acerca de la conjetura de goldbach para polinomios...
Post on 31-Aug-2018
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Acerca de la Conjetura de Goldbachpara Polinomios Enteros
Sergio Daniel Veloza Bernal
Codigo: 20061167046
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Facultad de Ciencias y Educacion, Proyecto Curricular de Matematicas
Bogota, Colombia
2015
Acerca de la Conjetura de Goldbachpara Polinomios Enteros
Sergio Daniel Veloza Bernal
20061167046
Tesis presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:
Matematico
Director:
Veronica Cifuentes Vargas
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Facultad de Ciencias y Educacion, Proyecto Curricular de Matematicas
Bogota, Colombia
2015
Director
Profesora Veronica Cifuentes
Jurado No. 1
Jurado No. 2
Indice general
Introduccion II
1. Anillos de Polinomios 1
1.1. Irreducibilidad de polinomios en Z[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Divisores de cero y cancelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. El Teorema Chino del Residuo 6
2.1. Ecuaciones Diofanticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Ecuaciones de Grado Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. La Conjetura de Goldbach Para Polinomios Monicos 11
3.1. El Resultado de Dr Hayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Escogencia de los Primos p y q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. La Conjetura de Goldbach Para Polinomios Enteros 18
4.1. Generalizacion del Resultado de Hayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2. Escogencia de los Primos p y q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5. El numero de veces en que se puede escribir un Polinomio como suma de dos
irreducibles 21
6. Conclusiones y trabajos futuros 23
6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bibliografıa 24
Introduccion
En una carta dirigida a Euler y fechada el 7 de Junio de 1742, Christian Goldbach (1690-
1764) afirmaba haber observado que todo numero par mayor que 2 podıa escribirse como
suma de dos primos; y que todo numero impar mayor que 5 se podıa representar como suma
de tres. Han habido muchos esfuerzos por demostrar esta conjetura pero aun no ha podido
ser demostrada.
En 1937 Vinogradov demostro el siguiente Teorema: Todo numero impar suficientemente
grande se puede escribir como suma de tres primos, que es sin duda un resultado muy
cercano a la conjetura.
En 1966 Jingrun Chen realizo una prueba que se acercaba todavıa mas a la Conjetura, esta
dice: Todo numero par suficientemente grande se puede expresar como la suma de un primo
y un casi primo
En el 2014 la conjetura ha sido probada por el peruano Harald Helfgott quien probo que
todo numero impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres numeros primos,
este es un caso particular de la conjetura fuerte de Goldbach
iii
La conjetura debil ha sido verificada para todos los numeros pares menores que 4 · 1014 por
Joerg Richstein (1998).
para algunos numeros se muestra a continuacion.
4 = 2 + 2,
6 = 3 + 3,
8 = 3 + 5 = 5 + 3,
10 = 3 + 7 = 5 + 5 = 7 + 3,
12 = 5 + 7 = 7 + 5,
14 = 3 + 11 = 7 + 7 = 11 + 3,
16 = 3 + 13 = 5 + 11 = 11 + 5 = 13 + 3,
18 = 5 + 13 = 7 + 11 = 11 + 7 = 13 + 5,
20 = 3 + 17 = 7 + 13 = 13 + 7 = 17 + 3,
22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11 = 17 + 5 = 19 + 3,
No podemos escribir sobre la conjetura de Goldbach sin mencionar la conjetura sobre la
infinitud de los primos gemelos. En 1849 A. de Polignac conjeturo que para todo numero
par 2n habıa infinitas parejas de primos cuya diferencia era 2n. El caso n = 1 corresponde
a una famosa conjetura. ¿Existen infinitas parejas de primos p, p + 2? A tales parejas se
les denomina primos gemelos. Por ejemplo (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43),
(59, 61) y (71, 73) son todas las parejas de primos gemelos menores que 100. La mayor pareja
de primos gemelos que se conoce se debe a La Barbera, Jobling y Gallot (Octubre de 2000).
(1693965 · 266443 + 1), (1693965 · 266443− 1)
En las matematicas, los polinomios aparecen por diversas razones y en distintos temas,
siendo ellos una herramienta util en la elaboracion y construccion de distintas teorıas de las
matematicas. En el artıculo Acerca de La Conjetura de Goldbach de Filip Saidak, se abordan
los polinomios desde el punto de vista de los anillos y campos, teniendo como enfoque la
irreducibilidad de estos y su utilidad.
En este trabajo se estudia este artıculo cuyo objetivo es mostrar que si dado un polinomio
cualquiera f(x) en el anillo de Polinomios en la indeterminada x, con coeficientes en los
enteros ( notado Z[x] ) (De ahora en adelante se denominaran a estos polinomios, polinomios
enteros) este polinomio se puede escribir como la suma de dos polinomios irreducibles y NO
de manera unica, tal como ocurre con la conjetura de Goldbach para numeros enteros que
enuncia: todo numero par se puede escribir como la suma de dos primos y No de manera
unica..
La Conjetura de Goldbach es la motivacion de este artıculo en el que se probara la conjetura
de Goldbach pero en la version polinomica, dado que estos polinomios tienen coeficientes
enteros mas precisamente que pertenecen al anillo de Polinomios Z[x].
1 Anillos de Polinomios
En este capıtulo se incluyen las propiedades y caracterısticas mas importantes de la teorıa
de Anillos y Campos que coneciernen al tema en cuestion.
Las deficiones y teoremas que se presentan a continuacion, provienen del Libro ”Algebra
Abstracta de J. Fraleigh”
Definicion 1 Sea R un anillo. Un polinomio f(x) con coeficientes en R es una suma formal:
∞∑i=0
aixi = a0 + a1x+ ....+ anx
n + ..
donde ai ∈ R y ai = 0 para todos excepto para un numero finito de valores de i. Un elemento
de R es un polinomio constante.
