8 geometria lauarecursostic.educacion.es/descartes/web/materiales... · 2012. 4. 12. · zuzenak...
Post on 16-Feb-2021
12 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
MATEMATIKA 1 DBH 109
Helburuak
Hamabostaldi honetan, hau
ikasiko duzu:
Planoaren oinarrizko elementuak ezagutzen.
Zuzenak eta bere propietateak ezagutzen.
Zuzenak eta zuzenekin erlazionaturiko elementuak
erabiltzen.
Angelu motak bereizten.
Angeluen propietateak eta angeluen arteko erlazioak
ezagutzen.
Angeluak neurtzen eta angeluen arteko
eragiketak egiten..
Geometria lauaren problema errazak ebazten.
Hasi baino lehen
1. Zuzenak. Paralelismoa eta perpendikulartasuna ...................... 112. orr.
Planoa Puntuak eta zuzenak
Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia Zuzenaren propietateak Posizio erlatiboak
Paralelismoa Perpendikulartasuna
2. Zuzenki naten erdibitzailea ............. 119. orr. Erdibitzailearen definizioa Erdibitzailea nola marraztu
Simetria
3. Angeluak. Sailkatzea eta neurtzea ... 122. orr.
Definizioa Angelu motak Angeluen arteko erlazioak
Angelua nola neurtu Sistema hirurogeitarra
4. Angelu baten erdikaria ................... 123. orr. Erdikariaren definizioa Erdikaria nola marraztu
5. Angeluen arteko eragiketak ............ 124. Orr. Angeluen arteko batuketak
Angeluen arteko kenketak Angelu baten eta zenbaki baten arteko
biderketa
Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa
Eragiketak sistema hirurogeitarrean
Egiteko ariketak
Gehiago jakiteko
Laburpena
Autoebaluazioa
Tutoreari bidaltzeko jarduerak
Geometria laua 8
-
110 MATEMATIKA 1 DBH
-
MATEMATIKA 1 DBH 111
Hasi baino lehen
Aztertu
Bilar jokoan geometría lauaren elementu asko (puntua, zuzena, angelua,
simetria…) agertzen dira. Eskuineko eszenan, ikusiko duzu bolak zer
ibilbide eraman behar duen bola gorriarekin talka egiteko; badago modu
bat baino gehiago: banda batean eman ondoren, bi bandetan eman ondoren…
Jaurtiketa zuzen batean bola gorriari apuntatzen diogu. Jaurtiketa albo batera bada, eta gorriari eman
nahi badiogu, gure bilarreko mahaiaren ondoan
irudizko mahai bat jarriko dugu (irudizko bola gorri
batekin). Irudizko bola gorri horri apuntatuko diogu benetakoari emateko.
Jaurtiketa bi alboetara
bada, gure mahaia halako
4 egingo dugu (mahai bat
erreala, eta 3 irudizko
mahai). Eskuineko goiko
bolari apuntatuko diogu,
eta, bi alboaetan jo
ondoren benetako bola
gorria joko du.
Bilar jokoan, honako
elementu hauek daude:
zuzenak, puntuak,
simetriak, angeluak...
Geometria laua
IRUDIZKO MAHAIAK IRUDIZKO BOLAK
-
112 MATEMATIKA 1 DBH
1. Zuzenak. Paralelismoa eta
perpendikulartasuna.
Planoa.
Gizakia beti saiatu da inguruan ikusten dituen objetu
eta irudiak marrazten.
Hori dela eta, gainazal batean puntuak, lerroak,
zirkuluak eta beste irudi batzuk marraztu ditu.
Adibidez: harrietan zizelkaturiko lehen petroglifoak,
errenazimenduko pinturak, edo gaur egungo arkitekturan eta ingeniaritzan erabilitako planoa.
Planoa geometriaren garrantzi handiko objetua da;
izan ere, planoaren gainean irudiak marrazten dira.
Puntuak eta zuzenak.
Euklidesek, historiako lehen matematikari handiak,
puntua eta zuzena ,definitu zituen. Bi elementu horiek dira planoaren oinarrizko bi elementuak.
Horregatik, zeruko izar bat puntu baten, hegazkinak
utzitako arrastoa zuzen baten eta gure laneko mahaia plano baten moduan identifikatuko ditugu.
Hori behar dugu geometria lantzeko.
Geometriarekin badugu ondo pasatzeko aukera; izan ere, gure inguruan dauden objetuetan,
elemetu geometriko asko daude.
Eta geometriak informazio baliagarria ematen digu..
Puntua luzerarik eta zabalerarik ez
duen elementua da. Zuzena luzerarik
baduen eta zabalerarik ez duen elementua da.
Trenbidea behatzen badugu, errailak paralelo,,baina infinituan elkar ebakitzen dutela ikusten dugu. Behaketa horrek distantziari buruzko informazioa ematen du.
Bilatu zure inguruan dauden objetu eta propietate geometrikoak.. Askotan harrituta geldituko zara..
