Z2 = 2 A ⇒ ICA = 2 A, ϕ i = 0 °
VCA = ICA
jωC = - j2 V ⇒ VCA = 2 V, ϕv = - 90 °
RespuestapC(t) = vC(t)iC(t)
Problemas de repaso(superposición)
1:a +vC
-C
R1 R2 R3
L1 L2
vg
Hallar vC(t)
Datos:
vg(t) = VD + VAcos(ωt),
VD = 46 V, VA = 220 2 V,
R1 = 6.5 Ω, R2 = 5 Ω, R3 = 45 Ω,
ωL1 = 10.8 Ω, ωL2 = 22 Ω,
(ωC)-1 = 2 Ω, a = 10
Por haber dos excitaciones de distinta naturaleza,
vC(t) = VCD + VCAcos(ωt + ϕ)
VD
R1
R2
+VCD
-
ContinuaExcitación sinusoidal desactivada
L = cortocircuito, C = circuito abierto
VCD = VDR2
R1 + R2 = 20 V
Problemas de repaso(superposición)
+V1-
1:a+V2- C
R1 R2 R3
L1 L2
VA
+VCA
-
I1I2
SinusoidalExcitación continua desactivada
VA = I1(R1 + jωL1 + R2) + V1 - I2R2
0 = - I1R2 - V2 + I2 R2 + jωL2 + 1jωC
+ R3
I1 = aI2, V2 = aV1
I2 = 2(1 - j) A, VCA = I2
jωC = - 2 2(1 + j) V
Respuesta
vC(t) = 20 + 4cos(ωt + 225 °) V
Problemas de repaso(superposición)
vG
L
R iS
CL R
Hallar la expresión temporalde la potencia en la capacidad
Datos: vG(t) = 4 V, iS(t) = 2cos(ωt) A, ω = 1 krad/s,
L = 2 mH, C = 0.5 mF, R = 2 Ω
El circuito tiene una componente continua (vG)y una componente sinusoidal. La respuesta es
vC(t) = VCD + VCAcos(ωt + ϕv), iC(t) = ICD + ICAcos(ωt + ϕi)
+VCD
-vG R
ContinuaExcitación sinusoidal desactivada
L = cortocircuito, C = circuito abierto
VCD = vG = 4 V, ICD = 0 A
Problemas de repaso(superposición)
L
R
+VCA
-C
L
R
IS
I3 I2
IS = 2 A
SinusoidalExcitación continua desactivada
(IS - I2)R = I2 jωL + 1jωC
- I3
jωC
0 = I3 jωL + 1jωC
- I2
jωC
I2 = 0 A, I3 = - j2 A
ICA = I2 - I3= j2 A ⇒ ICA = 2 A, ϕ i = 90 °
VCA = ICA
jωC = 4 V ⇒ VCA = 4 V, ϕv = 0 °
RespuestapC(t) = vC(t)iC(t)
Ejercicios para resolver en clase
SINUSOIDAL 2003/A
vG(t) = 1.8cos(ω1t + 33.69 ˚) + 2cos(ω2t) V,ω1 = 1 krad/s, ω2 = 1 Mrad/s,L = 1 mH, C = 1 mF, R = 1 Ω
vGL
R
C
R R
L
+v3
-
Hallad la expresión temporal de v3.
SINUSOIDAL 2003/B
El circuito de la figura, en cuyarepresentación se ha utilizadonotación fasorial, funciona enrégimen sinusoidal permanente.
Hallad la impedancia entre x e y,justificando el signo del resultado, yla potencia reactiva en la fuentedependiente.
CL
RCVG
gVR+VR-
xyM
L
VG = 1.5 V, ω = 1 krad/s,L = 1 mH, M = 0.5 mH, C = 1 mF,
R = 0.5 Ω, g = - 1 S
SINUSOIDAL 2003/C
Hallad el equivalente Thèvenin entre xe y.
Se desea colocar entre tales puntos unaimpedancia en la que se disipe la máximapotencia media posible, pero las partes reale imaginaria de dicha impedancia sólopueden tomar valores (positivos onegativos) iguales a múltiplos enteros de0.5 Ω.
Determinad los elementos que han deconstituir esa impedancia.
LC
VG
gV2 +V2-
x y
ML
El circuito de la figura, en cuya representación se ha utilizado notación
fasorial, funciona en régimen sinusoidalpermanente.
VG = 0.75 V, ω = 1 krad/s,L = 1 mH, M = 0.5 mH, C = 1 mF, g = 4 S
Respuesta en frecuencia
Función de transferencia es una expresión matemáticaque relaciona los fasores correspondientesa la salida y a la entrada de un circuito.
La función de transferencia depende delas características de los elementos del circuito,la frecuencia de operación del circuito.
La función de transferencia suele representarse como T(jω).
Función de transferencia en resonadores ideales
Resonador RLC paralelo Resonador RLC serie
I G =
I G∠
0°
R L C
+
- Vo
=V
o∠ϕ
RL C+
- Vo
=V
o ∠ϕ
VG
=V
G∠
0°
T(jω) = Vo
IG = Zeq = 1
1R
+ 1jωL
+ jωC(jω) = Vo
VG = R
Zeq = R
R + jωL + 1jωC
ω → 0 ⇒ Zeq ≈ jωL → j0
ω → ∞ ⇒ Zeq ≈ 1/(jωC) → - j0
ω intermedia ⇒ Zeq no despreciable
ω → 0 ⇒ Zeq ≈ 1/(jωC) → - j∞ω → ∞ ⇒ Zeq ≈ jωL → j∞ω intermedia ⇒ Zeq finita
Resonador paralelo ideal(para el serie son aplicables consideraciones similares)
ω creciente →
Vo
Vom
ax
ϕ90 °
- 90 °
0 °
ω0
BW
ω1 ω2
Frecuencia central
ω0 = 1LC
T(jω0) máximo
∠ T(jω0) = 0 °Zeq(ω0) = R
Frecuencia de resonancia
Suele denominarse frecuencia de resonanciaa la frecuencia central; es decir, la frecuencia para la que se cumplen las tres condiciones indicadas.Sin embargo, las tres condiciones sólo se dan a la vezen los resonadores ideales.
