พีชคณิตบูลีนwebstaff.kmutt.ac.th/~thorin.the/ene103/kamon/electro... · web...

พชคณตบลนพชคณตบลน (Boolean ) เปนเครองมอ ทชวยในการวเคราะหและ

ออกแบบระบบดจตอล พชคณตบลนทำาใหเราสามารถอธบายความสมพนธระหวาง เอาตพตและอนพตของลอจกเกตในรปของสมการพชคณตหรอ นพจนบลน (Boolean expression)

1. การอธบายวงจรลอจกในรปพชคณต

วงจรลอจกใดๆ ไมวาจะมความซบซอนมากเพยงใด เรากสามารถจะอธบายดวยการดำาเนนการบลนได เนองจากมการดำาเนนการ OR, AND และ NOT เปนการดำาเนนการพนฐานของระบบดจตอล ตวอยางในรปท 1.1 แสดงการเขยนนพจนทใชแสดงความสมพนธระหวาง เอาตพต x กบ อนพต A, B และ C ของวงจรลอจก จะเหนไดวาแอนดเกตทำาการแอนด อนพต A และ B จากนนจงถกออรกบ อนพต C โดย ออรเกต ไดผลลพธเปนเอาตพต x ในทสด เพอไมใหเกดความสบสน ในกรณทมการออรและแอนดในวงจรลอจก จะกำาหนดใหการดำาเนนการแอนดเกดขนกอนการออร ยกเวนหากมการใสวงเลบกำาหนดการดำาเนนการไวอยางชดเจน ซงมลกษณะคลายกบ อบดบของการดำาเนนการทางพชคณตทวๆไป ทจะทำาการคณตวเลขกอนทำาการบวก รปท 1.2 และ 1.3 แสดงตวอยางวงจรลอจกและการเขยนนพจนของวงจรลอจกทมการดำาเนนการออรกอน แอนด และวงจรทมการใชนอตเกตหรอ อนเวอรเตอร ตามลำาดบ รปท 1.4 แสดงตวอยางวงจรลอจกทมความซบซอน การใชวงเลบหลายแบบมาแยกการดำาเนนการจะชวยใหนพจนดงายไมสบสน

1

รปท 1.1 วงจรลอจกและนพจนบลนของ

2. การหาคาเอาตพตของวงจรลอจกเมอนพจนบลนของเอาตพตของวงจรลอจกสามารถเขยนออก

มาได การหาคาเอาตพต สำาหรบชดอนพตหนงๆสามารถหาไดโดยการแทนคาระดบลอจก “0”, “1” ของอนพตนนๆ ลงไปในตวแปรภายในนพจน ยกตวอยางการหาลอจกเอาตพตของวงจรในรปท 1.4 สำาหรบกรณทอนพตเปน A = 0, B = 1, C = 1, D = 0 และ E = 1 จะไดผลลพธดงน

กฎพนฐานในการแทนคาในนพจนบลนมดงน1. แทนคานเสธในเทอมเดยวใหหมดเสยกอน นนคอ หรอ2. แทนคาภายในวงเลบ3. ดำาเนนการแอนดกอนการออรยกเวนมวงเลบกำากบไว4. ถานพจนมนเสธครอมอยใหดำาเนนการภายในนพจนดงกลาว แลวจงกลบผลลอจก

2

รปท 1.2 วงจรลอจกและนพจนบลนของวงจรทม

รปท 1.3 วงจรลอจกและนพจนบลนของวงจรทมการใชนอตเกตหรอ อนเวอรเตอร

(b)(a)

รปท 1.4 ตวอยางวงจรลอจกทมความซบ

นอกจากนแลว เรายงสามารถหาคาลอจกเอาตพตของวงจรลอจกไดโดยการแทนคาลอจกลงในวงจร ดงตวอยางในรปท 2.1

3. การสรางวงจรลอจกจากนพจนบลนหากการดำาเนนการของวงจรลอจกเขยนอยในรปนพจนบลน

เราสามารถนำามาสรางวงจรลอจกไดโดยตรง พจารณานพจน เราจะเหนวานพจนนประกอบไปดวยสามเทอม( ,

