2604 vectores [modo de compatibilidad]) · 2011-11-29 · cuerpo. piensa, por ejemplo, en dos...
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REPRESENTACIÓN DE FUERZASHay dos tipos de magnitudes: ESCALARES y VECTORIALES
Las magnitudes ESCALARES quedan determinadas mediante una cantidad y su unidad correspondiente:
L (Longitud) = 12’35 mm (Masa) = 5’678 kgd (Densidad) = 3’4 g/cm3
Las magnitudes VECTORIALES necesitan de otras características más:velocidad, aceleración, fuerzas, etc. Por ello, se representan mediante VECTORES (segmentos de recta que están orientados). Encima del símbolo de la magnitud dibujaremos una pequeña flecha para indicar que se trata de una magnitud vectorial:
vr
vr
Fr a
r
CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
Las características de un vector son cuatro:
�MÓDULO
�DIRECCIÓN�DIRECCIÓN
�SENTIDO
� PUNTO DE APLICACIÓN
MÓDULO
El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la intensidad de la fuerza.
Al representar las fuerzas usaremos una escala similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a 1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).
3 cm
Escala Þ 1 cm : 2 N
3 cm . 2 N = 6 N
1 cm
DIRECCIÓNLa DIRECCIÓN es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.
45º
120º
- 100º = 260º- 30º = 330º
!OJO! En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:
2π rad = 360º; π rad = 180º; π/2 rad = 90º, etc.
SENTIDOEl SENTIDO indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.
45º
Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente
45º
Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente
PUNTO DE APLICACIÓNEl PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.
Luna Tierra,Fr
TierraLuna,Fr
FLuna, Tierra = FTierra, Luna
Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.
• Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,
navegación e ingeniería.
• Podemos desarrollar el tema
de trigonometría por medio de
dos enfoques, éstos son:– El círculo
– El triángulo rectángulo
Triángulo Rectángulo
Triángulo
rectángulo
hipotenusa
γγγγ
rectángulo
αααα ββββ
catetosCaracterística principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900
Observaciones importantes sobre los
triángulos rectángulos.
�Un triángulo consta de tres lados y de
tres ángulos.
�La suma de los tres ángulos es 1800γγγγ�La suma de los tres ángulos es 180
�La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.
�Sea c la hipotenusa, a y b los catetos,
entonces c2 = a2 + b2
γγγγ
�Los ángulos se nombran con letras para
identificarlos. Algunas de las letras que
utilizamos son del alfabeto griego como por
ejemplo;
γγγγ “gamma”; αααα“alpha” ; ββββ “betha”
• Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.
• Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.
• Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.
RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN
TRIANGULO RECTANGULO
Relaciones básicasRelaciones recíprocas
opuestoladoseno =γ opuestolado
hipotenusa
senecante ==
γγ
1cos
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusaseno
=
=
=
γ
γ
γ
tangente
coseno
opuestoladosenγ
adyacentelado
hipotenusa
enoante ==
γγ
cos
1sec
opuestolado
adyacenteladoangente ==
γγ
tan
1cot
Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo
• Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo γγγγ
γγγγ
Lado
adyacent
e a
“gamma”
Lado
opuesto
a
“gamma
”
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestoladoseno
=
=
=
γ
γ
γ
tangente
coseno
EJEMPLO 1
4==
opuestoladoγ
5
2591634 22
22
=
=+=+=
+=
c
c
bac
HIPOTENUSALADEMEDIDA
γγγγ
4
3
51==γ
3
4 tangente
5
3 coseno
5
4
= =
= =
==
adyacentelado
opuestolado
hipotenusa
adyacentelado
hipotenusa
opuestoladoseno
γ
γ
γ4
51cos ==
γγ
senecante
3
5
cos
1sec ==
γγ
enoante
4
3
tan
1cot ==
γγangente
Continuación EJEMPLO 1
33.13
4 tangente6.0
5
3 coseno8.0
5
4= = == == γγγseno
γγγγ
25.14
5cos ==γecante 67.1
3
5sec ==γante 75.
4
3cot ==γangente
Podemos utilizar cualquiera de los γγγγ
4
3
Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la
medida del ángulo γγγγ
Veamos el siguiente ejemplo
γγγγ
4
3Hallar la medida del ángulo indicado.
La razón seno γγγγ es .8 , si necesito hallar la medida de γ y
Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información que te provea el ejercicio.
8.05
4==γseno
La razón seno γγγγ es .8 , si necesito hallar la medida de γ y
conozco el valor de seno γ , la función inversa de seno me
permite encontrar el valor de γγγγ de la siguiente forma:
)8(.,8. 1−== senoentoncessenoSi γγ
)8(.
