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-97-
Abordaje del Movimiento Armónico utilizando TIC’s en la Clase Teórico-Práctica-Laboratorio
Zerbino, Lía M.(1 ,2 ); Baade, Noemí N.( 1 );
Del Zotto, Ruben( 1 ); Devece, Eugenio( 1 , 3 );
Attilio, Gabriel( 1 ); Chancel, Myrian(1 );
Ronconi, Jorge(1 )
1: IEC Ciencias Básicas, Facultad Regional La Plata UTN
2: UID OPTIMO, Facultad de Ingeniería UNLP
3: UID IMAPEC, Facultad de Ingeniería UNLP
e-mail: eugdvc@gmail.com
Resumen
El uso de las NTIC’s está difundido ampliamente en el
ambiente ingenieril y en la Didáctica de las materias
universitarias, debido a su versatilidad y a la rapidez con que los
alumnos se familiarizan con ellas desde temprana edad. En
nuestro grupo, y en el marco del proyecto Entornos
multimediales y estrategias integradoras para el aprendizaje de
Ciencias Básicas (EMEIPACiBa) desarrollamos estrategias
incorporando estas nuevas tecnologías en la enseñanza de la
-98-
Física. En esa línea implementamos propuestas que
complementan las experiencias de laboratorio, aprovechando las
nuevas tecnologías informáticas NTIC´s, para distintas instancias
presenciales, virtuales y on-line, tendiendo a detectar variables
que contribuyan a mejorar la adquisición de competencias en
docentes y alumnos. Entre ellas surge esta innovación, que se
refiere al diseño, organización e implementación de una
estrategia que reúne simulaciones, laboratorios in situ realizados
por un grupo de alumnos, laboratorios a distancia generados a
partir del laboratorio realizado in situ y filmado. Se describen las
características del material didáctico desarrollado y las
estrategias metodológicas de implementación. Cabe destacar que
este caso permite una integración horizontal con materias del
mismo año (Algebra, Fundamentos de Informática) y de años
posteriores (Análisis II, Cálculo numérico).
Palabras Clave: NTIC’s; Competencias propias; Integración
horizontal y vertical; Teoría-practica-laboratorio integrados.
Introducción
La exigencia y obligación de modificar el dictado
teórico-práctico-laboratorio de la Física se ve incrementada ante
la disminución del tiempo de dictado del curso y la necesidad de
incorporar nuevos temas. La disponibilidad de nuevas
herramientas computacionales permite agilizar las clases y
organizarlas de manera más integrada. Así, las NTIC’s resultan
una herramienta que permite flexibilizar y optimizar los tiempos
áulicos.
-99-
Los alumnos que ingresan al ámbito universitario traen
incorporadas competencias que les facilitan el uso de las NTIC’s,
pero el docente deberá ser capaz de que, aprovechando esta
familiaridad, incorpore los contenidos del curso. Otro punto
importante a favor de estas herramientas es que permiten
agilizar el análisis de los resultados de la experimentación y su
puesta en común en cursos numerosos. Ya se ha evaluado en
Didáctica de las Ciencias el rol fundamental de la
experimentación en el proceso de enseñanza aprendizaje ya que
la misma desarrolla en el alumno competencias y aptitudes que
le servirán con posterioridad en el desarrollo de su carrera. Con
el fin de incorporar efectivamente estas estrategias en las clases,
y analizar sus posibilidades y ventajas, hemos diseñado esta
propuesta para el aprendizaje del tema Movimiento Armónico en
los cursos de Física 1 de todas las carreras, y una vez puesta en
práctica, hemos evaluado los resultados preliminares
comparándolos con los obtenidos en cursos tradicionales. Como
pretende preparar el camino para el tratamiento del tema en
otras materias de 1er y 2do Año, quedará para otro trabajo
realizar el seguimiento correspondiente.
Marco Teórico
La experiencia que se comunica fue pensada dentro del
contexto del trabajo abarcativo que involucra el nuevo rol del
profesor como mediador (Mérida, 2006); (Baade, 2008), en un
proceso de enseñanza y aprendizaje que se centra en el alumno,
provocando que su participación sea más activa que la de un
simple espectador. El rol del docente ha cambiado: se corre del
centro de la escena para ser acompañante del alumno y poder
-100-
facilitarle las herramientas necesarias para que adquiera
conocimientos (Zerbino, 2010).
