análisis de fourier para señales discretas francisco carlos calderón puj 2010
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Análisis de Fourier para señales Discretas
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2010
Objetivos
1.Definir la DTFT y estudiar algunas de sus propiedades.
2.Analizar señales y SLIT discretos utilizando la transformada de Fourier.
3.Definir la DFT y estudiar algunas de sus propiedades.
Desarrollo en serie de fourier de señales discretas y periódicas
• Una señal en tiempo discreto es periódica de periodo N si:
• Donde N es un entero positivo
)()( Nnxnx
Desarrollo en serie de fourier de señales discretas y periódicas
N
k
eanx
k
nj
kk
k
2
][
• Solo hay N valores de k
k ={0,1,2,3…,N-1}
Desarrollo en serie de fourier de señales discretas y periódicas• Reemplazando en el desarrollo en series de
fourier generalizado:
• Como cada uno de los términos de la serie tiene periodo N por lo tanto su suma también tiene periodo N
Nk
N
nkj
keanx2
)(
,...)1,0,1(...,,)(1
0
2
ndtetxT
cT
T
ntj
n
Nn
N
nkj
k enxN
a2
)(1
n
T
ntj
keatx2
)(
Propiedades de la Serie discreta de Fourier.• Suponiendo que x(n) es una señal periódica,
de frecuencia fundamental:
• Y con los coeficientes de la serie de fourier discreta notados como:
k
SFD
anx )(
N
20
Propiedades de la Serie Continua de Fourier. • Linealidad:
• Desplazamiento de tiempo:
k
FS
atx )(
kkkSFD BbAacnBynAxnz
kkmjSFD aemnx 0
k
FS
bty )(
Propiedades de la Serie Continua de Fourier.• Convolución
• Modulación
n
njk
k
kenhH
N
kHanhnhnx
)()(
2periodica no )();(*)(
SFD
kkkSFD bactytx
Propiedades de la Serie Continua de Fourier.• Conjugación y simetría:
• Convolución periódica
kNk aa
kkkSFD bNactytx
1
021
1
02121 )()()()()()()(
N
k
N
k
kxknxknxkxnxnxny
Transformada de fourier en tiempo discreto DTFTRecordando la pareja transformada de fourier
en tiempo discreto:
t
jwtdtetxwX )()(dwewXtx jwt
w
)(2
1)(
jwnT
n
t
jwt
nt
jwtss
enTx
dtetxnTtdtetxwX
)(
)()()()(
Transformada de fourier en tiempo discreto DTFT• Sustituyendo wT por la nueva frecuencia
discreta “en Radianes”
deXnx
enxX
nj
nj
n
2)(
2
1)(
)()(
Propiedades de la Transformada de fourier en tiempo discreto DTFT• Usando la notación:
• Y sean
)()(1
Xnx
Xnx Yny
Propiedades de la Transformada de fourier en tiempo discreto DTFT• Periodicidad
• Linealidad:
• Desplazamiento de tiempo:
)()()( BYAXZnBynAxnz
)(00 Xennx nj
)(2 XX
Propiedades de la Transformada de fourier en tiempo discreto DTFT• Desplazamiento en frecuencia:
• Multiplicación “modulación”:
00 Xenx nj
2
)()(2
1)( dppYpXnynx
Propiedades de la Transformada de fourier en tiempo discreto DTFT• Diferenciación en frecuencia
• Convolución
• Desplazamiento en frecuencia:
d
dXnnx )(
)()(* YXnynx
0)(0 Xnxe nj
Propiedades de la Transformada de fourier en tiempo discreto DTFT• DTFT de señales periódicas:
}1,...,2,1,0{
)(2
)(2
2con ,
1
00
1
00
1
0
0
1
0
0
0
Nk
kaX
kaea
NeaX
N
kk
N
kk
N
k
njkk
N
k
njkk
20 N)20()0( XX
Transformada discreta de FourierDFT
Nk
N
nkj
keanx2
)(
Nn
N
nkj
k enxN
a2
)(1
deXnx
enxX
nj
nj
n
2)(
2
1)(
)()(
Se pretende encontrar la transformada de fourier de la secuencia discreta
,0
10,1)(),()()(
Nnnwnwnxnx original
Transformada discreta de FourierDFT
2 periodo de periodica ,)()(1
0
njN
n
enxX
,0
10,1)(),()()(
Nnnwnwnxnx original
}1,...,3,2,1,0{,)()(1
0
MkenxX njN
nk
k
M
kk
2
Puede tomarse cualquier valor de M por practicidad se toma M=N
Transformada discreta de FourierDFT y su inversa IDFT
}1,...,3,2,1,0{,)()(1
0
NkenxkX njN
n
k
N
kk
2
Nn
N
nkj
k enxN
a2
)(1
}1,...,3,2,1,0{,)(1
)(1
0
NnekX
Nnx nj
N
k
k
Propiedades de la Transformada discreta de Fourier DFT
• Usando la notación:
• Y sean
)()(1
kXnxDFT
DFT
kXnx DFT kYny DFT
Propiedades de la Transformada discreta de Fourier DFT
• Periodicidad
• Linealidad:
• Desplazamiento en n:
)()()( kBYkAXkZnBynAxnz DFT
)(00 kXennx knjDFT
)(NXNkX
Propiedades de la Transformada discreta de Fourier DFT
• IDFT inversión alternativa “y rápida”
• Convolución
1
0
)()(N
m
IDFT mnymxKYkX
)(1
kXDFTN
nx )()(1
kXnxDFT
DFT
Convolución lineal mediante la DFT
Para realizar la convolución lineal de dos secuencias x(n) de longitud N y y(n) de longitud M mediante la DFT, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se expanden al final de las dos secuencias con ceros de tal manera que tengan una nueva longitud K que cumpla:
1 NMk
2. Con estas nuevas secuencias y se calcula:
))()(()( kXkYIDFTny aal
)(kya )(nxa
Referencias
Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 7
Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 5 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ
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