, และ ) ทออรกน ดงนน เราตองใชออรเกตทมสามอนพตมาใชในวงจร และอนพตของออรเกต กเปนเทอมการแอนด ซงนยมเรยกวา เทอมของผลคณ (Product term) เราจะสามารถวาดรปวงจรลอจกสดทายไดดงรปท 3.1

3

รปท 2.1 การหาคาลอจกเอาตพตของวงจรลอจกโดยการแทนคาลอจกลงในรปวงจร

รปท 3.1 การสรางวงจรลอจกจากนพจนบลนโดยวธทางตรง

ในหวขอตอๆไปเราจะไดศกษาถงวธการออกแบบวงจรลอจกทใชจำานวนลอจกเกตนอยกวาวธทางตรง แตสามารถใหผลของลอจกเอาตพตทเหมอนกน4. ทฤษฎบทของบลน

ทผานมาเราจะเหนถงประโยชนของการใชพชคณตบลน ในการวเคราะหวงจรลอจก และแทนการดำาเนนการของวงจรลอจกในรปแบบนพจนคณตศาสตรได ในหวขอน เราจะไดเรยนรเกยวกบทฤษฎบทของบลนหรอ กฎของบลน ซงจะสามารถชวยใหเราลดรปวงจรลอจกใหมขนาดเลกลง ในทนกำาหนดใหตวแปร x เปนตวแปรบลนทสามารถเปนไดทง “0” และ “1” ในแตละขอจะมรปวงจรแสดงถงการมอยของกฎนน1. ตวแปร x ใดๆ ถาแอนดกบ “0” ผลลพธของลอจก ตองเปน “0”

2. ตวแปร x ใดๆ ถาแอนดกบ “1” ผลลพธของลอจก เทากบลอจกของ x3. ตวแปร x ใดๆ ถาแอนดกบตวมนเอง ผลลพธของลอจก เทากบลอจกของ x พสจนจาก หาก ดงนน ; หาก ดงนน4. ตวแปร x ใด หากแอนดกบคอมพลเมนตของตวมนเอง ( ) ผลลพธของลอจกเปน “0”

5. ตวแปร x ใดๆ หากออรกบ “0” ผลลพธของลอจกไมเปลยนแปลง6. ตวแปร x ใดๆ หากออรกบ “1” ผลลพธลอจกตองเปน “1”

7. ตวแปร x ใดๆ หากออรกบตวมนเอง ผลลพธลอจกเทากบลอจกของ x8. ตวแปร x ใดๆ หาก ออรกบคอมพลเมนตของตวเอง ผลลพธลอจกเทากบ “1”

(1)

(2)

4

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

ทฤษฎบทขอ (1) ถง (8) สามารถ นำาไปใชกบ กรณทตวแปรลอจกเปนนพจนทมหลายตวแปรได ยกตวอยางเชน หาก เรามนพจน

เราสามารถนำา (4) มาใช โดยให ดงนน เราจะไดวา

ทฤษฎบทของบลน สำ�หรบหล�ยตวแปร(9) ; Commutative law(10) ; ”(11) ; Associative law(12) ; ”(13a) ; Distributive law(13b) (14) (15)

ทฤษฎบท (9) ถง (13) สามารถจดจำาไดงายเพราะมลกษณะทคลายกบพชคณตพนฐาน แต (14) นนไมมในพชคณตทวไป การพสจนทำาไดโดยการ แทนชดอนพตทเปนไปไดลงในสมการ

กรณท 1.

กรณท 2.

5

กรณท 3.

กรณท 4.

(14) สามารถพสจนจาก (6) และ (2)

; จาก (6)

; จาก (2)

ตอไปนจะเปนตวอยางการลดรปโดยใชทฤษฎบทของบลน เพอใหวงจรลอจกใชจำานวนเกตลดลง

ตวอยาง จงลดรปนพจน เนองจากทงสองเทอมในดานขวามอของสมการมตวแปรรวมกนคอ เราจงสามารถใช (13) ดงตวแปรรวมนออกมา:

เมอใช (8) เทอมในวงเลบจะเทากบ “1” ดงนน

; จาก (2)

