5 sistemas de ecuaciones lineales sel
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales
Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingeniera IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos
Metodos Computacionales
Hermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Contenido
1
Solucion de un Sistema LinealIntroduccionNociones ElementalesSELTeorema de Rouche-Frobenius
Ejemplos2 Metodos Directos
Eliminacion GaussianaEliminacion Gaussiana con PivoteoCotas de Error
Factorizacion LU3 Metodos Iterativos
Metodo de JacobiMetodo de Gauss Seidel
ConvergenciaHermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Introduccion
Aplicaciones de los Sistemas Lineales
La solucion de sistemas lineales de ecuaciones lineales es un temaclasico de las matematicas, rico en ideas y conceptos y de granutilidad en diversas ramas del conocimiento como la biologa,
fsica, psicologa, economa, etc. La resolucion de sistemas de casicualquier numero de ecuaciones (10, 100, 1000, etc) es unarealidad hoy en dia gracias a las computadoras, lo cual proporcionaun atractivo especial a las tecnicas de solucion directa e iterativas.
Una red electrica.
Hermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Introduccion
Aplicaciones de los Sistemas Lineales
La solucion de sistemas lineales de ecuaciones lineales es un temaclasico de las matematicas, rico en ideas y conceptos y de granutilidad en diversas ramas del conocimiento como la biologa,
fsica, psicologa, economa, etc. La resolucion de sistemas de casicualquier numero de ecuaciones (10, 100, 1000, etc) es unarealidad hoy en dia gracias a las computadoras, lo cual proporcionaun atractivo especial a las tecnicas de solucion directa e iterativas.
Una red electrica.
Una red de calles.
Hermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales
S l i d Si Li l M d Di M d I i
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Introduccion
Aplicaciones de los Sistemas Lineales
La solucion de sistemas lineales de ecuaciones lineales es un temaclasico de las matematicas, rico en ideas y conceptos y de granutilidad en diversas ramas del conocimiento como la biologa,
fsica, psicologa, economa, etc. La resolucion de sistemas de casicualquier numero de ecuaciones (10, 100, 1000, etc) es unarealidad hoy en dia gracias a las computadoras, lo cual proporcionaun atractivo especial a las tecnicas de solucion directa e iterativas.
Una red electrica.
Una red de calles.
La ecuacion del calor.
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S l i d Si t Li l Mt d Di t Mt d It ti
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Nociones Elementales
Nociones Elementales de Matrices
a11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
A = [aij] aij : i = i. . . m; j = 1 . . . nA es de orden m n; si m = n A se dice que es una matrizcuadrada. Para matrices cuadradas de orden n:
D = [dij] Matriz diagonal si dij = 0, para todo i= j
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Nociones Elementales
Nociones Elementales de Matrices
a11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
A = [aij] aij : i = i. . . m; j = 1 . . . nA es de orden m n; si m = n A se dice que es una matrizcuadrada. Para matrices cuadradas de orden n:
D = [dij] Matriz diagonal si dij = 0, para todo i= j
Ademas si dii = 1, se llama matriz identidad I.
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Nociones Elementales
Nociones Elementales de Matrices
a11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
A = [aij] aij : i = i. . . m; j = 1 . . . nA es de orden m n; si m = n A se dice que es una matrizcuadrada. Para matrices cuadradas de orden n:
D = [dij] Matriz diagonal si dij = 0, para todo i= j
Ademas si dii = 1, se llama matriz identidad I.U = [uij] es una matriz triangular superior cuando uij = 0,para todo i > j
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
Nociones Elementales
Nociones Elementales de Matrices
a11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
A = [aij] aij : i = i. . . m; j = 1 . . . nA es de orden m n; si m = n A se dice que es una matrizcuadrada. Para matrices cuadradas de orden n:
D = [dij] Matriz diagonal si dij = 0, para todo i= j
Ademas si dii = 1, se llama matriz identidad I.U = [uij] es una matriz triangular superior cuando uij = 0,para todo i > j
L = [lij] es una matriz triangular inferior cuando lij = 0, paratodo i < j
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterativos
SEL
Solucion de un Sistema Lineal
Escribiremos un sistema lineal de m ecuaciones con nincognitas x1, x2, . . . , xn, en la forma
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1,a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2,...
