algebra lineal 2014-07-19

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal

Álgebra Lineal – Parte 2

19 de julio de 2014

De nuestros estudios previos a este curso, conocemos la teoría básica de funciones. Esto es, un

conjunto de pares ordenados, que relacionan cada elemento de un conjunto de partida 𝐴 con los de

un conjunto de llegada 𝐵. Dichas funciones se suelen representar con la letra 𝑓 y exigen que todo

el conjunto de partida tenga uno de sus elementos como primera componente de cada par ordenado;

así, este conjunto 𝐴 pasa a llamarse el “dominio” de la función. También es necesario que para

cada elemento del dominio, exista un único elemento del conjunto 𝐵 como segunda componente

del par ordenado, de forma que los elementos de 𝐵 que cumplan con esto pasan a formar un

conjunto llamado “rango” o “codominio” de la función.

Por lo general se estudia estas funciones de forma que su dominio y su codominio son subconjuntos

de ℝ. A estas se las llama “funciones de variable real” y se las puede graficar en un plano

cartesiano. Las funciones de variable real se dividen en muchos tipos, entre ellos están las

funciones “lineales” que son del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, tal que la gráfica de estas funciones es

siempre una recta de pendiente 𝑚 y que interseca al eje vertical en 𝑦 = 𝑏. Si la función es del tipo

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 se dice que la función es una recta de pendiente 𝑚 y que pasa por el origen. Este último

tipo de funciones lineales (las que pasan por el origen) cumplen propiedades interesantes, pues

resulta que preservan la suma y el producto por constantes. Es decir, si tenemos un punto con

abscisa 𝑥 = 𝑎, ordenada 𝑦 = 𝑓(𝑎) y otro con abscisa 𝑥 = 𝑏, ordenada 𝑦 = 𝑓(𝑏); entonces, de

seguro que habrá un punto con abscisa 𝑥 = 𝑎 + 𝑏, y su ordenada no será otra cosa que:

𝑦 = 𝑓(𝑎 + 𝑏)

𝑦 = 𝑚(𝑎 + 𝑏) = 𝑚𝑎 + 𝑚𝑏

𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)

Asimismo, podemos encontrar un punto cuya abscisa sea 𝑥 = 𝑐𝑎 y su ordenada será 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑎),

que es igual a 𝑚𝑐𝑎, y se cumplirá que 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑎).

Esto no es muy interesante en cursos que estudien funciones de variable real como tema central,

por ejemplo cursos de cálculo, trigonometría o análisis numérico, donde se analizan funciones del

tipo 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 o 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 5𝑥2; sin embargo serán funciones muy importantes para efectos

de álgebra lineal, pues sólo en base a sus propiedades básicas se puede obtener bastante

información, la cual puede ser generalizada. Las funciones lineales están definidas en sí en

espacios vectoriales, un caso particular es el espacio 𝑉 = ℝ, que es el que mencionamos y el que

se puede graficar en un plano cartesiano, pero nosotros vamos a generalizar esto y diremos que se

definen en diferentes espacios vectoriales cualesquiera. Así, diremos que son 𝑓: 𝑉 → 𝑊. A estas

funciones lineales entre espacios vectoriales las llamaremos “Transformaciones Lineales”.

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal

Transformación Lineal – Definición y Propiedades

Definición: Transformación Lineal: Sean las ternas (𝑉, ⨁, ⊙) y (𝑊,⊞,⊡) dos 𝐾-espacios

vectoriales. Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una función que asigna a cada 𝑣 ∈ 𝑉 un único vector 𝑇(𝑣) ∈ 𝑊. Si 𝑇

satisface las propiedades:

i. ∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉 𝑇(𝑣1⨁𝑣2) = 𝑇(𝑣1) ⊞ 𝑇(𝑣2) - Linealidad para la suma

ii. ∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(𝛼 ⊙ 𝑣) = 𝛼 ⊡ 𝑇(𝑣) - Linealidad para la multiplicación por escalar

Se dice que 𝑇 es una “transformación lineal” (si 𝑉 = 𝑊, se llama “operador lineal”).

