3.- tipos de matrices y propiedades
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Mg. Carlos De Souza FerreyraLLaque
Definición de Algunos tipos de matrices Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su
utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1Xn.
Ejemplo
11 12 13 11 12 132 3 5 = a a a ; a =2, a =3, a =5 A
Matriz columna:
Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x1.
Ejemplo
11
21 11 21 31
31
a 4
6 = a ; a =4, a =6, a =-1
-1 a
A
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos
casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, ó n x n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz
cuadrada, y los elementos aijcon j=i+1la diagonal secundaria.
Ejemplo
3 6 7
5 8 5
-1 0 4
B
, los elementos de la diagonal principal son 3, 8 y 4, los elementos de la
diagonal secundaria son 6 y 5
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se
obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la
segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nx m.
Ejemplo
Matriz simétrica:
Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji ,i j .
Ejemplos
Matriz antisimétrica:
Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji ,i j .
Esta implica que aii =0 i
Ejemplos
Atendiendo a los elementos
Matriz nula Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplos
La matriz
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
es la matriz nula de orden 3.
La matriz0 0 0 0
00 0 0 0
es la matriz nula de orden 2x4
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal
principal son nulos.
Ejemplos
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Ejemplos
Matriz unidad o identidad:
Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Ejemplos
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de
la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij
Ejemplo
matriz triangular superior
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir,
aij
Ejemplos
matriz triangular inferior.
Propiedades de la trasposición de matrices 1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2. (At)t = A.
3. (AB)t=Bt At
4. (AB…C)t = Ct…Bt At
Propiedades del producto de matrices
1.A·(B·C) = (A·B)·C
2.El producto de matrices en general no es conmutativo.
Ejemplo
1 1 1 2 4 6
5 3 3 4 14 22
y
1 2 1 1 11 7
3 4 5 3 23 15
Los resultados son diferentes, aunque puede haber casos en donde si sean
iguales.
3.Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
In es la matriz identidad de orden n.
4.El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es
decir: A·(B + C) = A·B + A·C
1. (AB)t=Bt At
2.(AB…C)t = Ct…Bt At
Consecuencias de las propiedades
1.Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0.
Ejemplo
2.Si A·B=A·C no implica que B = C.
Ejemplo
El resultado de ambos productos es la matriz 0
3.En general (A+B)2 A2 + B2 +2AB, ya que A·B B·A.
4.En general (A+B)·(A–B) A2–B2, ya que A·B B·A.
Matriz periódica
Sea Anxn se dirá que A es una matriz periódica de periodo p, si p es el menor entero positivo
talque Ap+1 = A
Ejemplo
1 0 0
1 0 0
1 0 0
A
es periódica de periodo 2, porque 2 3, A A pero A A ,
3 = p+1 , entonces p=2
Observación: La secuencia de las matrices 2 3 4 5 6, , , , , ,...... A A A A A A
Será 2 2 2, , , , , ,...... A A A A A A
Matriz Idempotente
Sea Anxn se dirá que A es una matriz Idempotente Si 2A A , esto es si A es una matriz
periódica de periodo 1.
Ejemplo
1 0 0
1 0 0
1 0 0
A
, 2A A , esto hace que 3A A , 4A A
Observación: La secuencia de las matrices 2 3 4 5 6, , , , , ,...... A A A A A A
Será , , , , , ,...... A A A A A A
Matriz nilpotente Sea Anxn se dirá que A es una matriz nilpotente de índice p, si p es el menor entero
positivo talque Ap=0, nota Ap-1 0
Ejemplo
1 5 -2
1 2 -1
3 6 -3
A
Es nilpotente de índice 3,
2 3
0 3 -1 0 0 0
0 3 -1 0, 0 0 0 0
0 9 -3 0 0 0
A A
Matriz Ortogonal
Una matriz cuadrada A es ortogonal si A At = I ó si At A= I
Nota: A At = I AtA= I
Ejemplo2 -11
1 25A
,
Matrices conmutables
Dos matrices cuadradas del mismo orden A y B son conmutables si AB=BA
Ejemplo
1 1 2 1/ 3
3 4 1 3A B
1 1 2 1/ 3 3 10 / 3
3 4 1 3 10 13
2 1/ 3 1 1 3 10 / 3
1 3 3 4 10 13
Entonces
1 1 2 1/ 3 2 1/ 3 1 1
3 4 1 3 1 3 3 4
AB BA
Matrices anticonmutables
Dos matrices cuadradas del mismo orden A y B son anticonmutables si
AB = - BA
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