Cuando estudiamos un sistema sobre el que actúan
fuerzas variables, por ejemplo F(y,t) la aplicación directa de las
leyes de Newton y su resolución analítica es muy difícil al nivel
de conocimientos en que se encuentran los alumnos de 1er Año.
Por lo tanto, resulta de importancia el uso de herramientas como
las NTIC’s que permitan la visualización de los resultados sin
tener que resolver las ecuaciones en forma analítica. La idea es
construir una herramienta de resolución gráfica que sirva para
analizar en general diferentes casos que pueden ejemplificarse
en el laboratorio.
Los casos a estudiar, corresponden a diferentes
movimientos de dispositivos que incluyen entre otros elementos
un resorte. Para analizar un caso general que incluya la
posibilidad de que el sistema esté inmerso en un fluido viscoso y
se fuerce una amplificación, se diseñó un software que permite
visualizar la respuesta dinámica de un sistema como el
esquematizado en la Figura 1.
F t( )r
Figura 1. Esquema en el caso general
-101-
Desarrollo de la Clase
Describimos sucintamente, como ejemplo, el desarrollo de
una clase organizada para presentar el tema, y prepara una
experiencia de laboratorio para medir la viscosidad de un fluido a
partir de la caracterización de un movimiento armónico amortiguado.
Se propone a los alumnos analizar diferentes modelos
de montaje, escribir las ecuaciones que, en el marco de la teoría
de Newton, gobiernan la evolución del sistema físico. Luego,
eligiendo los parámetros adecuados por comparación con la
ecuación general que gobierna al software, utilizarlo para
graficar la posición del sistema en función del tiempo.
Durante esta secuencia el docente planteará diferentes
interrogantes, que servirán de guía para que el alumno prediga,
no sólo la forma de la gráfica, sino también, las características
físicas de las distintas interacciones en juego. El análisis irá del
caso más sencillo al más complejo
1. Movimiento Armónico Simple
El sistema a analizar es el representado en la Figura 2.
Figura 2. Diagrama de fuerzas. Se desprecia la viscosidad del mismo.
rP peso
rF resorte
rg
y(+)
-102-
En este caso no consideramos la fuerza exterior ( )rF t ni
el medio viscoso. Podríamos simular la situación de la partícula
en el vacío o en aire que tiene bajo coeficiente de viscosidad.
Aplicando lo anterior a la ecuación (2), la ecuación a
resolver quedará:
=r r
RF m a (1)
que escrita en la componente y quedará
2
2− =d y
k y mdt (2)
Reescribiendo y reordenando para comparar con (4), tendremos
22
2 0+ ω =n
d yy
dt (3)
Preguntas Disparadoras
1- ¿Qué tipo de movimiento realizará el sistema? ¿Uniforme?
¿Oscilatorio?
2-Analizando las fuerzas actuantes, ¿qué puede predecir de
la aceleración? ¿Será constante o variable?, ¿de qué
dependerá?
3-¿Qué esperaría para la energía mecánica del sistema?,
¿será constante o no?
-103-
2. Movimiento Armónico Amortiguado.
Aquí, ver Figura 3, consideraremos F(t) = 0 y
recordando que λ = bm . La ecuación a resolver quedará:
22
2−λ − ω =n
d y d yy
d t dt (4)
Figura 3. Se sumerge en un líquido viscoso
Preguntas Disparadoras
1-¿Qué tipo de movimiento realizará el sistema? ¿Uniforme?
¿Oscilatorio?
2-¿Espera encontrar alguna diferencia respecto la situación
anterior? ¿En la frecuencia? ¿En la amplitud?
