3 semana componentes rectangulares bidimensionales

Facultad de Ingeniería Mecánica, Aeronáutica, Automotriz y Software

MECÁNICA TEÓRICA I MECÁNICA TEÓRICA I

COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA

En muchos problemas es convenientedescomponer una fuerza en doscomponentes perpendiculares entre sí.

La fuerza F se descompone en una

componente Fx a lo largo del eje X, y en

otra componente Fy a lo largo del eje Y,

el paralelogramo trazado es un rectángulo, y las fuerzas Fx y

Fy se llaman componentes rectangulares de la fuerza F.

Los ejes X y Y se suelen elegir paralelasa la dirección horizontal y vertical, figura superior, sin embargo pueden elegirse dosdirecciones cualesquiera perpendiculares entre sí, y las fuerzas componentes estaránsobre las direcciones seleccionadas.

VECTORES UNITARIOS

Los vectores unitarios, son vectores de magnitud unitaria y se representan por: i y j, y están dirigidos a lo largo de los ejes positivos de X y Y. respectivamente, y se representa y escribe de la siguiente manera:

Donde Fx y Fy son las componentes escalares de la fuerza F,

mientras que Fx y Fy son las componentes vectoriales de la

fuerza F, y para evitar confusiones se llaman simplemente componentes de la fuerza F.Se representa con F a la magnitud de la fuerza F, y con θ al ángulo entre F y el eje x positivo en sentido contrario a las

manecillas del reloj y se expresa como: Fx = F cos θ Fy =

F sen θ. θ = 0 – 360º

)0,1(jy)1,0(iDonde:

jy

Fix

FFLuego:

jy

FyFyix

FxF

PROBLEMA 1:

Una fuerza de 1000 N se ejerce sobre unperno A, como se muestra en la figura.Determine las componentes de la fuerza F.

SOLUCIÓN:

Calculamos el valor del ángulo θ y luegodescomponemos la fuerza en sus

componentes Fx y Fy:

θ = 180º - 35º = 145ºLuego:

Fx = F cos θ = - F cos α

Fx = 1000 cos 145º = - 1000 cos 35º

Fx = - 819,1520 N

Fy = + F sen θ = + F sen α

Fy = + 1000 sen 145 = + 1000 sen 35

Fy = + 573,5764 N.

Luego las componentes vectoriales de F serán:Fx = - (819,1520 N) iFy = + (573,5764 N) jLuego se escribe:F = - (819,1520 N) i + (573,5764 N) j

PROBLEMA 2:

Un hombre jala una cuerda atada a unedificio con una fuerza de 400 N como semuestra en la figura.Determine las componentes horizontal yvertical de la fuerza F ejercida por el hombre.

SOLUCIÓN:

Realizamos el diagrama de fuerzas con losdatos del prob. y descomponemos la fuerza

en sus componentes Fx y Fy:

Fx = F cos θ = F cos α: (α: 4to cuadrante)

Fx = + 400 cos α

Fy = F sen θ = - F sen α

Fy = - 400 sen α

En la figura superior por Pitágoras calculamos la hipotenusa:

AB2 = 92 + 122 AB = 15 cos α = 12/15 sen α = 9 /

15

Luego:

Fx = + 400 cos α = 400 x 12 / 15 = 320 N

Fy = - 400 sen α = - 400 x 9 / 15 = - 240 N

Y se escribe: F = (320 N) i - (240 N) j

Cálculo del ángulo de dirección de la fuerza F:

323º323,1301ºθ36,8699º360ºθ

(*):En

37º36,8699º)320240

(1tg)xFyF

(1tgα

(*)α360ºθ360ºθαxFyF

αtg

PROBLEMA 3:

Una fuerza F = (700 kg) i + (1600 kg) j; se aplica a un perno A. Determine la magnitud de la fuerza y el ángulo θ que forma con la horizontal.