Para nosotros, frecuencia de resonancia es aquéllapara la que la impedancia del circuito es resistiva(los efectos inductivos y capacitivosse cancelan mutuamente).
ω0 = 1LC L C
Zeq(ω0) = 0 Ω(cortocircuito)
ω0 = 1LC L C
Zeq(ω0) = ∞ Ω(circuito abierto)
Banda de pasoConjunto de frecuencias en las que se cumple
T(jω) ≥ T(jω0)
2Ancho de banda
Intervalo de frecuencias correspondiente a la banda de paso.Se representa por BW.
Ancho de banda relativobw = BW
ω0
Factor de calidad
Q = ω0
BW = 1
bw
Cuanto mayor es Q, más afilada es la curvade la función de transferencia.
En resonadores ideales
Paralelo ω0 = 1LC
= ω1ω2
BW = ω2 - ω1 = 1RC
, Q = ω0RC
Serie ω0 = 1LC
= ω1ω2
BW = ω2 - ω1 = RL
, Q = 1ω0RC
La frecuencia de resonancia dependesólo de los elementos reactivos.La resistencia influye en el ancho de banda.
Otras observaciones sobrela respuesta en frecuencia
Para unos valores dados de L y C
ω 0 ∞
Z = 1/(jωC) - j∞ Ω(circuito abierto,
fase = - 90 ˚)
- j0 Ω(cortocircuito,fase = - 90 ˚)
Z = jωL j0 Ω(cortocircuito,
fase = 90 ˚)
j∞ Ω(circuito abierto,
fase = 90 ˚)
Para un valor dado de ω
Z = 1/(jωC) C → 0 ⇒ Z → - j∞ Ω(circuito abierto,
fase = - 90 ˚)
C → ∞ ⇒ Z → - j0 Ω(cortocircuito,fase = - 90 ˚)
Z = jωL L → 0 ⇒ Z → j0 Ω(cortocircuito,
fase = 90 ˚)
L → ∞ ⇒ Z → j∞ Ω(circuito abierto,
fase = 90 ˚)
Ejemplo de respuesta en frecuencia(función de transferencia, junio 2001)
LVG
R
C R
+Vo
-
L C
Datos:características de los elementos,
∠ VG = 0 °
Si la función de transferencia es
T(jω) = Vo
VG
hallar los valores a los que tienden
su módulo y su fasepara ω → 0, ω = 1/ LC,
y ω → ∞
T(jω) = Vo
VG = Z2
Z1 + Z2
Z1 = R + jωL + 1/(jωC), Z2 = 1/R + 1/(jωL) + jωC -1
ω → 0 ⇒ Z1 → - j/(ωC), Z2 → jωL ⇒ T(jω) → - ω2LC ⇒⇒ T(jω) → ω2LC, ∠ T(jω) → 180 °
ω = 1/ LC ⇒ Z1 = R, Z2 = R ⇒ T(jω) = 1/2 ⇒⇒ T(jω) = 1/2, ∠ T(jω) = 0 °
ω → ∞ ⇒ Z1 → jωL, Z2 → - j/(ωC) ⇒ T(jω) → -1/(ω2LC) ⇒⇒ T(jω) → 1/(ω2LC), ∠ T(jω) → 180 °
Ejemplo de respuesta en frecuencia(función de transferencia, septiembre 1993)
VG
+Vo
-
R1 L1 C1
R2 L2 C2
Ro
Son datos las característicasde todos los elementos. Además,
las bandas de paso de los dos resonadores están muy separadas, yω2 = 1
L2C2 >> 1
L1C1 = ω1, R1 > R2
Si la función
de transferencia es
T(jω) = Vo
VG
se pide dibujar
la variación cualitativa de
su módulo
en función de ω.
T(jω) = Vo
VG = Ro
Ro + Z1//Z2; Zi = Ri + jωLi + 1
jωCi, i = 1, 2
ω1 ω2ω
T(jω)
Ro
R1 + Ro
Ro
R2 + Ro
res
1
res
2
ωc
total
Si el circuito incluyera sólo el resonador 1 (2),la gráfica buscada seríala marcada en la figura como res 1 (res 2), ya quees un resonador serie ideal.
La posición relativa de las curvas deriva de los datos(bandas de paso muy separadas, frecuencia de resonanciamás elevada en el segundo, etc.).
Ejemplo de respuesta en frecuencia(función de transferencia, septiembre 1993)
Para cualquiera de los dos resonadores se tiene
ω << ωi → Zi ≈ - j∞ (por la capacidad)
ω ≈ ωi → Zi ≈ Ri (por estar en resonancia)
ω >> ωi → Zi ≈ j∞ (por la inductancia)
Sea ωc una frecuencia cualquiera mucho mayor (menor)que las correspondientes a la banda de pasodel resonador 1 (2).
Cuando están presentes los dos resonadores se tiene
ω << ωc → Z = Z1//Z2 ≈ Z1(- j∞)
Z1 - j∞ ≈ Z1 → T(jω) ≈ Ro
Ro + Z1
ω ≈ ω1 → Ro + Z1 ≈ Ro + R1
ω ≈ ωc → Z = Z1//Z2 ≈ j∞(- j∞)
j∞ - j∞ ≈ ∞ → T(jω) ≈ 0
ω >> ωc → Z = Z1//Z2 ≈ (j∞)Z2
j∞ + Z2
≈ Z2 → T(jω) ≈ Ro
Ro + Z2
ω ≈ ω2 → Ro + Z2 ≈ Ro + R2
Luego la curva pedida es la marcada como total en la figura.