3-¿Qué esperaría para la energía mecánica del sistema?,
¿será constante o no?
rP peso
rF viscosa
rF resorte
rg
y(+)
-104-
3.Movimiento Armónico Forzado y Sin Amortiguación
Aquí, ver Figura 4, consideraremos b = 0, la ecuación a
resolver quedara:
( ) 2
22− ω =n
F t d yy
m dt (5)
Figura 4. Se agrega una fuerza
Simulación utilizando el Soft Matlab
En cada caso, llegamos como resultado a un modelo
matemático en forma de una ecuación diferencial de segundo
grado con coeficientes constantes. A esta altura de la cursada,
los alumnos aun no tienen las herramientas para resolver ese
tipo de ecuación.
Una herramienta para encontrar la respuesta del
sistema en función del tiempo es realizar una simulación
numérica. En nuestro caso, será por intermedio del soft Matlab,
que nos permitirá obtener la posición en función del tiempo en
cada uno de los casos propuestos.
El sistema a estudiar será el bloque que modelaremos
como una partícula. Deseamos estudiar variables cinemáticas
rP peso
( )rF t
rF resorte
rg
y(+)
-105-
que siguen la evolución de la partícula, que serán la posición y
velocidad en función del tiempo. Ubicaremos para ello un sistema
de coordenadas cartesianos constituido por un solo eje y
vertical, con el origen en el extremo del resorte cuando este se
encuentre en su posición de equilibrio, con lo cual la posición de
la masa respecto de ese origen será ( )y t ) y su velocidad ( )v t .
Nuestro sistema de observación inercial será aquél en
que la Tierra plana está fija. Indicamos en el diagrama la
dirección de gr
. Al hacer el diagrama de cuerpo libre quedará el
de la Figura 5, en la que hemos supuesto que la partícula está
por debajo de la posición de equilibrio y alejándose de ella.
rP peso
F t( )r
F viscosar
F resorter
gr
y(+)
rE empuje
Figura 5. Diagrama del cuerpo libre en el caso general
Para este caso general tendremos que sobre el cuerpo
de masa m actúan:
- la Tierra, que supondremos plana y que ejerce la fuerza
peso rP .
-106-
- un medio fluido (representado en la Fig. 1 por el
rectángulo de color) que ejerce hacia arriba la fuerza
empuje rE, la cual despreciaremos por ser el fluido un
medio gaseoso.
- si además, el medio es viscoso, ejercerá una fuerza de
origen viscoso, que suponemos proporcional a la
velocidad del cuerpo y en sentido opuesto al
movimiento. La constante de proporcionalidad
dependerá del fluido y la designaremos con la letra b.
- el resorte, que ejercerá una fuerza proporcional a su
estiramiento. Su valor lo determinamos mediante la Ley
de Hooke. Como el resorte está vertical, al colocar la
masa, el resorte se deformará un ∆0 hasta una posición
de equilibrio (donde hemos puesto nuestro origen de
coordenadas). Así, en ese punto se cumplirá que
0+ − =r r r
resorteF E P de dónde 0⋅ ∆ = −r r
k P E .
- un agente exterior que ejerce la fuerza ( )rF t que
supondremos dependiente del tiempo.
Las condiciones del problema hacen que ( ),0=r
ya a
Si aplicamos la segunda ley de Newton, tendremos la
siguiente ecuación
( ) resorte VF t F F P E m a→
+ + + + =rr r r r
Sabemos que
2
2=y
d ya
d t
Descomponiendo las fuerzas en los ejes propuestos,
tendremos:
-107-
( ) ( )2
0 2-yd y d y
F F t b k y P E md t d t
= − + + + ∆ + =∑ (6)
( )
2
2= − + + =∑ yd y d y
F F t b k y md t d t (7)
Donde en (7) hemos simplificado usando que 0⋅ ∆ = −k P E
La ecuación (7) es una “ecuación diferencial”, su
solución es una función y(t). La podemos reescribir como
( ) 2
2− + + =d yF t b k d y
ym m d t m d t
(8)
Llamamos ω =n k m que será la “frecuencia natural” del
sistema, y representará su modo propio de oscilación.
Llamando λ = bm , entonces quedará
( ) 2
22− + λ + ω =n
d yF t d yy
m d t d t (9)
Por otro lado, se requerirá conocer las condiciones
iniciales del sistema para que la solución de (9) sea única.