Geometria laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 113
Bi puntu lotzeko, modu asko daude, eta aukera horien artean zuzenkia da bereziena; izan ere, motzena da..
Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia.
Har ditzagun planoko bi puntu eta lot ditzagun lerro
batez. Lortzeko modu asko daude, baina badago lerro
bat beste edozein lerro baino motzagoa. Motzena den lerroari zuzenki deritzo.
Puntuak A eta B izendatzen baditugu, biak lotzen
dituen zuzenkia AB moduan izendatuko dugu. Hori dela eta, A eta B zuzenkiaren muturrak dira.
Zuzenkia bi muturretatik mugarik gabe luzatzen badugu, zuzen bat lortzen dugu.
AB zuzenkia mutur batetik bakarrik luzatzen badugu,
zuzenerdi bat lortzen dugu. Adibidez B-tik luzatzen
badugu, A muturra zuzenerdiaren hasiera dela esaten zaio.
Zuzenaren propietateak.
Euklidesek zuzenaren zenbait propietate definitu
zituen. Propietate horiek sinpleak dira, eta ezinbestekoak dira geometría ulertzeko.
Hona hemen horietako batzuk:
1. Bakarra da bi puntuak lotzen dituen zuzena.
2. Edozein zuzenek bi eremutan zatitzen du planoa, eta planoerdi dute izena.
Bakarra da bi puntuak lotzen dituen
zuzena.
Puntu bat zuzenaren gainean ez badago,,planoerdi batean egongo da.
Zuzen batek planoa bi zatitan banatzen du. Zati bakoitzari planoerdi deritzo.
Geometria laua
-
114 MATEMATIKA 1 DBH
Posizio erlatiboak.
Marraz ditzagun plano baten gainean bi zuzen.
Zenbait egoera sor daitezke: besteak beste, zuzen bat
bestearen gainean egon. Hori gertatzen bada, biak
bereiztea ezinezkoa da; hau da, zuzen bera dira eta bi
zuzen horiek bat egiten dutela esaten da.
Bi zuzenak desberdinak badira, bi egoera sor
daitezke. Gerta liteke inoiz ez ukitzea: paraleloak dira. Edo puntu batean elkartzea: ebakitzaileak dira.
Elkar ebakitzen ez duten bi zuzenak
paraleloak dira. Puntu bakar batean
elkar ebakitzen duten bi zuzenak ebakitzaileak dira.
Kanpoko puntu batetik zuzen bati zuzen
paralelo bakar bat marraz diezaiokegu.
Paralelismoa.
Puntu komunik ez duten zuzenak paraleloak dira.
Definizio hori, K.a. III. mendean Euklidesek eman
zuen. Horri esaten zaio 5. Postulatua: kanpoko
puntu batetik zuzen bati zuzen paralelo bakar bat
marraz diezaiokegu.
Erregelarekin eta konpasarekin marraz daiteke
zuzen batekiko paraleloak. Metodoa ondoko marrazkian agertzen da.
Euklidesekin bat etorriz gero, paralelismoa
geometriaren oinarrizko kontzeptu bat da. Hori dela
eta, ezagutzen ari garen geometriari geometria euklidearra deritzo.
Zuzen ebakitzaileak Puntu bakar batean elkar ebakitzen dute.
Geometría laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 115
Perpendikulartasuna
Puntu batean elkar ebakitzen duten bi zuzenek planoa
lau eremutan banatzen dute. Planoa zatitzean
lortutako lau eremuen anplitudeak berdinak badira, zuzenak perpendikularrak direla esango dugu.
Zuzen bat eta haren puntu bat ezagutzen baditugu,
puntu horretatik igaro, eta perpendikularra den
zuzena bakarra da..
Erregelarekin eta konpasarekin marraz daiteke zuzen batekiko perpendikularrak..
Bi zuzenek planoa lau eremu berdinetan
banatzen badute, zuzen horiek
perpendikularrak dira.
ARIKETA ebatziak
1. Marraztu A puntutik igarotzen diren hiru zuzen. Xenbat zuzen gehiago marraz
dezakezu?
Sol Puntu batetik infinitu zuzen marraz daiteke.
2. Marraztu A eta B puntuetatik igarotzen diren bi zuzen. Posiblea al da? Adierazi
zergatia.
Sol A eta B puntuetatik igarotzen den zuzena bakarra da.
3. Marraztu A, B eta C puntuetatik igarotzen den zuzen bat. Nola
kokatu behar dira hiru puntu horiek zuzen bat marrazteko?
Sol Ezinezkoa da. Posiblea izateko lerrokatuta egon behar lirateke.
4. Marraztu honako elementu hauek: AB zuzenkia, C jatorriko
zuzenerdia, zuzenerdi bat B puntutik igaro eta D puntuan jatorria
duena, A-tik igarotzen den zuzena eta A eta C puntuetatik igarotzen
den zuzena
Sol Begiratu Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia orrian.
