2_teoria de elasticidad
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Ing. David Córdova Rojas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica
TEORIA DE ELASTICIDAD APLICADA A LA
MECANICA DE ROCAS
SID
AD
UN
IVE
R
GE
SC
BO
IAN
IER
718 6R
ONNA
IA
NT
IE
CI AL
DE
LA
ET IN
La teoría de la elasticidad está restringida a materiales sólidos, con las
siguientes propiedades elásticas idealizadas:
TEORIA DE ELASTICIDAD APLICADA A LA
MECANICA DE ROCAS
INTRODUCCION
Isotropia
Homogeneidad
Continuidad
Linearidad entre esfuerzo y deformación (Ley de
Hooke)
-
-
-
-
El modo más simple de relacionar los esfuerzos y las deformaciones es por
linearidad directa. Esta es la base fundamental de la teoría de elasticidad , la
cual postula un medio elástico en la cual todas las deformaciones son
instantáneamente y totalmente recuperables, cuando se renueven los esfuerzos.
Un medio elástico es una idealización de las propiedades del material.
Cuando el material es menos ideal (incluyendo las rocas) habrá menor
recuperación que la recuperación total. Por consiguiente es necesario, en las
consideraciones de reacción de la roca bajo acción de las cargas, definir
inicialmente su elasticidad y compararlo con el ideal, a fin de definir las
limitaciones de análisis por la teoría elástica.
Aparte de un cambio en la
convención de signos, no hay diferencia
en los efectos de compresión o tensión
sobre la deformación elástica, excepto
que en compresión (tomado como
positivo), el límite de la deformación
elástica (eL) es considerablemente mayor
que en tensión. Desde que en materiales
frágiles, este límite representa el punto
de fractura o “resistencia” (s) del
material, ésta tiene una considerable
importancia en rocas.
En un medio elástico el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación
(Figura 1) y los dos están linealmente relacionados en la ley de Hooke: E = s/e ,
donde “E” es una constante conocida como el “módulo de elasticidad o módulo
de Young” en una dirección simple.
Relaciones Esfuerzo/Deformación en un medio elástico
-sc
eL
-s
s
t
eeL
Tensión negativa
Comprensiónpositiva
Pendiente E
Es/e
Figura 1: Relación esfuerzo/deformación
Si consideramos un cubo cargado verticalmente, como se necesita en la Figura 2,
se asume que, como consecuencia de esta carga, la roca es libre para expandirse
lateralmente y se comporta elásticamente como la mayoría de las rocas más
duras a niveles de esfuerzo debajo de su resistencia compresiva. La dimensión
vertical disminuirá por una cantidad w, mientras que la dimensión lateral
aumentará por una cantidad u = v.
a
Z
YX
sZ
sZ
w
uv
Figura 2
La deformación unitaria vertical (lineal) será ez = w/a , aplicando la ley de Hooke:
ez = sz /E ; mientras que la deformación lateral será ex = ey = - u/a . La relación
inversa entre la deformación en la dirección del esfuerzo aplicado y la
deformación inducida en una dirección perpendicular constituye otro parámetro
importante en la teoría elástica denominada “relación de Poisson” n ; es decir
Entonces, la deformación lateral estará relacionado al esfuerzo vertical del
siguiente modo:
El “modulo de Young” y la “relación de Poisson” son propiedades del material
referidas como “constantes elásticas”, para una típica roca dura E varía en el
rango de 5 a 15 x 106 lb / plg2 (35 – 105 x 103 Mpa) y v varía de 0.15 - 0.30.