Teorema: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Entonces:

i. 𝑇(0𝑉) = 0𝑊

ii. ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(�̃�) = 𝑇(𝑣)̃

iii. 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛)

Teorema: Sean 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales, tal que 𝑉 es de dimensión finita y dim 𝑉 = 𝑛. Sea

𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} una base de 𝑉. Sean 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛 𝑛 vectores cualesquiera de 𝑊. Entonces

existe una única transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

Corolario: Sean 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales, tal que 𝑉 es de dimensión finita y dim 𝑉 = 𝑛. Sea

𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} una base de 𝑉. Si 𝑇1, 𝑇2 son dos transformaciones lineales de 𝑉 en 𝑊 tales que

𝑇1(𝑣𝑖) = 𝑇2(𝑣𝑖) ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, entonces 𝑇1 = 𝑇2

Núcleo y Recorrido de una Transformación Lineal

Definición: Núcleo y Recorrido de una Transformación Lineal: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación

lineal. El núcleo o Kernel de 𝑇, denotado 𝑁𝑢(𝑇) o 𝐾𝑒𝑟(𝑇), se define como:

𝑁𝑢(𝑇) = 𝐾𝑒𝑟(𝑇) = {𝑣 ∈ 𝑉 | 𝑇(𝑣) = 0𝑊}

El recorrido o imagen de 𝑇, denotado 𝑅𝑒(𝑇) o 𝐼𝑚(𝑇), se define como:

𝑅𝑒(𝑇) = 𝐼𝑚(𝑇) = {𝑤 ∈ 𝑊 | 𝑤 = 𝑇(𝑣); 𝑣 ∈ 𝑉}

Teorema: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. 𝑁𝑢(𝑇) es un subespacio vectorial de 𝑉,

mientras que 𝑅𝑒(𝑇) es un subespacio vectorial de 𝑊.

Definición: Nulidad y Rango de una Transformación Lineal: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación

lineal. La nulidad de 𝑇, denotada 𝜈(𝑇), se define como la dimensión del núcleo de 𝑇. Es decir:

𝜈(𝑇) = dim 𝑁𝑢(𝑇)

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El rango de 𝑇, denotado 𝜌(𝑇), se define como la dimensión del recorrido de 𝑇. Es decir:

𝜌(𝑇) = dim 𝑅𝑒(𝑇)

Teorema: Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal.

Se cumple entonces que:

𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Demostraciones.

A continuación demostraré algunos de los teoremas de la sección teórica de este documento como

refuerzo para entenderlos mejor.

Teorema: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. Entonces:

i. 𝑇(0𝑉) = 0𝑊

ii. ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(�̃�) = 𝑇(𝑣)̃

iii. 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛)

El teorema nos indica que, según 𝑇, la imagen del vector cero en 𝑉 es el vector cero en 𝑊. La

imagen según 𝑇 del inverso aditivo de un vector 𝑣 ∈ 𝑉 es el inverso aditivo de 𝑇(𝑣) ∈ 𝑊. Y

finalmente, la imagen según 𝑇 de una combinación lineal de vectores, no es otra cosa que la

combinación lineal de las imágenes de dichos vectores.

Demostración:

i. 𝑇(0𝑉) = 0𝑊

Conocemos que 0𝑉 + 0𝑉 = 0𝑉 por lo que es lo mismo decir 𝑇(0𝑉) que 𝑇(0𝑉 + 0𝑉), luego por

linealidad de la suma esto se puede separar en 𝑇(0𝑉) + 𝑇(0𝑉) y obtendremos lo siguiente:

𝑇(0𝑉) = 𝑇(0𝑉 + 0𝑉)

𝑇(0𝑉) = 𝑇(0𝑉) + 𝑇(0𝑉)

𝑇(0𝑉)̃ + 𝑇(0𝑉) = 𝑇(0𝑉) + 𝑇(0𝑉) + 𝑇(0𝑉)̃

0𝑊 = 𝑇(0𝑉) ∎

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ii. ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(�̃�) = 𝑇(𝑣)̃

Conocemos que 𝑣 + �̃� = 0𝑉, podemos aplicar 𝑇 de ambos lados y obtener 𝑇(𝑣 + �̃�) = 𝑇(0𝑉).