Ejemplo de respuesta en frecuencia(función de transferencia, septiembre 1998)
L
C
VG R
+Vo
-
Son datoslas características
de todos los elementos
Si la función de transferencia es
T(jω) = Vo
VG
hallar:los valores a los que tienden
su módulo y su fasepara ω → 0, ω = 1/ LC, y ω → ∞;
las condiciones para que el módulo sea superior a la unidad.
T(jω) = Vo
VG =
R//(jωL)1/(jωC) + R//(jωL)
= - ω2LRCR(1 - ω2LC) + jωL
= N(ω)D(ω)
ω → 0 ⇒ T(jω) ≈ - ω2LC ⇒ T(jω) ≈ ω2LC, ∠ T(jω) ≈ 180 °
ω = 1/ LC ⇒ T(jω) = jR C/L ⇒ T(jω) = R L/C, ∠ T(jω) = 90 °
ω → ∞ ⇒ T(jω) ≈ 1 ⇒ T(jω) ≈ 1, ∠ T(jω) ≈ 0 °
T(jω) = N(ω)D(ω)
= N(ω)D(ω)
= ω2RLCR2(1 - ω2LC)2 + (ωL)2
T(jω) ≥ 1 → N(ω) ≥ D(ω) → (ω2LRC)2 ≥ R2(1 - ω2LC)2 + (ωL)2 →
→ ω ≥ ωm = RL(2R2C - L)
→ L < 2R2C
Ejemplo de respuesta en frecuencia(función de transferencia, junio 2000)
L
VG
R
CR R
+Vo
-
Datos:características de los elementos,
∠ VG = 0 °
Hallar:módulo y fase de Vo
para ω → 0 y para ω → ∞;frecuencia de resonancia.
Vo = VGRR(3 - 2ω2LC) + jω(R2C + 2L)
ω → 0 ⇒ Vo → VG/3 ⇒ Vo → VG /3, ∠ Vo → 0 °
ω → ∞ ⇒ Vo → - VG/(2ω2LC) ⇒ Vo → VG /(2ω2LC), ∠ Vo → 180 °
La impedancia que ve la fuente es
Z = R + R//Z1
Z1 = jωL + R// 1/(jωC) = R(ωRC)2 + 1
+ j ωL - ωR2C(ωRC)2 + 1
ω = ω0 → Z resistiva → Z1 resistiva → Im Z1 = 0 →
→ ω0L - ω0R2C(ω0RC)2 + 1
= 0 → ω0 = R2C - LLR2C2
Ejemplo de respuesta en frecuencia(función de transferencia, junio 1999)
L
+
V
-
R
C
I R, L y C datos; ¿∠ V - ∠ I para ω → 0?
R, L y C datos; ¿ ω (≠ 0) para ∠ V = ∠ I?
R, L y ω = ωa datos; ¿ C para ∠ I = ∠ V + 45 °?
V = IZ, Z = (R + jωL)// 1/(jωC) = R + jωL(1 - ω2LC) + jωRC
= N(ω)D(ω)
ω → 0 ⇒ Z → R ⇒ ∠ V = ∠ I
∠ V = ∠ I → ∠ N(ω) = ∠ D(ω) → ωLR
= ωRC1 - ω2LC
→ ω = 1 - R2LCLC
∠ V = ∠ I + ∠ Z = ∠ V + 45 ° + ∠ Z → ∠ Z = - 45 °
Z = N(ω)D(ω)
= N(ω)D*(ω)D(ω)D*(ω)
, ∠ Z = - 45 ° → ya queD(ω)D*(ω) real →
→ Re N(ωa)D*(ωa) = - Im N(ωa)D*(ωa) → C = L + R/ωa
R2 + ωa2L2
Ejemplo de respuesta en frecuencia(resonancia, junio 2002)
Datos:R, L, C, a, IG (real) ig
R
C aiCiC
R
L
ig = IGcos(ωt)
El circuito funciona en régimen sinusoidal permanente.
IG = IG
R
C
R
L
+VG- IG IC aIC
Impedancia que ve la fuente independiente
IG + aIC = V G
R + VGjωC + VG
R + jωL ⇒ IG = VGY = VG
Z
Y = 1R
+ j(1 - a)ωC + 1R + jωL
, Z = 1Y
Módulo y fase de la tensión en la fuente dependientepara ω ≈ 0 rad/s y ω ≈ ∞ rad/s
La tensión en ambas fuentes es igual
ω → 0 rad/s ⇒ Y → 2R
⇒ VG → IGR2
⇒ VG → IGR
2
∠ VG → 0 °
ω → ∞ rad/s ⇒
⇒ Y → j(1 - a)ωC ⇒ VG → - j IG
(1 -a)ωC ⇒
VG → IG
(1 - a)ωC
∠ VG → - 90 °
Ejemplo de respuesta en frecuencia(resonancia, junio 2002)
Frecuencia angular (ω0 ≠ 0 rad/s) para Z puramente resistiva;condiciones para que exista
Z resistiva ⇒ Im Y = 0 Ω ⇒ (1 - a)ω0C - ω0LR2 + (ω0L)2
= 0 ⇒
⇒ ω0 = 0 rad/s (no vale)
+ L - (1 - a)R2C(1 - a)L2C
; condición: L - (1 - a)R2C(1 - a)L2C
> 0 s-2
Hallar iC(t) para C = ∞ F
C = ∞ F ⇒ VG = 0 V ⇒ IG + aIC = IC ⇒
⇒ IC = IG
1 - a ⇒ iC(t) = Re ICejωt = IGcos(ωt)
1 - a
Ejemplo de respuesta en frecuencia(superposición, junio 2002)
Datos:R, L, C, a, ID (real), IA (real), ω = ω0
Hallar la potencia en la capacidadig
R
C aiCiC
R
L
ig(t) = ID + IAcos(ωt)
Continua
C = circuito abierto; L = cortocircuito
ICD = 0 A, VGD = ID(R // R) = IDR2
R
R
+VGD
- ID ICD
Sinusoidal
Y(ω0) = 1R
+ RR2 + (ω0L)2
realR
C
R
L
+VGA
- IA ICA aICA
VGA = IA
Y(ω0) ⇒ vGA(t) = Re VGAejω0t = IA
Y(ω0)cos(ω0t)
CA = VGAjω0C = jIAω0CY(ω0)
⇒ iCA(t) = Re ICAejω0t = IGω0CY(ω0)
cos(ω0t + 90 °)
Respuesta total
iC(t) = ICD + iCA(t), vC(t) = VGD + vGA(t), pC(t) = vC(t)iC(t)
Ejemplo de respuesta en frecuencia(resonancia, septiembre 2002)
Datos:R, L, C, a, IG (real) ig
iL
aiLR
R
C
L
ig = IGcos(ωt)
El circuito funciona en régimen sinusoidal permanente.