z
y
z
x
e
e
e
en
Ev z
yx
see
Si en vez de tener libertad para deformarse lateralmente el cubo de roca es
contenida en la dirección X, por la aplicación de un esfuerzo normal sx, las
deformaciones lineales serían:
Por el principio de superposición, las deformaciones normales resultantes en el
cubo, sujeto a esfuerzos sx, sy y sz uniformemente distribuidos en los lados,
serán:
zxy
xzz
yzxx
E
E
1
0E
1
ssn
e
nsse
snsse
yxzz
xzyy
zyxx
E
1
E
1
E
1
ssnse
ssnse
ssnse
para
……… Ecuación 1
Si el cubo estuviera sometido a tres esfuerzos compresivos principales s1 , s2 y
s3 las deformaciones principales e1 , e2 y e3 asumiendo elasticidad serían:
Considerando una cara del cubo o elemento rectangular, paralelo a los ejes XY,
sobre el cual actúan esfuerzos de corte txy y tyx , los esfuerzos normales sobre
los lados del otro elemento rectangular a 45º del elemento original son:
xy'y'x tss
Módulo de rigidez G
2133
1322
3211
E
1
E
1
E
1
ssnse
ssnse
ssnse
Figura 3: Diagrama de deformación
para la derivación de la relación entre
E y G.
Desde que sx’ y sy’ son iguales en magnitud pero de signo opuesto, el
alargamiento del segmento OB es igual al acortamiento de OA.
El ángulo ABC disminuirá en magnitud al aplicar el esfuerzo de corte txy . Esta
disminución puede ser calculada del triángulo OBA.
Y'
t
Y
X'
B'B
C'C
xy
A
X
O
y'
yxt
xyt
yxt
A'
45°
s
sx'
Después de la aplicación de los esfuerzos:
De la ecuación (1) y los valores de sx’ y sy’ dados, las deformaciones ex’ y ey’serán:
Para una pequeña expansión la será:
'x
'yXY
1
1
24Tan
'OB
'OA
e
e
xy
'x'x'y'y
xy'x
'y'x'x
E
1
E
1
E
1
E
1
E
1
E
1
tnsn
nsse
tnsn
nsse
24tan
2
xyXY
21
21
2tan4tan1
2tan6tan
24Tan
xy
xy
xy
xyxy
A partir de las cuatro ecuaciones anteriores se puede obtener la siguiente
relación:
Simplificando esta ultima ecuación tenemos:
donde
Las consideraciones para el esfuerzo de corte tyz y tzx resultan de manera similar
a la ecuación (2). Luego, las relaciones entre los componentes de esfuerzo de
corte y deformación de corte son:
G se denomina “MODULO RE RIGIDEZ” o MODULO DE CORTE. Las 6 relaciones
de las ecuaciones (1) y (4) enlazan los componentes del esfuerzo a los
componentes de la deformación y son conocidos como las ecuaciones de las
leyes de Hooke para un sólido isotrópico.
XY
XY
xy
xy
E11
E11
21
21
tn
tn
GE
12 XYXYXY
tt
n
n
12
EG
G,
G,
Gzx
zx
yz
yz
xy
xy
t
t
t
……… Ecuación 3
……… Ecuación 2
……… Ecuación 4
Una de las invariantes de los esfuerzos y de las deformaciones, respectivamente
son:
Siendo “e” la dilatación. A partir de las ecuaciones (1) y usando las ecuaciones
(5) y (6) tenemos:
Para un campo de esfuerzos hidrostático P :
Por consiguiente la ecuación (7) será:
Donde K es el módulo bulk o de expansión (o compresibilidad).
zyx
zyx
e eee
sss
n
E
21e
Pzyx sss
Módulo de Bulk o expansión (o compresibilidad) K
……… Ecuación 5
……… Ecuación 6
n
n
213
EK
K
PP
E
213e
……… Ecuación 7
……… Ecuación 8
……… Ecuación 9
Las 6 relaciones de las ecuaciones (1) y (4) pueden también ser escritos en
término de las deformaciones, luego:
zz
yy
xx
E1
Ee
211
E
E1
Ee
211
E
E1
Ee
211
E
nnn
ns
nnn
ns
nnn
ns
zxzxyzyzxyxy12
E,
12
E,
12
E
nt
nt
nt
La cantidad vE/(1+v)(1-2v) es conocida como la constante de LAMÉ (l). Usando l y
G las ecuaciones (10) quedarían así:
zxzxzz
yxyxyy
xyxyxx
G,G2e
G,G2e
G,G2e
tels
tels
tels
……… Ecuación 10
……… Ecuación 11
Las relaciones esfuerzo/deformación de las ecuaciones (1) y (4) son algunas
veces escritas como:
Se puede notar que para un material isotrópico hay solo 2 constantes elásticas
independientes. Si cualquiera de los dos son conocidas, los otros pueden ser
calculados.