Teorema 1 El conjunto R[x] es un anillo con la operacion de suma y multiplicacion usual
de polinomios. Si R es conmutativo, entonces tambien lo es R[x] y si R tiene unidad 1 6= 0,
entonces 1 es tambien unidad para R[x].
Demostracion: El anillo 〈R[x],+〉 es un grupo conmutativo debido a que los polinomios
cumplen las propiedades clausurativa, asociativa, invertiva y modulativa con la operacion
suma. Para que sea un anillo se debe probar que se cumplen la propiedad clausurativa, aso-
ciativa y distributiva respecto del producto.
La ley asociativa se satisface: dados a(x), b(x) y c(x) en R[x]
Sean ai, bj, ck ∈ R tenemos:[(∞∑i=0
aixi
)(∞∑j=0
bjxj
)](∞∑k=0
ckxk
)
=
[∞∑n=0
(n∑
i=0
aibn−i
)xn
](∞∑k=0
ckxk
)∞∑s=0
[s∑
n=0
(n∑
i=0
aibn−i
)cs−n
]xs
∞∑s=0
(∞∑
i+j+k=s
aibjck
)xs
2 1 Anillos de Polinomios
∞∑s=0
[s∑
m=0
as−m
(m∑j=0
bjcm−j
)xs
](∞∑i=0
aixi
)[∞∑
m=0
(m∑j=0
bjcm−j
)xm
](∞∑i=0
aixi
)[(∞∑j=0
bjxj
)(∞∑k=0
ckxk
)]De forma analoga se prueba que se satisface la ley distributiva.
R[x] es conmutativo por el hecho que R es conmutativo, y la unidad 1 6= 0 en R es tambien
la unidad de R[x] en vista de la definicion de multiplicacion en R[x].
1.1. Irreducibilidad de polinomios en Z[x]
Definicion 1 Un polinomio no constante f(x) ∈ Z[x] es irreducible sobre Z o es un polino-
mio irreducible en Z[x] si f(x) no puede ser expresado como un producto g(x)h(x) de dos
polinomios g(x) y h(x) en Z[x] ambos de un grado menor que el de f(x).
Los siguientes resultados nos dan una herramienta para determinar la irreducibilidad o no de
un polinomio en Z[x], la prueba de estos teoremas se puede encontrar en el libro .A Algebra
Abstracta, John Fraleigh”
Teorema 2 Un elemento a ∈ Z es un cero de f(x) ∈ Z[x] si y solo si x − a es un fac-
tor de f(x) en Z[x].
Teorema 3 Sea f(x) un polinomio en Z[x]. f(x) se puede factorizar en un producto de dos
polinomios de menor grado r y s en Q[x] si y solo si tiene tal factorizacion con polinomios
del mismo grado r y s en Z[x]
Corolario 1 Si f(x) = xn + an−1xn−1 + ... + a0 es un polinomio en Z[x], con a0 6= 0, tiene
un cero a en Q entonces a es un cero de f(x) en Z, y a debe dividir a a0Demostracion: Si f(x) tiene un cero a en Q, entonces f(x) tiene un factor lineal x− a en
Q[x] por el teorema 2, por el teorema 3, f(x) tiene una factorizacion con un factor lineal en
Z[x], luego para algun a ∈ Z debemos tener:
f(x) = (x− a)(xn−1 + ...− a0/a)
Ası a0/a esta en Z y a divide a a0Ejemplo: El corolario anterior nos da una manera de probar que el polinomio x2 − 2 es
irreducible en Q porque si este polinomio tiene un cero en Z debe tener un cero en Q, como
1.1 Irreducibilidad de polinomios en Z[x] 3
los unicos divisores de 2 son ±1 y ±2. Un sencillo reemplazo muestra que ninguno de estos
valores es un cero de x2 − 2.
Teorema 4 (Einsenstein) Sea p ∈ Z un numero primo. Supongamos que f(x) = anxn +
...+a0 esta en Z[x] y an 6≡ 0(mod p), pero ai ≡ 0(mod p) para todo i < n, con a0 6≡ 0(mod p2)
entonces f(x) es irreducible sobre Q, en particular en Z
Demostracion: Por el Teorema 3 de esta seccion solamente debemos probar que f(x) no
se puede factorizar en polinomios de menor grado en Z[x]. Si
f(x) = (brxr + ..+ b0)(csx
s + ...+ c0)
es una factorizacion en Z[x], con br 6= 0, cs 6= 0 y r, s < n, entonces a0 6≡ 0(mod p2) implica
que b0 y c0 no son ambos congruentes a 0 modulo p. Supongamos que b0 6≡ 0(mod p), puesto
que an = brcs. Sea m el valor mas pequeno de k tal que ck 6≡ 0(mod p). Entonces:
am = b0cm + b1cm−1 + ....+
{bmc0 si r ≥ m
brcm−r si r< m
El hecho que ni b0 ni cm son congruentes a 0 modulo p, mientras cm−1, ...., c0 son todos
congruentes a 0 modulo p implica que am 6≡ 0 modulo p, ası m = n. Por consecuencia s = n
contradiciendo la suposicion hecha y era que s < n, o sea que la factorizacion es no trivial.
Ejemplo El polinomio f(x) = 25x5−9x4−3x2−12 es irreducible sobre Q , ya que tomando
p = 3 tenemos:
25 6≡ 0(mod 3)
, pero:
−9 ≡ 0(mod 3)
,
−3 ≡ 0(mod 3)
y
−12 6≡ 0(mod 9)
cumpliendo el criterio.