5. Marraztu A eta B puntuetatik igarotzen den zuzena. Adierazi zuzen horren
puntubat. Adierazi planoerdi desberdinetan dauden bi puntu.(Zuzenak planoa bi
planoerditan banatzen du)
Sol Begiratu Zuzenaren propietateak orrian.
6. Esan ea zuzenak bat egiten duten, paraleloak diren edo
ebatzitzaileak diren..
Sol r eta s paraleloak dira. t zuzena ebakitzailea da r eta s zuzenekin.
C puntutik igaro, eta r zuzenarekiko perpendikularra.
Geometria laua
-
116 MATEMATIKA 1 DBH
Hemen, perpendikularrak eta paraleloak
marrazteko adibideak agertzen dira.
(konpasa eta erregela erabiliz)
Puntu batetik perpendikularra
Puntu batetik paraleloa
ARIKETA ebatziak
7. Marraztu r zuzenarekiko bi zuzen paralelo eta ebakitzaile bat.
Sol Begiratu Posizio erlatiboak orrian.
8. Marraztu r zuzenarekiko paralelo bat, eta s zuzenarekiko
beste paralelo bat. Zer irudi osatzen dute lau zuzen horiek?
Sol Paralelogramo bat osatzen dute.
9. Marraztu zuzen bat: C puntutik igarotzen da, eta r
zuzenarekiko paraleloa da. Erabili erregela eta konpasa.
Sol Begiratu Paralelismoa orrian.
10. Marraztu beste zuzen paralelo bat r zuzenarekiko. Adierazi marraztutako zuzenen
arteko posizio erlatiboa
Sol Zuzena paraleloa da aurreko zuzenarekiko.
11. Marraztu zuzen bat (s): C puntutik igaro, eta perpendikularra r-
rekiko. Erabili erregela eta konpasa.
Sol Begiratu Perpendikulartasuna orrian.
12. Adierazi D puntua (r zuzenaren ez den puntu bat). Marraztu zuzen bat: D-tik
igarotzen da, eta perpedikularra da s-rekiko. Zer erlazio dago marraztutako
zuzenaren eta r zuzenaren artean?
Sol Paraleloak dira.
13. Marraztu hiru zuzen perpendikular r zuzen batekiko. Adierazi hiru zuzen horien
arteko posizio erlatiboa
Sol Hiru zuzenak paraleloak dira.
Geometria laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 117
Erdibitzailea AB zuzenkiaren
perpendikularra da; eta bi zati berdinetan zatitzen du.
2. Zuzenki baten erdibitzailea.
Erdibitzailearen definizioa.
A eta B puntuak ezagutzen baditugu, puntu horiek
lotzen dituen AB zuzenkia marraz dezakegu.
Zuzenki horren erdigunetik pasatzen den eta
zuzenkiaren perpendikularra den zuzenari erdibtzaile deritzo..
Erdibitzaileak zuzenkia bi zuzenki berdinetan zatitzen
du..
Zuzen erdibitzaileak propietate garrantzitsu bat du:
zuzen horren edozein puntutik AB zuzenkiaren edozein puntura dagoen distantzia bera da.
Erdibitzailea nola marraztu.
Aurreko kasuetan bezala, erdibitzailea marrazteko,
erregela eta konpasa erabiliko ditugu.
Horretarako, bi puntu adierazi, eta erregela erabiliz marraztu bi puntuak lotzen dituen zuzenkia.
Mutur baten gainean konpasa jarri, eta ireki beste
muturreraino iritsi arte. Marraztu zirkunferentzia bat. Egizu gauza bera zuzenkiaren beste muturretik.
Lotu marraztutako bi zirkunferentzien ebaki-puntuak.
Lortu duzun zuzenki berri hori hasierako zuzenkiaren
perpendikularra da, eta luzatuz gero, erdibitzaile bihurtzen da.
Zuzenki baten erdibitzailea
Geometria laua
-
118 MATEMATIKA 1 DBH
Puntu baten simetrikoa
Simetria.
Zuzen bat eta kanpoko C puntu bat ezagutzen ditugu.
Honako baldintza hau betetzen duen puntu bat (C’)
bilatuko dugu: CC’ zuzenkia zuzenaren erdibitzailea izango da.
Aurkitutako C’ puntuari C puntuaren simetrikoa
deritzo, eta zuzenari simetría-ardatza.
Simetria mota honi islatze esaten zaio, eta edozein
irudi geometrikoari aplika diezaiokegu. Alegia,
emandako irudiaren erpin guztien simetrikoak
marraztu, eta jatorrizko irudiaren simetrikoa lortu
dugu..
Islatzeak irudi
simetrikoak sortzen
ditu, ispiluak egiten duen antzera
ARIKETA ebatziak
14. Marraztu AB zuzenkia, eta AB-ren erdibitzailea. Horretarako, erabili erregela eta
konpasa.
Sol Begiratu Erdibitzailea nola marraztu orrian.
15. Adierazi puntu bat aurreko ariketan marraztutako erdibitzailean. Neurtu puntu
horretatik zuzenkiaren muturretara zer distantzia dagoen. Zer erlazio dago
distantzia horien artean?
