analisis de redes electricas i (11)

Análisis de Redes Eléctricas Análisis de Redes Eléctricas II

2do Parcial2do Parcial

CORRIENTECORRIENTE ALTERNAALTERNA

Generalidades

Real

Imaginaria

Capacitiva

Inductiva

Z

Impedancia

FUENTES INDEPENDIENTES EN FUENTES INDEPENDIENTES EN CORRIENTE ALTERNACORRIENTE ALTERNA

En estado estable el Capacitor se comporta como un circuito es abierto

Fuente de Voltaje AC

Vac

Fuente de Corriente AC

Iac

Real

Imag.

JXL

JXC

z

z

θ

θ

Inductiva

“Henrios”

Capacitiva

“Faradios”

+=⇒ θ

IMPEDANCIAIMPEDANCIA

CapacitorCapacitor

Es un elemento de un circuito que consiste en dos superficies conductoras separadas por un material no conductor o dieléctrico

V(t)C

∫

∫∫

∫

∫ ∫

+=

+=

=

=

=

=

=

∞−

∞−

t

to

oCap

t

to

to

Cap

t

Cap

dttic

tVV

dttic

dttic

V

dttic

V

dttic

dV

dt

dVcti

cVdt

d

dt

dq

cVq

)(1

)(

)(1

)(1

)(1

)(1

)(

)(

dt

dVctVtP

titVtP

)()(

)()()(

=

=

c

qWc

cVtWC

2

2

2

1

2

1)(

=

=

InductorInductor

Es una bobina que consiste en un alambre conductor de forma de rollo o carrete.Aquí nos interesa la corriente que pasa por el inductor.

∫

∫∫

∫

∫ ∫

+=

+=

=

=

=

∞−

∞−

t

to

t

to

to

t

dttVL

toiti

dttVL

dttoVL

ti

dttVL

ti

VdtL

di

dt

diLV

)(1

)()(

)(1

)(1

)(

)(1

)(

1

)()(

)()()(

tidt

diLtP

titVtP

=

=

2

2

1LiW =

)(ti

)(tV L

Relación dual para:Relación dual para:

Capacitor Inductor

dt

dVcti =)(

dt

diLtV =)(

∫+=t

to

dttic

toVtV )(1

)()( ∫+=t

to

dttVL

toiti )(1

)()(

dt

dVtcVtP )()( =

dt

ditLitP )()( =

2

2

1cVW = 2

2

1LiW =

Combinación entre capacitoresCombinación entre capacitores

SerieC1

C2V(t)21

21

CC

CCCeq +

= 21)( CC VVtV +=

21)( iiti ==

Paralelo

V(t) C2

i(t)

21 CCCeq += 21)( VVtV ==

21)( iiti +=C1

Vc2

Vc1

Combinación entre bobinasCombinación entre bobinas

Serie

Paralelo

21 LLLeq += 21)( iiti ==

21)( LL VVtV +=

21

21

LL

LLLeq +

= 21)( VVtV ==

21)( LL iiti +=

V(t)

V(t)

1L

2L1L

2L

Análisis de Corriente Alterna en Análisis de Corriente Alterna en Estado EstableEstado Estable

SenoidalesXM

-XM

2

π π2

3π π2

T

XM1

-XM1

XM2

-XM2

t

X(t)

t

frecuenciadondeff

segPeríodoT === 1)(

[ ]segradfAngularVelocidadW /2_ π==ntodesfasamieángulo

tsenXtX

tsenXtX

M

M

−→+=

=

φφω

ω)()(

)(

22

11

Condiciones para que dos Condiciones para que dos señales estén en faseseñales estén en fase

Existen 3 condiciones para que dos señales estén en fase:

Las dos ondas alternen la misma frecuencia.Que las dos ondas sean bien senos o bien cosenos.Que las dos ondas estén determinadas como positivas.