ตวอยาง จงลดรป เมอเราดงตวแปรรวมของทงสองเทอมจะได

จาก (15) เราสามารถแทน ดวย ดงนน

5. ทฤษฎบทของ ดมอรแกน

6

ทฤษฎบททสำาคญทสดสองขอ ของทฤษฎบทของบลน มาจากการคดคนของ นกคณตศาสตรเอกนามวา ดมอรแกน (DeMorgan)(16) (17)

ตวอยาง จงลดรป นพจน ใหอยในรปทตวแปรเดยวมนเสธเทอม เพยงชนเดยววธทำา จาก (17) เราจะสามารถเขยนนพจนนไดใหมเปน

จะเหนไดวาเราสามารถแยกนพจนทมเครองหมายนเสธตลอดนพจน ออกเปนสองเทอมนเสธยอยทกงกลางของสมการ และเปลยนเครองหมายจากการแอนด เปนการออร จากนน เทอม และ

สามารถลดรปโดยใช (16)

เราสามารถแยกนเสธในแตละเทอม ทกงกลางและเปลยนเครองหมายจาก เปน หลงจากกำาจดเครองหมายนเสธสองชน เราจะได ผลลพธของการลดรปเปน

คว�มหม�ยโดยนยของ ทฤษฎบทของ ดมอรแกนหากมอง (16), (17) ในความหมายของวงจรลอจก พจารณา (16)

ทางดานซายมอของสมการคอ เอาตพตของวงจรนอรเกตทมอนพตเปน x และ y ในขณะททางดานขวามอของสมการเปนเอาตพตของแอนดเกตทมอนพตเปน และ เราสามารถเขยนรปวงจรเทยบเทาไดเปนดงรปท

7

(a)

(b)

พจารณา (17)

ในทำานองเดยวกน ทางซายมอของสมการคอ เอาตพตของวงจรแนนดเกตทมอนพตเปน x และ y ในขณะททางขวามอ เปนเอาตพตของวงจรออรเกตทมอนพตเปน และ ดงนนเราจะสามารถเขยนวงจรเทยบเทาของแนนดเกตไดดงรปท 5.2

6. การสรางลอจกเกตตางๆจาก แนนดเกตและนอรเกต ทกนพจนของบลนจะประกอบไปดวยการผสมกนของการดำา

เนนการลอจกแบบพนฐาน ออร แอนด และ นเสธ ดงนนเราสามารถสรางวงจรลอจกโดยนำา ออรเกต แอนดเกต และอนเวอรเตอรเกต มาประกอบกนเปนวงจรดจตอล แตเราสามารถนำาแนนดเกตเพยงมาสรางเปนเกตตางๆได ดงตวอยางในรปท 6.1

8

รปท 5.1 (a) วงจรเทยบเทาของนอรเกตโดยใช (16); (b) สญลกษณอก

(b)

(a)

รปท 5.2 (a) วงจรเทยบเทาของแนนดเกตโดยใช (17); (b) สญลกษณอก

ในรปท 6.2 เปนการแสดงการนำานอรเกตเพยงชนดเดยวมาสรางเปนเกตพนฐาน

9

รปท 6.1 การสรางเกตพนฐานจากแนนดเกต

รปท 6.2 การสรางเกตพนฐานจากนอรเกต

วงจรลอจกแบบคอมไบเนชนในหวขอทผานมา เราไดรจกถงเกตพนฐานชนดตางๆ และ

พชคณตของบลนทชวยในการอธบายการดำาเนนการของวงจรใหอยในรปนพจนและวเคราะหการทำางานของวงจรทสรางจากวงจรลอจกเกตหลายๆแบบมาตอรวมกนหรอ เรยกวาเปนวงจรแบบคอมไบเนชน (Combination) วงจรคอมไบเนชน นไมมลกษณะของความจำา (Memory) เอาตพตของวงจรคอมไบเนชน ขนอยกบอนพตในขณะนนๆ1. ผลบวกของผลคณ (Sum-of-Product)

ในการลดรปวงจรลอจก เราจะตองการเรยนรการเขยน นพจนในรปของผลบวกของผลคณ

1. 2. 3.