Sol Erdibitzailearen edozein puntutatik AB zuzenkiaren edozein muturretara distantzia bera da.
16. Marraztu AB zuzenkia. Marraztu A eta B puntuen simetrikoak r-
rekiko. Marraztu puntu simetrikoak lotzen dituen zuzenkia. Zer
erlazio dago bi zuzenkien artean?
Sol Zuzenkiak r-rekiko simetrikoak dira, eta luzerak berdinak dira.
17. Marraztu ABC triangelua. Marraztu triangeluaren simetrikoa
zuzenarekiko. Idatzi zer erlazio aurkitu duzun.
Sol Lortutako irudia beste triangelu bat da.
18. Marraztu irudiaren simetrikoa.
Sol Begiratu Simetria orrian.
Geometria laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 119
Angelua hau da: jatorri bera duten bi
zuzenerdik sortzen duten eremuetako
bakoitza.
Angelu motak.
Anplitudearen arabera angelu batzuk bereiztuko
ditugu:
Angelu zuzena: aldeak perpendikularrak ditu.
Angelu laua: angelu hau osatzen dute jatorri bera eta aurkako noranzkoa duten
zuzenerdiek.
Angelu nulua: angelu hau osatzen dute jatorri bera eta bereko noranzko duten
zuzenerdiek.
Angelu zuzenarekin alderatuz gero:
Zuzena baino anplitude txikiagoa duen angelua
zorrotza da. Zuzena bsino anplitude handiagoa,
eta laua baino txikiagoa duen angelua kamutsa da.
Angelu lauarekin alderatuz gero:
Angelu laua baino anplitude txikiagoko angelua
ganbila (konbexua) da. Anplitude handiagoa bada, ahurra (konkaboa) da.
3. Angeluak. Sailkatzea eta
neurtzea.
Angelu baten definizioa.
Plano bat dugu: planoan, A puntu bat, eta puntu
horretan jatorria duten bi zuzenerdi. A puntuari erpin eta zuzenerdi bakoitzari alde esaten zaie.
Bi zuzenerdik planoa bi zatitan banatzen dute.
Hauetako eremu bakoitzari angelu esaten zaio.
Bi eremuak tamaina desberdinekoak izan daitezke.
Tamainari angelu-anplitude esaten zaio. Anplitude
horren arabera angeluak sailka daitezke. Horretarako,
anplitudeak neurtuko ditugu eta haien arteko
erlazioak definituko ditugu.
ZORROTZA
ZUZENA
KAMUTSA
Geometria laua
-
120 MATEMATIKA 1 DBH
Angeluen arteko erlazioak.
Erpin bera eta alde komun bat duten bi angelu ondoz
ondoko angeluak dira, eta anplitude bera badute, berdinak dira.
Angelu zuzen bat osatzen duten ondoz ondoko angeluek angelu osagarriak dute izena.
Angelu lau bat osatzen duten ondoz ondoko angeluek
angelu betegarriak dute izena.
Puntu batean elkar ebakitzen duten bi zuzenek binaka
berdinak diren lau angelu zehazten dituzte. Anplitude
bera duten angelu bikoteak erpinez aurkako angeluak dira.
Bi angelu osagarri eta angelu zuzen bat
baliokideak dira. Bi angelu betegarri eta angelu lau bat baliokideak dira.
Zirkunferentzia bat 360 zati
berdinetan zatituz gero, angeluen unitate neurra lortzen dugu: gradua.
Angelua nola neurtu.
Angelu baten anplitudea neurtzeko unitate moduan
gradua erabiliko dugu, eta "º" ikurraz adieraziko
dugu. Angelu nuluari 0º anplitudea egokitzen zaio, eta 90º angelu zuzenari.
Bi angelu zuzen angelu lau baten baliokideak dira, eta
ondorioz, 180º-ko anplitudea izango du. Lau angelu
zuzenek (edo bi lauk) plano osoa betetzen dute; horregatik, planoaren anplitudea 360º da.
Beste edozein angelu neurtzeko, aipatutako
angeluekin alderatuko dugu. Adibidez: angelu zuzena
bi angelu berdinetan zatituz gero 45º-ko bi angelu
lortuko ditugu. Era berean, hiru zati berdinetan zatituz gero,30º-ko hiru angelu lortuko ditugu.
Angelu osagarriak
Angelu betegarriak
100º
Geometria laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 121
ARIKETA ebatziak
19. Adierazi irudian erpina, aldeak eta angeluak.
Sol Begiratu Angeluaren definizioa orrian.
20. Adierazi irudian angeluak zorrotzak, zuzenak,
kamutsak edo lauak diren.
Sol a laua da, b zorrotza da, c zuzena da eta d kamutsa da.
21. Marraztu honako hauek: angelu kau bat, angelu nulu bat, angelu zorrotz bat,
angelu kamuts bat, angelu ahur bat eta angelu ganbil bat.
Sol Begiratu Angelu motak orrian.
22. Marraztu angelu bat: B puntuan erpina du, eta irudiko angelua
bezalakoa izan behar du.