)º90377cos(60)(

)º40377cos(100)(

2

1

−=−=

ttV

ttV

Si la alimentación no tiene la misma frecuencia, para resolver el problema se debería utilizar el método de superposición

º50)90(4021 =−−−=−= φφφ

V1(t) se adelantará 50º a V2(t)

V2(t) se atrasa 50º a V1(t)

)301000cos(6)(

)601000(12)(

2

1

+−=+=ttI

tsentI

Primero vamos hacer I2 positiva

)º2101000cos(6)(

)180301000cos(6)(

2

2

+=++−=

ttI

ttI

Ejemplo 1Ejemplo 1

Ejm. 2

Ahora lo llevamos a senos.

[ ]AtsentI

tsentI

)º3001000(6)(

)º902101000(6)(

2

2

+=++=

º2403006021 −=−=−= φφφ

Ahora es mejor tener el ángulo positivo

º120º240º36021 =−=−= φφφ

I1(t) se adelantará 120º a I2(t)

I2(t) se atrasa 120º a I1(t)

Funciones forzantes senoidalesFunciones forzantes senoidales

Si aplicamos una función forzante senoidal a una red lineal los voltajes y corrientes de estado estable en la red también serán senoidales, es decir, si un voltaje de rama es una senoide de alguna frecuencia los otros voltajes de rama deben ser también senoides de la misma frecuencia.

V(t) i(t)[ ]

[ ]Atsenti

VtAsentV

)()(

)()(

φωβθω

+=+=

No conocemos

Ejm.

Encontrar una expresión para i(t)

V(t)

R

L

+VR-

[ ]AR

Ltgt

LR

Vti

dt

diLIRtV

dt

diLV

IRV

VVtV

LVK

tVtV

m

m

L

R

LR

m

−

+=

+=

=

=+=

=

− ωωω

ω

ω

1

222cos)(

cos

)(

:

cos)(+

VL

-

Ecuación de EulerEcuación de Euler

)()(cos)(

)(

cos

cos)(

)(

cos

)(

φωφ

φφ

ωω

ωω

φωφ

ωω

+++==

+=

+==

+=

+tsenJIwtIti

eIti

Jsene

tsenJVtVtV

eVtV

tJsente

MM

tJM

J

mm

tJm

tJ

Parte real Parte imaginaria

Parte real Parte imaginaria

Números ComplejosNúmeros ComplejosImg.

Realx

y

•Rectangular: x+Jy

•PolarMagnitud

Ángulo

22 yxz +=

x

ytg 1−=θ

θ∠=zz

z

Para convertir de polar a rectangular

yzsen

xz

==

θθcos (Real)

(Imaginarios)•Para sumar o restar deben estar en rectangulares.

•Para multiplicar o dividir deben estar en polares

)()(

)(

)())((

212

1

22

11

21212211

θθθθ

θθθθ

−∠=∠∠

+∠=∠∠

z

z

z

z

zzzz

Dominio del tiempo Dominio de la Frecuencia

)cos( θω ±tA

)( θω ±tAsen

θ±∠A

2

πθ −±∠A

Convertir a fasores

[ ][ ]Atsenti

Vttv

)120377(12)(

)º45377cos(24)(

+=−=

º90º12012

º4524

−∠=

−∠=

I

V

Convertir los fasores:

Ejemplo Ejemplo

º7510

º2016

−∠=

∠=

I

V

del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo si la frecuencia es de 1k Hz.

)º752000cos(10)(

)º202000cos(16)(

−=+=

tti

ttv

ππ

πωπω

2000

)2(1

== kHz

Relaciones fasoriales para Relaciones fasoriales para elementos del circuito.elementos del circuito.