Debido a la linealidad de 𝑇 respecto a la suma y al resultado del ítem anterior, se tiene que 𝑇(𝑣) +

𝑇(�̃�) = 0𝑊. Sumando de ambos lados 𝑇(𝑣)̃ obtenemos la ecuación deseada:

𝑣 + �̃� = 0𝑉

𝑇(𝑣 + �̃�) = 𝑇(0𝑉)

𝑇(𝑣) + 𝑇(�̃�) = 0𝑊

𝑇(𝑣)̃ + 𝑇(𝑣) + 𝑇(�̃�) = 0𝑊 + 𝑇(𝑣)̃

𝑇(�̃�) = 𝑇(𝑣)̃ ∎

iii. 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛)

Se tiene una propiedad dada para 𝑛 vectores y 𝑛 escalares. Esta propiedad, debería funcionar para

cualquier 𝑛 ∈ ℕ, por lo que se demostrará por inducción matemática:

Paso base: Para 𝑛 = 2

𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2) = 𝑇(𝛼1𝑣1) + 𝑇(𝛼2𝑣2) = 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2)

¡Se cumple!

Paso inductivo: Suponiendo que se cumple para 𝑛 = 𝑘, se buscará que cumpla para 𝑛 = 𝑘 + 1:

𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘 + 𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1) = 𝑇((𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘) + 𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1)

= 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘) + 𝑇(𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1)

= 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘) + 𝛼𝑘+1𝑇(𝑣𝑘+1)

Con la hipótesis de que se cumple para 𝑛 = 𝑘, se tiene que:

𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘 + 𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1)

= 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑘𝑇(𝑣𝑘) + 𝛼𝑘+1𝑇(𝑣𝑘+1)

¡Se cumple!

∀𝑛 ∈ ℕ 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛) ∎

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal

Teorema: Sean 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales, tal que 𝑉 es de dimensión finita y dim 𝑉 = 𝑛. Sea

𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} una base de 𝑉. Sean 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛 𝑛 vectores cualesquiera de 𝑊. Entonces

existe una única transformación lineal 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

El teorema nos dice que si tenemos un espacio vectorial de dimensión finita, con una base bien

definida, se puede definir o “construir” entonces una transformación lineal, la cual será única.

Demostración:

Sea 𝑣 ∈ 𝑉, ya que tenemos definida una base 𝐵 de 𝑉, podemos decir que existen escalares

𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 tales que:

𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛

Definimos una función 𝑇: 𝑉 → 𝑊 tal que para el vector 𝑣 definido anteriormente:

𝑇(𝑣) = 𝛼1𝑤1 + 𝛼2𝑤2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑤𝑛

Sabemos que nuestra función 𝑇 cumple las condiciones en la conclusión del teorema, pues sea 𝑣 =

𝑣𝑖, entonces 𝛼𝑖 = 1 y todos los demás escalares serán iguales a cero. Con lo que:

𝑇(𝑣𝑖) = 𝑇((0)𝑣1 + (0)𝑣2 + ⋯ + (0)𝑣𝑖−1 + (1)𝑣𝑖 + (0)𝑣𝑖+1 + ⋯ + (0)𝑣𝑛)

𝑇(𝑣𝑖) = (0)𝑤1 + (0)𝑤2 + ⋯ + (0)𝑤𝑖−1 + (1)𝑤𝑖 + (0)𝑤𝑖+1 + ⋯ + (0)𝑤𝑛

∴ 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ∎

Veamos si 𝑇 es una transformación lineal:

Sean 𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 y 𝑥 = 𝛽1𝑣1 + 𝛽2𝑣2 + ⋯ + 𝛽𝑛𝑣𝑛

Sabemos que 𝑣 + 𝑥 = (𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) + (𝛽1𝑣1 + 𝛽2𝑣2 + ⋯ + 𝛽𝑛𝑣𝑛)

𝑣 + 𝑥 = (𝛼1 + 𝛽1)𝑣1 + (𝛼2 + 𝛽2)𝑣2 + ⋯ + (𝛼𝑛 + 𝛽𝑛)𝑣𝑛

𝑇(𝑣 + 𝑥) = 𝑇((𝛼1 + 𝛽1)𝑣1 + (𝛼2 + 𝛽2)𝑣2 + ⋯ + (𝛼𝑛 + 𝛽𝑛)𝑣𝑛)

𝑇(𝑣 + 𝑥) = (𝛼1 + 𝛽1)𝑤1 + (𝛼2 + 𝛽2)𝑤2 + ⋯ + (𝛼𝑛 + 𝛽𝑛)𝑤𝑛

𝑇(𝑣 + 𝑥) = (𝛼1𝑤1 + 𝛼2𝑤2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑤𝑛) + (𝛽1𝑤1 + 𝛽2𝑤2 + ⋯ + 𝛽𝑛𝑤𝑛)