Sol Bi zuzen marraztuko ditugu: paraleloak angeluaren aldeekiko, eta b puntutik igarotzen dira.
23. Marraztu angelu bat: B puntuan erpina du, DEF angelua
bezalakoa da, eta ABC angeluaren ondoz ondokoa..
Sol Erabili angelu-garraiagailua.
Sistema hirurogeitarra
Angeluen anplitudea zehaztasun handiagoz neurtzeko,
sistema hirurogeitarra erabiltzen da.
Sistema horren arabera, gradu bakoitza 60 zati
berdinetan zatitzen da. Horietako zati bakoitzari
minutu esaten zaio. Era berean, minutu bakoitza 60
zati berdinetan zatituz gero, 60 segundo lortuko
ditugu; beraz, honako baliokidetasun hau lortuko dugu:
1 gradu = 60 minutu = 3 600 segundo
Neurri sistema hori erabiltzen badugu, angelu baten
anplitudea 25 gradu, 31 minutu eta 7 segundo izan
daiteke; eta honela idatziko dugu:
25º 31' 7''
Geometria laua
-
122 MATEMATIKA 1 DBH
ARIKETA ebatziak
24. Adierazi zer angelu diren osagarriak eta betegarriak.
Sol Osagarriak: 37º-koa eta 53º-koa. Betegarriak: 105º-koa
eta 75º.koa.
25. Identifikatu anplitude bereko angeluak. Zer izena dute
angelu horiek?
Sol a eta e angeluak berdinak dira (zuzenak dira); b eta d
ere bai.
26. Adierazi honako angeluak: 30º, 60º, 90º, 45º, 10º, 135º eta 240º.
Horretarako, erabili marrazketarako tresnak.
Sol Begiratu Angelua nola neurtu orrian.
105º
Geometria laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 123
Angelu baten erdikaria
Erdikariak angelua bi angelu
berdinetan zatitzen du
4. Angeluaren erdikaria.
Erdikariaren definizioa.
Angelu baten erdikaria da angelua bi zati berdinetan
banatzen duen zuzenerdia
Angeluaren erdikariak honako ezaugarri hau betetzen
du: erdikariaren edozein puntutik angeluaren edozein aldetara distantzia bera dago.
Erdikaria nola marraztu.
Geometria lauan, oinarrizko tresnekin angelu batean
erdikaria marraz daiteke.
A erpineko angelu bat dugu. Jarri konpasa A
puntuan, eta marraztu angeluaren bi aldeak ebakitzen dituen arku bat (ebaki-puntuak B eta C).
Marraztu honako ezaugarri hauek dituzten bi arku:
aurreko atalean aipatutako ebaki puntuetan dute zentroa, eta erradioa, edozein.
Marraztu zuzen bat: A puntutik pasatzen dena, eta bi
arkuen arteko ebaki-puntutik ere bai. Hori da angeluaren erdikaria..
ARIKETA ebatziak
27. Adierazi angeluen ardikariak
Sol Erdikariak honako hauek dira: b, d eta f.
28. Marraztu angeluaren erdikaria.
Sol Begiratu Erdikaria nola marraztu orrian.
29. Marraztu ondoz ondoko angeluen erdikariak. Zer erlazio dute
erdikari horiek?
Sol Angelu osagarriak badira, erdikariak perpendikularrak dira.
Geometria laua
-
124 MATEMATIKA 1 DBH
Batuketa analitikoa hau da: bi angeluen
anplitudeen arteko batura.
Bi angeluen arteko kenketa
kalkulatzeko, handiaren anplitudearen
eta txikiaren anplitudearen arteko aldea kalkulatu behar da.
5. Angeluen arteko eragiketak.
Angeluen arteko batuketak.
Bi angelu edo gehiago batu daitezke veste angelu bat
sortzeko.
Batuketa analitikoa zein grafikoa egin daiteke.
Batuketa grafikoa egiteko, batu behar diren
angeluak ondoz ondoko posizioan jartzen dira; hau
da, erpina eta alde bat batera, eta bi angeluek bere
barnean hartzen duten angelua bien arteko batura da.
Analitikoa eragiketa egiteko, emandako bi angeluen
anplitudeak batzen dira. Anplitude berri hori angeluen arteko batura da.
Angeluen arteko kenketak.
Kenketa eragiketa, batuketaren moduan analitikoa
zein grafikoa egin daiteke.
Kenketa grafikoa egiteko, erpina eta alde bat batera
marraztuko ditugu, eta handienak txikiena bere
barnean hartuko du. Angelu handiaren eta txikiaren
artean gelditzen den angelua kendura da.
Kenketa analitikoa egiteko, handienaren anplitudeari
txikienaren kentzen zaio.
ADIBIDE BAT
ººº 23597138
ADIBIDE BAT
ººº 87166253
Geometría laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 125
Angelu baten eta zenbaki baten arteko biderketa.
Angelu bat zenbaki batekin biderkatzea da zenbakiak
halako aldiz angelua batzea.