La relación de Poisson (relación entre la deformación directa e inducida), puede
también ser expresada en términos de la constante de Lamé (l) y el módulo de
rigidez (G) de la siguiente forma:
zxzxzz
yzyzyy
xyxyxx
E
12,1
E
1
E
12,1
E
1
E
12,1
E
1
tn
nnse
tn
nnse
tn
nnse
n
l
l
e
e
GZ
X
2
El problema en la teoría de elasticidad es determinar dentro de un cuerpo
elástico, en cada dirección y en cada punto, las 6 componentes de esfuerzos (sx ,
sy , sz , txy , tyz , tzx ) y las 6 componentes de deformaciones (ex , ey , ez , xy , yz ,
zx), dado:
- Las constantes elásticas del cuerpo.
- Las medidas y forma del cuerpo.
- Las condiciones de borde.
Las condiciones de borde pueden ser ordenadas conforme se apliquen las
cargas, o los desplazamientos o ambas.
Ecuaciones básicas en teoría elástica
Las condiciones necesarias y suficientes que deben satisfacer los componentes
de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos, a fin de obtener una solución de
un problema de elasticidad, son las siguientes:
- Relaciones esfuerzo / deformación.
- Relaciones deformación / desplazamiento.
- Condiciones de equilibrio.
- Condiciones de compatibilidad.
- Condiciones de borde en la superficie exterior del cuerpo.
Las cuatro primeras condiciones deben ser satisfechas en cada punto del cuerpo,
la última solo en la superficie exterior.
La elasticidad es una propiedad de un material ideal. Es una propiedad de
materiales ingenieriles, incluyendo rocas, en una mayor o menor extensión,
dependiendo que tan cercanamente se aproximan a la ideal. En la práctica esto
depende de 3 factores principales: La homogeneidad, la isotropía y la
continuidad los cuales pueden ser cada uno de ellos definidos en ciertos limites.
Es una medida de la propiedad direccional del material, por ejemplo en un
concenso estadístico un cuerpo granular será isotrópico si todos sus granos
tienen orientación aleatoria y un plano de igual dimensión intersectando el
cuerpo en cualquier dirección expone un numero igual de granos.
Luego, desde que las rocas tienen orientaciones de partículas y cristales
preferenciales, ellos son anisotrópicos estrictamente hablando y se espera que
reaccionen diferentemente a las fuerzas en distintas direcciones, dependiendo
del grado de anisotropía.
ELASTICIDAD EN ROCAS
Isotropía:
Es una medida de la continuidad física de un cuerpo. Luego en un material
homogéneo, los constituyentes son distribuidos de tal modo que un fragmento
cortado de cualquier parte del cuerpo tendrá constituyente y por lo tanto
propiedades representativas del todo. La homogeneidad es por consiguiente
dependiente de la escala y podría ser posible describir un macizo rocoso de
grano fino como un cuerpo homogéneo, mientras una roca de granos grandes y
con dimensiones limitadas debe ser considerado como no homogéneo.
Puede ser tomado para referirse a la cantidad de junturas, grietas y espacios
porosos en un cuerpo rocoso particular. El grado de continuidad afectará su
cohesión y por consiguiente la transmisión de esfuerzos a través del cuerpo. Los
extremos en la consideración de continuidad rocosa podría ser una masa de roca
fracturada, la cual es completamente discontínua y un cuerpo macizo de roca del
grano fino, masivo, con pocas junturas, sería un medio cercanamente continuo.