( )( )
0
0
=
=
o
o
y t y
v t v
Sin perder generalidad elegimos t0 = 0
Los alumnos de 1er año no pueden evaluar
analíticamente estas ecuaciones.
-108-
Mediante el programa Matlab1 visualizamos la solución
de la ecuación diferencial.
% Introducir las condiciones iniciales
xo=input('posicion inicial=');
vo=input('velocidad inicial=');
ci=[xo;vo];
% introducir los parámetros del sistema
m=input('masa=');
k=input('constante del resorte=');
fn=sqrt(k/m);
b=input('coeficiente de amortiguacion=');
v=b/m;
A=[0 1;-fn^2 -v];
B=[0;1];
C=[1 0;0 1];
D=[0;0];
% Introducción de los parámetros de la fuerza forzante
amp=input('amplitud=');
f=input('frecuencia forzante=');
tmax=input('tiempo máximo de simulación=');
t=0:0.01:tmax;
u=amp*sin(f*t);
[y x ]=lsim(A,B,C,D,u,t,ci);
1 El manejo del software requiere programar en un lenguaje sencillo (Basic) que se ve en Fundamentos de
Informática, materia del mismo nivel.
-109-
% Salida gráfica de la respuesta del sistema (posición y
velocidad)
figure(1)
plot(t,x(1:((tmax/0.01)+1),1))
xlabel('tiempo')
ylabel('posición')
grid
figure(2)
plot(t,x(1:((tmax/0.01)+1),2))
xlabel('tiempo')
ylabel('velocidad')
grid
El programa, para los alumnos, trabaja como una caja
negra en la que se introducirán los parámetros del sistema
analizado, condiciones iniciales y de los agentes exteriores.
Caso 1- En el caso que estamos analizando, como no
están ni el medio viscoso ni la fuerza externa ( )rF t , deberemos
fijar el parámetro b, el parámetro amp y el parámetro f como
cero.
Por ejemplo,
Posición inicial= -4
Velocidad inicial= 0
Masa= 3
Constante del resorte= 12
-110-
Coeficiente de amortiguación= 0
Fo = 0
Frecuencia forzante= 0
Tiempo máximo de simulación=10
Resultarán los siguientes gráficos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
t i e m p o
posi
ción
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
8
t i e m p o
velo
cida
d
Figura 6.
Preguntas de Síntesis
1-¿Qué tipo de movimiento realiza el sistema? ¿Uniforme?
¿Oscilatorio?
2-¿Qué puede decir de la aceleración?, ¿es constante o
variable?, ¿de qué depende?
3-¿Qué esperaría para la energía mecánica del sistema?,
¿será constante o no?
Preguntas de Afianzamiento
1- Al colocar distintas condiciones iniciales (ejemplo,
y(0)=0, v(0)=v0 ó, y(0) =A, [llamada amplitud del
movimiento] y v(0)=0), ¿por qué la frecuencia natural
o el período de movimiento permanece constante?
-111-
2-¿Cómo es la amplitud del movimiento (máximos
alcanzados) en el tiempo?
3- A partir de la respuesta anterior, ¿qué puede decir de la
energía mecánica del sistema?
Caso 2- Como está el medio viscoso pero no la fuerza
externa ( )rF t , deberemos fijar el sólo el parámetro amp y f como
cero.
Mediante el mismo programa, podremos graficar un
caso. Por ejemplo:
Posición inicial= -4
Velocidad inicial= 0
Masa= 3
Constante del resorte= 12
Coeficiente de amortiguación= 0.8
Fo= 0
Frecuencia forzante= 0
Tiempo máximo de simulación= 20
Siendo el grafico de salida el de la Fig.7.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
tiempo
posi
ción
Figura 7. Movimiento amortiguado
-112-
Preguntas de Síntesis
1-¿Qué tipo de movimiento realizará el sistema? ¿Uniforme?
¿Oscilatorio?
2-¿Espera encontrar alguna diferencia respecto la situación
anterior?, ¿en la frecuencia?, ¿en la amplitud?
3-¿Qué esperaría para la energía mecánica del sistema?,
¿será constante o no?
Preguntas de Afianzamiento
1-¿Qué diferencia encuentra con el movimiento
analizado en el inciso anterior?