Angelu bat zenbaki arrunt batekin grafikoki
biderkatzeko, angelu bera ondoz ondoko posizioan zenbakiak halako aldiz jartzea da.
Eragiketa analitikoa egiteko, zenbakia anplitudearekin biderkatzen da.
Analitikoki angelu bat zenbaki arrunt
batekin biderkatzeko, angeluaren anplitudea zenbakiarekin biderkatzen da.
Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa.
Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa da
zenbakia halako zati berdinetan zatitzea angelua.
Zatiketa analitikoa egiteko, angeluaren anplitudea zenbakiarekin zatitzen da.
Zatiketa grafikoa egitea zailagoa da, konpasa eta
erregela erabiliz ezin baita beti egin. Hori gertatzen
da, adibidez, angelu bat hiru zati berdinetan zatitzen
saiatzen garenean (angeluaren trisekzioaren
problema famatua); angelu gehienekin ezinezkoa da.
Angelu bat bi zati berdinetan zati daiteke; izan ere,
angelu baten erdikaria da.
ADIBIDE BAT
º:º 2311253
ADIBIDE BAT
ºº 322467
Zatidura zehatza ez bada, beste trena matematiko batzuk behar ditugu Horietako batzuk hurrengo atalean agertuko dira
Geometria laua
-
126 MATEMATIKA 1 DBH
Eragiketak hirurogeitarrean.
Era konplexuan (gradutan, minututan eta
segundotan) adierazitako angeluekin eragiketo,
eszenan ematen diren urratsak emango ditugu (gradu
bat 60 minutu (1º=60') eta 1 minutu 60 segundo(1'=60'').
Hori dela eta, beharrezkoa eta ahal den guztietan, 60
segundo eta 60 minutu elkartuko ditugu 1 gradu eta 1
minutu lortzeko. Era berean, beharrezkoa bada, 1
gradu 60 minutu edo 1 minutu 60 segundo eraldaketak egingo ditugu.
Era konplexuan: graduak, minutuak eta segundoak modu askean eragiten dira.
Angeluen arteko BATUKETA era konplexuan
Hasteko, segundoak batuko ditugu. Batura 60'' edo gehiago bada, minutu bat izango dugu eta gainontzeko segundoak kontuan hartuko ditugu.
Minutuekin eragiketa bera egingo dugu . Batura 60’ edo gehiago bada,
gradu bat izango dugu eta gainontzeko minutuak kontuan
hartuko ditugu..
Bukatzeko, graduak batuko ditugu, eta aurreko urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu.
Angeluen arteko KENKETA era konplexuan
Hasteko, segundoen arteko kenketa egingo dugu. Kenkizuna kentzailearen berdina edo handiagoa bada, zuzenean egiten da. Kenkizuna kentzailea baino txikiagoa
bada, kenkizunatik minutu batkenduko dugu eta segundoei 60’’
batuko dizkiegu, horrela kenkizuna kentzailea baino handiagoa izango da, eta kenketa egingo dugu
Minutuekin prozesu bera; hau da, , kenkizuna kentzailea berdina edo handiagoa bada, zuzenean egiten da. Kenkizuna kentzailea baino txikiagoa
bada, kenkizunatik gradu bat 60’ bihurtuko dugu, horrela kenkizuna kentzailea baino handiagoa izango da, eta kenketa egingo dugu
Bukatzeko, graduen arteko kenketa
egingo dugu, eta aurreko
urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu.
Geometria laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 127
Angelu baten eta zenbaki baten arteko BIDERKETA
Hasteko, segundoak, minutuak eta graduak zenbakiarekin biderkatuko ditugu. Unitate bakoitzaren emaitzarekin honako hau egingo dugu: segundoak 60naka
taldekatuko ditugu (60’’=1’, 120’’=2’...). Minutu horiek beste minutuekin batera jarriko ditugu.
Minutuekin prozesu bera egingo dugu. Minutuak 60naka taldekatuko ditugu (60’=1º, 120’=2º...). Gradu horiek beste graduekin jarriko ditugu, eta aurreko
urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu.
Angelu baten eta zenbaki baten arteko ZATIKETA
Hasteko, graduen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu. Hondarraren graduak minutu bihurtuko ditugu, eta dauden minutuekin batuko ditugu. Hori egin
ondoren, minutuen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu. Hondarraren minituak segundo bihurtuko ditugu, eta dauden segundoekin batuko ditugu. Bukatzeko, segundoen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu.
ARIKETA ebatziak
30. Egin 110º eta 40º angeluen arteko batuketa (modu analitikoa eta grafikoa).
Sol Batuketa grafikoa egiteko, begiratu Angeluen arteko batuketak orrian.
Batuketa analitikoa honako hau da: ººº 15040110 .
31. Egin 163º eta 34º angeluen arteko kenketa (modu analitikoa eta grafikoa).
Sol Kenketa grafikoa egiteko, begiratu Angeluen arteko kenketak orrian.
Kenketa anlitikoa honako hau da: ººº 2934163 .