Homogeneidad:
Continuidad:
De las definiciones dadas, es posible llegar a una estimación somera de la
probable elasticidad de la roca, siempre recordando que con las posibles
excepciones de los casos extremos de la obsidiana o un metal nativo, todas las
rocas son en alguna extensión anisotrópicas, no homogéneas y discontinuas, por
consiguiente son menos que perfectamente elásticos. Sin embargo algunas
rocas se aproximan en grados variados a alguna propiedad elástica,
particularmente con cargas de deformación bajas.
Obviamente la mayoría de las rocas elásticas serán de grano fino, masivas y
compactas. Una propiedad característica de las rocas ígneas extensivas e
hipabisales y algunas rocas metamórficas de grano fino. Estas rocas (ver Figura
4a ) se aproximan de gran modo a las propiedades de un material elástico frágil,
teniendo una relación esfuerzo/deformación cercanamente linear hasta el punto
de ralla y pueden ser denominados “ roca cuasi-elasticas”
Rocas cuasi-elásticas
Las rocas ígneas de grano grueso y los sedimentos compactados de grano fino
son menos elásticos, teniendo baja porosidad y una razonable cantidad de
cohesión, a estas rocas se les denominan “rocas semi-elasticas”.
Estas tienen una relación esfuerzo/deformación (ver Figura 4b) en la cual la
pendiente de la curva (equivalente al módulo de elasticidad bajo la condición de
carga definida) disminuye con el incremento del esfuerzo.
Rocas semi-elásticas
Figura 4: Relaciones esfuerzo / Deformación típicas para rocas
ea. Cuasi-elástica
Ei = 6-11 x 10 Kg /cm25
eb. Semi-elástica
Ei = 4-7 x 10 Kg /cm25
ec. No-elástico
Ei < 5 x 10 Kg /cm25
Este tipo de curva, obtenido de ensayos sobre especimenes rocosos de
laboratorio, acentúan la homogeneidad y la anisotropía del material y puede de
hecho dar una figura de la “inelasticidad” de este tipo de rocas, los cuales a gran
escala – tal como un deposito o estrato masivo – puede ser gobernado por el
análisis elástico. Esto ilustra uno de los peligros de los ensayos de laboratorio
como un método para obtener datos para análisis a gran escala.
Un peligro similar existe en la obtención de datos para un tercer tipo de
esfuerzo/deformación por métodos de laboratorio. Esta categoría incluye las
rocas menos cohesivas, con espacios porosos grandes (mayoría de rocas
sedimentarias débiles) (ver Figura 4c). Sin embargo hay una evidencia inelástica
y cualquier análisis basado en la elasticidad podría ser peligroso. La curva
general exhibe, una zona inicial (0), la pendiente va incrementándose con el
aumento de carga lo cual indica la compactación y cierre de grietas antes que
ocurra una deformación cercanamente lineal. Tales rocas tienden a exhibir
características de variables de esfuerzo/deformación.
Rocas no elásticas
Las principales rasgos en las relaciones esfuerzo/deformación para una roca
competente puede ser generalizada en forma de una curva con una zona
aproximadamente lineal de máxima pendiente (Figura 5) dando lugar a una curva
de descenso de pendiente con el incremento del esfuerzo conforme se alcanza el
punto de falla.
Curva generalizada Esfuerzo/Deformación para rocas
La curva representa una roca en
compresión uniaxial (positivo). En
tracción la curva es similar en forma, pero
la falla ocurre a esfuerzos más bajos.
Si bien la curva puede ser formada como
representativa de una deformación tipo
elástica de una roca, ellos adolecen de
una dificultad en la obtención de un valor
satisfactorio del módulo de elasticidad.