1.1.1. Divisores de cero y cancelacion
Una de las propiedades algebraicas mas importantes de los numeros reales es que el producto
de dos numeros es cero, unicamente si por lo menos uno de los dos factores es cero, pero al
cambiar el sistema numerico esta propiedad no se tiene. Por ejemplo en Z12 donde el producto
de dos valores igualados a cero, no implica necesariamente que alguno de los valores sea cero.
Definicion 1 Si a y b son dos elementos no nulos de un anillo R tales que a · b = 0 entonces
a y b son divisores de 0
4 1 Anillos de Polinomios
Teorema 5 En el anillo Zn los divisores de 0 son precisamente los elementos que no son
primos relativos a n.
Demostracion: Sea m ∈ Zn, donde m 6= 0, y sea d 6= 1 el (maximo comun divisor) mcd de
m y n. Entonces:
m(nd
)=(md
)n
y (m/d)n que da 0 es multiplo de n, Ası m(n/d) = 0 esta en Zn, mientras que ni m ni n/d
es 0, ası m es un divisor de 0.
Por otro lado, supongamos que m ∈ Zn es primo relativo con n. Si para s ∈ Zn se tiene que
ms = 0,entonces n divide el producto ms de m y s en elementos del anillo Z. Como n no
tiene factores mayores que 1 en comun con m, debe ser que n divide a s, de modo que s = 0
en Zn.
Corolario Si p es primo, entonces Zp no tiene divisores de 0.
Demostracion: El corolario es un caso particular del teorema anterior
Definicion: Un dominio de integridad D es un anillo conmutativo con unidad 1 6= 0 que no
tiene divisores de 0.
Ahora se probara que el anillo de polinomios Z[x] es un dominio de integridad, para ello
recurrimos a tres importantes resultados del algebra de anillos y campos:.
Teorema 6 La ley cancelativa se satisface en un anillo R si y solo si R no tiene divisores de
0.
Demostracion: Sea R un anillo en el que se cumple la ley cancelativa, supongase que ab = 0
para algunos a,b ∈ R. Debemos probar que cualquiera a o b es 0. Si a 6= 0, entonces ab = a0
implica que b = 0 por la ley de la cancelacion. Similarmente si b 6= 0 implica que a = 0, ası
que no pueden haber divisores de 0 si un anillo posee la ley cancelativa.
Recıprocamente, supongase que R no tiene divisores de 0 y que ab = ac con a 6= 0. Entonces:
ab− ac = a(b− c) = 0
Puesto que a 6= 0 y puesto que R no tiene divisores de 0, se tiene que b − c = 0, ası que
b = c, un argumento similar muestra que ba = ca con a 6= 0 implica que b = c
En particular puesto que Z cumple la ley cancelativa se tiene que Z no tiene divisores
de 0, por lo tanto es un dominio de integridad.
1.1 Irreducibilidad de polinomios en Z[x] 5
Teorema 7 Sean P (x) y Q(x) polinomios en Z[x], con grados n y m respectivamente, en-
tonces el grPQ = grP + grQ, donde grP significa el grado de P (x).
Demostracion: Sea P (x) = anxn +an−1x
n−1 + ...+ao y Q(x) = bnxm + bm−1x
m−1 + ...+ b0,
al multiplicarlos nos queda:
P (x)Q(x) = (anxn + an−1x
n−1 + ...+ ao)(bnxm + bm−1x
m−1 + ...+ b0)
= anxnbmx
m + anxnbm−1x
m−1...an−1xn−1bnx
m + an−1xn−1bm−1x
m−1 + ...aob0
= anbmxn+m + anbm−1x
n+m−1...an−1bnxn+m−1 + an−1bm−1x
n+m−2 + ...aob0
por lo tanto, grPQ = m+ n. es decir el grado de P (x) mas el grado de Q(x).
Teorema 8 Z[x] es un dominio de integridad
Demostracion: Si Z[x] no fuera un dominio de integridad, existirıan polinomios P (x) y
Q(x) tales que P (x)Q(x) = 0 y ni P (x) ni Q(x) son el polinomio 0, pero esto contradice el
hecho que grPQ = grP + grQ por tanto Z[x] es un Dominio de Integridad
2 El Teorema Chino del Residuo
2.1. Ecuaciones Diofanticas
Con el fin de demostrar la conjetura de Goldbach para polinomios enteros, es necesario ha-
blar sobre las ecuaciones diofanticas y en particular del Teorema Chino del Residuo, aquı es
importante este resultado porque nos ayudara finalmente a mostrar que el numero de formas
de sumar un polinomio como resultado de dos polinomios irreducibles no es unica.
Acontinuacion veremos un importante resultado sobre congruencias:
Este teorema se encuentra en el libro ”T Introduccion a la Teorıa de Numeros, Gustavo
Rubiano”
Teorema 1 La congruencia lineal ax ≡ b (mod n) tiene solucion si y solo si d|b, donde
d = (a, n).
Demostracion: Dividimos la demostracion en 4 partes:
1. Si d|b, hay una solucion.
2. Si hay solucion, d|b.
3. Si x0 es una solucion entonces x0 + k nd
es solucion para todo entero k.
4. Todas las soluciones se encuentran entre las soluciones mencionadas en 3.
Prueba 1. Supongamos que d|b, luego b = cd para algun c. Como d = (a, n), podemos
expresar d en la forma d = ar + sn.
Multiplicando por c obtenemos b = cd = car + csn
Por lo tanto acr ≡ b (mod n) y cr es una solucion de la congruencia lineal ax ≡ b (mod n).
Prueba 2. Supongamos que x0 es una solucion de la congruencia lineal.
Luego ax0 ≡ b (mod n) y por lo tanto existe un entero k tal que ax0 − b = kn.
