40, olimpiada internacional 40
Post on 05-Jul-2018
225 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
1/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
1
Problemas de
Las Olimpiadas
Internacionales
e Física
José Luis Hernández Pérez
Madrid 2009
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
2/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
2
XL.- OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. MEXICO. 2009
PROBLEMA 1
EVOLUCI ÓN DEL SI STEM A TI ERRA-LUN A
Los científ icos pueden determinar la distancia entre la Ti erra y la Lunacon gran precisión. Esto se hace enviando un haz de luz láser hacia unosespejos depositados en l a superf icie de la Luna por unos astronautas en1969. Para ello se mide el tiempo del recorr ido de la luz.
Fig.1.- Un haz de láser enviado desde un laboratorio se utiliza para medir conexactitud la distancia entre la Tierra y la Luna.
A par ti r de estas observaciones han determinado que la Luna se al ejalentamente de la Tierra. Esto es, que la distancia Tierra-L una aumentacon el paso del tiempo. La causa se debe a que los momentos de lasmareas en la Tierra transfieren momento angular a la L una (ver f igur a
2).En este problema obtendrá los par ámetros básicos del fenómeno.
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
3/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
3
La gravedad lunar produce “abultamientos” en la Tierra. A causa de la rotaciónde la Tierra la línea que une los abultamientos no esta alineada con la línea queune la Tierra con la Luna. Este hecho produce un momento que transfieremomento angular desde la rotación terrestre a la traslación lunar.
1.-Conservación del momento angular
Se designa con L 1 el momento angular del sistema Tierra-Luna. Sehacen l as siguientes suposiciones:
i) L1 es la suma de la rotación de la Tierra alr ededor de su eje y latraslación de la Luna alr ededor de la Tierra.
i i) La órbita de la Luna es cir cular y puede considerarse como unamasa puntual
iii) Los ejes de rotación de la T ierra y de revolución de la L una sonparalelos.
iv) Con la f inal idad de simpli f icar los cálculos los movimi entos sereali zan r especto del centr o de la Tierra y no del centr o demasas. Además los momentos de inercia, los momentos de lasfuerzas y los momentos angul ares están defi ni dos alrededor deleje terrestr e.
v) Se desprecia la inf luencia del Sol.
1a) Escribir la ecuación del momento angular actual del sistema Tierra- Luna con la sigui ente notación: I E momento de inercia de la Tierra, E1 f recuencia angul ar de rotación actual de la Ti erra, I M 1 momento deinercia actual de la Luna respecto del eje de la Tierra, M 1 f recuenciaangular actual de la L una en su orbita.
Fig.2
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
4/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
4
Teniendo en cuenta la suposición i) la contribución de la Tierra es:E1E ωI .Para calcularla contribución de la Luna recordemos que el módulo del momento es el producto de lacantidad de movimiento de la luna por la distancia al eje de la Tierra
Masa de la Luna *velocidad*distancia T-L=M*v*D=M**D*D=MD2*
M1M1E1E1 ωIωIL
El proceso de transferencia angular final izará cuando el periodo derotación de la Tierra y el per iodo de revolución de la Luna alr ededor dela Tierra tengan la misma duración. Al llegar este momento losabul tamientos producidos por la Luna sobre la Ti erra estarán alineadoscon el eje que une la Ti erra y la L una y el momento desaparecerá.
1b) Sea L 2 el momento angular f inal del sistema Tierra-Luna. Con lasmismas suposiciones anteriores escribir la ecuación de L 2 con lanotación: I E momento de inercia de la Tierra , 2 f recuencia angular dela Tierra y de revolución de la Luna, I M 2 momento de inercia f inal de laLuna
Siguiendo a la ecuación (1), 2M22E2 ωIωIL (2)
1c) Despreciando la contr ibución de la rotación de la Tierra al momento
angul ar f inal , escribir la ecuación que exprese la conservación angularen este problema.
Igualando la ecuación (1) y (2) y despreciando en esta última el término2E ωI , resulta:
2M2M1M1E1E1 ωIωIωIL
2.-Separación final y frecuencia angular final del sistema Tierra-Luna
Suponga que la ecuación gravitacional para una órbita cir cular ( la de laLuna alr ededor de la Tierra) es siempre válida. Desprecie la contr ibuciónde la rotación de la Tierra al momento angular f inal.
2a) Escriba la ecuación gravitacional para la órbita de la Luna alrededorde la Ti erra en el estado final en función de M E , 2 , D 2 distancia f inalTi erra-Luna y la constante de gravitación universal G.
La fuerza centrípeta que actúa sobre la Luna es la fuerza de atracción gravitatoria entrela Luna y la Tierra
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
5/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
5
)4(GMDωD
MMGDωM E
32
222
2
ME2
22M
2b) Escriba la ecuación de la separación final D 2 entr e la Tierra y la
Luna en función de L 1 , M E , M M y la constante de gravitación universalG.En la ecuación (3) sustituimos2 de la ecuación (4)
)5(MMG
LD
DMGDM
DMGI
LD
GMIL
E2M
21
232
E42
2M
32
E2M22
132
EM21
2c) Escr iba la ecuación para l a fr ecuencia angular f inal 2 en f unción deL1 , M E , M M y G.
Sustituimos D2 de la ecuación (5) en la (4).
31
2E
3M
2
61
4E
6M
4
3E
6M
3
61
E2 L
MMGL
MMG
MMGLMG
ω (6)
Después deberá calcular los valor es numéricos de D 2 y 2 , pero an tesdebe deducir el momento de inercia de la Ti erra.