Este puede ser determinada de 3 modos:
ePendiente E
Pendiente
Pendiente
i
sE
Et
Figura 5: Curva generalizada
esfuerzo/deformación para rocas
Como la secante (Es), módulo en un punto particular, dando un valor
promedio de E bajo un limite de esfuerzo especificado.
El módulo tangente (Et) en un punto particular de la curva, dando un valor
aparente de E a un esfuerzo especificado.
El módulo tangente inicial (Ei), la pendiente de la línea tangencial a la curva
pasando a través del origen, dando el valor de E bajo carga cero (0).
El valor de E obtenido en cualquier punto de la curva pueden ser cercanamente
relativos para el promedio de la roca, aunque sus valores actuales pueden
diverger hasta el 100%.
Por esta razón, el valor de E para una roca es nomalmente el “modulo tangente
inicial”, desde que esta es la más precisa obtenida bajo condiciones de ensayo.
El módulo tangente para una carga particular será de 100% a 50% del valor de Ei ,
dependiendo de las condiciones de carga; y, el modulo secante de falla será de
90% a 50% del modulo tangente inicial Ei dependiendo del tipo de roca. Luego
para una roca de grano fino, cercanamente elásticas: Es=Et=0.9i y para una roca de
grano grueso inelasticada en Et=0.9 Ei, para cargas elasticas ligeras, Et = 0.8 Ei
para cargas cercanas a la talla y Es=0.5 Ei para el punto de falla.
i -
Ii -
Iii-
Para definir cualquier material elástico se requiere dos constantes elasticas de
las 5 disponibles (E, v, k, G, l). En teoría los más convenientes son G y l, pero en
problemas de ingeniería, dónde se requiere una medida del a reacción directa de
una roca a las fuerzas, son más convenientes E y v. Sin embargo, en la mayoría
de las rocas cuasi-elasticas y semi–elasticas todas las constantes elásticas
pueden ser relacionados con un buen grado de precisión. En la siguiente tabla se
da una relación de valores de E y v para distintos tipos de rocas, tomados de
diferentes autores.
Constantes elásticas para rocas
Estos valores depende
grandemente de la
cohesión de la roca. En
la Figura 4 se dan los
rangos de valores de ei
para los 3 tipos de rocas
previamente definidos
según su elasticidad.
GranitoMicrogranitoSienitaDiorita
Dolerita
Gabro
BasaltoAreniscaPizarraLutita
Caliza
Dolomita
Carbón
2 - 63 - 86 - 87 - 108 - 117 - 116 - 100.5 - 81 - 3.52 - 51 - 84 - 8.41 - 2
0.250.250.250.250.250.250.25------------------------
Tipo de roca Ei (Kgcm ) x 10 v2 5
Constantes elásticas de rocas para carga cero)
Experimentalmente se ha demostrado (Judol y Huber) que existe una relación
directa entre E y G, y entre E y sc (la resistencia compresiva uniaxial) de una roca,
para todos los ensayos realizados. Cualquier relación entre E y G, E y K o l y G
podría sugerir que si la roca fuera, habría un valor constante de v para todas las
rocas, independiente de la magnitud de E. La figura 3.1 muestra ejemplos de las
diferentes relaciones.
Relaciones entre E y v
Figura 4: Relaciones entre E y v, , G y sc (según Judd y Nuber)
0
4
8
12
0.15 0.3
12
8
4
0 1.5 3.0
12
8
4
0 4 8
12
8
4
0 2 4
52
E x
10 K
g /
cm
E x
10 K
g /
cm2
5
E x
10 K
g /
cm2
5
E x
10 K
g /
cm2
5
nRel. Poisson Densidad (gr/cc) 5G x 10 Kg/cm 2 3c x 10 Kg/cms 2
Si bien es cierto que estas relaciones son ideales, puede ser una aproximación
en rocas con un alto E; valores de n para rocas de módulo bajo las cuales
representan rocas no elásticas muestran valores variables y bajos. Esto sugiere
que la reacción en este tipo de rocas no debería estar basada en la teoría de la
elasticidad y también sugiere que las mediciones de n en el laboratorio es menos
que preciso.