...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
Ax = b
A : Matriz de coeficientes;x = (x1, x2, . . . , xn)T; b = (b1, b2, . . . , nn)
T
Sistema Homogeneo (No Homogeneo): si b=0 (si b= 0)
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Solucion de un Sistema Lineal Metodos Directos Metodos Iterati os
Teorema de Rouche-Frobenius
Definicion (Teorema de Rouche-Frobenius)
Sistema Compatible
Compatible Determinado
Si rang(A)=rang(A|b)=nCompatible Indeterminado
rang(A)=rang(A|b)< nSistema Incompatible
No tiene Solucion
Si rang(A)
= rang(A
|b)
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Ejemplos
Solucion de un Sistema Lineal
Un Ejemplo Incompatible
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Ejemplos
Solucion de un Sistema Lineal
Un Ejemplo Compatible indeterminado
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Ejemplos
Solucion de un Sistema Lineal
Un Ejemplo Compatible indeterminado
Un Ejemplo Compatible determinado
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Ejemplos
Sistema de ecuaciones mal condicionadas
Una pequena desviacion en las entradas de la matriz A, causa unagran desviacion en la solucion.
Ejemplo
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Generalidades sobre metodos directos
Encuentra una solucion en un numero finito de operaciones(enausencia de errores de redondeo) transformando el sistema enun sistema equivalente que sea mas facil de solucionar.
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Generalidades sobre metodos directos
Encuentra una solucion en un numero finito de operaciones(enausencia de errores de redondeo) transformando el sistema enun sistema equivalente que sea mas facil de solucionar.
Triangulares (Superior o Inferior), Diagonales, .
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Eliminacion Gaussiana
Eliminacion Gaussiana
Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangular superior(todos los elementos debajo de la diagonal son cero).
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Eliminacion Gaussiana
Eliminacion Gaussiana
Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangular superior(todos los elementos debajo de la diagonal son cero).
Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistema
triangular superior
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Eliminacion Gaussiana
Eliminacion Gaussiana
Usando Operaciones Elementales por Renglones (OER), lamatriz A es transformada en una matriz triangular superior(todos los elementos debajo de la diagonal son cero).
Sustitucion hacia atras es usada para resolver un sistema
triangular superior
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Eliminacion Gaussiana
Eliminacion Gaussiana
Primer Paso de Eliminacion
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Eliminacion Gaussiana
Eliminacion Gaussiana
Segundo Paso de Eliminacion
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Eliminacion Gaussiana
Eliminacion Gaussiana
Sustitucion Regresiva
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Eliminacion Gaussiana
Algoritmo
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Eliminacion Gaussiana
Ejemplo
Ejemplo
Utilizando Eliminacion Gaussiana resolver:3x1 + 2x2 + 4x3 = 1
x1 + x2 + 2x3 = 24x1 + 3x2 2x3 = 3
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Eliminacion Gaussiana
Ejemplo
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Computadoras usan precision aritmetica finita.
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Computadoras usan precision aritmetica finita.
Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
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Eli i i G i Pi
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Computadoras usan precision aritmetica finita.
Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podran ser muy grandes.
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Eli i i G i Pi t
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Computadoras usan precision aritmetica finita.
Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podran ser muy grandes.
La adicion de numeros de magnitud diferente puede conducira la perdida de significacion.
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Computadoras usan precision aritmetica finita.
Pequenos errores son introducidos en cada operacionaritmetica, propagacion de errores
Cuando los elementos pivotales son muy pequenos, losmultiplicadores podran ser muy grandes.
La adicion de numeros de magnitud diferente puede conducira la perdida de significacion.
Para reducir el error, se realiza intercambio de filas paramaximizar la magnitud del elemento pivotal.
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Pivoteo
Ejemplo (Sin Pivoteo)
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Pivoteo
Ejemplo (Con Pivoteo)
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
Procedimiento con Pivoteo
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Pivoteo por Filas
Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteo parcial.
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Pivoteo por Filas
Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteo parcial.
Busque la columna pivotal.
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Pivoteo por Filas
Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteo parcial.
Busque la columna pivotal.
Encuentre el mas grande elemento en magnitud.
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Pivoteo por Filas
Mas comunmente llamado procedimiento de pivoteo parcial.
Busque la columna pivotal.
Encuentre el mas grande elemento en magnitud.
Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Pivoteo por Filas
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Ejemplo de Pivoteo por Filas
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Pivoteo Completo
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Eliminacion Gaussiana con Pivoteo
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Ejemplo de Pivoteo Completo
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Cotas de Error
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Norma Vectorial
Una norma vectorial en Rn es una funcion ||.||, de Rn en R con lassiguientes propiedades:
||x
|| 0 para todo x
Rn.