,8.
1−=
=
seno
entonces
senoSi
γ
γ
CALCULAR LA INVERSA DE SENO
Presenta la respuesta en :
Grados___
Utilizaremos la calculadora
ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1 =
ENTRADA EN LA CALCULADORA
.8 SEN-1 =
Pantalla
Grado
53.13
Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o radianes) antes de hacer los cómputos.
4
3ββββ
Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.
PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para ββββ
ββββ2. Halla el valor de ββββ , en grados utilizando la relación coseno.
3. Halla el valor de ββββ , en grados utilizando la relación tangente.
Respuestas -PRACTICA 1
1. Calcula las seis relaciones trigonométricas
para ββββ
75.4
3 tangente
8.5
4 coseno
6.5
3
= =
==
==
β
β
βseno67.1
3
5cos ==βecante
25.14
5sec ==βante
33.13
4cot ==βangente
2. Halla el valor de ββββ , en grados, utilizando la relación coseno.2. Halla el valor de ββββ , en grados, utilizando la relación coseno.
87.366435.
)8(.1
cos8.5
4 coseno
gradosradianes
eno =−
==β
3. Halla el valor de ββββ , en grados, utilizando la relación
tangente.
087.366435.
)75(.1
tan;75.4
3 tangente
gradosradianes
γβ =−
= =
Compara las relaciones trigonométricas seno y coseno
de γγγγ y ββββ
4
6.5
3==βseno
ββββ = 36.870γγγγ=53.130
3
8.05
4==γseno
8.5
4 coseno ==β6.0
5
3 coseno == γ
La suma de γγγγ y ββββ es 900
Por tanto γγγγ y ββββ son ángulos complementarios.
SeanSeanSeanSean γγγγ y ββββ dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes relaciones:
βγ
βγ
seccsc
cos
=
= sen
γβ
γβ
seccsc
cos
=
= sen
βγ
βγ
cottan
seccsc
=
=
γβ
γβ
cottan
seccsc
=
=
Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.
PRACTICA 2
1`. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes.
2
2
3 γγγγ
ββββ
1`. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes.
2. Halla el valor de γγγγ, en grados y en radianes.
Respuestas -PRACTICA 2
1. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes.
11.498571.
)1547.1(1
tan1547.13
2 tangente
gradosradianes
gente =−
==β
2. Halla el valor de γγγγ, en grados y en radianes.
En la forma corta tenemos que γγγγ + ββββ= 90,En la forma corta tenemos que γγγγ + ββββ= 90,Por lo tanto γ= 90 - β
γ= 90-49.11=40.89
Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos
89.407137.
)866(.1
tan866.2
3 tangente
gradosradianes
gente =−
==β
Observación
Si conozco dos de los lados de un
triángulo rectángulo puedo hallar la
medida de sus ángulos.
Ejemplo 2
Halla la medida de la hipotenusa del siguiente
triángulo.
4012 es la medida del lado opuesto a 40
grados
12 es la medida del lado adyacente de 50
grados12
grados
668.186428.
12
126428.
1240
==
=
=
xx
xparadespejamosx
xseno
668.186428.
12
126428.
1250cos
==
=
=
xx
xparadespejamosx
xeno
ó
Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50
Respuestas-PRACTICA 1
Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo
30
25b
a
25
5.12)25)(5(.
2525.
2530
==
=
=
b
bparadespejamos
b
bseno
65.21)25)(87(.
2587.
2530cos
==
=
=
b
bparadespejamos
a
aeno
FUERZA RESULTANTEA menudo ocurre que dos o más fuerzas actúan sobre un
cuerpo. Piensa, por ejemplo, en dos caballos que tiran de un carro. En este caso, cuando dos o más fuerzas actúan a la vez, sus efectos se suman.
En otras ocasiones, los efectos se restan, por ejemplo, dos niños disputándose un paquete de chucherías.
El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por una sola fuerza llamada FUERZA RESULTANTE.
1Fr
?
COMPOSICIÓN DE FUERZASA continuación estudiaremos la manera de calcular la fuerza
resultante para el caso de varias fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones diferentes. Es lo que se denomina COMPOSICIÓN DE FUERZAS.