2d) Escriba la ecuación del momento de inercia de la Tierra I E ,suponiendo que es una esfera con densidad inter ior i desde el centrohasta un radio i y una capa exterior de densidad o desde el radio r i hasta la superf icie de radio r o ( ver f igur a 3)
Fig.3La Tierra es una esfera con dos densidades i y o
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
6/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
6
Recordemos la ecuación del momento de inercia de una esfera 2mR 52
Esfera interior
5ii
2ii
3i
2iii
2ii r ρπ15
8r ρr π34
52r ρV
52r m
52
Capa superior
5i5oo5io5oo2ioi2ooT r r ρπ158
r ρπ34
52
r ρπ34
52
r ρV52
r ρV52
oi5i5oo5i5oo5iiE ρρr r ρπ158
r r ρr ρπ158
I (7)
Determi nar los valores numéricos requeridos expr esados con dos cigfrassignificativas
2e) Evaluar el momento de inercia de la Tierra, siendo:m 6 6,4.10 o r y
3 m kg 3 4,0.10 o ρm; 6 3,5.10 i r ;
3 m kg 4 1,3.10 i ρ
237E
456563oi
5i
5ooE
mkg8,0.10I
0,9.103,5.106,4.104,0.10π158
ρρr r ρπ158
I
Las masas de la Ti erra y de la Luna son M E = 6,0.10 24 kg y M M = 7,3.10
22
kg, respectivamente. La separación actual entr e la Tierra y la L unaD 1 =3,8.10 8 m. La fr ecuencia angular de rotación actual de la Tierra
E1 =7,3.10 -5 s -1 . La fr ecuencia angular actual de la r otación de la Luna
alrededor de la Tierra M 1 =2,7.10 -6 s -1 y la constante de Gravitación
universal G=6,7.10 -11 m 3 kg -1 s -2 .
2f ) Evaluar el momento angular total del sistema L 1 .
Ecuación (1)
12341
62822537M1M1E1E1
smkg3,4.10L
2,7.103,8.107,3.107,3.108,0.10ωIωIL
2g ) Encontrar la separación f inal D 2 en metros y en un idades de laseparación actual D 1 .
Ecuación (5)
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
7/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
7
1,43,8.105,4.10
DD
m5,4.106,0.107,3.106,7.10
3,4.10MMG
LD 8
8
1
28
2422211
234
E2M
21
2
2h) Encontrar la f recuencia angular fi nal 2 y la dur ación del día f inalen unidades del día actual
días4686400
1ω2π
T
s1,6.103,4.10
6,0.107,3.106,7.10L
MMGω
2
16334
224322211
31
2E
3M
2
2
Verif icar que la suposición de no considerar la contribución de la Tierra
al momento angul ar f inal está justif icada obteniendo que la relaciónentr e el momento angular f inal de la Tierra al de la L una es unacantidad pequeña.
0,0038
5,4.107,3.10
8,0.10DM
8,0.10ωIωI
x 2822
37
22M
37
2M
2E
3.-¿Cuánto se separa la Luna cada año?
Ahora debe encontrar cuánto se separa la L una de la Tierra cada año.Para ello necesitar conocer el momento que actúa ahora sobre la Lun a.Se supone que los abul tamientos se pueden aproximar por dos masaspuntuales , cada una de valor m, localizadas en la superficie de laTierra( ver figura 4). Sea el ángulo entr e la l ínea que une losabultamientos y la que une el centr o de la Tierra con el centro de laLuna.
Fig.4
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
8/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
8
Esquema válido para calcular el momento producido sobre la Luna por las masasm situadas sobre la Tierra. El dibujo no está hecho a escala.
3a) Encontrar F c , el módulo de la fuerza producido sobre la Luna por lamasa puntual más cercana.
En la figura 5, FC representa la fuerza de atracción gravitatoria entre la Luna y mc. La
distancia xc se obtiene aplicando el teorema del coseno: cos θDr 2Dr 1o212o
cosθDr 2Dr mM
Gx
mMGF
1o21
2o
M2C
MC (8)
3b) Encontrar F f , el módulo de la fuerza producido sobre la Luna por lamasa pun tual más lejana.
cos θDr 2Dr
mMG
cosδDr 2Dr
mMG
x
mMGF
1o212o
M
1o212o
M
2f
M
f (9)
Ahor a puede evaluar los momentos producidos por las masas puntuales.
3c) Encontrar el módulo de C , que es el momento producido por l a masamás cercana.
Observando la figura 5 se deduce que Fc tiene una componente vertical dirigida en elmovimiento de la Luna de módulo FC sen
1CC DβsenFτ
Fig.5
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
9/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
9
En el triángulo O mC L aplicamos el teorema de los senos
θcosDr 2Dr
θsenr βsen
r βsen
xθsen
1o21
2o
o
oC
(10)
θcosDr 2Dr
θsenDmr GMτ
cosθDr 2Dr
Dθsenr θcosDr 2Dr
DmMGDβsenFτ
23
1o21
2o
1oMC
1o21
2o
1o
1o21
2o
1M1CC
3d) Encontrar el módulo de f , que es el momento producido por l a masamás lejana.
Observando la figura 4 se deduce que Ff tiene una componente vertical dirigida en elmovimiento de la Luna (sentido contrario a la anterior) de módulo Ff sen
1f f DsenFτ
En el triángulo O mf L aplicamos el teorema de los senos
θcosDr 2Dr
θsenr
θcosDr 2Dr
δsenr sen
r sen
xsen
1o21
2o
o
1o21
2o
o
of
(11)
θcosDr 2Dr
θsenDmr GMτ
cosθDr 2Dr
Dθsenr θcosDr 2Dr
DmMGDsenFτ
23
1o21
2o
1oMf
1o21
2o
1o
1o21
2o
1M1f f
3e) Encontr ar el módulo del momento total producido por las dosmasas. Puesto que r o
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
10/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
10
23
o123
o12
3
1
1oM
23
o1123
o11
1oM
23
1o21
23
1o21
1oMf C
θcosr 2D
1
θcosr 2D
1
D
θsenDr mGMτ
θcosr 2DD
1
θcosr 2DD
1θsenDr mGMτ
cosθDr 2D
1
cosθDr 2D
1θsenDr mGMτττ
Los términos
1
o
23
1
1
o
23
1
2
3
1
o
23
1
2
3
o1D
θcosr 31
D
Dθcosr 2
23
1
D
Dθcosr 21
D
θcosr 2D
1
1
o
23
1
1
o
23
1
23
o1D
θcosr 31
D
Dθcosr 2
23
1
D
θcosr 2D
1
Los llevamos a .