Como d|a y d|n, se sigue que d|b como habıamos mencionado
2.1 Ecuaciones Diofanticas 7
Prueba 3 Supongamos que x0 es una solucion de la congruencia dada.
Para todo entero k tenemos:
a(x0 + k
n
d
)= ax0 + kn
(ad
)≡ ax0 ≡ b (mod n)
puesto que d|a
Prueba 4 Supongamos que x1 es otra solucion de la congruencia dada.
Tenemos entonces:
ax1 ≡ b ≡ ax0 (mod n)
Por lo tanto
x1 ≡ x0 (modn
d)
Luego existe un entero k tal que
x1 = x0 + kn
d
Teorema 2 La ecuacion diofantica ax+by = c tiene solucion, si y solo si, d|c donde d = (a, b)
Ademas, si x0 y y0 es una solucion particular de la ecuacion, entonces todas las solucio-
nes estan dadas por las ecuaciones:
x = x0 + kb
de y = y0 − k
a
d
Donde k es un entero arbitrario
Demostracion:
Determinar las soluciones de esta ecuacion diofantica es equivalente a determinar las solu-
ciones de alguna de las congruencias lineales:
ax ≡ c (mod b) o by ≡ c (mod a)
Segun el teorema anterior, sabemos que existe solucion si y solo si d|c donde d = (a, b).
Ademas si x0 es una solucion de ax ≡ c (mod b), sabemos que todas las demas soluciones de
esta congruencia son de la forma:
x = x0 + kb
d
A partir de la ecuacion ax + by = c, podemos obtener los valores correspondientes de y.
Cuando x = x0 obtenemos:
y0 =c− ax0
b
y cuando x = x0 + k bd
obtenemos:
y =c− a(x0 + k b
d)
b
8 2 El Teorema Chino del Residuo
=c− ax0
b− ka
d
= y0 −ka
d
2.2. Ecuaciones de Grado Superior
Uno de los problemas mas importantes en la resolucion de ecuaciones diofanticas ha sido
la resolucion de un sistema de ecuaciones, de las contribuciones mas importantes para la
resolucion de dicho tipo de sistemas esta el Teorema Chino del Residuo que se expone a
continuacion:
Teorema 3 (TCDR) Sean m1,m2, ...,mr enteros positivos primos relativos dos a dos, y
sean a1, a2, ..., ar enteros arbitrarios. Entonces el sistema de congruencias lineales:
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
.
.
x ≡ ar (mod mr)
tiene solucion unica modulo m =∏r
i=1mi
Demostracion: Para i = 1, 2, ...., r sea Mi = mmi
=∏
i 6=j mj. Entonces (Mi,mi) = 1 para
todo i.
Por el Teorema 1 de esta seccion existen soluciones unicas para las congruencias lineales
Mix ≡ 1 (mod mi)
para i = 1, 2, ...., r. Es decir existen enteros b1, b2, ...., br tales que
M1b1 ≡ 1 (mod m1), M2b2 ≡ 1 (mod m2), ....,Mrbr ≡ 1 (mod mr)
Por lo tanto,
M1b1a1 ≡ a1 (mod m1),M2b2a2 ≡ a2 (mod m2), ...,Mrbrar ≡ ar (mod mr)
y si establecemos:
x0 =r∑
i=1
Mibiai
tenemos que x0 ≡ ai (mod mi) para todo i, puesto que Mi ≡ 0 (mod mj) para j 6= i. En
consecuencia, x0 es una solucion del sistema de congruencias.
Supongamos ahora que x1 y x0 son dos soluciones del sistema. Entonces
x1 ≡ a1 ≡ x0 (mod mi)
2.2 Ecuaciones de Grado Superior 9
para i = 1, 2, ..., r y por lo tanto concluimos que x1 ≡ x0 (mod m), donde m =∏r
i=1mi. Por
consiguiente, la solucion es unica modulo m.
Ejemplo: A continuacion, resolveremos paso por paso un sistema de congruencias basico,
utilizando el Teorema chino del residuo.
¿Es posible encontrar un numero tal que al dividirlo por 3 deje resto 2,
al dividirlo por 5 deje resto 3 y al dividirlo por 7 deje resto 2?
El enunciado se podrıa traducir a resolver el siguiente sistema de congruencias lineales:
x ≡ 2(mod 3)
x ≡ 3(mod 5)
x ≡ 2(mod 7)
En este caso tenemos que m = 3 · 5 · 7 = 105 y a1 = 35, a2 = 21 y a3 = 15. La solucion que
buscamos es el del tipo
x0 = 2 · 35 · d1 + 3 · 21 · d2 + 2 · 15 · d3
Una solucion de 35 · d1 ≡ 1(mod 3) es d1 = 2
Una solucion de 21 · d2 ≡ 1(mod 5) es d2 = 1
Una solucion de 15 · d3 ≡ 1(mod 7) es d3 = 1
Por lo tanto:
x0 = 2 · 35 · 2 + 3 · 21 · 1 + 2 · 15 · 1 = 233 ≡ 23(mod 105)
La solucion buscada es:
x = 23 + 105k, k ∈ Z
Corolario 1 Si a y b son primos relativos mas grandes que 0 con a < b, entonces exis-
ten numeros enteros u y v tales que au+ bv = 1, ademas el numero de soluciones (u, v) con
|u|, |v| < y es al menos [(2y + 1)/|b|], donde [x] es la parte entera de x.
