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RESISTENCIA DE MATERIALES II Mag. Ing. ALEJANDRO CRISPÍN GÓMEZ
INTRODUCCION
Una columna es un elemento sometido a comprensión, lo suficientemente delgado
respecto de su longitud; para que bajo la acción de una carga gradualmente
creciente rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho mayor que la
necesaria para romperla por aplastamiento.
En esto se diferencia de un elemento corto sometido a compresión, el cual aunque
esté cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Aunque
no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna; se suele
considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de
diez veces la dimensión menor de su sección transversal.
Las columnas se dividen es dos grupos, a veces los elementos cortos a compresión
se consideran como un tercer grupo dentro de las columnas.
Estos son:
Columnas Largas: rompen por pandeo o flexión lateral.
Columnas Intermedias: rompen por combinación de aplastamiento y
pandeo.
Elementos Cortos: rompen por aplastamiento.
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TEORIA DE LA COLUMNA
Fig. Nº 01
R = radio de giro de la sección recta con respecto a un eje de su centro de gravedad.
L = longitud efectiva de la columna.
Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección constante generalmente,
inicialmente recta y sometida a una carga axial de compresión. Sin embargo las
columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de
fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la
carga.
Todo esto se representa en la figura Nº 01, donde su presentación es muy
exagerada.
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La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga da lugar a una
excentricidad indeterminada “e”, respecto del centro de gravedad en una sección
cualquiera m-n.
Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto la flexión lateral es
despreciable y la flexo-compresión es insignificante comparada con el esfuerzo de
compresión directa.
Con un valor pequeño de la carga P y una excentricidad máxima, puede producirse
una tensión de flexión grande, acompañada de una tensión de compresión
despreciable.
Así pues, una columna corta soporta fundamentalmente la tensión directa de
comprensión; y una columna larga esta sometida principalmente a la tensión de
flexión.
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FORMULA DE EULER PARA COLUMNAS
En el año 1757 el matemático suizo Leonhar Euler hizo un análisis teórico de la
carga crítica para columnas; basada en la ecuación diferencial de la elástica:
Se parte de la hipótesis de que el esfuerzo por compresión directa es despreciable
en la columna y que esta nunca debe estar sometida a una carga mayor que aquella
bajo la cual se iniciara la acción de pandeo. A esta carga, se le llama carga crítica.
Esta teoría de pandeo formulada por Euler, se refiere a aquellas columnas en las
cuales se cumplen las siguientes limitaciones:
1. El material el homogéneo o isotópico.
2. La sección transversal de la columna es uniforme en toda su longitud.
3. La tensión máxima es inferior a la correspondiente al límite elástico del
material, el cual obedece la ley de Hooke.
La formula de Euler demuestra que la carga critica que puede producir el pandeo no
depende de la resistencia del material sino de sus dimensiones y su limite elástico.
Por este motivo dos barras de idénticas dimensiones una de acero de alta
resistencia y otra de acero suave, pandearan bajo la misma carga critica, ya que sus
resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo elástico. Así
pues para aumentar la resistencia al pandeo interesa aumentar lo más posible el
momento de inercia de la sección.
1. COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y LIBRE EN EL OTRO
a = flecha máxima.
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M = - P.x
EI d 2 x = - Px d 2 x = - P.x dy2 dy2 EI
d (dx/dy ) = - P.x dy EI
Multiplicando a cada miembro por (dx):
dx.d(dx/dy) = - Px.dx dy EI
Esta expresión se asemeja a la solución de la siguiente expresión:
∫um.du = u m+1 + C1
m+1
Integrando se obtiene:
(dy/dx)2 = - Px2 + C1
2 2EI
(dy/dx)2 = - Px 2 + C1
EI
Cuando y = L se tiene: x = a → dx/dy = 0
- Pa 2 + C1 = 0 → C1 = Pa 2 EI EI
(dx/dy)2 = -Px2 + Pa 2 EI EI
Separando variables
Integrando se tiene:
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Cuando y = 0 se tiene que: x = 0 → C2 = 0
Esta ecuación viene a ser la ecuación de la curva elástica de la columna en función
de la flecha máxima siendo dicha curva según se puede observar es una curva
sinusoidal.
Cuando: x = xmax. = a → y = L
Entonces:
Puesto que se ha determinado el mínimo valor de P para producir pandeo entonces
la expresión será la siguiente (el menor de todos)
2. COLUMNA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS
3. COLUMNA CON SUS EXTREMOS ARTICULADOS
4. COLUMNA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y ARTICULADA EN EL OTRO
PROB.- Determinar la carga crítica de pandeo de una columna redonda de acero, de 2 pulgadas de diámetro y 10 pies de longitud.
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SOLUCIÓN:Se calcula las cargas de pandeo para los cuatro casos, a fin de comparar las cargas críticas de pandeo.
Articulado – articulado:
Empotrado – articulado:
Empotrado – empotrado:
Empotrado – libre:
NOTA.- Para una sección asimétrica, el momento de inercia I, debe tomarse con respecto al eje, alrededor del cual ocurre el pandeo.
En caso que la sección transversal fuese rectangular y no hubiera apoyos intermedios que impidieran el pandeo, alrededor del eje más débil, el pandeo ocurrirá alrededor del eje Y de la siguiente figura.
Problemas
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Determinar la relación de esbeltez con respecto a los ejes X y Y de una columna de
20 pies de longitud articulada en la parte superior y empotrada en la base cuya
sección transversal se muestra en la figura.
N L = relación se esbeltez datos R N = 0.71 L = 240 pulg. R2 = I/A
A = 3(2 x 8) A = 48 pulg2
Remplazando en la relación de esbeltez
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Utilizando la formula de Euler determinar las dimensiones de la sección cuadrada de
una columna de extremos articulados de madera de roble de 7.20 m de longitud para
que resista una carga axial de seguridad de 790 Kg. utilizar un factor de seguridad
de 8 y considerar E = 105500 Kg/cm2. Justifíquese el uso de la formula de Euler
demostrando que el esfuerzo en el limite de proporcionalidad de madera de roble es
inferior al esfuerzo de fluencia cuyo valor es 302 Kg/cm2
Roble
E = 105500 Kg/cm2
1) formula para columna articulada en sus extremos:
P = carga critica
l = longitud total de la columna
Nl = (1)(l) = l
P = 8Ps P = 7900(8) P = 63200 Kg
Calculo de I
I = Ix = Iy =
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Remplazando valores
2)
Luego:
Determinar la mínima relación de esbeltez para que pueda usarse la formula de
Euler en una columna articulada en ambos extremos la columna es de acero cuya
limite de proporcionalidad es 2531 Kg/cm2 y un E = 2.1 x 106 Kg/cm2, si los extremos
fuera uno empotrado y el otro articulado
Extremos articulados ; E = 2.1 x 106 Kg/cm2
Remplazando
Pero:
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