•Circuito Resistivo Puro

V(t) R )(

)(

)cos()(

)cos()(αω

φω

αωφω

+

+

=+=

=+=tJ

mm

tJmm

eItIti

eVtVtVi(t)

αφ

αφ

αωφω

∠=∠=

=

=++

mm

Jm

Jm

tJm

tJm

RIV

eRIeV

eRIeV

tRitV)()(

)()(

Fasor Voltaje

Fasor Corriente

RI

Vz

IRV

==

=

Pero en corriente alterna la impedancia:

º0

0

ImRe

∠=

+=

+=

Rz

JRz

agalz

0

αφαφθ

=∠∠⇒∠

=

I

Vz

I

Vz

Voltaje y la corriente están en fase

⇒

Circuito Inductivo PuroCircuito Inductivo Puro

V(t) i(t)L

αωφ

ω

ω

αφ

αωφω

αωφω

∠=∠

=

=

=

=

++

++

mm

JmJm

tJmtJm

tJmtJm

L

LIJV

eILJeV

eJLIeV

edt

dLIeV

dt

diLV

)()(

)()(

LXLJI

Vz L ωω =∴==

0 XL(Reactancia inductiva)

[ ]Ω∠=

+=

+=

º90

0

ImRe

L

L

Xz

JXz

agalz

Circuito Capacitivo Puro Circuito Capacitivo Puro

[ ][ ]

φωαω

ωφα

φωαω

φωαω

∠=∠=

=

=

=

++

++

mm

Jm

Jm

tJm

tJm

tJm

tJm

cVJI

ecVJeI

eVJceI

eVdt

dceI

dt

dVcti

)()(

)()(

)(

V(t)

i(t)

c

c

JX

cJI

Vz

VcJI

C ωω

ω

−=∴==

=

1

[ ]Ω−∠=

−=

+=

º90

0

ImRe

CXz

C

Jz

agalz

ω

XC(Reactancia capativa)

Ω=∗ 3R

mHL 5

1000

==∗ω

Fc µω125

1000

==∗

°∠=°∠=03

0

R

R

z

Rz

º905

º90

5

)5)(1000(

∠=∠=

===

L

LL

L

L

L

z

Xz

Jz

mHJz

LJz ω

º908

º90

8

)125)(1000(

−∠=−∠=

−=

−=

−=

C

CC

C

C

C

z

Xz

Jz

F

Jz

c

Jz

µ

ω

Ejemplo Ejemplo

Circuito R-L Circuito R-L

V(t)

R

L

L

LR

JXRz

zzz

+=

+=

22LXRz +=

IV ∠−∠=∠−∠=

θαφθ

= −

R

Xtg L1θ

Img.

Real

zXL º90º0 ∠∠θ

θ

º4510∠=∗ z

º4510

º45cos10

seny

x

==

Ejm.

V(t)

Ω6

mH8 ?)(

)º301000cos(200)(

=+=

ti

ttV

8

)1000)(8(

JX

mHJX

LJX

L

L

L

=== ω

º30200

º13.5310

86

ImRe

∠=

∠=

+=+=

V

z

Jz

agalz

[ ]AI

I

z

VI

º13.2320

º5310

º30200

−∠=∠∠=

=

[ ]Atti )º13.231000cos(20)( −=

Ejemplo Ejemplo

R

V(t) cc

XJXRz

JXRz

CC ω1=∴−=

+=

22CXRz +=

−= −

R

Xtg C1θ

θ−∠= zz

Img.

Real

XCz

θº0º90 ∠∠− θ

Circuito R-C Circuito R-C

V(t)

Ω3

Fµ500

[ ]?)(

)º30500cos(160)(

=+=

ti

VttV

43 Jzc

JRz

JXRz

−=

−=

+=

ω4

)10*500)(500(

1

1

6

=

=

=

−C

C

C

X

X

cX

ω 5

169

=

+=

z

z

º13.53

3

41

−=

−= −

θ

θ tg

º30160

º13.535

∠=

−∠=

V

z

º13.8332

º13.535

º30160

∠=−∠

∠=

=

I

I

z

VI

[ ]Atti )º13.83500cos(32)( +=

Ejemplo Ejemplo

Circuito R-L-C Circuito R-L-C

R

c

L

JXRz

zzzz

T

CLRT

+=++=

XL-XC

1.-XL> XC; predominantemente inductivo

º90º0 ∠∠θ

2.-XL< XC; predominantemente capacitivo.