IG = IG
+VG
- IG
IL
R
L
aIL
C
R
Impedancia que ve la fuente independiente
IG + aIL = V G
R + VGjωC + VG
R + jωL ⇒ IG = VGY = VG
Z
Y = 1R
+ jωC + 1 - aR + jωL
, Z = 1Y
Valor de a para Z imaginaria pura
Z imaginaria ⇒ Re Y = 0 Ω ⇒ 1R
+ (1 - a)RR2 + (ωL)2
= 0 ⇒ a = 2 + ωLR
2
Ejemplo de respuesta en frecuencia(resonancia, diciembre 2002)
Datos:R, L, C, a, IG (real) ig
iL
aiLL
R
R
iCC
ig = IGcos(ωt)
Hallar iC(t) para C = ∞ F y L = ∞ H
El circuito funciona en régimen sinusoidal permanente.
C = ∞ F ⇒ C es un cortocircuitoL = ∞ H ⇒ L es un circuito abierto ⇒
⇒ la fuente dependiente es un circuito abierto
La corriente proporcionada por la fuente independiente se repartepor igual entre las dos resistencias
iC(t) = ig(t)
2
Ejemplo de respuesta en frecuencia(frecuencia para entrada y salida en fase)
aIL
L
RL
C
RC
R
RG
VG
+
Vo
-
IL
Son datoslas características
de todos los elementos
Hallar la frecuencia angularpara la que Vo y VG
están en fase
aIL = Vo - VG
RG + Vo
R + Vo
RC + 1/(jωC) + IL, IL = Vo
RL + jωL
Vo
VG = 1
1 + jωRGC1 + jωRCC
+ RG
R + (1 - a)RG
RL + jωL
= 1D(ω)
Puesto que el numerador es real,también ha de serlo el denominador.
∠ Vo = ∠ VG → Im D(ω) = 0 → ω = RL2C + (a - 1)L
(1 - a)RC2 LC2 - L2C
Ejemplo de respuesta en frecuencia(frecuencia para entrada y salida en fase)
1:a
VG
C RIG
LM
LI1
CI2
+Vo
-
Son datoslas características
de todos los elementos
Hallar la frecuencia angularpara la que Vo y VG
están en fase
Reflejando impedancias,
X = ωL - 1/(ωC), Z = jX + R/a2, ZG = jX + (ωM)2/Z
IG = VG/ZG, I1 = IGjωM/Z, I2 = I1/a
Vo = I2R = VGjωRMaZGZ
= V GjωRMa (ωM)2 - X2 + jXR/a2
Puesto que el numerador es imaginario,también ha de serlo el denominador.
∠ Vo = ∠ VG → (ωM)2 - X2 = 0
X > 0 → 1/(ωC) < ωL
(ωM)2 - X2 = 0 → ω = - X/M
ω = X/M
Incompatible con lacondición indicada
Solución correcta
Ejemplo de respuesta en frecuencia(frecuencia para tensión máxima)
MC
+ VR -
R2R1
IG L2L1
L3
Son datos las característicasde todos los elementos
Hallar la frecuencia angularpara la que es máximo
el módulo de VR
Transformando la fuente y reflejando impedancias,
IGR1 = I R1 + R2 + 1jωC
+ jωL1 + (ωM)2
jωL2 + jωL3 = IZ
VR = IR2, I = IGR1/Z
VR máximo → I máximo → Z mínimo →
→ (R1 + R2)2 + ωL1 - 1ωC
- ωM2
L2 + L3
2 mínimo →
→ Im Z = 0 → ω = 1C L1 - M/(L2 + L3)
La parte real de Z no depende de ω.Z sólo puede hacerse mínima actuando sobre su parte imaginaria.
Ejemplo de respuesta en frecuencia(frecuencia para tensión máxima)
VG
C
R1:a +
VL-
+V2-
+V1
-IG I1 I2 IL
IC
Son datos las característicasde todos los elementos
Hallar la frecuencia angularpara la que es máximo
el módulo de VL
VG = IGR + V1, V1 = IC
jωC + V2, V2 = ILjωL
IG = I1 + IC, IC = I2 + IL, I1 = - aI2, V2 = aV1
VL = VG
1a + j (1 - a2)ωRC
a - aRωL
= VG
D(ω)
VL máximo → D(ω) mínimo → Im D(ω) = 0 →
→ ω = a(1 - a) LC
La parte real de D no depende de ω.D sólo puede hacerse mínima actuando sobre su parte imaginaria.
Ejemplo de respuesta en frecuencia(frecuencia para impedancia resistiva, diciembre 1998)
L
VG
MCR
L
a:1R
gVCI1I2
+VD
-
+V2
-
+V1
-
L
- VC +
Son datoslas características
de todos los elementos
Hallar la frecuencia angularpara la que la impedancia
que ve la fuente independientees puramente resistiva
VD = gVC(R + jωL) + I2jωM
0 = gVCjωM + I2jωL + V2
VG = I1 R + jωL + 1/(jωC) + V1
VC = I1/(jωC), V2 = aV1, I1 = - aI2
VG = I1 R - gM/(aC) + j ωL(1 + 1/a2) - 1/(ωC) = I1Z
Z resistiva → Im Z = 0 → ω = a(a2 + 1)LC
Ejemplo de respuesta en frecuencia(frecuencia para potencia máxima, septiembre 1998)
LM
C
R
L/2
2C
IG
IR
L
1:aR
bIR
Rd
L
Son datoslas características
de todos los elementos
Hallar la frecuencia angularpara la que la potencia media
en Rd es máxima
PRd = bIR
2Rd
2 máxima → IR máxima
El módulo de IR será máximo cuando toda la corriente de la fuente independiente circule por R.