21
22o
1
o
23
1
23
11oM
1
o
1
o23
1
2
3
11oM
D
θcosr 91
D
θcosr 6
D
DθsenDr mGM
Dθcosr 31
1
Dθcosr 31
1
D
DθsenDr mGMτ
En la última ecuación
1D θcosr 91 21
22
0 Finalmente el momento vale
31
2oM
31
2oM
D2θsenr mGM3
Dθcossen θr mGM6
τ
3f) Cal cule el valor numérico del momento total , tomando =3º ym=3,6.10 16 kg (observe que esta masa es del or den 10 -8 de la masa de la
Tierra)
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
11/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
11
m N4,1.103,8.10
6ºsen6,4.103,6.107,3.106,7.103D
2θsenr mGM3τ 16
38
26162211
31
2oM
3g) Puesto que el momento está relacionado con el momento angular ,calcular el aumento de la distancia Tierra-L una a lo lar go de un año.
Expresar el momento angular de la L una en función de M M , M E , D 1 , yG.
Igualamos la fuerza centrípeta actual con la fuerza de atracción gravitatoria
31
E212
1
ME1
21M D
GMω
DMM
GDωM
El momento angular actual de la Luna es: 1EM3
1
E21M111M1LMM DGMMD
GMDMDDωMDvML
segundocada por m1,09.106.106,7.107,3.10
3,8.104,1.102
GMM
Dτ2
dtdD
dtdD
D21
GMMdtDd
GMMdt
dLτ
9
241122
816
EM
11
121
1EM
2
1
1EM
M
Al cabo de un año cm3,4m0,034864003651,09.10ΔD 9
F inalmente determinar el aumento que experimenta un día cuandotr anscurre un año.
3h) Encontr ar l a disminución de E1 por año y el alargamiento de un díaactual cuando transcur re un año.
En el apartado 3g se deduce que la Luna se aleja de la Tierra cada año aumentando sumomento angular, como en el sistema Tierra-Luna el momento debe conservarse, esnecesario que la Tierra pierda momento angular.
11422E1
22
2624
16
E
E1E1EE1E
s1,3.108640036510.2,4Δω
10.2,46,4.106,0.10
52
4,1.10Iτ
dtdω
dtdω
IωIdtd
τ
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
12/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
12
13
2624
216
2
oE
2E1
E1
2E1E1
E12E1
E1E1
E1E1
EE1
E
5.10
6,4.106,0.105
2
2π
3600244,1.10
r M5
2
2π
TτI2π
Tτdt
dT
dtdT
T1
I2πT1
dtd
I2πT
π2dtd
Idt
dωIτ
s1,6.10864003655,0.10ΔT 513E1
¿Dónde va la energía?
En contr aste con el momento angular que se conserva, la energía totaldel sistema (rotacional más gravitacional) no lo hace.
4a) Escribir la ecuación de la energía total E en f u nción de I E , E1, M M ,M E , D 1 y G.
2M1
21M
2E1E
1
ME2L1M
2E1E
1
ME ωDM21
ωI21
DMM
GωI21
ωI21
DMM
GE
Igualamos la fuerza centrípeta de la Luna con la fuerza de atracción gravitatoria
31
E2
M121
ME
1
2
M1M DGM
ωDMM
GDωM
2E1E
1
ME31
E21M
2E1E
1
ME ωI21
D2MM
GD
GMDM
21
ωI21
DMM
GE
4b) Escribir la ecuación para el cambio de E en función de los cambiosen D 1 y E1 . Calcular el valor numérico del cambio de E, E, a lo largode un año, uti l izando los valores de los cambi os de D 1 y E1 obtenidos enlos apartados 3g y 3h.
dt
dωωI
dtdD
D2MGM
ωdtd
I21
D1
dtd
D2MM
GdtdE E1
E1E1
21
ME2E1E
11
ME
sJ
2,9.103,0.100,11.10dtdE
4,2.107,3.106,4.106,0.1052
1,09.103,8.102
7,3.106,0.106,7.10dtdE
121212
2252624928
222411
J9,1.10864003652,9.10ΔE 1912
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
13/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
13
Comprobar que esta pérdida de energía está de acuerdo con unaestimación de la energía, en forma de calor , en l as mar eas producidaspor l a Luna sobre la Tierra. Se supone que la elevación promedio de lasmareas es de 0,5 m sobre una capa de agua de profundidad h=0,5 m que
cubre de forma uniforme toda la superficie de la Tierra (esto es unasimpl if icación del pr oblema). Las mar eas ocurren dos veces cada día.Además se supone que el 10% de la energía gravi taci onal se disipa enforma de calor cuando el n ivel de la marea desciende.Densidad del agua =10 3 kg m -3 g = 9,8 m s -2 .
4c) ¿Cuál es la masa de la capa de agua?
El volumen del agua es h4ππV 2o
La masa de agua kg2,6.10100,56,4.10π4ρhr π4VρM 173262
oagua
4d) Calcul a la energía disipada en un año. Compare el valor encontradocon la energía perdida por año por el sistema actual Tierra-Luna.