ความหมายของผลบวกของผลคณคอ เทอมของการแอนดหลายๆเทอม ออรกน โดยทเทอมแอนดแตละเทอมอาจมตวแปรอยในรปคอมพลเมนตหรอ อยในรปทไมเปนคอมพลเมนต (ไมกลบผลลอจก) เพยงเทานน

หมายเหตจะไมเครองหมายนเสธครอบบนตวแปรมากกวาหนงตว (เชน หรอ เปนตน )2. ผลคณของผลบวก (Product-of-Sum)

รปแบบทวไปอกชนดหนงคอ ผลคณของผลบวก ทประกอบไปดวยเทอมออรหลายๆเทอม แอนดกนอย

1. 2. 3.

10

ในการลดรปเราสามารถใชนพจนในรปผลบวกของผลคณแตเพยงอยางเดยวได ดงนน จะไมกลาวถงการลดรปโดยการใชรปผลคณของผลบวก3. การลดรปวงจรลอจก

เมอเราสามารถเขยนนอพจนของเอาตพตของวงจรลอจกขนมาได เราอาจจะสามารถลดรปใหเปนนพจนใหมทมจำานวนเทอม หรอ จำานวนตวแปรลดลง ซงทำาใหเราใชจำานวนเกตทลดลงดวย ทำาใหวงจรมขนาดเลกลงและราคาถกลง นอกจากนความเชอมนของวงจรกจะมสงขนเนองจากมจำานวนจดตอทลดลง4. การลดรปโดยวธทางพชคณต

เราสามารถใชทฤษฎบทของบลนในการลดรปนพจนสำาหรบสรางวงจรลอจก เปนการยากทจะระบวาควรใชทฤษฎบทของบลนขอใด ในการลดรปนพจน ใหอยในรปทงายทสด เพราะขนอยกบการลองผดลองถกและความชำานาญของเฉพาะบคคล ในตวอยางตอไปจะแสดงวธการลดรปนพจนหลายๆวธ ซงจะสงเกตไดวามขนตอนสำาคญๆ 2 ขนตอนคราวๆไดดงน

1. ทำาการแปลงนพจนตงตนใหอยในรปผลบวกของผลคณ โดยใชทฤษฎบทของ ดมอรแกนและการคณเทอม

2. เมอสามารถแปลงใหอยในรปของผลบวกของผลคณไดแลว จงพจารณาหาเทอมทมรวมกน แลวทำาการดงเทอมรวมนนออกมา เพอหวงใหจำานวนเทอมลดลง

ตวอยาง จงลดรปวงจรลอจกตอไปน

11

วธทำา ขนตอนแรกใหหานพจนของเอาตพต z ของวงจรลอจก

เปนการด หากเราจะแยกเทอม นเสธขนาดใหญใหเลกลงโดยใช (17) และกระจายการคณเทอมเขาไป

; [กฎขอ (17)]

; [กำาจดนเสธทซอนกน]

; [กระจายการคณ] ; [ ]

เมอไดนพจนทอยในรปผลบวกของผลคณแลว กมองหาเทอมทมตวแปรรวมกน แลวแยกตวประกอบดงกลาวออกมา ในตวอยางน เราจะเหนวา เทอมทหนงและเทอมทสามม รวมกน จะไดวา

เนองจาก ดงนน

จากนนดงเทอม A จะไดผลลพธดงน

ผลลพธทไดนเมอนำามาสรางเปนวงจรลอจกในรปท 4.1(b) จะเหนไดวารปวงจรมความซบซอนนอยลงเปนอยางมาก5. การออกแบบวงจรลอจกคอมไบเนชนจากตารางความจรง

ตวอยาง 5.1 จงออกแบบวงจรลอจกทมตารางความจรง ในตารางท 5.1

ต�ร�งท 5.1

12

รปท 4.1 ตวอยางการลดรปโดยใชพชคณตบลน

วธทำา1. เอาตพตของวงจรลอจกจะเปน ผลบวกของผลคณทมคา

ความจรง เปน “1”

2. ทำาการลดรปวงจร โดยการบวกเทอมทมอยแลวเขาไปเพอชวยในการแยกตวประกอบ

ในทนจะบวกเทอม เขาไป

3. สรางวงจรจากนพจนวงจรนตองการนอตเกตเพอสรางคอมพลเมนตของ อนพต A

จากนน จะออรกบอนพต C และเอาตพตของออรเกตจะแอนดกบอนพต B ดวยแอนดเกต วงจรลอจกทไดแสดงในรปท 5.1