𝑇(𝑣 + 𝑥) = 𝑇(𝑣) + 𝑇(𝑥)

Sea 𝑘 ∈ 𝐾, se tiene que:

𝑘𝑣 = 𝑘(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = (𝑘𝛼1)𝑣1 + (𝑘𝛼2)𝑣2 + ⋯ + (𝑘𝛼𝑛)𝑣𝑛

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𝑇(𝑘𝑣) = 𝑇((𝑘𝛼1)𝑣1 + (𝑘𝛼2)𝑣2 + ⋯ + (𝑘𝛼𝑛)𝑣𝑛)

𝑇(𝑘𝑣) = (𝑘𝛼1)𝑤1 + (𝑘𝛼2)𝑤2 + ⋯ + (𝑘𝛼𝑛)𝑤𝑛

𝑇(𝑘𝑣) = 𝑘(𝛼1𝑤1 + 𝛼2𝑤2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑤𝑛)

𝑇(𝑘𝑣) = 𝑘𝑇(𝑣)

∴ 𝑇 es lineal ∎

Veamos si 𝑇 es única, para esto asumiremos que existe una segunda transformación lineal 𝑇∗ que

también tendrá la propiedad detallada al final del teorema: 𝑇∗(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

Entonces, ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 por lo que:

𝑇∗(𝑣) = 𝑇∗(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇∗(𝑣1) + 𝛼2𝑇∗(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇∗(𝑣𝑛)

= 𝛼1𝑤1 + 𝛼2𝑤2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑤𝑛

Lo cual también se cumple si evaluamos 𝑇 en todo vector 𝑣 ∈ 𝑉. Así, vemos que estas dos

transformaciones coinciden para todo vector 𝑣 ∈ 𝑉. Con lo que afirmamos que 𝑇 = 𝑇∗.

∴ 𝑇 es única ∎

Corolario: Sean 𝑉, 𝑊 dos espacios vectoriales, tal que 𝑉 es de dimensión finita y dim 𝑉 = 𝑛. Sea

𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} una base de 𝑉. Si 𝑇1, 𝑇2 son dos transformaciones lineales de 𝑉 en 𝑊 tales que

𝑇1(𝑣𝑖) = 𝑇2(𝑣𝑖) ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, entonces 𝑇1 = 𝑇2

Este corolario nos dice de otra forma la unicidad de las transformaciones lineales. Dicha

demostración la vimos en el teorema anterior, pero la repetiré a manera de ejercicio para observar

que, no sólo toda transformación lineal es única, sino que a su vez, dos transformaciones que

coincidan en todos los vectores de una base son iguales.

Demostración:

∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 por lo que:

𝑇1(𝑣) = 𝑇1(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇1(𝑣1) + 𝛼2𝑇1(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇1(𝑣𝑛)

𝑇2(𝑣) = 𝑇2(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 𝛼1𝑇2(𝑣1) + 𝛼2𝑇2(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇2(𝑣𝑛)

Si igualamos ambas expresiones llegamos a una identidad, con lo que podemos asegurar que:

∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑇1(𝑣) = 𝑇2(𝑣) ∎

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Veamos el siguiente teorema, es bastante sencillo ahora que se conoce su variante respecto a

matrices.

Teorema: Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal. 𝑁𝑢(𝑇) es un subespacio vectorial de 𝑉,

mientras que 𝑅𝑒(𝑇) es un subespacio vectorial de 𝑊.

El teorema nos dice que los conjuntos 𝑁𝑢(𝑇) y 𝑅𝑒(𝑇) son espacios vectoriales, y no sólo eso, sino

que son respectivamente subespacios de 𝑉 y 𝑊.

Demostración:

Procederé a demostrar que 𝑁𝑢(𝑇) es subespacio vectorial de 𝑉:

∀𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) ¿ 𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)?

𝑇(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2)

Pero por hipótesis 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑁𝑢(𝑇), por lo que 𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2) = 0𝑊

𝑇(𝑣1 + 𝑣2) = 𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2) = 0𝑊

𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)

¡La suma es cerrada en 𝑁𝑢(𝑇)!

∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) ¿ 𝛼𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)?

𝑇(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇(𝑣)

Pero por hipótesis 𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇), por lo que 𝑇(𝑣) = 0𝑊

𝑇(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇(𝑣) = 𝛼(0𝑊) = 0𝑊

𝛼𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)

¡La multiplicación por escalar devuelve elementos de 𝑁𝑢(𝑇)!