La corriente atrasa al voltaje

º0º90 ∠∠− θLa corriente adelanta al voltaje

3.-XL= XC; el circuito entra a resonancia

º0=θLa corriente y el voltaje están en fase

θ

θ

V(t)

Fc

mHL

R

Con

µ250

10

8

:

==

Ω=

?)(

1000cos120)(

==

ti

ttV

4)10*250)(10(

10)10*10)(10(

63

33

JJ

X

JJX

C

L

−=−=

==

−

−

68

)410(8

Jz

Jz

JXRz

+=−+=

+=

º0120

º87.3610

∠=

∠=

V

z

87.3612

º0120

º87.36101

−∠=

∠∠=

=

−

I

I

z

VI

[ ]Atti )87.361000cos(12)( −=

Ejemplo Ejemplo

Circuitos de una sola malla Circuitos de una sola malla

V(t)

i(t)

+ V1 -

+

V2

-

21

21

11

21

2

2

21

zzz

zz

zVV

zz

zVV

voltajedeDivisor

VVV

eq +=

+=

+=

−−+= Suma fasorial

•Circuitos de un solo par de nodos

i(t)21

21

zz

zzzeq +

=

21

21

VVV

III

==

+=21

12

21

21

zz

zII

zz

zII

CorrientedeDivisor

+=

+=

−−

1I 2I+

-

+

-

1z 2z

1z

2z

Transformación de FuentesTransformación de Fuentes

Además se asume que varias fuentes de corriente conectadas en paralelo se suman fasorialmente (deben alternar la misma frecuencia); también se cumple que varias fuentes de voltaje conectadas en serie se suman fasorialmente.

z

V

zIV .=

≡z

I

z

VI =

Diagramas FasorialesDiagramas Fasoriales

Se conoce con este nombre a los diagramas donde se muestran los diversos fasores de la red. El fasor es un vector en movimiento por lo tanto no mantiene una magnitud rígida.

v(t)[ ]

[ ]AI

Vttv

87.3612

1000cos120)(

−∠=

=I

[ ][ ]

[ ]VZIV

VZIV

VZIV

CC

LL

RR

º87.12648)º904(87.3612*.

º13.53120)º9010(87.3612*.

º87.3696)º08(87.3612*.

−∠=−∠−∠==

∠=∠−∠==

−∠=∠−∠==

LV

RVCV

Ω8

Ω∠ º9010

Ω−∠ º904

Pasar de una red del dominio del Pasar de una red del dominio del tiempo al dominio de la frecuenciatiempo al dominio de la frecuencia

1.- En lo que respecta a las fuentes independientes ya sean éstas de voltaje o de corriente deben expresarse por medio de sus expresiones fasoriales. A partir de este momento, el fasor o la magnitud del fasor debe estar en RMS(valores eficaces) es decir:

2MÁX

RMS

VV =

Ejm:

[ ]

[ ]RMSVV

VttV

º30120

)º301000cos(2120)(

∠=

+=

VMÁX

2.- Los elementos pasivos de la red tales como: resistencia, inductancia y capacitancia son representados por sus valores de impedancia o admitancia, según se aplique el método de las mallas o el método de los nodos respectivamente.

V = I . ZFuentes indep. de voltaje

Variables del método

Matriz impedancia

I = V . YFuentes indep. de corriente

Variables del método

Matriz admitancia

3.- Las variables de control de las fuentes dependientes se las representa también por medio de sus fasores de voltaje o corriente según sea el caso de la variable de control.

⇒ XV2−

+Vx

−

+

XVXV2 ⇒