Ello ocurrirá cuando las corrientes en L y C se compensen;es decir, cuando L y C estén en resonancia.
Para que eso suceda ha de ser
ZC = - ZL → ω = 1LC
Ejemplo de respuesta en frecuencia(frecuencia para corriente máxima, junio 1996)
LVG
C
R
I1I2
n1
n2
+V1
-+
V2-
Son datos las característicasde todos los elementos
Hallar la frecuencia angularpara la que es máximo el módulo de I2
VG = I1jωL + V1 + V2, V 2 = I2 R + 1/(jωC)
V2/V1 = n2/n1 = a, I1/(I1 - I2) = - n2/n1 = a
I2 = aVG/(1 + a)R + 1/(jωC) + a2jωL/(1 + a)2
= VG
D(ω)
I2 máximo → D(ω) mínimo →
→ R2 + a2ωL/(1 + a)2 - 1/(ωC) 2 mínimo →
→ Im D(ω) = 0 → ω = 1 + aaLC
La parte real de D no depende de ω.D sólo puede hacerse mínima actuando sobre su parte imaginaria.
Ejemplo de respuesta en frecuencia(impedancia mínima y corriente máxima, problema inverso)
IG
I1
R1
L1
C1
C2
R2
L2
Son datos IG, ω, R1, C1, R2 y L2
Hallar el valor de L1 que minimizael módulo de la impedancia de su rama,
y el valor de C2 que maximizael módulo de I1
Z1 = R1 + jωL1 + 1jωC1
→ Z1 = R12 + ωL1 - 1
ωC1
2
Z1 mínimo → Im Z1 = 0 → L1 = 1/(ω2C1)
La parte real de Z1 no depende de L1.Z1 sólo puede hacerse mínima actuando sobre su parte imaginaria.
El módulo de I1 será máximo cuando toda la corriente de la fuente circule por R1 y R2.
Ello ocurrirá cuando las corrientes en L2 y C2 se compensen;es decir, cuando L2 y C2 estén en resonancia.
Para que eso suceda ha de ser
ZC2 = - ZL2 → C2 = 1ω2L2
Ejercicios para resolver en clase
RESPUESTAEN FRECUENCIA 2003/A
Hallad los valores hacia los que tienden elmódulo y la fase de vO cuando ω tiende a 0 rad/s y cuando ω tiende a ∞ rad/s.
Hallad la frecuencia angular de resonancia.
iG
R
R
L
CR
+vO
-
iG(t) = IGcos(ωt)Son datos IG (real, > 0), R, L y C.
RESPUESTAEN FRECUENCIA 2003/B
Hallad los valores hacia los que tienden elmódulo y la fase de vO cuando ω tiende a 0 rad/s y cuando ω tiende a ∞ rad/s.
Hallad la frecuencia angular de resonancia.
iG
R RL
CR
+vO
-
iG(t) = IGcos(ωt)Son datos IG (real, > 0), R, L y C.
RESPUESTAEN FRECUENCIA 2003/C
Hallad los valores hacia los que tienden elmódulo y la fase de vO cuando ω tiende a 0 rad/s y cuando ω tiende a ∞ rad/s.
Hallad la frecuencia angular de resonancia.
iG
R
R
L
CR
+vO
-
iG(t) = IGcos(ωt)Son datos IG (real, > 0), R, L y C.
Ejemplo de respuesta en frecuencia(circuito resonante, equivalente Thèvenin)
1:aL
C
R ZL
R R
m n
x
y
L VG CR
Son datoslas características
de todos los elementosexcepto ZL
Hallar la frecuencia angular para la que el módulo de la corriente en la rama xy es mínimo
Puede observarse que a la frecuencia de resonancia del secundarioéste presenta una impedancia infinita, con lo que también es infinitala reflejada en el primario, haciendo así nulo el módulo de lacorriente en él. Luego
ω = 1/ LC
Para la frecuencia calculada hallar ZL para que disipe máxima potencia y el valor de dicha potencia
R
R R
m nx
y
VGREn las condiciones indicadas
el circuito se reduce al de la figura.La impedancia equivalente se calcula
desactivando la fuentey agrupando resistencias.
ZL = ZTh* = R + (R + R)//R * = 5R/3
VTh = Vxn = Vmn = VG - VGR3R
= 2VG
3
Pmax = VTh2/ 8Re ZTh = VG
2/(30R)
Ejemplo de respuesta en frecuencia(superposición, resonancia, inverso a partir de expresiones temporales, diciembre 1996)
1:a
RL C
LR
VG
R+
vP
-
R
bvP
+vL
-
CL
iS
Hallar a y b(reales)
Datos:
iS(t) = IScos(ωt), IS = 8 mA, ω = π krad/s, VG = 30 V,
R = 1 kΩ, RL = 250 Ω, L = π-2 H, C = 1 µF,vL(1 ms) = - 6 V, vL(4 ms) = - 4 V
Por haber dos fuentes de distinta naturaleza,
vL(t) = VLD + VLAcos(ωt + ϕ) (1)
+VLD
-RL bVPD
R
R
+vPD
- IG
R VGContinua
Fuente corriente desactivadaL = c.c., C = c.a.