∴ 𝑁𝑢(𝑇) es subespacio de 𝑉 ∎

Ahora demostraré que 𝑅𝑒(𝑇) es subespacio vectorial de 𝑊:

∀𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝑅𝑒(𝑇) ¿ 𝑤1 + 𝑤2 ∈ 𝑅𝑒(𝑇)?

Por hipótesis 𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝑅𝑒(𝑇), por lo que existen vectores 𝑣1, 𝑣1 tales que 𝑤1 = 𝑇(𝑣1) y 𝑤2 =

𝑇(𝑣2)

𝑤1 + 𝑤2 = 𝑇(𝑣1) + 𝑇(𝑣2) = 𝑇(𝑣1 + 𝑣2)

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𝑣1 + 𝑣2 ∈ 𝑉 ⇒ 𝑤1 + 𝑤2 ∈ 𝑅𝑒(𝑇)

¡La suma es cerrada en 𝑅𝑒(𝑇)!

∀𝛼 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇) ¿ 𝛼𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇)?

Pero por hipótesis 𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇), por lo que existe un vector 𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑇(𝑣) = 𝑤

𝛼𝑤 = 𝛼𝑇(𝑣) = 𝑇(𝛼𝑣)

𝛼𝑣 ∈ 𝑉 ⇒ 𝛼𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇)

¡La multiplicación por escalar devuelve elementos de 𝑅𝑒(𝑇)!

∴ 𝑅𝑒(𝑇) es subespacio de 𝑊 ∎

Finalmente, veamos la demostración del último teorema de este documento, que considero la más

complicada de entender y para la que solicito muchísima atención.

Teorema: Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión finita y 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal.

Se cumple entonces que:

𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉

El teorema es de gran utilidad, nos dice que si sumamos la nulidad y el rango de la transformación

lineal, obtenemos la dimensión del espacio de partida, o en su defecto, que si restamos la dimensión

del espacio de partida (dato generalmente conocido) de alguno de los otros parámetros, obtenemos

el parámetro faltante. Esto nos permite hacer deducciones acerca del núcleo o del recorrido de una

transformación lineal.

Demostración:

Sea 𝐵𝑁𝑢(𝑇) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘} una base de 𝑁𝑢(𝑇). Sabemos entonces que 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 ∈ 𝑉 y son

𝑘 elementos linealmente independientes. Sea dim 𝑉 = 𝑛 existen entonces vectores

𝑣𝑘+1, 𝑣𝑘+2, … , 𝑣𝑛 tales que el conjunto 𝐵𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘, 𝑣𝑘+1, 𝑣𝑘+2, … , 𝑣𝑛} es una base de 𝑉.

El teorema de la dimensión dice que 𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉 por lo que nuestro trabajo será

demostrar que 𝜌(𝑇) = dim 𝑉 − 𝜈(𝑇) = 𝑛 − 𝑘, es decir, demostraremos que el conjunto 𝐵𝑅𝑒(𝑇) =

{𝑇(𝑣𝑘+1), 𝑇(𝑣𝑘+1), … , 𝑇(𝑣𝑛)} es una base de 𝑅𝑒(𝑇).

Para esto demostraré primero que 𝑅𝑒(𝑇) = 𝑔𝑒𝑛(𝐵𝑅𝑒(𝑇)):

Sea 𝑤 ∈ 𝑅𝑒(𝑇) entonces por definición ∃𝑣 ∈ 𝑉 tal que 𝑤 = 𝑇(𝑣). Sin embargo, ya que 𝑣 ∈ 𝑉

entonces 𝑣 se puede escribir como combinación lineal de la base 𝐵𝑉 de 𝑉:

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𝑣 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘 + 𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1 + 𝛼𝑘+2𝑣𝑘+2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛

𝑤 = 𝑇(𝑣) = 𝑇(𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘 + 𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1 + 𝛼𝑘+2𝑣𝑘+2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛)

𝑤 = 𝛼1𝑇(𝑣1) + 𝛼2𝑇(𝑣2) + ⋯ + 𝛼𝑘𝑇(𝑣𝑘) + 𝛼𝑘+1𝑇(𝑣𝑘+1) + 𝛼𝑘+2𝑇(𝑣𝑘+2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛)

Sin embargo, nótese que 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) (es más, son una base de este espacio), por lo que

𝑇(𝑣1) = 𝑇(𝑣2) = ⋯ = 𝑇(𝑣𝑘) = 0𝑊.