Vamos a distinguir varias situaciones:a) Misma dirección
a.1) Mismo sentidoa.1) Mismo sentido
a.2) Sentidos contrarios
b) Distinta dirección
b.1) Perpendiculares
b.2) No perpendiculares
c) Paralelas
c.1) Igual sentido
c.2) Sentidos contrarios
Para componer dos o más fuerzas existen dos métodos, aunque no siempre aplicaremos ambos. Son:
Gráfico
Se colocan las fuerzas una a continuación de la otra respetando sus correspondientes direcciones y sentidos (“se transportan”). La resultante será el vector determinado por el punto de aplicación inicial y el extremo del último vector dibujado. Cuando se aplica a dos vectores se le suele llamar también “método del paralelogramo”; para más de dos vectores, “método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…
COMPOSICIÓN DE FUERZAS
“método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…
Resultante Rr
Numérico
Dependiendo de las direcciones y sentidos de las fuerzas a componer tendremos que sumar los módulos, restarlos o realizar operaciones más complejas.
a) Misma direccióna.1) Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a componer.
1Fr
2Fr
1Fr
2Fr
+ F1r
2Fr
R =r
Numéricamente:R = F1 + F2
a) Misma direccióna.2) Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a componer.
1Fr
2Fr
1Fr
2Fr
Numéricamente:R = F1 - F2
+ F1r
2Fr
R =r
b) Distinta direcciónb.1) Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el teorema de Pitágoras sobre el triángulo que determinan los dos vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo es rectángulo (para los despistados).
2Fr
2FrR
r
1Fr
22
21
2 F F R +=
1Fr
2F
RF sen 2=α
F1
RF2α R
F cos 1=α
1
2
1
2
FF
R / FR / F
cos sen tg ===α
αα
1
2
FF arctg =α
b) Distinta dirección
1Fr
b.2) No perpendiculares: se aplica el método gráfico exclusivamente. El método numérico se dejará para cursos más avanzados.
2Fr
Rr
Fr
2Fr
1F 1F
En caso que hubiera que componer más de un vector, lo haríamos sucesivamente, uno a uno:
Resultante Rr
c) Paralelasc.1) Igual sentido (paralelas)
d
Punto de aplicación de la
xd -x
2Fr
Fr
Fraplicación de la
resultante1Fr
2Fr
1Fr
1Fr
2Fr
1Fr
2Fr
Rr
Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:
F1 · (d – x) = F2 · xPor otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:
R = F1 + F2
c) Paralelasc.2) Sentidos contrarios (antiparalelas)
d
Punto de aplicación de la
resultante 1Fr
2Fr
1Fr
2Fr
2Fr
1Fr
resultante 1FNuméricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:
F1 · (d + x) = F2 · x
Por otro lado, el módulo de la resultante es la diferencia de los módulos de las dos fuerzas:
R = F2 - F1
Siempre se restará la menor a la mayor.
2F
Rr
2Fr
1Fr
xd
DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASDescomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya composición nos de el vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la composición. Veamos algunos ejemplos:
1Fr
2Fr
Fr
Aunque hay otras posibilidades:1Fr
Fr
Fr
1F
2Fr
Y otra más:
Fr
Fr
1Fr
2Fr
DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASEntonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En realidad hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues cumplen la definición de descomposición vectorial.Nosotros vamos a estudiar una llamada DESCOMPOSICIÓN NORMAL, en la que los vectores obtenidos (componentes), son perpendiculares entre sí.
Fr
x
yFr
yFr
Fr x
Fr
yFr
xFr
y
De forma que…
2y
2x
2 F F F +=
FF
α sen y=
Fx
FFy
α
xF xF
Fx = componente x
α F·senF y =
FF cos x=α α F·cosF x =
Fy = componente y
DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASVamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el desplazamiento sobre un plano inclinado.
Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza tiene dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la superficie del plano inclinado y lo empuja hacia abajo.
Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso:
yxPr P
r
xPr
P
α
x
xPr
yPr
Pr
α
PP sen X=α α P·senP x =
PP
cos y=α α P·cosP y =
Py = componente normal del peso
Px = componente tangencial del peso
yPr
Pr
yPr
α α
yP
xPα
DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS
Fr
N 3.613 3 2F F F 222y
2x ≈=+=+=
En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos usando coordenadas cartesianas:
y
x1 2 3 4 5 6
54321
(2,3) F =r
α
1.523
FF
tgx
y===α
)F,F( F yx
rrr=
xFr
yFr
(2,0) Fx =r
(0,3) Fy =r
56.3º 1.5 arctg ==α
1Fr
y
x1 2 3 4 5 6
54321
2Fr
(2,3) F1 =r
(4,1) F2 =r
α
Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:
Rr
(4,1) (2,3) R +=r
21 FF Rrrr
+= (6,4) R =r
0.6764 tg ≈=α 33.7º 0.67 arctg ≈=α
N 7.252 46F F F 222y
2x ≈=+=+=
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