Demostracion: Puesto que a y b son primos relativos, (a, b) = 1 y en virtud del Teorema
2 de esta seccion la ecuacion diofantica tiene solucion, por lo tanto existen numeros enteros
u y v tales que au + bv = 1, Ademas si (u0.v0) es una solucion, entonces todas las demas
soluciones son de la forma:
u = u0 + kb y v = v0 − ka
Dada una cota y tal que |u|, |v| < y, tenemos:
|u| = |u0 + kb| < y
10 2 El Teorema Chino del Residuo
y
|v| = |v0 − ka| < y
Por lo tanto:
−y < u0 + kb < y
y
−y < v0 − ka < y
La cantidad de enteros comprendidos entre −y e y es 2y + 1, y como |b| > |a|, el numero de
soluciones comprendidas en ese intervalo es:[2y+1b
]Ejemplo Resolver la ecuacion diofantica 2u+ 3v = 1 acotada por y = 6.
Solucion: En este caso, sabemos que hay solucion, puesto que 1 = (2, 3), sea u0 = −1 y
v0 = 1 una solucion, sabemos que las demas son de la forma:
u = −1 + 3k y v = 1− 2k
ya que estan acotadas por y = 6, tenemos:
| − 1 + 3k| < 6
y
|1− 2k| < 6
Entonces:
−6 < −1 + 3k < 6
y
−6 < 1− 2k < 6
Ahora miremos para que valores de k se cumplen estas condiciones a la vez. En el caso 1, el
menor valor que puede tomar k es −1 y el mayor es 2.
En el caso 2, el menor valor que puede tomar k es −2 y el mayor es 3, es decir que los
posibles ks en el primer caso son
k = −1, 0, 1, 2 y en el segundo caso son k = −2,−1 − 0, 1, 2, 3 observese que en el segundo
caso hay mas soluciones, pero como nos interesa que se cumplan las desigualdades a la vez,
los valores de k para el primer caso es la cantidad que buscamos, las soluciones son 4, y
observemos que 4 = [(2(6) + 1)/3]
3 La Conjetura de Goldbach Para
Polinomios Monicos
En este capıtulo nos dedicaremos a demostrar que si f(x) ∈ Z[x] es un polinomio monico,
existen polinomios g(x) y h(x) ∈ Z[x] monicos e irreducibles tales que f(x) = g(x) + h(x),
en la siguiente seccion veremos que estos polinomios no son unicos. 1
3.1. El Resultado de Dr Hayes
Teorema: (Debido a Dr Hayes) Sea f(x) un polinomio monico que pertenece al ani-
llo de polinomios Z[x], entonces existen polinomios monicos g(x) y h(x) ∈ Z[x] tales que
f(x) = g(x) + h(x)
Demostracion: Sea
f(x) = xd + Fd−1xd−1 + ....+ F1x+ F0
Se va a establecer que los polinomios g(x) y h(x) son irreducibles con el criterio de Einsens-
tein.
Se escribe a
g(x) = xd + pGd−1xd−1 + ...+ pG1x+G0
y a
h(x) = xd−1 + qHd−2xd−2 + ...+ qH1x+H0
Se han puesto de esta forma porque asıse podra estar seguro que por el criterio de Einsens-
tein p|gi para 0 ≤ i ≤ d−1, donde gi = pGi y tambien q|hi para 0 ≤ i ≤ d−2, donde hi = qHi.
El criterio de Einsenstein tambien dice que los ultimos coeficientes en este caso G0 y H0
deben ser divisibles por p y q respectivamente, pero no por p2 y q2.
Ası que se va a escoger a un G0 y un H0 convenientes de manera tal que sean divisibles por
p y q respectivamente, pero no por p2 y q2.
1Dr.Hayes, 1965
12 3 La Conjetura de Goldbach Para Polinomios Monicos
Se escogeran a G0 = p+ p2k1, o mejor dicho G0 ≡ p(mod p2), similarmente a H0 = q + q2k2o mejor dicho H0 ≡ q(mod q2), esta escogencia asegura que tanto G0 como H0 son divisibles
por p y q respectivamente, pero no por p2 y q2.
El objetivo ahora es encontrar a p y a q que satisfagan esas condiciones, y tales que
g(x) + h(x) = f(x). Se escribe f(x) como suma de g(x) y h(x) ası:
f(x) = g(x) +h(x) = xd + pGd−1xd−1 + ...+ pG1x+G0 +xd−1 + qHd−2xd−2 + ...+ qH1x+H0
se saca factor comun:
f(x) = xd + (pGd−1 + 1)xd−1 + (pGd−2 + qHd−2)xd−2 + ....+ (pG1 + qH1)x+G0 +H0
aquı se puede decir que:
Fd−1 = pGd−1 + 1 (1)
Fi = pGi + qHi (2)
para 1 ≤ i ≤ d− 2 y para
F0 = G0 +H0 (3)
con las condiciones establecidas.
De la primera igualdad:
pGd−1 = Fd−1 − 1
esto significa que el primo p debe dividir a Fd−1− 1, se hara descomponiendo a Fd−1− 1 en
factores primos y escogiendo uno de aquellos primos, ası encontramos el primo p.
Observacion: Es importante aclarar que p y q deben ser primos diferentes, de lo con-
trario Fi = pGi + qHi, si q = p, esta ecuacion diofantica tendrıa solucion si y solo si p|Fi, lo
cual no siempre se va a satisfacer para cada Fi.
Podrıa suceder que Fd−1 − 1 = ±1, en este caso resolveremos redefiniendo una funcion
f ∗ (x) = f(x + 2), esta funcion f∗ producira un F∗d−1 que ya no sera ±1 y procederemos
como antes para encontrar a p. Solo nos falta encontrar a q para determinar los polinomios
irreducibles, la clave para hacerlo, esta en encontrar un q que satisfaga las condiciones que
exigen H0, y tambien que H0 +G0 = F0.