𝑤 = 𝛼1(0𝑊) + 𝛼2(0𝑊) + ⋯ + 𝛼𝑘(0𝑊) + 𝛼𝑘+1𝑇(𝑣𝑘+1) + 𝛼𝑘+2𝑇(𝑣𝑘+2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛)

𝑤 = 𝛼𝑘+1𝑇(𝑣𝑘+1) + 𝛼𝑘+2𝑇(𝑣𝑘+2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛)

𝑤 ∈ 𝑔𝑒𝑛(𝐵𝑅𝑒(𝑇))

𝑅𝑒(𝑇) = 𝑔𝑒𝑛(𝐵𝑅𝑒(𝑇))

Demostraré ahora que 𝐵𝑅𝑒(𝑇) es linealmente independiente en 𝑅𝑒(𝑇):

𝛼𝑘+1𝑇(𝑣𝑘+1) + 𝛼𝑘+2𝑇(𝑣𝑘+2) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛) = 0𝑊

𝑇(𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1 + 𝛼𝑘+2𝑣𝑘+2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 0𝑊

Ya que la transformada de 𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1 + 𝛼𝑘+2𝑣𝑘+2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 es igual a cero, entonces podemos

afirmar que el vector 𝑣 = 𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1 + 𝛼𝑘+2𝑣𝑘+2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 es elemento de 𝑁𝑢(𝑇), y como

𝐵𝑁𝑢(𝑇) es base de dicho espacio:

𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1 + 𝛼𝑘+2𝑣𝑘+2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 ∈ 𝑁𝑢(𝑇)

𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1 + 𝛼𝑘+2𝑣𝑘+2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 𝛼1𝑣1 + 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘𝑣𝑘

(−𝛼1)𝑣1 + (−𝛼2)𝑣2 + ⋯ + (−𝛼𝑘)𝑣𝑘 + 𝛼𝑘+1𝑣𝑘+1 + 𝛼𝑘+2𝑣𝑘+2 + ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 0𝑉

Pero, ya que 𝐵𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑘, 𝑣𝑘+1, 𝑣𝑘+2, … , 𝑣𝑛} es una base de 𝑉, podemos afirmar que es un

conjunto linealmente independiente, y por lo tanto:

𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑘 = 𝛼𝑘+1 = 𝛼𝑘+2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0

De esta ecuación sólo nos interesan los elementos a partir de 𝛼𝑘+1

𝛼𝑘+1 = 𝛼𝑘+2 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0

𝐵𝑅𝑒(𝑇) es linealmente independiente en 𝑅𝑒(𝑇)

𝐵𝑅𝑒(𝑇) es base de 𝑅𝑒(𝑇)

𝜈(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim 𝑉 ∎

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal

Problemas.

Determine cuales de las siguientes son transformaciones lineales y cuáles no:

a) 𝑇: ℝ2 → ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦

b) 𝑇: ℝ2 → ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 8𝑦 + 1

c) 𝑇: ℝ2 → ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 5𝑥2 + 𝑦

d) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 , 0)

e) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 𝑇(𝑥, 𝑦) = (1 , 𝑥 − 𝑦)

f) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 𝑇 (𝑥𝑦) = (

2𝑥 − 𝑦3𝑥 + 4𝑦

)

g) 𝑇: ℝ3 → ℝ3 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0 , 0 , 𝑧)

h) 𝑇: ℝ3 → ℝ3 𝑇 (𝑥𝑦𝑧

) = (𝑥

𝑦 + 1𝑧 + 2

)

i) 𝑇: ℝ3 → ℝ3 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 , 3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 , 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)

j) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2) = 𝑎0 + 𝑎2𝑥2 + 𝑥3

k) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2) = 𝑎0 + 5 + 𝑥2

l) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2) = (𝑎0 − 𝑎1)(1 + 𝑥2) + (𝑎0 − 𝑎2)(𝑥 + 𝑥3)

Sea 𝑇: ℝ2 → ℝ2 tal que 𝑇(1,0) = (2,3) y 𝑇(0,1) = (1,1)

a) Demuestre que 𝑇 es única. b) Obtenga 𝑇(3,4)

c) Obtenga la regla de correspondencia de 𝑇

Sea 𝑇: ℝ3 → 𝑃2 una transformación lineal tal que:

𝑇(1,1,1) = 1 − 𝑥 + 𝑥2

𝑇(2,0,0) = 3 + 𝑥 − 𝑥2

𝑇(0,4,5) = 2 + 3𝑥 − 𝑥2

a) Obtenga 𝑇(2,4, −2) b) Regla de correspondencia de 𝑇

Demuestre:

a) Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal, sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 tales que

𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), … , 𝑇(𝑣𝑛) ∈ 𝑊 son linealmente independientes. Entonces 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 son

linealmente independientes. ¿Es la recíproca verdadera?

b) Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑊 una transformación lineal, sean 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 tales que el espacio 𝑊 =

𝑔𝑒𝑛{𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2), … , 𝑇(𝑣𝑛)}. Demuestre que 𝑅𝑒(𝑇) = 𝑊.

Para las siguientes transformaciones lineales, obtener núcleo, recorrido, y verificar que se cumple

el teorema de la dimensión:

a) 𝑇: ℝ2 → ℝ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 b) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 𝑇 (

𝑥𝑦) = (

2𝑥 − 𝑦3𝑥 + 4𝑦

)

c) 𝑇: ℝ3 → ℝ3 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 , 3𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 , 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧)

d) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2) = (𝑎0 − 𝑎1)(1 + 𝑥2) + (𝑎0 − 𝑎2)(𝑥 + 𝑥3)

e) 𝑇: ℝ2 → ℝ4 𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋; 𝐴 = (

13

24

5 67 8

)

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal

f) 𝑇: 𝑃2 → 𝑃3 𝑇(𝑝) = 𝑥2𝑝′

TAREA.

Sea 𝑇 la transformación de ℝ3 en ℝ3 definida por:

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑧, 𝑦 + 𝑧)

a) Demuestre que 𝑇 es una transformación lineal.

b) Determine una base del núcleo de 𝑇.

c) Demuestre que ℝ3 es la suma directa del núcleo de 𝑇 y la imagen de 𝑇.

Verdadero o Falso:

(a) Sean 𝑉 y 𝑊 dos espacios vectoriales, 𝑇 una transformación lineal de 𝑉 en 𝑊, y 𝑣1 y 𝑣2

dos vectores de 𝑉. La proposición es:

𝑇(𝑔𝑒𝑛{𝑣1, 𝑣2}) = 𝑔𝑒𝑛{𝑇(𝑣1), 𝑇(𝑣2)}

(b) Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 𝑛 y {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} una base de 𝑉. Se define la

transformación 𝑇 de ℝ𝑛 en 𝑉 como sigue: si 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛 entonces 𝑇(𝑢) =

𝑥1𝑣1 + 𝑥2𝑣2 + ⋯ + 𝑥𝑛𝑣𝑛. Demuestre que 𝑇 es lineal, encuentre el núcleo y el recorrido de

𝑇.

Construya, de ser posible, un operador lineal (o endomorfismo) 𝑇 del espacio vectorial 𝑃2 definido

por:

𝑁𝑢(𝑇) = 𝑔𝑒𝑛{1 + 𝑥 + 𝑥2}

𝑇(𝑥2 − 1) = 𝑥2 − 1

𝑇(1 − 2𝑥 + 𝑥2) = 3 − 6𝑥 + 3𝑥2

Construya de ser posible, una transformación lineal de ℝ2 en ℝ2 que transforme todo vector de

ℝ2 en un vector que pertenezca a la recta 𝑦 = 2𝑥

Sea 𝑇: ℝ3 → ℝ3 tal que 𝑇(𝑋) = 𝐴𝑋 con 𝐴 = (1 10 12 2 2

−1 −8 𝑘), determine los valores de 𝑘 para que

𝜈(𝑇) = 0

Sea 𝑇: 𝑃2 → 𝑀2𝑥3 una transformación lineal tal que:

𝑇(𝑝(𝑥)) = (𝑝(1) 𝑝(2) 𝑝(0)

𝑝′(1) 𝑝′(2) 𝑝′(0))

Determine:

Mario Fernando Izquierdo Chavarría – Ayudante Académico de Álgebra Lineal

(a) 𝑁𝑢(𝑇), 𝜈(𝑇).

(b) 𝐼𝑚(𝑇), 𝜌(𝑇).