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Cotas de Error
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Norma Vectorial
Una norma vectorial en Rn es una funcion ||.||, de Rn en R con lassiguientes propiedades:
||x
|| 0 para todo x
Rn.
||x|| = 0 si y solo si x = (0, 0, ..., 0)t.
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Cotas de Error
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Norma Vectorial
Una norma vectorial en Rn es una funcion ||.||, de Rn en R con lassiguientes propiedades:
||x
|| 0 para todo x
Rn.
||x|| = 0 si y solo si x = (0, 0, ..., 0)t.||ax|| = |a|||x|| para todo a R y x Rn.
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Cotas de Error
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Norma Vectorial
Una norma vectorial en Rn es una funcion ||.||, de Rn en R con lassiguientes propiedades:
||x
|| 0 para todo x
Rn.
||x|| = 0 si y solo si x = (0, 0, ..., 0)t.||ax|| = |a|||x|| para todo a R y x Rn.||x + y| | | |x|| + ||y|| para todo x, y Rn.
Para nuestro proposito solo necesitaremos dos normas especficasde Rn
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Cotas de Error
V Rn
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Vector en Rn
El vector
x =
x1
x2...xn
Se denotara por: x = (x1, x2, . . . , xn)
t
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Cotas de Error
D fi i i
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Definiciones
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Cotas de Error
Ej l
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Ejemplo
Ejemplo
El vector x = (1, 1,2)t en R3 tiene normas||x||2 =
(1)2 + (1)2 + (2)2 = 6
||x|| = max{| 1|, |1|, | 2|} = 2
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Cotas de Error
D fi i i
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Definiciones
Si x = (x1, x2, . . . , xn)t y y = (y1, y2, . . . , yn)
t son vectores en Rn
las distancias l2 y l entre x e y estan definidas por
||x y||2 =
ni=1
|xi yi|21
2
||x
y|| = max1in
|xi
yi|
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Cotas de Error
N M t i i l
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Norma Matricial
Una norma matricial en Rnn es una funcion
||.
||, de Rnn en R
con las siguientes propiedades:
||A|| 0 para todo A Rnn.
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Cotas de Error
Norma Matricial
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Norma Matricial
Una norma matricial en Rnn es una funcion
||.
||, de Rnn en R
con las siguientes propiedades:
||A|| 0 para todo A Rnn.||A|| = 0 si y solo si A es 0.
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Cotas de Error
Norma Matricial
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Norma Matricial
Una norma matricial en Rnn es una funcion
||.
||, de Rnn en R
con las siguientes propiedades:
||A|| 0 para todo A Rnn.||A|| = 0 si y solo si A es 0.
||A
||=
|
|||A
||para todo
R y A
Rnn.
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Cotas de Error
Norma Matricial
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Norma Matricial
Una norma matricial en Rnn es una funcion
||.
||, de Rnn en R
con las siguientes propiedades:
||A|| 0 para todo A Rnn.||A|| = 0 si y solo si A es 0.
||A
||=
|
|||A
||para todo
R y A
Rnn.
||A + B| | | |A|| + ||B|| para todo A, B Rnn.
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Cotas de Error
Norma Matricial
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Norma Matricial
Una norma matricial en Rnn es una funcion
||.
||, de Rnn en R
con las siguientes propiedades:
||A|| 0 para todo A Rnn.||A|| = 0 si y solo si A es 0.
||A
||=
|
|||A
||para todo
R y A
Rnn.
||A + B| | | |A|| + ||B|| para todo A, B Rnn.||AB| | | |A||||B||
Teorema (Norma Matricial)
Si A = (aij) es una matriz de n n, entonces
||A|| = max1inn
j=1
|aij|
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Cotas de Error
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Teorema
Si A es una matriz real de n n entonces[(A
t
.A)]1
2 = ||A||2(A) ||A|| para cualquier norma ||.||
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Cotas de Error
Criterios de Parada
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Criterios de Parada
Una vez fijada una toleracia , para cuando se cumpla uno o variosde los siguientes criterios:
||x(k+1) x(k)|| < ||x(k+1) x(k)||
||x(k+1)|| <
||Ax(k) b|| <
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Cotas de Error
Condicionamiento de un sistema lineal
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Condicionamiento de un sistema lineal
Sabemos que el condicionamiento influye en la calidad de la
solucion de un problema cualquiera. En particular, en el problemade hallar la solucion de un sistema lineal nos encontramos con queal comparar el valor exacto del termino independiente de unsistema con el calculado puede haber discrepancias. En concreto,definiendo el vector residual r en la forma
r = b ben donde b es el valor calculado.