VLD = - bVPD = - b(VG - IGR) = - b VG - VGRR + R//R
= - 10 b (2)
Ejemplo de respuesta en frecuencia(superposición, resonancia, inverso a partir de expresiones temporales, diciembre 1996)
I2
IS
+VLA
-
RL
IL
bVPA
I1
+V1
-
1:a +V2- R
R+
VPA
-
SinusoidalFuente tens. ind. desactivada
L-C serie = c.c. y L-C paralelo = c.a.
por ser ω = 1/ LC
IS = IL + I1, I1 = aI2, V2 = aV1, VPA = V2/2
LRL = VLA = bVPA + V1 → VLA = 8 (2 - ab)a2 + 4(2 - ab)
= VLA∠ 0 ° (3)
Respuesta combinada
Ya que la fase de la componente sinusoidal es nula, de (1)
vL(1 ms) = VLD - VLA = - 6 VvL(4 ms) = VLD + VLA = - 4 V
VLD = - 5 VVLA = 1 V
Igualando estos resultados a (2-3),
b = 0.5, a = - 4 o a = 2
El valor negativo de a es posible; equivaldría a invertirla posición de uno de los puntos en el transformador.
Análisis de redesTransparencias de clase
Cuadripolos
Cuadripolos-1: páginas 171-175Cuadripolos-2: páginas 176-187
Cuadripolos
Un circuito se reduce a una caja negra con dos puertas.
La caracterización del circuito como cuadripolo pretende describir su comportamiento en función de lo que ocurre en las puertas.
entr
ada
salid
a
exci
taci
ón
circuito
cuadripoloca
rga+
v1-
+v2
-
i1
i1
i2
i2
No hay fuentesindependientes
en el cuadripolo.
Sin excitación externano hay energía
almacenada en el cuadripolo.
Clasificación
Pasivos: la potencia entregada a la cargaes siempre igual o inferiora la que la excitación entrega a la entrada.
Activos: la potencia entregada a la cargapuede ser mayor que la que la excitación entrega a la entrada del cuadripolo.
Caracterización de un cuadripolo
Se hace en función de un juego de cuatro parámetros(parámetros característicos)que relacionan las corrientes y tensionesen la entrada y la salida del cuadripolo.
Parámetros Ecuaciones MatricesImpedancia v1 = z11i1 + z12i2
v2 = z21i1 + z22i2
v1v2
= z11 z12
z21 z22 × i1
i2
Admitancia i1 = y11v1 + y12v2
i2 = y21v1 + y22v2
i1i2
= y11 y12
y21 y22 × v1
v2
Híbridos (h) v1 = h11i1 + h12v2
i2 = h21i1 + h22v2
v1i2
= h11 h12
h21 h22 × i1
v2
Híbridos (g) i1 = g11v1 + g12i2
v2 = g21v1 + g22i2
i1v2
= g11 g12
g21 g22 × v1
i2
Transmisión v1 = Av2 - Bi2
i1 = Cv2 - Di2
v1i1
= A BC D
× v2- i2
En continua los parámetros de impedancia y admitancia son,respectivamente, de resistencia y conductancia.En régimen sinusoidal permanente la caracterización puede ser expresada en términos de fasores.
Cuadripolosrecíprocos
z12 = z21, y12 = y21,h12 = - h21, g12 = - g21, AD - BC = 1
Cuadripolossimétricos
Son recíprocos y, además,z11 = z22, y11 = y22,
h11h22 - h12h21 = 1, g11g22 - g12g21 = 1, A = D
Obtención de parámetros
Caso general: aplicando las definiciones
z11 = v1
i1 i2 = 0
h21 = i2
i1 v2 = 0
A = v1v2 i2 = 0
impedancia de entradacon la salida en circuito abierto
ganancia de corriente directacon la salida en cortocircuito
ganancia inversa de tensióncon la salida en circuito abierto
Caso particular
Si se conoce el interior del cuadripolo,se puede caracterizar el comportamiento del circuitomediante dos ecuaciones e identificar sus términoscon los de las ecuaciones de los parámetros deseados.
Equivalencia entre parámetros
Conocido un juego de parámetros es posible obtener otromanipulando las ecuaciones del primero.
v1 = z11i1 + z12i2v2 = z21i1 + z22i2
→ i1 = z22
∆zv1 -
z12
∆zv2
i2 = - z21
∆zv1 + z11
∆zv2
→ y11 = z22
∆z, y12 = - z12
∆zy21 = - z21
∆z, y22 = z11
∆z∆z = z11z22 - z12z21
Utilización práctica
cuadripolo+v1-
+v2
-
i1 i2
vG
ZG ZL
vG = i1ZG + v1
v2 = - i2ZL
dos ecuacionesde parámetros
Utilizando las cuatro ecuacioneses posible encontrar cualquier relación deseada en el circuito
Zin = v1
i1 = z11 -
z12z21
z22 + ZL
i2vG
= y21
1 + y22ZL
ZL = v2
i2
* = B + DZG
A + CZG
*
Gi = i2
i1 = h21
1 + h22ZL
impedancia de entradaal cuadripolo
transconductancia
impedancia de cargapara máxima potencia
(prescindiendo de excitación)
ganancia de corriente
Interconexión de cuadripolos
Conexión Esquema Resultado
Cascada 1 2 ABCD =
= ABCD 1 × ABCD 2
Serie1
2z = z 1 + z 2
Paralelo1
2y = y 1 + y 2
Serie-paralelo
1
2h = h 1 + h 2
Paralelo-serie
1
2g = g 1 + g 2
Supondremos que las reglas son válidas en todos los casos,aunque estrictamente hablando sólo lo son en el caso de la agrupación en cascada.
