2 – modelo del transformador i1i1 i2i2 + - + - v1v1 v2v2 n1n1 n2n2 representación física v1v1 +...
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2 – Modelo del transformador
I1 I2
+
-
+
-V1
V2
N1 N2
m
1d2d
Representación Física
V1
+
-
Z1=R1+jX1 Z2=R2+jX2
I1 I0
I´2 I2
V2E1 E2Rc1 jXm1
Ic Im
Transf. ideal
Circuito Equivalente
+
-
E1 E2
N1 : N2
V1 - Tensión aplicadaI1 - Corriente drenada por la fuenteI0 - Corriente de vacío
E1 - Tensión inducida en el primario I’2 - Corriente de carga, “vista” desde el primario
Lado primario N1 espiras
Im1 - Corriente de magnetizaciónIc - Corriente debido parásitas e histéresis
Lado secundario N2 espiras
Los parámetros del circuito, esto es, los elementos que representan las imperfecciones respecto al transformador ideal son:
jXm1 - Reactancia de magnetizaciónRc1 - Resistencia representativa de las perdidas de potencia activa en el núcleo (histéresis y corrientes parásitas)X1 , X2 - Reactancias de dispersión del primario y secundario R , R2 - Resistencia de los conductores primario y secundario
22
2
2
12
2
11
2
122
1
212
2222
'
:a llegamos ndoSubstituye
' y
ideal,dor transforma del lesfundamenta relaciones las de Además
.secundario lado del tensión de ecuación la ,
:arriba circuito Del
IZN
NV
N
NE
N
NII
N
NEE
IZVE
V’2 Z’2 22 '' jXR
2
2
2
122
2
2
12 ' y '
:donde
XN
NjjXR
N
NR
V1
+
-
Z1=R1+jX1 Z2=R2+jX2
I1 I0
I´2 I2
V2E1 E2Rc1 jXm1
Ic Im
Transf. ideal
+
-
N1 : N2
Obtención del circuito equivalente “visto” desde el primario
Dado el circuito equivalente original:
Siendo las relaciones fundamentales del transformador ideal dadas por:
22122
2
1
1 ' NININ
E
N
E
El circuito equivalente ‘visto’ desde el primario queda entonces dado por:
V1
+
-
Z1=R1+jX1 Z´2=R´2+jX´2
I1 I0 I´2
V´2E1Rc1 jXm1
Ic Im
+
-
Dado que la impedancia paralelo es mucho mayor que las impedancias serie se puedeprobar que el circuito arriba se puede aproximar satisfactoriamente a:
V1
+
-
Ze1= Z1 + Z´2 =(R1+ R´2) +j(X1 +X´2)I1
I0 I´2
V´2Rc1 jXm1
Ic Im
+
-
+
-
Siendo la impedancia equivalente vista desde el primario Ze1 conocida como impedancia decortocircuito Zcc y la impedancia paralelo (Rc1 || jXm1 ) conocida como impedancia de vacíoZ0 y se obtienen a partir de los ensayos respectivos *.
Obs. En forma análoga se puede obtener el circuito “visto” desde el secundario multiplicando
tanto la impedancia serie como la impedancia paralelo por 2
1
2
N
N
* Este ensayo de cortocircuito se refiere al ensayo con tensión reducida para determinar las perdidas en el hierro, bien diferente del ensayo de aguante al cortocircuito.
2
2
2
1112
2
2
111
:Donde
XN
NXXR
N
NRR ee
Determinación de los parámetros del circuito equivalente, dados los datos de los ensayos de circuito abierto (ensayo a vacío) y cortocircuito.
V1
+
-
I0 I0
Rc1 jXm1
Ic Im
Ensayo Circuito abierto
Datos:
V1
I0
P0
Parámetros:
11
220
1
1
0
21
1
mmcm
cc
c
I
VXIII
R
VI
P
VR
Ze1=Re1+jXe1
V1
+
-
Isc
Ensayo de Cortocircuito
Datos:
Vsc
Isc
Psc
Parámetros:
X 1111
21
eeesc
sce
sc
sce
RZI
VZ
I
PR
V1 del orden de la nominal
V1 reducida tal que ISC no supere a la I nominal.
(Dado la relación de impedancia y las condiciones deensayo se puede despreciar la rama paralelo)
Obs. Cada uno de los ensayos pueden hacerse indistintamente tanto del lado del primario como del secundario, por ejemplo si el primario corresponde a alta tensión es más factiblerealizar ensayo circuito abierto aplicando tensión del lado de baja (secundario).Luego, todas las impedancias obtenidas deben expresarse como “vistas” del mismo lado del transformador.
