90º cateto contiguo x cateto opuesto y hipotenusa h razones trigonométricas de un ángulo agudo
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90º
Cateto contiguo
x
Cateto opuesto
yHipoten
usa
h
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
x
y
contiguocateto
opuestocatetotg
h
x
hipotenusa
contiguocateto
h
y
hipotenusa
opuestocatetosen
cos
αdetangenteαtg
αdecosenoαcos
αdesenoαsen
Valores posibles de las razones
Como la hipotenusa siempre es mayor que los catetos:
0 < sen 0 < cos
Como los catetos pueden tomar cualquier valor:
0 < tg
Otras razones trigonométricas.
90º
Cateto contiguo
xC
ateto opuesto
yHipoten
usa
h
y
x
tgg
x
h
y
h
1cot
cos
1sec
sen
1cosec
tangente)la de (inversa de cotangente cotg
coseno) del (inversa de secantesec
seno) del (inversadecosecantecosec
Relación fundamental de la trigonometría
90º x
yh
Teorema de Pitágoras222 yxh
1cos2
2
2
22
2
2
2
222
h
h
h
xy
h
x
h
ysen
Por tanto:
1cos22 sen
Otras relaciones importantes
tgx
y
hx
hy
h
xh
ysen
cos
90º x
yh
2
22
22
2
22 sec
cos
1
cos
cos
cos11
sensentg
Por tanto:
tgsen
cos
22
2 seccos
11 tg
Estas relaciones permite calcular el resto de las razones trigonométricas de un ángulo agudo conocida una de ellas.
Razones trigonométricas de ángulos complementarios.Dos ángulos son complementarios si suman 90º. Si uno es el otro es 90º-
x
yh
90º
90º-
)º90(
1
)º90(cos
)º90cos(
tgx
ytg
asenh
xh
ysen
1
1
Razones trigonométricas de 45º
Utilizamos un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a uno
45º
45ºPor el teorema de Pitágoras:
211 22 h2
Por tanto:
2
2
22
21
2
1º45
sen
2
2
2
1º45cos
1
22
22
º45 tg
Razones trigonométricas de 30º y 60ºAhora utilizamos un triángulo equilátero de lados iguales a 1
60º
60º1
1
1
60º 60º
30º1
1/2
2
3
4
3
4
11
2
11
22
c
2
3
2
1
12
1
º30 sen
2
3
12
3
º30cos
3
3
3
1
32
21
23
21
º30
tg 33
3º60
2
1º60cos
2
3º60
tg
sen
Cuadro resumen
30º 45º 60º
seno
coseno
tangente
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3 1 3
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (I).
1
Consideramos una circunferencia de radio uno.
Para cada ángulo tendremos un punto en la circunferencia de coordenadas x e y
1y
x
xx
yy
sen
1cos
1
Por tanto el seno es la segunda coordenada del punto y el coseno la primera.
1
),( yxP
x
y
1
x
y
1
),( yxP
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (II).
OAPA
AP 1''
O
P’
A A’
•Los triángulos OPA y OP’A’ son semejantes
)()cos(
)(''
tgsen
x
y
OA
PAAP
Representación de la tangente
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante. Resumen
1
),( yxP
sen
cos
tg
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Segundo cuadrante.
1
),( yxP
sen
costg
•Seno positivo
•Coseno negativo
•Tangente negativa
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Tercer cuadrante.
),( yxP
1sencos
tg
•Seno negativo
•Coseno negativo
•Tangente positiva
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Cuarto cuadrante.
1
),( yxP
sencos
tg
•Seno negativo
•Coseno positivo
•Tangente negativa
Razones trigonométricas de ángulos entre cuadrantes.
180º 10º
90º
270º
360º
0º 90º 180º 270º 360º
0
seno 0 1 0 -1 0
coseno 1 0 -1 0 1
tangente 0 0 0
2
2
3 2
-
Signo de las razones trigonométricas.seno
++
-
coseno
+
+
-
-
tangente
+
+
-
-
Valores posibles de las razones.
Valores posibles Seno y coseno [-1, 1] Secante y cosecante (-,-1][1, +) Tangente y cotangente (-,+) = R
Reducción al primer cuadrante (I). Ángulos suplementarios (que suman 180º). Si un ángulo mide su suplementario mide 180º -
P(x, y)
y
X
Y
x
y
-x
sen (180º - ) = sen
cos (180º - ) = - cos
180º -
tg(180º - ) = - tg
P(-x, y)
Reducción al primer cuadrante (II). Ángulos que difieren en 180º.
-y
Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide el otro mide 180º +
P(x, y)
X
Y
x-x
P(-x, -y)
sen (180º + ) = - sen
cos (180º + ) = - cos
180º +
y
tg (180º + )= tg
Reducción al primer cuadrante (III). Ángulos que suman 360º.
-y
Si un ángulo mide el otro mide 360º-
P(x, y)
y
X
Y
x
P(x, -y)
sen (360º - ) = - sen
cos (360º - = cos
360º -
tg (360º - ) = - tg
Ángulos negativos
-y
Si un ángulo mide su opuesto mide -
P(x, y)
y
X
Y
x
P(x, -y)
sen (- ) = - sen
cos (- = cos -
tg (- ) = - tg
Ángulos mayores de 360º
Ejemplo: calcula las razones trigonométricas de 870º
2
870 360150
870º son 2 vueltas completas más 150º
sen( 870º) = sen (150º) = sen( 30º ) = 2
1
cos ( 870º) = cos (150º) = -cos( 30º ) = 2
3
tg ( 870º) = tg (150º) = -tg( 30º ) = 3
3
IES Francisco de los Cobos. Departamento de Matemáticas
Antonio Jesús Fernández Rodríguez
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