2-Cuando modifica su amplitud, ¿se modifica la
frecuencia?, ¿es un movimiento periódico?
3-Si se modifica el medio viscoso, ¿sobre qué variables
incide?
Preguntas Disparadoras
1-¿Qué tipo de movimiento realizará el sistema? ¿Uniforme?
¿Oscilatorio? ¿Espera encontrar alguna diferencia? ¿En
la frecuencia? ¿En la amplitud?
2- Analizando las fuerzas actuantes, ¿qué puede predecir de
la aceleración?, ¿será constante o variable?, ¿de qué
dependerá?
-113-
3-¿Qué esperaría para la energía mecánica del sistema?,
¿será constante o no?
Caso 3- Usamos el mismo programa. Tomaremos una
fuerza periódica senoidal del tipo ( ) ( )0= • ω •r rF t F sen t
Mantendremos las condiciones iniciales
Estudiaremos una situación
Posición inicial= -4
Velocidad inicial= 0
Masa= 3
Constante del resorte= 12
Coeficiente de amortiguación= 0
Fo= 12
Frecuencia forzante= 0.5
Tiempo máximo de simulación= 20
Obtenemos el gráfico de la Figura 8.
0 5 10 15 20-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
tiempo
posi
ción
Figura 8. Forzado, sin amortiguación.
-114-
Un caso interesante es cuando la frecuencia forzante es
igual a la frecuencia natural del sistema
Para graficarlo elegimos:
Posición inicial= -4
Velocidad inicial= 0
Masa= 3
Constante del resorte= 12
Coeficiente de amortiguación= 0
Fo= 12
Frecuencia forzante= 2
Tiempo máximo de simulación= 50
Obtenemos el gráfico de la Figura 9.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-150
-100
-50
0
50
100
150
200
tiempo
posi
ción
Figura 9. Forzado, sin amortiguación.
Preguntas de Afianzamiento
1-¿Qué coincidencias y que diferencias ve en este
movimiento respecto a los anteriores estudiados?
-115-
2-Este movimiento se puede asociar al que sucede con una
hamaca, ¿En qué punto de la misma se aplica la fuerza
cuando se desea aumentar la amplitud?
3-Si realiza simulaciones variando la frecuencia de la fuerza
forzante haciéndolas menor y mayor que la natural del
sistema, ¿qué observa?
4-¿Qué es la resonancia?
Caso Particular Movimiento Armónico Forzado y Con
Amortiguación
Estudiaremos el caso completo, con todas las
magnitudes de la ecuación (9).
Para ellos usaremos los siguientes valores:
Posición inicial=4
Velocidad inicial=0
Masa=3
Constante del resorte=12
Coeficiente de amortiguación=0.8
F o=12
Frecuencia forzante=4
Tiempo máximo de simulación=50
Al hacer la simulación, obtenemos la gráfica de la figura
10
-116-
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
tiempo
posi
ción
Figura 10. Forzado, con amortiguación.
Preguntas de Síntesis:
1- ¿Qué coincidencias y que diferencias ve en este
movimiento respecto a los anteriores estudiados?
2- Este movimiento se puede asociar al que sucede con un
amortiguador de automóvil que se mueve en camino con
baches. Simulamos la fuerza ejercida por los baches sobre el
amortiguador mediante una función periódica senoidal. ¿Qué
nota que sucede con la gráfica luego de una larga exposición
del sistema a la fuerza exterior?
3- Si va variando el coeficiente de amortiguación dejando la
misma fuerza exterior, ¿qué observa?
Parte de estas preguntas se discuten en la clase
siguiente, a partir del informe generado por los alumnos. Este
trabajo sirve para preparar un laboratorio utilizando TIC´s lo que
permite ajustar y profundizar conceptos integrando los
contenidos con los otros de la currícula. En la sección siguiente
se consigna la Guía para este laboratorio.
Luego de realizado el laboratorio, los alumnos elaboran
un informe.
-117-
Trabajo Experimental
Movimiento Armónico Amortiguado. Construcción de un
Amortiguador Elemental.