La relación entre G y E de forma aproximada es E = 2.5G y sugiere un valor
constante de v = 0.25 que debe ser necesariamente considerado, desde que esta
puede estar bien, algunas discrepancias en el gráfico E/v pueden deberse a
mediciones erráticas de v, las cuales son raramente satisfactorios en la práctica.
Ciertamente en los trabajos que involucran análisis elástico de rocas, hay
suficiente evidencia disponible para sugerir que un valor de v = 0.25 debe ser
asumido a menos que haya evidencia contraria. Si ésta suposición no fuera
asumida luego hay base para considerar a la roca como “anaelástica” en cuyo
caso v carecerá de valor.
26 cmKg10x1.29.0E
La relación E y sc toma la forma aproximada E = 350sc, y G = 140sc lo que
confirma que la resitencia de la roca está relacionada a la “esbeltez”
(representado por E) y rigidez (representado por G) de la estructura interna de la
roca.
Por otro lado la densidad aparente de un material puede ser usado como una
base para obtener una aproximación de E con la siguiente relación:
La precisión de E estará en el rango de para el diseño, por lo cual se
recomienda determinarlo a partir de un amplio rango de muestras y medidas.
%20
Un requisito en cualquier problema de diseño en materiales reales es la
suposición de ciertas simplificaciones de las propiedades del material para
asistir al análisis matemático. En problemas de diseño de estructuras rocosas
esto tradicionalmente implica asumir las propiedades elásticas de las rocas,
calculados en base a la teoría elástica. Tales diseños son algunas veces exitosos,
otros particularmente en casos de taludes y cimentaciones han introducido
considerable grado de error, por lo que es esencial definir los limites de
aplicabilidad de la teoría elástica a la roca claramente.
Se ha mostrado por definición de la elasticidad, que las rocas no son
verdaderamente elásticas, pero que algunas tienen propiedades deformacionales
aproximadas a la forma cuasi-elásticas, particularmente algunas rocas cohesivas
de grano fino y rocas masivas a bajos niveles de esfuerzos. Contra eso se debe
establecer el conocimiento de que las rocas por naturaleza son normalmente
discontinuas conteniendo varios tipos de discontinuidades geológicas
estructurales (diaclasas, fallas estratos, etc.) que además pueden contener agua
en cantidad variable.
Teoría elástica aplicado al diseño de estructuras rocosas
Este aspecto puede ser exacerbado en aplicaciones cercanas a la superficie,
donde las discontinuidades y el agua pueden jugar un papel considerable de
error en referencia a las condiciones óptimas de un análisis elástico.
Por otro lado en profundidad, habrá una tendencia al cierre de las
discontinuidades debido a los esfuerzos más altos y el agua estará ausente,
limitando la diferencia entre las propiedades de la muestra y las propiedades
masivas. Si bien el flujo depende del tiempo, tenderá a incrementarse con el
incremento de la carga y la temperatura.
Una actual decisión sobre los limites de la elasticidad es consiguientemente
extremadamente dificultoso y debe ser siempre aproximado con cierta
precaución, teniendo en mente factores externos de la estructura interna normal
de la roca.
Las estructuras rocosas cercanas a la superficie no deberá ser tratado como
un medio elástico continuo, no obstante que las propiedades del material
rocoso (muestra) pueden ser cercanamente elásticos, a menos que está
presente un mínimo de discontinuidades. El criterio de diseño debe estar
normalmente basado sobre la fricción en las discontinuidades estructurales.
Las estructuras rocosas severamente fracturados no deberán ser tratados
como un medio elástico continuo.
Las rocas con Ei < 5x105 Kg/cm2 no deberán ser considerados como un medio
de elástico excepto con extrema precaución.
La roca sometida a suficiente carga que induzca significante flujo no deberá
tratarse elásticamente.
-
-
-
-
Generalmente las siguientes reglas dan una guía:
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