Notese que G0 = p+ p2k1ademas H0 = q + q2k2, es decir:
F0 = G0 +H0 = p+ p2k1 + q + q2k2
3.1 El Resultado de Dr Hayes 13
p+ q − F0 = −p2k1 − q2k2
Ahora sea (p2)−1q el inverso multiplicativo de p2 modulo q2, es decir:
(p2)q = p2 + q2k
Se va a escribir ahora a G0 y H0 de la siguiente manera:
G0 = p− (p2)−1q (p2)(q + p− F0)
H0 = F0 − p+ (p2)−1q (p2)(q + p− F0)
Esto significa que el valor que se le ha proporcionado a k1 es:
−(p2)−1q (q + p− F0)
es decir
k1 = (p2)−1q (p2k1 + q2k2)
ası:
k1 =(p2k1 + q2k2)
p2 + q2k
Entonces, se pasa el denominador de esta expresion al otro lado de la ecuacion:
(p2 + q2k)k1 = p2k1 + q2k2
p2k1 + q2kk1 = p2k1 + q2k2
Esta conveniencia permite encontrar una relacion entre los k′s que es la siguiente:
kk1 = k2
Si se pueden encontrar k′s que cumplan esta relacion obviamente todos enteros, se habran
encontrado a G0 y H0, aclarando antes que el primo q se escoge de manera conveniente,
preferiblemente menor que p.
Observacion: Se sugiere escoger a p 6= 2
Una manera sencilla de encontrar a estos k′s es la siguiente:
k1 =(p2k1 + q2k2)
p2 + q2k
veıamos que k1 tenıa esta forma, por consiguiente:
k1 =−(q + p− F0)
p2 + q2k
14 3 La Conjetura de Goldbach Para Polinomios Monicos
con esta ecuacion basta escoger un k de tal forma que k1 sea entero. Visto como que k1 esta
en FUNCION de k, tenemos una funcion de este tipo: v(k) = L1
L2+L3k
Ejemplo:
f(x) = x3 + 8x2 − 11x− 11
Se escribe este Polinomio como suma de dos irreducibles.
Supongase que f(x) = g(x) + h(x), la forma de g(x) y h(x) debe ser la siguiente:
g(x) = x3 + pG2x2 + pG1x+G0
h(x) = x2 + qH1x+H0
Ahora
F2 − 1 = pG2
, se tiene que:
7 = pG2
Se escoge p = 7 y G2 = 1 o tambien p = −7 y G2 = −1
Ahora con el fin de escoger el q conveniente, se encontraran los valores de G0 y H0, de
la siguiente manera:
G0 = p+ p2k1
H0 = q + q2k2
Se encuentran los k′s a traves de la ecuacion:
k1 =−(q + p− F0)
p2 + q2k
Siempre es posible encontrar los ks cuando |q| < |7|, vease porque:
Se escogen q = |2| o sea 2 o −2 y ya que p puede ser 7 o −7 se calcula el valor de to-
dos los posibles −(q + p− F0)
Con p = 7 y q = 2
−(q + p− F0) = −(2 + 7− (−11)) = −20
Con p = 7 y q = −2
−(q + p− F0) = −(−2 + 7− (−11)) = −16
Con p = −7 y q = 2
−(q + p− F0) = −(2− 7− (−11)) = −6
3.1 El Resultado de Dr Hayes 15
Con p = −7 y q = −2
−(q + p− F0) = −(−2− 7− (−11)) = −2
Uno de esos valores sera el candidato apropiado para encontrar el k tal que k1 sea ente-
ro.
Entonces:
k1 =−20
49 + 4k
Aquı k = −12 se genera un k1 = −20 Por tanto k2 = (−20)(−12) = 240, Entonces:
G0 = 7 + 49(−20) = −973
H0 = 2 + 4(240) = 962
Como se ve
−973 + 962 = −11
De igual forma para −16, −6, −2 se puede encontrar el valor apropiado para k.
Si se escoge q = |3| o q = |5| y se dan valores posibles para −(q + p − F0) se encuentra
al menos un k que satisfaga la condicion. Pero por lo pronto interesa que al menos un primo
q satisfaga la condicion.
Ahora ya que p = 7 y q = 2 y teniendo a G0 y a H0, resta solo encontrar una solucion
para la ecuacion diofantica:
pG1 + qH1 = −11
esta tiene solucion porque p y q son primos relativos y por lo tanto 1| − 11, entonces:
7G1 + 2H1 = −11
Si G1 = −1 y H1 = −2 satisfacen la ecuacion, por lo tanto g(x) y h(x) tienen la forma:
g(x) = x3 + 7x2 − 7x− 973
h(x) = x2 − 4x+ 962
Que por el criterio de einsenstein son irreducibles. Hay muchos mas, pero por lo pronto solo
interesa una.
16 3 La Conjetura de Goldbach Para Polinomios Monicos
3.2. Escogencia de los Primos p y q
Ahora se vera un importante resultado relacionado en la escogencia del k, que muestra que
siempre se pueden escoger q = 2.
Observacion: El cociente−(q + p− F0)
p2 + q2k
tiene siempre una solucion entera si q = 2 y k = −(L2 + L) donde L es un entero.
Prueba: El denominador de la expresion
−(q + p− F0)
p2 + q2k
es el valor de (p2)q es decir:
p2 + q2k
Puesto que siempre se deben escoger primos p y q diferentes, la escogencia de q = 2, obliga
a que p sea impar, por lo tanto p2 tambien es impar, mejor dicho:
p = 2L+ 1
entonces
p2 = (2L+ 1)2 = 4L2 + 4L+ 1 = 4(L2 + L) + 1
Entonces si se escogen k = −(L2 + L) la suma entre p2 y q2k sera:
p2 + q2k = 4(L2 + L) + 1− 4(L2 + L) = 1
como el numerador de la expresion inicial es siempre entero, el valor 1 en el denomina-
dor producira siempre un valor entero en la expresion, mostrando que el k1 es entero.