Durante una clase de Trabajos Prácticos de problemas se
realizan el planteo de la situación problemática inicial y la propuesta de
diseño de medida experimental con las características del material
disponible y rango de valores a medir.
Los diferentes grupos entregan sus conclusiones al
ayudante y las discuten con él. El enunciado, elementos y
organización del trabajo práctico se encuentran en una
plataforma Moodle, para lo cual los alumnos tienen una clave de
acceso particular. http://moodle.frlp.utn.edu.ar
Resultado de las Preguntas de la Guía. Tema: Mas
Curso Con NTIC’s Vs. Curso Sin NTIC’s
un ifo rme 65 ,079 un ifo rme 55 ,172
o s cila to rio 25 ,397 o s cila to rio 34 ,483
ns /n c 9 ,524 ns /n c 10 ,345
to ta l 100 to ta l 100
co ns ta n te 25 ,397 co ns ta n te 31 ,035
va ria b le 61 ,905 va ria b le 56 ,896
ns /n c 12 ,698 ns /n c 12 ,069
to ta l 100 to ta l 100
co ns ta n te 95 ,238 co ns ta n te 79 ,31
no co ns t. 4 ,762 no co ns . 20 ,69
to ta l 100 to ta l 100
1
2
3 3
2
1
P re g un ta s d is p a ra do ra s a n te s d e la e xpe rie n cia
C u rs o co n TIC 's C u rs o s in TIC 's
C a n tid a d d e a lumno s : 63 C a n tid a d d e a lumno s : 58
-118-
Comparación de Resultados en el 1er Curso
Curso Con NTIC’s Curso Sin NTIC’s
u n if o rm e 11,111 u n if o rm e 8 ,6 2 2
o s c ila t o r io 8 5 ,7 14 o s c i la t o r io 7 0 ,6 8 9
n s / n c 3 ,17 5 n s / n c 2 0 ,6 8 9
t o t a l 10 0 t o t a l 10 0
c o n s t a n t e 6 ,3 5 c o n s t a n t e 2 9 ,3 1
v a r ia b le 8 4 ,12 7 v a r ia b le 6 0 ,3 4 5
n s / n c 9 ,5 2 3 n s / n c 10 ,3 4 5
t o t a l 10 0 t o t a l 10 0
c o n s t a n t e 9 5 ,2 3 8 c o n s t a n t e 8 4 ,4 8 3
n o c o n s . 4 ,7 6 2 n o c o n s . 15 ,5 17
t o t a l 10 0 t o t a l 10 0
3 3
1 1
2 2
P re g u n t a s d is p a r a d o ra s d e s p u e s d e la e xp e r ie n c ia
C u rs o c o n T IC 's C u r s o s in T IC 's
C a n t id a d d e a lu m n o s : 6 3 C a n t id a d d e a lu m n o s : 5 8
-119-
Conclusiones
De la experiencia resulta que el alumno puede
visualizar rápidamente la respuesta del sistema a distintas
situaciones sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales.
Estas serán retomadas por la cátedra Análisis II, a partir de
estos ejercicios, donde se resuelven mediante los métodos
analíticos obteniendo así la respuesta temporal del sistema
(Integración vertical). Asimismo en Fundamentos de Informática,
materia del mismo nivel tratan lenguajes de programación que se
aplican en el software utilizado.
De los gráficos se puede apreciar que en cada una de
las preguntas, excepto en la tercera, ya que ellos cuentan con
conocimientos previos sobre trabajo y energía, se aprecia una
mejor respuesta de los alumnos que participaron utilizando
NTIC’s.
-120-
Bibliografia
David Báez López. Matlab con aplicaciones a la Ingenieria, Física y Finanzas. Alfaomega 2006
Den Hartog, J P .Mecánica de las vibraciones. CECSA 1979
García, A.F. Física con ordenador, www.sc.ehu.es/sbweb/fisica. (1998-2006)
Lewis, P.-Chang Yang. Sistemas de Control en Ingeniería. Prentice Hall 2006
Serway. Física. Volúmen I. Mc Graw. Hill
Weber– Prodanoff– Zerbino- Baade. Experiencias “que fallan” reparan huecos conceptuales Memorias de la SIEF XI 2012
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