SOLUCIÓN:

Primero dibujamos el diagrama de las doscomponentes rectangulares y el ángulo θ. De la figura observamos que:

tg θ = Fy / Fx = 1600 kg / 700 kg = 16 / 7

θ = tg -1 (16 / 7) = 66,3706º

Cálculo de la fuerza F:

1.Por Pitágoras:

2.Por trigonometría:

kg1746,4249216002700F

kg1746,428266,3706ºsen

kg1600θsenyF

FFyF

senθ

ADICIÓN DE FUERZAS SUMANDO SUS COMPONENTES X y Y

Las fuerzas deben sumarse aplicando la Ley del paralelogramo, las reglas del triángulo y polígono. Cuando se van a sumar tres o más fuerzas, la fuerza resultante se obtiene mediante una solución analítica, descomponiendo cada una de las fuerzas en sus componentes rectangulares, como veremos en seguida:

Considere tres fuerzas P, Q y S que actúan sobre unapartícula A. Hallar su resultante R de las fuerzas.

SOLUCIÓN:

Definimos que la resultante R = P + Q + S

Descomponemos éstas fuerzas en sus componentes rectangulares tenemos lo siguiente:

j)y

Sy

Qy

(Pi)x

Sx

Qx

(Pjy

Rix

R

jy

Six

Sjy

Qix

Qjy

PixPj

yRi

xR

De donde se tiene que:

De forma más breve sería:

De lo que podemos concluir:

Por Pitágoras:

yS

yQ

yP

yR

xS

xQ

xP

xR

y

Fy

Rx

Fx

R

jy

Rix

RR

2y

R2x

RR

PROBLEMA 1:

Cuatro fuerzas actúan sobre un pernoA, como se muestra en la figura.Determine la resultante de las fuerzas sobre el perno A.

SOLUCIÓN:

Las componentes en X y Y, de las fuerzasse determinan por trigonometría, comoobservamos en la figura siguiente:

Donde los componentes hacia:La derecha y arriba son positivos,La izquierda y abajo son negativos,

Lo que plasmamos en el siguiente cuadro:

FUERZAS

MAGNITUD

(N)

COMPONENTE EN X(N)

COMPONENTE EN Y(N)

F1 200 + 173,2051 + 100

F2 100 - 34,2020 + 93,9693

F3 130 0 - 130

F4 160 + 154,5481 - 41,4111

Rx = + 293,5512 Ry = + 22,5582

Luego la Resultante R de las cuatro fuerzas es:

La magnitud y dirección de la resultante lo podemos ver en el triangulo mostrado:

Luego la resultante R es:

Por Pitágoras:

j)N22,5582(i)N293,5512(R

jy

Rix

RR

j)N22,5582(y

Ri)N293,5512(x

R

4,3943º)293,551222,5582

(1tgαN293,5512N22,5582

xRyR

αtg

N294,41724,3943ºsen

N22,5582αseny

RR

Ry

Rαsen

N294,41672N)(22,55822N)(293,55122y

R2x

RR

PROBLEMAS:

3.1. Determine:a.Las componentes de la resultante en X y Y0 de las fuerzas que se muestran en la figura.b.La resultante de las fuerzas que se muestran en la figura.c.Cálculo de la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas.

3.2.Determine:a. Las componentes en X y Y de las fuerzas que se muestran

en la figura.b. La resultante de las fuerzas que se muestran en la figura.c. La dirección de la resultante

3.3.El cilindro hidráulico BD ejerce una fuerza P sobre el elemento ABC, dicha fuerza está dirigida a lo largo de la línea BD. Si se sabe que P debe tener una componente de 800 N perpendicular al elemento ABC, determine:a. La magnitud de la fuerza P,b. La componente paralela a ABC,c. Cálculo de la fuerza Q.

3.4.Para el collarín mostrado determine:a. El valor requerido de α si la resultante de las fuerzas

mostradas es vertical,b. La magnitud de la fuerza resultante,c. La dirección de la resultante de fuerzas.

3.5.Determinar:a. La tensión requerida en el cable AC, si se sabe que la

resultante de las tres fuerzas ejercidas en el punto C del aguilón BC es 140 kg, debe estar dirigida a lo largo de BC,

b. La magnitud y la dirección de la resultante de las fuerzas

3.6.Determinar:a. La magnitud de la resultante de las fuerzas y el ángulo que

define su dirección, si se sabe que α = 40º