Teorema
Si A es una matriz invertible, se verifica1 ||x x| | | |r||||A1||2||x x|||x|| ||A|||A
1||| ||r||||b||Hermes Pantoja Carhuavilca Resolucion de Sistema de Ecuaciones Lineales
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Cotas de Error
Condicionamiento de un sistema lineal
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Condicionamiento de un sistema lineal
Definicion
Se denomina numero de condicionamiento de una matriz al numero
k(A) = ||A||||A1||
Si k(A) es pequeno, se dice que la matriz A esta biencondicionada, si es grande que A esta mal condicionada.
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Cotas de Error
Ejemplo
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Ejemplo
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Factorizacion LU
Algoritmo de la factorizacion LU
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Algoritmo de la factorizacion LU
Descomposicion de una matriz como producto de dos triangulares
Supongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.
LUx = b, Ly = b, Ux = y
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Factorizacion LU
Algoritmo de la factorizacion LU
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g
Descomposicion de una matriz como producto de dos triangulares
Supongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.
LUx = b, Ly = b, Ux = y
Teorema
Una matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el
algoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonada por filasque sea equivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicaroperaciones elementales ( de filas).
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Factorizacion LU
Algoritmo de la factorizacion LU
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g
Descomposicion de una matriz como producto de dos triangulares
Supongamos que la matriz de un sistema Ax = b se puededescomponer como A = LU, con L triangular inferior y Utriangular superior.
LUx = b, Ly = b, Ux = y
Teorema
Una matriz cuadrada A es factorizable LU si y solo si en el
algoritmo de Gauss para encontrar una matriz escalonada por filasque sea equivalente por filas a la matriz A no es necesario aplicaroperaciones elementales ( de filas).
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Factorizacion LU
Diferentes Formas de Factorizacion
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Factorizacion LU
Forma de Doolitle(Algoritmo)
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( g )
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Factorizacion LU
Forma de Crout
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Calculo de la primera columna de L li1 = ai1
Calculo de la primera fila de U u1j =a1jl11
Calculo alternado de las columnas de L y filas de U
lij = aijj1k=1
likukj j i, i = 1, 2, . . . , n
uij =aij
i1
k=1 likukj
liii j, j = 2, 3, . . . , n
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Factorizacion LU
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Factorizacion LU
Descomposicion de Cholesky
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Descomposicion de Cholesky. Sea A una matriz simetica ydefinida positiva, existe una unica matriz triangular inferior L conlii > 0 tal que
A = LLT
Esto es
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n..
.
..
.
. . ...
.an1 an2 . . . ann
=
l11 0 0 0l21 l22 . . . 0..
.
..
.
. . ...
.ln1 ln2 . . . lnn
l11 l12 . . . l1n0 l22 . . . l2n..
.
..
.
. . ...
.0 0 . . . lnn
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Factorizacion LU
Descomposicion de Cholesky
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Note que
a11 = l211
l11 =
a11
l11 es un numero real positivo ya que a11 > 0 por que A esdefinida positiva.
ai1 = li1l11
li1 =
ai1
l11
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Factorizacion LU
Descomposicion de Cholesky
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Como
aij = li1lj1 + li2lj2 + . . . + lijljj; j = 1, 2, . . . , i 1
luego
lij =
aijj1k=1
likljk
ljj; j = 1, 2, . . . , i
1
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Factorizacion LU
Descomposicion de Cholesky
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Ademasaii = l
2i1 + . . . + l
2ii
lo que implica
lii =
aii
i1k=1
l2ik
12
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Factorizacion LU
Descomposicion de Cholesky-MatLab
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Factorizacion LU
Ejemplo:
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EjemploDada la matriz A
A =
6 15 5515 55 225
55 225 979
Factorizar utilizando descomposicion de Cholesky.
Solucion:
A es simetrica y definida positiva, en efecto:det(6) > 0;
det
6 1515 55
= 105 > 0
det(A) = 3920 > 0
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Factorizacion LU
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Metodos Iterativos
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La ventaja frente a los metodos directos es que son menos
sensibles a los errores de redondeo y esto se aprecia en sistemas deorden elevado donde los errores de redondeo de los metodosdirectos son considerables.
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Definicion de Metodo Iterativo
( )
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Un metodo iterativo construye una sucesion de vectores x(k) tal
que lmk
x(k) = x
siendo x la solucion del sistema Ax = b.
