algebra 3

IMPOSIBILIDAD DE CIERTAS SOLUCIONES

July 5, 2015

Podemos demostrar, ahora, la imposibilidad de ciertas construcciones ge-omtricas.

Teorema 9.3

Es imposible duplicar el cubo , esto es, dado el lado de un cubo, no siemprees posible construir con regla y compas el lado de un cubo que tenga el doble delvolumen del cubo original.

Demostracion

Sea el cubo de lado 1 y, por tanto, de volumen 1. El cubo buscado debe tenervolumen 2 y, por tanto, la longitud 3

2. Pero 3

2 es un cero de irreducible x32

sobre Q, de modo que[Q( 3

2) : Q] = 3

El corolario del teorema anterior muestra que para doblar este cubo de volumen1, necesitaramos que para algun entero r, 3 = 2r. Es claro que no existe dichar.

Teorema 9.4

Es posible cuadrar el crculo esto es, dado un crculo, no siempre es posibleconstruir con regla y compas un cuadrado que tenga area igual al area del crculodado

Demostracion

Sea el crculo dado de radio 1 y, por tanto, de area . Necesitaramos construirun cuadrado de lado

. Pero es trascendente sobre Q, de modo que tambien

es trascendente sobre Q.

Problema 4 Usando los resultados del problema anterior, donde sea nece-sario, muestrese que lo siguiente es cierto.

1. El 20-gono regular es construible.

2. El 30-gono regular es construible.

3. El angulo de 72 se puede trisecar.

1

4. El 15-gono regular se puede construir.

Solucion

1. Podemos construir el 20-gono regular porque se puede bisecar el angulode 36 (esto por el ejercicio anterior), luego obtenemos: (360/20) = 18.

2. El angulo 72 se puede construir pues se puede escribir 72 = 2(36) (por elejercicio anterior), ademas sabemos que 60 es contruible, luego podemosescribir 72 60 = 12 = (360/30). Por consiguiente el 30-gono regulares construible.

3. En 2. demostramos que el angulo 12 es construible, as el angulo 24 =2(12) = (72/3) es construible. Por tanto el angulo 72 se puede trisecar.

4. Nuevamente como en la parte 2. demostramos que el angulo 12 es con-struible, luego el angulo 24 = 2(12) = (360/15). Por tanto el 15-gonoregular se puede construir.

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