Energía potencial adquirida por el agua en la pleamar
J9,3.10.1036520,59,82,6.10ghME 2017agua
El 10% de la energía anterior aparece en forma de calor.
J9,3.10E 19calor
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
14/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
14
PROBLEMA 2
ENF RIAM I ENTO CON L ÁSER Y MEL AZA ÓPTICA
El objetivo de este problema es desarrollar un teoría senci lla paraentender el deno minado “enfriamiento láser” y “melaza óptica” . El temaes el enf riamiento de un haz de átomos neutros, en general alcali nos, porhaces de láser con la misma frecuencia. Esto forma parte del pr emioNobel de F ísica otorgado a S. Chu , P. Phi ll ips y C. Cohen-Tannoudji en1997.
La imagen superior muestra un átomo de sodio ( la mancha brillante delcentr o) atrapada en l a intersección de tr es pares de láseres ortogonalesopuestos. La región de confinamiento se denomina “melaza óptica” acausa de que la fuerza óptica disipativa se parece al rozamiento viscosode un cuerpo que se mueva a través de una melaza.En este problema analizará los fundamentos del fenómeno de lainteracción entre un fotón incidente sobre un átomo y las bases delmecanismo disipativo en una dimensión.
Parte I.-Fundamento básico del enfriamiento por láser
Considerar un átomo de masa m desplazándose por el eje x positi vo conuna velocidad v. Por senci llez, solamente consideramos el problema enuna dimensión, ignoramos las direcciones y , z (ver f igur a 1). El átomoposee dos niveles de energía, el estado más baj o se considera con valor
cero y el estado exci tado con energía o ωh , siendo π 2 h
h . E l átomo se
encuentra inicialmente en su estado más bajo de energía.Un haz de láser con f recuencia L en el labor atorio moviéndose endirección – x incide sobre un átomo. El láser se compone de un gr annúmero de fotones de energía Lωh y momento q h - . Un átomo absorbe
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
15/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
15
un f otón y después lo emi te de forma espontánea; esta emisión ocurrecon la misma probabilidad en el senti do +x que – x.Dado que el átomo se desplaza con velocidad no relativista v/c
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
16/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
16
Si el receptor se acerca a la fuente, como es el caso, es negativo .El desarrollo enserie de la función anterior y limitándonos a potencias de primer grado conduce a
cv
1ωω Lo
1b) Escribir el momento p at del átomo después de l a absorción visto desdeel laboratorio.
La cantidad de movimiento del sistema átomo-fotón antes de la absorción es igual a lacantidad de movimiento del átomo después de la absorción
(1)mqh
vv´mv´m´v´c
ωhmv pqhmv Lat
Como
2
2
0
cv1
mm y no se consideran más que términos de primer grado m =mo y por
lo mismo m =m´=mo.
1c) Escribir la energía total del átomo at después de la absorción vistodesde el laboratorio.
Según el principio de conservación de la energía
atL2 εωhmv
21
2.-Emisión espontánea de un fotón en el sentido – x
Un ti empo después de la absorción del f otón i ncidente, el átomo puedeemiti r un fotón en la dir ección x y senti do – x.
2a) Escribir la energía del fotón emi tido f t después del proceso deemisión en el sentido – x, visto desde el laboratorio.
Dado que el fotón se mueve en sentido – x.
mcqh
cv
1cv
1ωc
mqh
v1ω
cv´
1ωωL
ooft
Si 1vmqh según el enunciado y dado que v
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
17/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
17
2b) Escri bir el momento del fotón emitido p ft después del pr oceso deemisión en el sentido – x, visto desde el laboratorio.
El momento del fotón es igual a su energía divida por c.
cωh
p L-
ft
2c) Escribir el momento del átomo p at después del pr oceso de emisión enel sentido – x, visto desde el l aboratorio.
Conservación del momento
mvc
ωhqhmv p
cωh
pm
qhvm
cωh
pmv´ L-atL-
atL-
at
2d) Escribir la energía del átomo at después del proceso de emisión en elsentido – x, visto desde el laboratorio.
Como la cantidad de movimiento del átomo es pat=mv , su energía vale
22at-
at mv21
2m p
ε
3.-Emisión espontánea de un fotón en el sentido +x
Un ti empo después de la absorción del f otón i ncidente, el átomo puedeemitir un fotón en la dir ección x y sentido +x.
3a) Escribir la energía del fotón emi tido f t después del proceso deemisión en el sentido +x, visto desde el l aboratorio.
Dado que el fotón se mueve en sentido +x.
mcqh
cv1
cv1ω
cm
qh
v1ωcv´1ωω
Looft
Si 1vmqh según el enunciado y dado que v
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
18/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
18
3b) Escri bir el momento del fotón emitido p ft después del pr oceso deemisión en el sentido +x, visto desde el laboratorio.
El momento del fotón es igual a su energía divida por c.
cv
21cωh
p Lft
3c) Escribir el momento del átomo p at después del pr oceso de emisión enel sentido +x, visto desde el laboratorio.
Conservación del momento
qh2-mv
c
ωhqhmv p
c
ωh p
m
qhvm
c
ωh pmv´ Lat
Lat
Lat
3d) Escribir la energía del átomo at después del proceso de emisión en elsentido +x, visto desde el laboratorio.
Como la cantidad de movimiento del átomo esat p =mv qh2 , su energía vale:
qh2vmv
21
2mqh4mvqh4vm
2mqh2mv
2m p
ε 2222222
atat
4.-Emisión promedio después de la absorción
La emisión espontánea de un fotón en los sentidos – x y +x ocurr en con lamisma probabili dad
4a) Escr ibir la energía promedio de un f otón emi tido después del procesode emisión.
cv
1ωhcv
ωhωh2cv
21ωhωh
2εε
ε LLL
LLftft
ft
4b) Escribir el momento promedio de un fotón emi tido después delproceso de emi sión.