No siempre se va a tener f(x) tan conveniente como se propuso anteriormente, hay po-
linomios que para expresar como suma de dos irreducibles se requerira un poco mas de
trabajo, por ejemplo, el polinomio x3 + x, aquı F0 = 0, haciendo imposible la labor de en-
contrar G0 y H0 con las condiciones preestablecidas, tampoco esta el termino Fd−1 es 0, por
lo tanto se debe actuar de otro modo.
Otro polinomio molesto es este: x3 + 3x2 + 2x+ 1, o mejor dicho, la expresion Fd−1 − 1 = 2
y los factores primos de 2 solo hay uno, es 2, entonces necesariamente p = 2 y no se podrıa
escoger q = 2
3.2 Escogencia de los Primos p y q 17
Un tercer tipo de polinomio especial es este: x3 + x + 2x + 1, aquı Fd−1 − 1 = 0 y no se
podrıa escoger ningun p. Para solucionar estos problemas se va a re definir estos polinomios
de la siguiente manera:
f ∗ (x) = f(x+ 2)
, es decir en cada polinomio la indeterminada sera (x + 2) esto producira unos polinomios
nuevos en los que por el teorema del binomio el termino xd−1 estara acompanado de un
coeficiente distinto de los valores 0 ,1 , 2 y 3.
4 La Conjetura de Goldbach Para
Polinomios Enteros
Este capitulo presenta una generalizacion de la idea de expresar un polinomio en Z[x] como
suma de dos irreducibles, las condiciones por ende van a ser menos, ya no se pedira que f(x)
sea un polinomio monico, puede ser cualquiera, la situacion es analoga al caso anterior y de
hecho mas simple porque ya no tendremos la restriccion de la monicidad que nos condicio-
naba la escogencia de los primos p y q
4.1. Generalizacion del Resultado de Hayes
Teorema 1 Si f(x) es un polinomio arbitrario con coeficientes enteros con gra(f) = d ≥ 1,
entonces existen polinomios irreducibles g(x) y h(x) en Z[x] con la propiedad que f(x) =
g(x) + h(x)
Demostracion: Se escribe
f(x) = Fdxd + Fd−1x
d−1 + ...+ F1x+ F0
Se estableceran polinomios irreducibles g(x) y h(x) con el criterio de Einsenstein.
Sea
g(x) = Gdxd + pGd−1x
d−1 + ...+ pG1x+G0
y
h(x) = Hdxd + qHd−1x
d−1 + ...+ qH1x+H0
Al igual que en la seccion anteriorse han puesto de esta forma porque ası se podra estar
seguro que por el criterio de Einsenstein p|gi para 0 ≤ i ≤ d− 1, donde gi = pGi y tambien
q|hi para 0 ≤ i ≤ d− 1, donde hi = qHi
Como f(x) = g(x) + h(x), se tiene:
Fd = Gd +Hd (1)
4.2 Escogencia de los Primos p y q 19
Fi = pGi + qHi (2)
con 1 ≤ i ≤ d− 1, tambien:
F0 = G0 +H0 (3)
Se procede como en la seccion anterior, definiendo
G0 ≡ p(mod p2)
H0 ≡ q(mod q2)
entonces:
F0 = G0 +H0 = p+ p2k1 + q + q2k2
q + p− F0 = −p2k1 − q2k2Se recuerda que en la seccion anterior, el encontrar G0 y H0 se reducıa al problema de
encontrar k′s tal que:
kk1 = k2
Donde k era el entero que aparecıa en la congruencia (p2)q ≡ p2(mod q2)
4.2. Escogencia de los Primos p y q
A diferencia del caso anterior se puede escoger el p que queramos, y q = 2, por el mismo
argumento de la seccion anterior
De nuevo para encontrar los k′s se utiliza el cociente:
k1 =−(q + p− F0)
p2 + q2k
Interesa que esta fraccion de entera, como en el caso anterior, como ya se determinaron los
primos p y q la condicion (2) se reduce a resolver las ecuaciones diofanticas con 1 ≤ i ≤ d−1,
y la ecuacion (1), se resuelve escogiendo Gd y Hd que no sean divisibles por p y q respecti-
vamente.
Ejemplo 1 Sea f(x) = 5x3 + 8x2 − 7x+ 1
Se expresara como suma de dos polinomios irreducibles, entonces:
f(x) = g(x) + h(x)
5x3 + 8x2 − 7x+ 1 = (G3 +H3)x3 + (pG2 + qH2)x
2 + (pG1 + qH1)x+G0 +H0
Se escogen p = 5 y q = 2, con cualquier otro p serıa posible encontrar a h(x) y g(x), y de
nuevo se buscan valores para G0 y H0 con las condiciones establecidas, entonces:
G0 = 5 + 25k1
20 4 La Conjetura de Goldbach Para Polinomios Enteros
H0 = 2 + 4k2
F0 = 5 + 25k1 + 2 + 4k2 = 7 + 25k1 + 4k2
Ahora se usa el cociente:
k1 =−(q + p− F0)
p2 + q2k
k1 =−(2 + 5− 1)
25 + 4k
k1 es entero cuando k = −6
k1 = −6
y por lo tanto
k2 = k1k = (−6)(−6) = 36
entonces
G0 = 5 + 25(−6) = −145
H0 = 2 + 4(36) = 146
queda ası:
G0 +H0 = −145 + 146 = 1
Con respecto a los otros Gi y Hi basta resolver algunas ecuaciones diofanticas:
−7 = 5G1 + 2H1
G1 = −3 y H1 = 4
8 = 5G2 + 2H2
G2 = 2 y H2 = −1
y
G3 +H3 = 5 = 6− 1
porque 6 6 |5 y 2 6 |1Entonces los polinomios g(x) y h(x) quedan ası:
g(x) = 6x3 + 10x2 − 15x− 145
h(x) = −x3 − 2x2 + 8x+ 146
cuya suma es el polinomio f(x), tanto g(x) como h(x) son irreducibles por el criterio de
Einsenstein
5 El numero de veces en que se puede
escribir un Polinomio como suma de
dos irreducibles
Los calculos hechos en las secciones anteriores muestran una manera de expresar un polino-
mio como suma de dos polinomios irreducibles. En este capıtulo se vera que esta expresion
no es unica, es decir que si f(x) = g(x) + h(x), g(x) y h(x) no son unicos.