Problemas de cuadripolos(parámetros a partir de definición, junio 1998)
Z1
Z2 Z3
+V1-
+V2
-
I1 I2 Régimen sinusoidal;son datos las características
de los elementos
Hallar los parámetros indicados
z11 = V1
I1 I2 = 0 = Z1 + Z2//Z3 V1 = I1(Z1 + Z2//Z3)
h21 = I2
I1 V2 = 0 = - 1 I2 se va por Z1, ya que,
de lo contrario, V2 ≠ 0
B = - V 1
I2 V2 = 0 = Z1 V1 = I1Z1 = - I2Z1
y22 = I2
V2 V1 = 0 = 1/(Z1//Z2//Z3)
Problemas de cuadripolos(parámetros y a partir de definición, junio 1999)
Z1
Z2 Z3
+V1-
+V2
-
I1 I2 Régimen sinusoidal;son datos las características
de los elementos
Hallar los parámetros de admitancia,y las condiciones
de reciprocidad y simetría
y11 = I1
V1 V2 = 0 = 1
Z1 V1 = I1Z1
y12 = I1
V2 V1 = 0 = - 1
Z1
V1 = I1Z1 + V2
y21 = I2
V1 V2 = 0 = - 1
Z1
I2 se va por Z1, ya que,de lo contrario, V2 ≠ 0
y22 = I2
V2 V1 = 0 = 1/(Z1//Z2//Z3) = 1
Z1 + 1
Z2 + 1
Z3
recíproco → y12 = y21
se cumple siempre, independientemente de los valoresde las impedancias
simétrico → y11 = y22 → Z2 = - Z3
Problemas de cuadripolos(parámetros z a partir del circuito, relaciones, potencias, septiembre 1996)
ZG ZL
+V1
-
+V2
-
I1 I2
VG
R1
L1
ML2
R2+
V3
- n3
+ V4 -
n4
I3
Régimen sinusoidal permanente;son datos las características de todos los elementos
Hallar los parámetros de impedancia del cuadripolo,I2, y las potencias media y reactiva en ZL
V1 = I1(R1 + jωL1) - I3jωM, 0 = - I1jωM + I2(R2 + jωL2) + V3
V3 = V4 + V2, V4/V3 = - n4/n3, (I3 + I2)/I2 = - n4/n3
V1 = I1(R1 + jωL1) + I2jωM(1 + n4/n3)V2 = I1jωM(1 + n4/n3) + I2(R2 + jωL2)(1 + n4/n3)2 ⇔
⇔ V1 = I1z11 + I2z12V2 = I1z21 + I2z22
→
→ z11 = R1 + jωL1, z12 = jωM(1 + n4/n3)z21 = jωM(1 + n4/n3), z22 = (R2 + jωL2)(1 + n4/n3)2
V1 = I1z11 + I2z12, V2 = I1z21 + I2z22
VG = I1ZG + V1, V 2 = - I2ZL →
→ I2 = - z21VG
(ZG + z11)(ZL + z22) - z12z21
SL = - V2I*2/2 = - I22ZL/2 → PL = Re SL , QL = Im SL
Problemas de cuadripolos(parámetros z a partir del circuito, simetría, parámetros abcd, junio 2002)
¿Qué condiciones han decumplirse para que sea simétrico?
Hallar los parámetros abcd
+V1-
+V2-
C1
I2I1
L
C2
Régimen sinusoidal permanente;son datos las características de
todos los elementos
V1 = I11
jωC1 + jωL + I2jωL
V2 = I1jωL + I21
jωC2 + jωL
⇔ V1 = I1z11 + I2z12V2 = I1z21 + I2z22
⇒
⇒ z11 = 1
jωC1 + jωL, z12 = jωL
z21 = jωL, z22 = 1jωC2
+ jωL ⇒
recíproco (z12 = z21 siempre)
simétrico si z11 = z22 ⇒ C1 = C2
V1 = I1z11 + I2z12V2 = I1z21 + I2z22
⇔ I1 = V2
z21 - I2z22
z21
V1 = V2z11z21
- I2(z11z22 - z12z21)z21
⇒
⇒ a = z11
z21 = 1 - 1
ω2LC1, b = z11z22 - z12z21
z21 =
- 1ω2C1C2
+ L 1C1
+ 1C2
jωL
c = 1z21
= 1jωL
, d = z21z21
= 1 - 1ω2LC2
Problemas de cuadripolos(parámetros ABCD a partir del circuito, agrupación, diciembre 1998)
+V1
-
+V2
-
I1 I2
R1
gVV2 gII1
R2
Cuadripolo en continua;son datos
las característicasde todos los elementos
Hallar parámetros ABCD
I2 = gII1 + V2
R2V1 = R1I1 + gvV2
≡ V1 = AV2 - BI2I1 = CV2 - DI2
→ ABCD = gv -
R1
gIR2 - R1
gI
- 1gIR2
- 1gI
gv y (1/R2) despreciables;se conectan en cascada k cuadripolos idénticos
Hallar los parámetros ABCD del cuadripolo resultante
gv, (1/R2) despreciables → ABCD ind = 0 - R1
gI
0 - 1gI
→
→ ABCD k = ABCD indk =
0 (- 1)kR1
gIk
0 (- 1)k 1gI
k
Problemas de cuadripolos(parámetros ABCD a partir del circuito, agrupación, diciembre 1998)
Se carga el cuadripolo resultante del apartado anteriorcon una resistencia RL
Hallar el valor de k para que el módulo de I2/I1
valga al menos GI
En un cuadripolo cargado,
I1 = CV2 - DI2, V2 = - I2RL → I2
I1 = - 1
CRL + D
Sustituyendo los resultados del apartado anterioren esta expresión,
GI ≤ I2
I1 = - 1
D = gI
k
(- 1)k → k ≥ log(GI)
log(gI )
Problemas de cuadripolos(parámetros ABCD a partir de medidas, agrupaciones, junio 1997)
+V1-
+V2
-
I1 I2 Datos: continua, cuadripolo simétrico;
medida: V1 = 8 V, I1 = 6 A, V2 = 2 V; I2 = 0 A
Hallar parámetros ABCD
V1 = AV2 - BI2, I1 = CV2 - DI2
A = V1
V2 I2 = 0 = 4, C = I1
V2 I2 = 0 = 3 S
simétrico (y recíproco) → D = A = 4, B = (AD - 1)/C = 5 Ω
+V1-
+V2-
I1 I2
R1
2
3
4
R = 1 Ω
Hallar parámetros ABCDdel cuadripolo 1234;
¿es recíproco, simétrico?