0c
vωh2
cv
21cωh
cωh
2 p p
p 2L
LL
ftftft
4c) Escribir la energía promedio del átomo después del proceso deemisión.
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
19/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
19
qhv2
mv2
qhv22
mv2
mv
2εε
ε2
22
attattat
4d) Escribir el momento promedio del átomo después del proceso deemisión.
qhvm2
qh2vmvm2
p p p atat
5.-Transferencia de energía y momento.
Suponiendo solamente un pr oceso completo de absorción – emisión, talcomo se ha descrito, exi ste un momento promedio neto y una energía tr ansferida entre la radiación láser y el átomo.
5a) Escribir el cambio promedio de energía del átomo después de unproceso completo de absorción-emisión de un fotón.La energía del átomo en un principio antes de absorber el fotón es: 2mv
21
La energía promedio del átomo después de la absorción-emisión de un fotón es, tal
como se ha calculado en el apartado 4c: qhvmv21 2 .
c
ωhvqhvmv
2
1qhvmv
2
1Δε L22
5b) Escribir el cambi o promedio del momento p del átomo después deun proceso completo de emisión-absorción de un f otón.
El momento del átomo en principio es: p = mv
El momento promedio del átomo después de la absorción-emisión es:, según localculado en 4d: qhmv .
cω
hqhmvqhmvΔp L
6.-Energía y momento transferido por un haz de láser que se desplazaen la dirección x y sentido +x.
Considerar ahora que un haz de láser de fr ecuencia ,ω L incide sobre un
átomo a lo largo del sentido +x, mi entr as que el átomo se desplaza en elsenti do +x con una velocidad v. Suponiendo l a condición de resonancia
entr e la tr ansición interna del átomo y el haz de láser visto desde el átomo.
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
20/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
20
Vamos a hacer todos los cálculos anteriores pero con el fotón incidiendo en el sentido+x. Al lado de cada cálculo aparece una numeración con prima para poder compararcuando el fotón incide de izquierda a derecha con cuando lo hace de derecha a izquierda
1a)´ Resonancia:
cv
1ωω 'Lo
1b)´ Momento del átomomq´h
vV´mV́ pq´hmv at
1c)´ Energía del átomo at'L
2 εωhmv21
Emisión del fotón eje – x
2a)´ Energía del fotón :
c
2v1ω
c
v1
c
v1ω
c
qhv1
c
v1ω
c
V1ωω ´L
´L
´´L
´
oft
cv
21ωhε ´Lft
2b)´ Momento del fotón:cωh
ccv
21ωh p
´L
´L
ft
2c)´ Momento del átomo
cωh
2mv pcωh
pmqh
vmcωh
pmV´L
at
´L
at
´´L
at´
2d)´ Energía del átomo
vqh2mv21
2mc
ωhvm
42m
cω
h4
m2vm
m2 p
ε´
2
´L
2
2´´L2
222
atat
Emisión del fotón eje +x
3a)´ Energía del fotón
´Lft
´L2
2´L
´L
´´L
´
oft
ωhε
ωcv
1ωcv
1cv
1ωc
qhv1
cv
1ωc
V1ωω
3b)´ Momento del fotón:c
ωh p
´L
ft
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
21/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
21
3c)´ Momento del átomo
vm p pqhmqh
vmcωh
pmV atat´
´´L
at´
3d)´ Energía del átomo:
2222atat vm2
1
m2
vm
m2
p
ε
Energía promedio después de la absorción
4a)´ Energías promedio de un fotón:
cv
1ωh2
ωhc
2v1ωh
2εε
ε ´L
´L
´L
ftftft
4b)´ Momento promedio del fotón
02
cω
hc
ωh
2 p p
p
´L
´´L
ftftft
4c)´ Energía promedio del átomo.
vqhmv
2
1
2
mv21
vqh2mv21
2
εεε ´2
2´2
atatat
4d)´ Momento promedio del átomo
´´
atatat qhmv2
mvqh2mv2
p p p
6a) Escribir el cambio promedio de energía del átomo después de unproceso completo de absorción-emisión de un fotón.La energía del átomo en un principio antes de absorber el fotón es: 2mv
2
1
La energía promedio del átomo después de la absorción-emisión de un fotón es, tal
como se ha calculado en el apartado (4c)´: q´vhmv21 2 .
vc
ωhq´vhmv
21
q´vhmv21
Δε,L22
6b) Escribir el cambi o promedio del momento p del átomo después deun proceso completo de emisión-absorción de un f otón.
El momento del átomo en principio es: p = mv
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
22/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
22
El momento promedio del átomo después de la absorción-emisión es:, según localculado en (4d)´: ´qhmv .
cω
hqhmvqhmvΔp,L,,
Parte II.-Disipación y los fundamentos de la melaza óptica
La Naturaleza impone una inherente incertidumbre a los procesoscuánti cos. Así el hecho de que el átomo pueda emiti r un fotón de formaespontánea un ti empo f inito después de la absorción, conlleva que lacondición de resonancia no se verif ique exactamente como se ha hechoen l os apartados anter iores. Esto signi fica que la frecuencia de los hacesde láser Lω y
,ωL puedan tener cual quier val or y aún así el proceso de
absorción-emisión puede verificarse. Esto sucede con diferentesprobabilidades y tal como se esperaba, la máxima p robabilidad sucedecuando se verif ica la condición de resonancia. El tiempo promedio entreun úni co proceso de absorción y consiguiente emisión se denomi na vidamedia del estado exci tado y se designa por 1 Γ .Considerar un colectivo de átomos en reposo en el sistema de referenciadel laboratorio y un haz de láser de f recuencia Lω que incide sobre ellos.Los átomos absorben y emi ten fotones de forma continua, pero existe unpromedio N exc de átomos en estado exci tado ( y por consiguiente N-N exc ,
de átomos en el estado f undamental ). Los cálculos de la mecánicacuántica ll egan al siguiente resul tado
2 Ω2 4
2 Γ ωo ω
2 ΩN exc N
R L
R
Donde o ω es la frecuencia de resonancia de la tr ansición entr e los dos
niveles de los átomos, R Ω es la llamada frecuencia de Rabi;2 ΩR es
proporcional a la intensidad del haz de láser . Tal como se ha i ndicadoanteriormente el número de átomos exci tados es disti nto de cero auncuando o ω sea diferente de Lω .Un cami no para expresar el número deprocesos de absorción-emisión por unidad de ti empo es Γ N exc .Considerar la situación de la f igur a 2 en la cual dos haces de láser , encontrapropagación con la misma pero con cualquier f recuencia Lω ,inciden sobre un gas de N átomos los cual es se desplazan con velocidadv en la dir ección x y senti do +x.