Definicion: Para un Polinomio monico f(x) definimos <(f ; y) como el numero de formas de
escribir f(x) de la forma f(x) = g(x) + h(x), donde g(x) y h(x) son polinomios irreducibles
cuyos coeficientes enteros gi y hi, respectivamente, satisfacen que |gi| ≤ y y |hi| ≤ y.
Teorema Si f(x) esta en Z[x] es monico con gra(f) = d ≥ 1, entonces existe una constante
A(f) que depende unicamente de d y de los coeficientes de f(x) tal que:
<(f ; y) > A(f)yd
cuando y →∞Observacion: El numero total de polinomios monicos de grado d con coeficientes enteros
cuyo valor absoluto esta acotado por y, es (2y + 1)d. De aquı, trivialmente <(f ; y) < Byd,
donde B es una constante que depende unicamente de d, (B < 2d+1), Ası, del teorema
anterior tendremos una desigualdad tipo Chebyshev:
yd �f <(f ; y)�f yd
Demostracion: Para la demostracion de este teorema haremos 2 restricciones importantes
en la escogencia de los primos p y q.
1. Notese que si se tiene el caso en que Fd−1 6= ±1 o F ∗d−1 6= ±1, donde F ∗d−1 = Fd−1 + 2d
es el segundo coeficiente de f(x + 2), en cualquier caso, siempre se puede escoger el
primo p con 2 < p < |Fd−1| + 2d, donde Fd−1 y d son cantidades fijas, (dependen
unicamente de f(x)). La escogencia de q = 2 es claramente permitida y se tiene que
q 6= p. Ası resultados anteriores muestran que se pueden encontrar enteros Gi y Hi
(0 ≤ i ≤ d− 2) tales que pGi + qHi = Fi, con −y < Gi, Hi < y y las soluciones de esta
ecuacion son al menos (2y + 1)/[(pFi)] maneras diferentes, cuando Fi 6= 0.De aquı, el
225 El numero de veces en que se puede escribir un Polinomio como suma de dos
irreducibles
numero de formas posibles de escoger dos (d−1)- tuplas (G0, ..., Gd−2) y (H0, ..., Hd−2)
es al menos τ(f ; y), donde:
τ(f ; y) =(2y + 1)d−1
pd−1·
∏0≤i≤d−2,Fi 6=0
1
Fi
2. Ahora estimamos el numero de maneras en que se pueden escoger los ultimos coefi-
cientes de los polinomios g(x) y h(x). Con base en el TCDR hay por lo menos una
solucion modulo 4p2, es decir que las soluciones son 2y+14p2
, (es decir mas que y/(2p2)).
Por lo tanto, puesto que los coeficientes d, F0, ...,Fd−1, q = 2, y p < |Fd−1| + 2d son
todos fijos, cuando y →∞, se tiene:
<(f ; y) > τ(f ; y)y
2p2> τ(f ; y) · y
2(|Fd−1|+ 2d)2
= yd[
2d−2
(|Fd−1|+ 2d)d· Π0≤i≤d−2,Fi 6=0
1
Fi
]A(f)yd
Aquı obtenemos una constante explicita, ya que depende de la escogencia de los coefi-
cientes y el grado de f .
6 Conclusiones y trabajos futuros
6.1. Conclusiones
Al desarrollar el presente trabajo, se quizo ampliar nuestro campo de vision sobre los distintos
conceptos: polinomio, irreducibilidad y el concepto de primo, que en el caso presente se
considero como ırreducibilidad de un Polinomio”. A continuacion, exponemos un conjunto
de conclusiones especıficas que constituye los resultados de nuestra monografıa.
La Conjetura de Goldbach para polinomios monicos es de alguna manera mucho mas
simple trabajando con polinomios que con el conjunto de numeros enteros, ya que se
puede apoyar en resultados de la teorıa de numeros, en este caso de las congruencias
presentadas en el Criterio de Einsenstein
Si f(x+2) es un polinomio irreducible, tambien lo sera f(x) y visceversa, esto apoyados
en el criterio de Einsenstein
El numero de maneras de expresar un polinomio monico f(x) como suma de dos
polinomios monicos irreducibles crece a medida que y →∞
El objetivo del trabajo se cumplio ya que obtuvimos los dos polinomios irreducibles de
un polinomio entero cualquiera f(x).
Bibliografıa
[1] W. Sierpinski, Elementary Theory of Numbers.
[2] D. Hayes, A Goldbach theorem for polynomials with integer coefficients, this MONTHLY 72 (1965), 45,46.
[3] Gustavo Rubiano, Introduccion a la Teorıa de Numeros, 2004.
[4] J. Fraleigh, Algebra Abstracta, 1988.
[5] Javier Cilleruelo Mateo, El diablo de los numeros.
[6] Filip Saidak, On Goldbach Conjecture for Integer Polynomials, 2005.
top related