32. Kalkulatu: a. ºº 3673 ,
b. ººº 11812328 , c. ºº 153722 , d. 590 :º , e. 360180202130 :ºººº
Sol a. ººº 373673 , b. ºººº 2311812328 , c. ººº 189153722 , d. º:º 18590 , e. º:ºººº 150360180202130
33. Kalkulatu 3:20 eta 4:00 orduen artean minutuen orratzak zer angelu egiten duen.
Sol Minutuen orratzak 360º-ko angelua egiten du 60 minututik behin; beraz, minutu
batean 6º . eta 40 minututan 240º.
34. Kalkulatu erloju baten ordu-orratzak zer angelu egiten duen honako ordu tarte
hauetan: 2:00 eta 2:47; 2:34 eta 7:11.
Sol Ordu-orratzak 30º-ko angelua egiten du 60 minututik behin; beraz, minutu batean 0,5º. 2:00 eta 2:47 orduen artean ordu-orratzak 23,5º-ko angelua egiten du; eta
2:34 eta 7:11 orduen artean 138,5º-koa.
Geometria laua
-
128 MATEMATIKA 1 DBH
Praktikatzeko
1. Bi zuzenek puntu komun bat dute.
Zein da zuzenen arteko pisizio
erlatiboa? Bi puntu komun dituzte.
Zein da zuzenen arteko posizio
erlatiboa? Puntu komunik ez dute.
Zein da zuzenen arteko posizio
erlatiboa?
2. m da AB zuzenkiaren erdibitzailea; D
m-ren puntu bat; eta D-tik B-ra
distantzia 525, da. Zer distantzia
dago D-tik A-ra?
3. Sailkatu honako angelu hauek: 0º,
45º, 90, 135º, 180º y 225º
(anplitudearen arabera,angelu
zuzenarekin alderatuz gero eta angelu
lauarekin alderatuz gero).
4. Angelu baten anplitudea 37º da.Zer
anplitude du osagarriak? Eta
betegarriak?
5. Erdikariak planoa lau eremutan
banatzen du. Hasierako angeluak
170º ditu. Kalkulatu lau angeluak.
6. Kalkulatu:: ººº 2412495
7. Kalkulatu: ºº 195273
8. Kalkulatu: 452 :º
9. Kalkulatu:
'''º'''º 4932912328128
10. Kalkulatu: '''º'''º 4756834332330
11. Kalkulatu: 793831 '''º
12. Kalkulatu: 83415117 :'''º
13. Marraztu zuzen perpendikularra zuzen
batekiko. Horretarako, erabili erregela
eta konpasa.
14. Marraztu zuzen paraleloa zuzen
batekiko. Horretarako, erabili erregela
eta konpasa.
15. Marraztu zuzenki baten erdibitzailea.
Horretarako, erabili erregela eta
konpasa.
16. Marraztu angelu baten erdikaria.
Horretarako, erabili erregela eta
konpasa.
17. Marraztu puntu baten simetrikoa
zuzen batekiko. Horretarako, erabili
erregela eta konpasa.
Geometria laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 129
Gehiago jakin
E Euklides maisua
Uklides, askorentzat, historiako lehen matematikari
handia da. Zergatik? Ia ezeretik abiatuta eta matematika-
arrazonamendu (matematika beste zientzietatik bereizten
duen metodo zientifikoa)soila erabiliz, lehen matematika-
diskurtsoa antolatzeko gai izan zen lehen lehen
matematikaria izan zelako.
Geometria-elementuak izeneko liburua-bost ataletan
antolaturik-da haren ekarpen handia. Horretan, puntu,
zuzen, gainazal eta angelu oinarrizko kontzeptuetatik
abiatuta, geometriako bost postulatu famatuak ezarii
zituen. Erreminta xume horiekin garai hartatik gure
garaiara geometriako ia ezagutza guztiak biltzen dituen
“eraikin” handi bat sortu zuen. Gaur egun, ezagutzen
ditugun angelua, zuzena, tiangelua, zirkunferentziako
moduko irudi laua, paralelismoa eta perpendikulartasuna, azalerak eta askoz gehiago berak definitu zituen.
XIX. mendetik aurrera, ordea, matematika modernoaren zenbait
izen handiek Euklidesek markatutako eremua zabaltzeko aukera
izan zuten. Horretarako “Paraleloen postulatua” izenez ezaguna
den 5.postulatua kendu zuten, eta zeharo bestelakoak ziren
mundo geometrikoak topatu zituzten, geometria berri horretan
lerro paraleloak elkartzen ziren, eta triangeluen angeluen batura 180º-tik bestelakoa izan zitekeen.