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
23/35
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
24/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
24
Γc
ωh
Ω24
Γcv
ωωω
Ω NF L
2R
22
LLo
2R
x)(
La fuerza neta es:
2
R
22
LLo2R
22
LLo
2R neta
Ω24
Γcv
ωωω
1
Ω24
Γcv
ωωω
1ΓqhΩ NF
7.- Límite a baja velocidad
Suponer ahora una velocidad suficientemente pequeña con el f in deobtener l a fuerza en f unción de la primera potencia de v.
8a) Encontrar el valor de la fuerza neta con esta condición
Para manejar con mayor comodidad la ecuación anterior hacemos:
AΩ24
Γ;Bωω 2R
2
Lo
AcvωBA
cvωB
cvωB4
ΓqhΩ NF
AcvωBA
cvωB
cvωB2
cvωB
cvωB2
cvωB
ΓqhΩ NF
AcvωBA
cvωB
AcvωBA
cvωB
ΓqhΩ NF
AcvωB
1
AcvωB
1ΓqhΩ NF
2
L
2
L
L2R neta
2
L
2
L
L2
22L
2L2
22L
2
2R neta
2
L
2
L
2
L
2
L
2R neta
2
L
2
L
2R neta
El denominador de la ecuación anterior
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
25/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
25
A
cv
ω2BAcv
ω2BAcv
ω2cv
ωBAcv
ω2cv
ωB L2
L2
L2
22L
2L2
22L
2
Hacemos PAB2
2
2R
22
L0
2222
22L
2LL Ω24
ΓωωABP
cv
ω4Pcv
ω2Pcv
ω2P
Llevando lo a la Fneta.
2
2R
22
Lo
Lo22
R 2
2R
22
Lo
L2R
neta
Ω24
Γωω
vωωΓqhΩ N4
Ω24
Γωω
cv
BωΓqhΩ N4F
Utilizando le resul tado anterior se pueden encontr ar l as condiciones deaumentar l a velocidad, disminuir la o no modif icar la de los átomos poracción del haz de luz láser.
8b) Expresar l a condición para obtener fuerza positiva, esto es, aumentarla velocidad.
El signo de a ecuación anterior está determinado por Lo ωω .Para aumentar lavelocidad la Fneta debe ser positiva, por tanto, la condición es oL ωω .
8c) Expresar la condición para obtener f uerza cero
LoLo ωω0ωω
8d) Expresar la condición para obtener fuerza negativa, esto es,aumentar l a velocidad
Lo ωω
8e) Considerar que los átomos se mueven con velocidad – v ( en elsentido – x). Escribir la condición para obtener una fuerza que disminuyala velocidad de los átomos.
Para el haz de láser que se desplaza desde la izquierda hacia la derecha, la frecuencia
que “ven” los átomos es :cv
ωωcv
1ω LLL
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
26/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
26
Para el haz de láser que se desplaza desde la derecha hacia la izquierda la frecuencia
que “ven” los átomos es : cv
ωωcv
1ω LLL
Si comparamos con los cálculos anteriores nos encontramos en la misma situación, portanto, la condición es la misma que en 8d):
Lo ωω
9.- Melaza óptica
En el caso de una fuerza negativa se obtiene una fuerza disipativas porfricción. Suponer que ini cialmente t=0, el gas de átomos posee unavelocidad v o .9a) En el lími te de bajas velocidades encontrar la velocidad de los átomosdespués de que el haz de láser haya actuado un tiempo .
La ecuación del apartado 8a se puede escribir como:
mβ
evvvv
lnτmβv
ov vdv
dtτ
mβ
vdv
dtmβ
dtdv
mvβ
Ω24
Γωω
vωωΓqhΩ N4F
0o
2
2R
22
Lo
Lo22
R neta
o
9b) Admiti r que el gas de átomos se encuentra en equi libr io térmico auna temperatura T o . Encontr ar la temperatura T después de que el haz deláser haya actuado un ti empo .
Aplicando el principio de equipartición de la energía en una sola dimensión
mkT
vmv21
kT21
;m
kTvmv
21
kT21 22o2
o20o
Llevando estos valores a la ecuación de la velocidad del apartado 9a.
τmβ2
eTTτm
βe
mkT
mkT
oo
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
27/35
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
28/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
28
10 -15 m para que a esta distancia aparezcan fuerzas nucleares atractivasque superen a las repul sivas. Para llegar a esa distancia es precisovencer l a fuerza de repul sión de Coul omb. Suponer que los dos protonesson masas puntuales y que se desplazan uno al encuentro del otro con
una velocidad v rms , l a velocidad cuadr ática media, en una colisiónfrontal unidimensional.
1a) Determinar la temperatura del gas, T c , para que la distancia deaproximación entre los dos protones d c sea igual a 10 -15 m. Dar elresul tado con dos cif ras signi ficativas.