Construccion de un metodo iterativo
Se parte de una aproximacion inicial x(0) y luego se calcula
x(k+1) = F(x(k)) k = 0, 1, . . . ,
donde F se toma de forma lineal: F(x) = Tx + c.
x(k+1) = Tx(k) + c k = 0, 1, . . . ,
La matriz T se denomina matriz de iteracion.
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Diferentes Metodos Iterativos
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Metodo de JacobiMetodo de Gauss-Seidel
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Metodo de Jacobi
Metodo de Jacobi
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El metodo Jacobi es el metodo iterativo para resolver sistemas de
ecuaciones lineales mas simple y se aplica solo a sistemascuadrados, es decir a sistemas con tantas incognitas comoecuaciones.
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Metodo de Jacobi
Metodo de Jacobi
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Metodo de Jacobi
Forma Matricial
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Sea el sistema Ax = b, donde
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
an1 an2 . . . ann
trabajamos sobre la siguiente particion de A:
D =
a11 0 . . . 0
0 a22. .
.
..
.......
. . . 00 . . . 0 ann
, L =
0 0 . . . 0
a21 0 . . . 0... ... . . . ...an1 an2 . . . 0
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Metodo de Jacobi
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U =
0
a12
...
a1n
0 0 . . . a2n...
.... . .
...0 0 . . . 0
De tal forma que:
A = D L U
x(k+1) = D1(L + U)x(k) + D1b
Tj = D1(L + U), Matriz de Iteracion de Jacobi
c = D1b
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Metodo de Jacobi
Ejemplo
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Ejemplo
Sea el sistema
7 68 9
x1x2
=
34
Aproximar la solucion utilizando el metodo de Jacobi. x01 = 0 yx02 = 0
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Metodo de Gauss Seidel
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El metodo de Gauss-Seidel es muy semejante al metodo de Jacobi.Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incognitaspara determinar una nueva aproximacion, en el de Gauss-Seidel se
va utilizando los valores de las incognitas recien calculados en lamisma iteracion, y no en la siguiente.
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Metodo de Gauss Seidel
Metodo de Gauss Seidel
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Metodo de Gauss Seidel
Ejemplo
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Ejemplo
Sea el sistema
7 68 9
x1x2
=
34
Aproximar la solucion utilizando el metodo de Gauss Seidel. x01 = 0y x02 = 0
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Metodo de Gauss Seidel
Forma Matricial
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A = D L U
x(k+1) = (D L)1Ux(k) + (D L)1bTgs = (D L)1U, Matriz de Iteracion de Gauss Seidelc = (D
L)1b
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Convergencia
Convergencia
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Definicion
A es de diagonal estrictamente dominante si para cada fila i secumple:
|aii| >n
j=1;j=i|aij|
Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cadauno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonalprincipal es mayor que la suma de los valores absolutos de loselementos restantes del mismo renglon. A veces la matriz de unsistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuandose cambian el orden de las ecuaciones y las incognitas el nuevosistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmentedominante.
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Convergencia
Teorema
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Si A es una matriz diagonalmente estrictamente dominante,entonces la iteracion de Jacobi y de Gauss Seidel converge paracualquier valor inicial
En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi o Gauss Seidel la matriz noes diagonalmente dominante y por tanto no existira garanta deconvergencia. Sin embargo, en algunos casos sera posible reordenarlas incognitas en otra manera de forma que la nueva matriz decoeficientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectarrevisando todos los posibles ordenamientos de las incognitas y ver
como es la matriz resultante. Claro que esto conlleva un buenonumero de pruebas pues el numero posible de ordenamientos en nvariables es (n 1)! pero cuando n es reducido es sencillo.
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Convergencia
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Definicion (Polinomio Caracterstico)P() = det(A I)
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Convergencia
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Definicion (Polinomio Caracterstico)P() = det(A I)
Definicion (Espectro)
Se llama espectro de la matriz A al conjunto de soluciones dela ecuacion P() = 0
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Convergencia
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Definicion (Polinomio Caracterstico)P() = det(A I)
Definicion (Espectro)
Se llama espectro de la matriz A al conjunto de soluciones dela ecuacion P() = 0
Definicion (Radio Espectral)
Radio espectral de la matriz A: (A) = Max{|
|},
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Convergencia
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TeoremaLa sucesion x(k+1) = Tx(k) + c, para k 0 converge a la solucionunica x = Tx + c si y solo si (T) < 1.
EjemploAnalizar la convergencia del siguiente sistema lineal
x1 + x2 = 3x1 3x2 = 3
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