Jende asko mundo berriaren eta arraroaren aurrean aztoratuta
sentitu zen, baina,, denbora piska bat pasa ondoren, zenbait
kasutan, mundo horiek gure munduarekin espero baina antza
handiagoa izan dute. Informazio gehiago nahi izanez gero, izen
hauetara jo,Riemann, Lobatchevski, Bolyai edo Gauss. Horiek
dira, neurri batean, geometriaren eboluzioaren sortzaileak eta Unibertsoaren sorrerari buruzko teoria berrien bide-urratzaileak.
o
Geometría laua
-
130 MATEMATIKA 1 DBH
Gogora ezazu garrantzitsuena
Zuzenak
Puntuak eta zuzenak geomatria lauaren
oinarrizko elementuak dira.
Lerro zuzena bi puntuen arteko lerrorik motzena da.
Elkar ebakitzen ez duten bi zuzenak
paraleloak dira. Puntu batean elkar
ebakitzen dutenak, berriz, ebakitzaileak dira.
Bi zuzen perpendikularrak dira, planoa
anplitude besdineko lau eremutan zatitzen badute.
Zuzenki baten erdibitzailea zuzen bat da:
perpendikularra zuzenkiarekiko, eta zuzenkia bi zati berdinetan zatitzen du.
A eta B puntuak simetrikoak dira zuzen
batekiko, zuzen hori AB zuzenkiaren erdibitzailea bada.
Ángeluak
Angelua hau da: jatorri bereko bi
zuzenerdik planoa zatitzean sortzen duten
eremu bakoitza. Angeluak hainbat irizpideren arabera sailka daitezke:
anplitudearen arabera: zuzena, llaua, nulua.
angelu zuzenarekin alderatuz: zorrotza, kamutsa.
angelu lauarekin alderatuz: konkaboa (ahurra), konbexua
(ganbila).
Gradua hau da: zirkunderentzia 360 zati
berdinetan egin, eta zati horietako
bakoitzaren anplitudea. Beraz, angelu zuzenak 90º ditu eta lauak 180º ditu.
Angelu bat bi zati berdinetan zatitzen duen
zuzenerdiari angeluaren erdikaria esaten
zaio
Angeluen arteko batuketa eta kenketa
egiteko, anplitudeak batu edo kendu behar dira.
Geometría laua
-
MATEMATIKA 1 DBH 131
Autoebaluazioa
1. Lotu elementu bakoitza
izenarekin.
2. Adierazi zuzenen arteko
posizio erlatiboa.
3. Zuzen bat perpendikularra bada beste biekiko,
zer posizio erlatiboa dute bi zuzen horiek?
4. Zuzen bat perpendikularra da zuzen batekiko,
eta zuzenki hori bi zati berdintan zatitzen du.
Zer izena du zuzen horrek?
5. Adierazi A puntuaren
simetrikoa ardatzekiko (r, s
eta t).
6. Bi zuzen ebakitzaileek zenbat angelutan zatitzen
dute planoa?
7. Kalkulatu 64º-ko angeluaren angelu
oasagarriaren eta betegarriaren anplitudea.
8. Bi angelu betegarriak dira. Zer angelu osatzen
dute angelu horien erdikariek?
9. Kalkulatu:
17º+36º+42º
10. Kalkulatu:
ººº 16531382
Geometria laua
-
132 MATEMATIKA 1 DBH
Praktikatzeko ariketen erantzunak
7. ººº 176195273
8. º:º 13452
9. Emaitza: '''º 121220 .
10. Emaitza: '''º 5635246 .
11. Emaitza: '''º 327221 .
12. Emaitza: '''º 263914 y resto ''6 .
13. Ikusi bideoa (perpendikularra nola
marraztu).
14. Ikusi bideoa (paraleloa nola
marraztu).
15. Ikusi bideoa (erdibitzailea nola
marraztu).
16. Ikusi bideoa (erdikaria nola
marraztu).
17. Ikusi bideoa (simetrikoa nola marraztu).
1. Zuzenak honelakoak izan daitezke:
paraleloak, puntu komunik ez
badute; ebakitzaileak, puntu komun
bat badute; eta bat datozenak, bi
puntu edo gehiago badituzte.
2. D-tik B-ra eta A-ra dagoen
distantzia bera da. Beraz,
525,A,Dd .
3. Sailkapena:
0º ......Nulua ..... Zorrotza . Ganbila
45º .....Zorrotza .. Ganbila
90º .....Zuzena ... Ganbila
135º ...Kamutsa . Ganbila
180º ...Laua
225º ...Ahurra
4. 37º-ko angeluaren osagarria 53º-
koa da; eta betegarria 143º-koa da.
5. Bi angelu 85º-koak eta beste bi
95º-koak.
6. ºººº 1952412495
Bidali jarduerak tutoreari
AUTOEBALUAZIOAREN erantzunak
1. a. zuzenerdi; b. zuzenki; c. rzuzen.
2. a. paraleloak; b. bat datoz; c. ebakitzaileak.
3. Paraleloak dira.
4. erdibitzailea.
5. Simetrikoak ondoko grafikoan agertzen dira.
6. Lau angelutan.
7. Osagarria: 26º-koa.
Betegarria: 116º-koa.
8. Perpendikularrak dira.
9. Emaitza: 95º.
10. ºººº 20716531382 .
Geometria laua
top related