Los dos protones cuando se encuentran muy alejados poseen cada uno la energía
cinética 2rms p vm21 , a medida que se acercan su energía cinética disminuye pues aparece
energía potencial eléctrica, el máximo acercamiento supone que desaparece la energía potencial convertida en potencial eléctrica
c
2
o
2rma p d
qεπ4
1vm
21
2
De acuerdo con la teoría cinética
K 5,4.10108,9.101,4.10π12
1,6.10dεk π12
qT
dq
επ41
kT23
2vm21
kT23
9151223
219
co
2C
c
2
oC
2rms pC
2.- Comprobando que la temperatura anterior está equivocada.
La comprobación de si l a temperatura anterior es corr ecta, se necesita unmétodo independiente para deducir la temperatura de la estr ella. Laestructura de las estr ellas es muy compl icada pero podemos acercarnos aCompr enderla haciendo algunas suposiciones. Las estr ellas están en
equi libri o no se expanden ni se contraen debido a que la fuerzagravitator ia actuando hacia dentro está equi librada con la fuerza depresión hacia fuera (ver f igura 2). Para una cor teza de gas la ecuaciónde equi librio hidrostático a una distancia r del centro de la estr ella estádada por la siguiente ecuación
2 r
r ρr M G
r Δ ΔP
P es la presión del gas, G la constante de Gravitación, M r masa de laestrella dentr o de una esfera de radio r , y r la densidad del gas en l acorteza.
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
29/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
29
Fig.2.- Las estrellas están en equilibrio hidrostático con las diferencias de presiónequilibrando la gravedad .
Un or den de magnitud de la temperatura de la estrella se puede calcularutil izando los parámetros del centro y superf icie de la estr ella haciendolas siguientes aproximaciones:
c P o P ΔP , P c y P o son l as presiones en el centro y en la superf icie dela estr ella, dado que P c >>P o se puede suponer que c P ΔP Con igual aproximación r =R, R es el radio total de la estrella
M,R M r M M masa de la estrella
c ρr ρ , la densidad se considera la del centro.Se supone que la presión es la de un gas ideal .
2a) Encontrar la ecuación de la temperatur a en el centro de la estrella T c en función del radio y masa de la estr ella y de las constantes f ísicas.
En la ecuación hacemos las aproximaciones del enunciado.
R cρMG
cP2R
cρMG
R cP
2r
r ρr MG
r ΔΔP
(1)
En la estrella existen el mismo número de protones que de electrones y.XP es el número
de protones. La teoría cinética establece para la presión de un gas ideal:Tk N pV
N es el número total de partículas, N=2 XP
VTX
k 2PTX2VP cPccPc k
La densidad es igual a:
p
cPP pePP pc m
ρV
XVmX
VmXmX
volumenmasaρ
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
30/35
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
31/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
31
Recordemos que la longitud de onda asociada a una partícula es:vm
hλ , aplicada al
protón en las condiciones del problema
rms p
p
vm
hλ
Según el principio de equipartición de la energía
c p
p
rms p
Pc
p
c2rms
2rms pc
Tk 3m2
mh
vm2
h
2
λ d
mTk 3
vvm21
kT23
En el apartado 1a) hemos visto que
22o
2
p4
c p
222o
2
c2
p4
2C
po
c p2
co
2
c hk επ24
mqT
mhk επ144
Tk m6qT
mhk επ12
3kTm2q
dk επ12q
T 2
3b) Calcul ar el valor numérico de T c obtenido en el apartado 2a)
K 69,7.102346,6.10231,4.10
2128,9.102π24
271,7.104191,6.10
hk oεπ24
pmqcT 222
4
3c) Con el valor de T c del apartado 2a) encontr ar el valor numérico deM /R de una estrell a, uti li zando la formula obtenida en 2b).Verif icar queeste valor es simi lar a la r azón M Sol /Radi o Sol .
mkg
2,4.101,7.106,7.10
9,7.101,4.102mGTk 2
R M 21
2711
623
p
c
2,12,4.102,9.10
R M
R M
mkg
2,9.107,0.102,0.10
R M
21
21Sol
Sol
218
30
Sol
Sol
De hecho las estr ellas de la denomi nada secuencia pri ncipal (las quefusionan hidrógeno) aproximadamente siguen la relación anterior paraun elevado rango de masas.
4.- La relación entre la masa y el radio de las estrellas
Los resul tados anter iores sugieren que el tr atamiento mecanocuánticopara estimar la temperatura del centro de las estr ellas es corr ecto.
4a) Util izando los resul tado obtenidos anteriormente demostrar que para
las estrellas que fusionan hidrógeno l a relación entr e la masa M y el
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
32/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
32
radio R, depende únicamente de constantes f ísicas. Encontr ar laecuación M /R para l as estrellas que fusionan hidrógeno.
En la primera de las siguientes ecuaciones
22o
2
p4
c hk επ24
mqT ;
p
c
mGTk 2
R M
Despejamos22
o2
4
p
c
hk επ24q
mT y lo sustituimos en la segunda:
22o
2
4
22o
2
4
hεGπ12q
hk επ24q
Gk 2
R M
5.- La masa y el radio de las estrellas más pequeñas
El resul tado encontr ado en 4a) sugiere que p ueden exi sti r estr ellas decualquier masa con tal de que cumplan la relación anterior y esto no escierto.El gas interi or de las estrellas normales que fusionan hidrógeno secomporta aproximadamente como un gas perfecto. Esto signi fica que d e ,la separación entr e electrones, es en promedio mayor que e , su longitud
de onda de De Broglie. Con mayor detal le los electrones podr ían estar enun estado llamado degenerado y las estr ellas podrían compor tar se demanera muy dif erente. Observe la distin ta manera de tratar losprotones y electrones dentro de la estrella. Para los protones sus ondas deDe Brogli e podrían solaparse y dar lugar a fusionarse mientras quepara los electrones su onda de De Br oglie no deben solaparse paraseguir compor tándose como un gas ideal.La densidad de las estr ellas aumenta a medida que disminuye el radio.Sin embargo para estas magni tudes estimadas se supone que la densidades un iforme. Debe tener en cuenta que m p >> m e .