Se trata de la agrupación en cascada de dos cuadripolos:el original y el constituido por la resistencia. En el segundo,
V1 = V2 + I1RI1 = - I2
→ A = 1, B = R = 1 Ω, C = 0 S, D = 1
ABCD 1234 = ABCD × ABCD R = 4 9 Ω3 S 7
AD - BC = 1 (recíproco), A ≠ D (no simétrico)
Problemas de cuadripolos(parámetros ABCD a partir de medidas, agrupaciones, junio 1997)
Se conectan en paralelo-serie dos cuadripolos 1234
Hallar los parámetros g del cuadripolo resultante;¿es recíproco, simétrico?
V1 = AV2 - BI2I1 = CV2 - DI2
→ V2 = V1
A + BI2
AI1 = CV1
A + BC
A - D I2
≡ I1 = g11V1 + g12I2
V2 = g21V1 + g22I2
g 1234 = 0.75 S - 0.250.25 2.25 Ω
Por tratarse de una conexión paralelo-serie,
g = g 1234 + g 1234 = 1.5 S - 0.50.5 4.5 Ω
g12 = - g21 (recíproco), g11g22 - g12g21 ≠ 1 (no simétrico)
Problemas de cuadripolos(parámetros z a partir de medidas, potencias, septiembre 1997)
+V1-
+V2
-
I1 I2
VG
RG RL
Hallar RL para máximatransferencia de potencia,
y la potenciaen el cuadripolo
Datos: VG = 8 V, RG = 11 Ω, continua,cuadripolo recíproco, parámetros z positivos;medida 1: V1 = 100 V, I1 = 20 A, I2 = 0 A;
medida 2: V1 = 0 V, I1 = 8 A, V2 = 2 V;medida 3: I1 = 0 A, V2 = 3 V, I2 = 1 A
V1 = I1z11 + I2z12 (1)V2 = I1z21 + I2z22 (2)
Despejando I2 de (2) y sabiendo que z12 = z21 (recíproco),V1 = I1(z11 - z12
2 /z22) + V2z12/z22 (3)
medida 1 en (1) → z11 = 5 Ωmedida 3 en (2) → z22 = 3 Ωmedida 2 en (3) → z12 = z21 = 4 Ω, - 3.75 Ω (no vale)
V1 = I1z11 + I2z12, V2 = I1z21 + I2z22
VG = I1RG + V1 →
→ RL = RTh = V2
I2 VG = 0 = z22 -
z12z21
RG + z11 = 2 Ω
p(VG) = - VGI1 = - 5 W, p(RG) = I12RG = 4.3 W, p(RL) = I2
2RL = 0.5 W
p(VG) = p(RG) + p(RL) + pcuad → pcuad = 0.2 W
Problemas de cuadripolos(parámetros ABCD a partir de un cuadripolo mayor, simetría, septiembre 1998)
Un cuadripolo tiene los parámetros de transmisiónA BC D = 7 12 Ω
4 S 7
Es el resultado de agrupar en cascadados cuadripolos idénticos con parámetros
a bc d
tales que b = 3c y a es un entero positivo.
Hallar a, b, c y d
A BC D = a b
c d × a bc d = a2 + bc b(a + d)
c(a + d) d2 + bc
El cuadripolo original es simétrico (AD - BC = 1, A = D);por tanto,
A = D ⇒ a2 = d2 → a = da = - d (no vale, ya que → B = 0 = C)
Teniendo en cuenta esto, y que b = 3c,
4 = C = c(a + d) → c = 2/a
7 = A = a2 + bc = a2 + 3c2 = a2 + 12/a2 →
→ a = 2 → b = 3 Ω, c = 1 S, d = 2
a = -2 (ha de ser positivo)a = ± 3 (ha de ser entero)
Problemas de cuadripolos(parámetros h a partir de un cuadripolo mayor, simetría, septiembre 2001)
Un cuadripolo es el resultado de la conexión serie-paralelode otros dos idénticos y simétricos.
En el cuadripolo se hacen dos medidas con la salida en cortocircuito:medida 1: V1 = VX, I1 = YVX
medida 2: I1 = IX, I2 = GIX
Hallar los parámetros h de los cuadripolos individuales.
En conexión serie-paralelo
H11 H12
H21 H22 = h11 h12
h21 h22 + h11 h12
h21 h22 =
= recíproco ⇒ h12 = - h21
simétrico ⇒ h11h22 - h12h21
= 2h11 2h12
- 2h12 21 - h122
h11
A partir de la definición de los parámetros h y de las medidas se tiene
V1 = H11I1 + H12V2, I2 = H21I1 + H22V2; V2 = 0 V
H11 = V1
I1 V2 = 0 V = 1
Y = 2h11 ⇒ h11 = 1
2Y
H21 = I2
I1 V2 = 0 V = G = - 2h12 ⇒ h12 = - G
2 = - h21
2h22 = H22 = 21 - h122
h11 = Y(4 - G2) ⇒ h22 = Y(4 - G2)
2
Problemas de cuadripolos(parámetros h, equivalente Thèvenin, junio 2001)
De un cuadripolo, que funciona en régimen sinusoidal permanente,se conocen sus parámetros híbridos.
A su entrada se conecta una fuente (VG) con una impedancia en serie (ZG).
Hallar el equivalente Thèvenin en la salida.
Tensión de circuito abierto
I2 = h21I1 + h22V2 = 0 A ⇒ I1 = - h22
h21V2
VG = I1ZG + V1 = I1(ZG + h11) + h12V2 = h12 - h22(ZG + h11)
h21V2 ⇒
⇒ V2 = h21VG
h12h21 - h22(ZG + h11) = VTh
Corriente de cortocircuito
V2 = 0 V ⇒ I2 = h21I1
VG = I1ZG + V1 = I1(ZG + h11) = - ZG + h11
h21I2 ⇒ I2 = - h21VG
ZG + h11 = IN
Impedancia equivalente
ZTh = VTh
IN = ZG + h11
h22(ZG + h11) - h12h21
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