4. วงจรลอจกทสรางจาก นอรเกตเพยงอยางเดยว

13

รปท 5.1 วงจรลอจกในตวอยางท 5.1

รปท 5.2 วงจรลอจกในตวอยางท 5.1 ทสรางจากนอรเกต

6. การลดรปวงจรโดยการใช Karnaugh Map Karnaugh map เปนวธทางภาพทใชในการลดรปสมการลอจก ใน

ทางปฎบต สามารถใชกบตวแปรบลนไดสงสด 6 ตวแปร สำาหรบการสรางตารางดวยมอจะจำากดท 4 ตวแปร

ตวอยางตารางสำาหรบ 2 ตวแปร 3 ตวแปร และ 4 ตวแปร แสดงไวในรปท 6.1

14

รปท 6.1(a) Karnaugh map สำาหรบตวแปรบลน 2 ตวแปร; 6.1(b) 3

ตวแปร

การจบคเทอมทเหมอนกน สามารถทำาไดโดยการวงรอบเทอมทอยตดกน เปนแบบ 2 เทอม 4 เทอม และ 8 เทอม โดยเทอมทตวแปรในรปคอมพลเมนตและรปปกตจะถกยบไป

6.1 วงรอบ 2 เทอม พจารณาตวอยางการวงรอบเทอมทอยตดกนสองเทอม

6.2 วงรอบ 4 เทอม พจารณาตวอยางการวงรอบ 4 เทอม ใน Karnaugh map ตอไปน

15

รปท 6.1(c) Karnaugh map สำาหรบตวแปรบลน 4 ตวแปร

รปท 6.2 ตวอยางการวงรอบ 2 เทอมทตดใน Karnaugh map

6.3 วงรอบ 8 เทอม พจารณาตวอยางการวงรอบ 8 เทอม ใน Karnaugh map ตอไปน

จงใชวธลดรปดวย Karnaugh map กบ ตวอยางท 5.1

วธทำา

7. Exclusive-OR และ Exclusive-NOR

วงจรลอจกเกตแบบพเศษทนยมใชในระบบดจตอลคอ exclusive-

OR และ exclusive-NOREx-ORเปนลอจกเกตทเอาตพตจะเปน “1” เมออนพตมลอจกทตางกน

นพจนของ Ex-OR สามารถเขยนไดเปน

สญลกษณ แทนการดำาเนนการ Ex-OR

16

รปท 6.3 ตวอยางการวงรอบ 4 เทอมทตดใน Karnaugh map

รปท 6.4 ตวอยางการวงรอบ 8 เทอมทตดใน Karnaugh map

รปท 6.5 ตวอยางการใช Karnaugh map กบตวอยางท 5.1

สำญลกษณลอจกเกตทแทน Ex-OR แสดงไวในรปท 7.1

Ex-NOREx-NOR เปนลอจกเกตททำางานสลบกบ Ex-OR เอาตพตของ Ex-

NOR จะเปน “1” เมออนพตมลอจกเทากน นพจนของ Ex-NOR สามารถเขยนไดเปน

ตวอยาง จงสเกตภาพ เอาตพตของ Ex-OR

วธทำาเอาตพตของ Ex-OR สามารถสเกตไดจากความจรงทวา เอาตพต จะเปน “1” เมอ อนพตมลอจกตางกน ผลลพธทไดมจดทนาสนใจดงน1. รปคลนของเอาตพต x จะเหมอนกบอนพต A ในระหวางท B = 0 (ใน

ชวงเวลา t0 ถง t1 และ t2 ถง t3)

2. รปคลนของเอาตพต x จะตรงกนขามกบอนพต A ในระหวางท B = 1

(ในชวงเวลา t1 ถง t2)

17

รปท 7.1 สญลกษณของ Exclusive-OR

รปท 7.2 สญลกษณของ Exclusive_NOR

3. จะสงเกตไดวา Ex-OR สามารถนำามาใชเปน นอตเกตทควบคมได โดยอนพตหนงสามารถนำามาใชในการควบคมขวของลอจกของอกอนพตหนงได

18