5a) Encontrar una ecuación para n e , densidad promedio de los electronesdentro de la estr ella.
En el apartado 2a) hemos designado con X p el número de protones de una estrella que asu vez es el número de electrones. La masa de la estrella es:
pPeP pP mXmXmXM
La densidad promedio de los electrones es:
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
33/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
33
p33
p pe
mR π34
M
R π34
X
V
Xn
5b) Encontrar una ecuación para d e , la separación entr e los electronesdentro de la estr ella.
Imaginemos que un electrón se encuentra en el centro de un cubo de lado de pegado a élexiste otro cubo con un electrón en su centro la distancia entre los electrones es de. Elvolumen de cada cubo es 3ed , como existen X p electrones
3n1
dn1
mπR 34
M1
mM
πR 34
XV
ddXVe
ee
p3 p
3
p
3e
3e p
5c) Utili ce la condición2
e λe d para encontr ar la ecuación del radio
de las estrellas nor males más pequeñas. Considere la temperatura delcentro de la estr ella como típica para todo el interior estelar .
Calculamos el radio más pequeño, utilizando la relación21e
e
2
λ d .
De acuerdo con De Broglieee
e vmh
λ 2e
2e
22e2
e vmh
2λ
d
c2e
2
e
c2e
22e
e
c2e
2eec Tk m6
h
mTk 3
2m
hd
mTk 3
vvm21
kT23
En 5b) hemos deducido
3
2
32
p23
232
2e
3
1
31
p31
31
3
p3
3
ee
M
mR π34
d
M
mR π34
mR π34
M
1n1
d
de
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
34/35
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
34
De la ecuación32
p32
32
32
c32
32
32
p
c
p
c
mG
R Tk 2M
mGR Tk 2
MmGTk 2
R M
A partir de las tres últimas ecuaciones
41
c43
e21
p21
21
43
41
23
21
e32
34
p32
32
3
1
3
1
c23
2
34
e
31
31
c2
32
32
34
p34
32
32
ce
2
32
32
c32
32
32
p32
32
p23
232
TmGmπ34
6
k h2R
mGmπ34
6
k Th2R
m6k Th
2
GmR π34
Tk m6h
R Tk 2
mGmR π34
En la última ecuación sustituimos Tc obtenida en el apartado 3a).
21
41
21
o21
41
41
p41
c22o
2
p4
c
hk επ24
mqT
hk επ24
mqT
21
45
p43
e
21
o2
21
43
21
41
41
p43
e21
p21
21
43
21
41
21
o21
41
23
21
41
Gmmq
εh
34
6
224R
mqmGmπ34
6
hk επk h224R
Vamos a reducir el factor numérico
2
14432
3432
2432
34
6
224 41
21
41
21
43
41
43
21
41
21
21
43
43
21
41
41
41
21
43
21
41
21
45
p43
e
21
o2
Gmmq2
εhR
El valor de R anterior es el de la estrella más pequeña.
5d) Encontrar el valor numérico del radio de la estr ella normal máspequeña posible, expresando el r esultado en metr os y en unidades delradio del Sol.
m6,9.106,7.101,7.109,1.101,6.102
8,9.106,6.10
Gmmq2
εhR 7
21
1145
2743
3119
21
12234
21
45
p43
e
21
o2
Sol8Sol7 R 0,1
m7,0.10R m6,9.10R
-
8/15/2019 40, Olimpiada Internacional 40
35/35
35
5e) Encontrar el valor numérico de la masa de la estr ella normal máspequeña posible, expresando el resultado en kg y en unidades de masasdel Sol.
En la ecuación p
c
mG
Tk 2
R
M , sustituimos el valor de22
o2
p4
c
hk επ24
mqT
234112122
419
22o
2
4
22o
2
p4
p 6,6.106,7.108,9.10π12
1,6.10hGεπ12
qhk επ24
mq
mGk 2
R M
Sol30Sol29
2972121
M0,09kg2,0.10
Mkg1,7.10
R M
kg1,7.10m6,9.10mkg
2,4.10Mmkg
2,4.10R M
6.- La fusión de núcleos de helio en las estrellas más viejas
Una estrella es vieja cuando ha convertido la mayoría de su hidrógenodel núcleo en helio. La estrella para seguir brillando ha de converti r elheli o en elementos más pesados. Un núcleo de heli o tiene dos protones ydos neutr ones, por tanto, su carga es doble de la del protón y su masacuatr o veces mayor. Hermos visto que la condición para fusionarse los
protones es: 2 p λ
c d .
6a) Con una condición equivalente para el helio, encontr ar l a v r sm delhelio y la T H e para que ocurra su fusión.
HeHe
He
HeHe
HeHe
HeHe
Tk m6
h
mTk 3
m2
h
vm2
h
2
λ d
Cuando dos núcleos de helio se acerquen a la distancia de su energía cinética se haconvertido en potencial eléctrica.
hεπ
q2v
h
vm2q
επ1
d
4q
επ41
dq
επ41
vm21
2o
2 p
HeHeHe
2 p
oHe
2 p
oHe
2He
o
2HeHe
sm
2,0.106,6.108,9.10π
1,6.102
hεπ
q2v 63412
219
o
2 p
He
K6,5.101 4 1032,0.101,7.104
k3
vm4
k3vm
Tvm21
kT23
823
26272He p
2
HeHeHe2HeHeHe
top related