Transformador trifásico de transmisión en reparación, particularidad: dos conmutadores bajo carga(primer plano de la foto), fábrica Tadeo Czerweny, provincia de Santa Fé, Argentina.
Transformador 150/31.5, 63 MVA, ONAF, en etapa de ensayos de recepción, fábrica ZTR, Ucrania.
Tres paneles correspondientes a los mismo transformadores, durante ensayo de operación en paralelo de tres transformadores, se observa debajo de las llaves de comando el regulador de tensión.
V1
+
-
Z1 Z2
I1
I´2 I2
V2E1 E2
Transf. ideal
+
-
N1 : N2
Zm Z
Modelo del transformador en valores por unidad
Dado el siguiente circuito monofásico:
1111 . EZIV 2222 . VZIE
Se eligen dos magnitudes de base independientes, S (MVA) y V (kV), las demás,I y Z, quedan determinadas.
En este caso Sbase es la potencia nominal del transformador y Vbase,,1 y Vbase,,2 las tensionesnominales, entonces:
aN
N
E
E
V
V
base
base 2
1
2
1
2,
1,
Las corrientes de base quedan determinadas:
1,1,
base
basebase V
SI
2,2,
base
basebase V
SI
aV
V
I
I
base
base
base
base 1
1,
2,
2,
1,
y las impedancias:
base
base
base S
VZ 1,
2
1, 2
2,2
1,2
2,
1, aV
V
Z
Z
base
base
base
base
base
base
base S
VZ 2,
2
2,
1,
1
1,
1
1,
1
1,
1 .basebasebasebase V
E
Z
Z
I
I
V
V
Aplicando las expresiones anteriores en las ecuaciones del transformador:
2,
2
2,
2
2,
2
2,
2 .basebasebasebase U
V
Z
Z
I
I
V
E
= 2,
2
baseV
E
Entonces sustituyo:
Llegamos a:
pupupupupupu VZIZIV ,2,2,2,1,1,1 ..
Esto es, “integramos” las dos ecuaciones en una, eliminando así la relación de transformaciónquedando el circuito equivalente:
V1,pu
+
-
Z1,pu Z2,pu
I1,pu
I2,pu
V2,pu
+
-
Zm,,pu Zpu
Sabemos que en la práctica:
V1,pu
+
-
Z,pu=Z1,pu+ Z2,,puIpu
V2,pu
+
-
Zm,,pu Zpu
Visto desde el primario:
22
1, ZaZZ p 1,
22
1,
1
1,
,
basebasebase
ppu Z
Za
Z
Z
Z
ZZ
ahora:2
2,
1, aZ
Z
base
base
Entonces:
2,
2
1,
1
basebasepu Z
Z
Z
ZZ
Analogamente,visto desde el secundario:
221
, Za
ZZ s
2,
2
2,2
1
2,
,
. basebasebase
spu Z
Z
Za
Z
Z
ZZ
2,
2
1,
1
basebasepu Z
Z
Z
ZZ
Los valores de impedancia, voltaje y corriente son los mismos independientemente si estánreferidos al primario o al secundario.
3 – Modelo de líneas
a) Parámetros
23m
Dist. Fases externas 24m
Alt. cond.31mAlt. guardia
18m
19m24m
500 kV (345 500 E.A.T.)
150 kV (69 230 A.T.)
Algunas configuraciones típicas
765 kV U.A.T.
Conductores más utilizados
ACSR – aluminiun conductor steel reinforcedAACSR – alloy aluminium steel reinforced
AAAC – all-aluminium alloy conductor
Consideraciones adicionales respecto a conductores
Arriba de 230 kV es preferible usar más de un conductor por fase, lo que es conocidocomo haz de conductores. El haz consiste de dos, tres o cuatro conductores. Conesto se logra incrementar el radio efectivo de la líneas así como reducir el campo eléctrico en la superficie de los conductores (gradiente superficial) y con estominimizar los fenómenos asociados al efecto corona esto es: pérdidas, ruido audibley radio interferencia. Otra importante ventaja es la reducción de la reactancia de lalínea.
Aisladores de suspensión
Porcelana
Vidrio templado
Determinación de los Parámetros de Líneas de Transmisión
Resistencia de los conductores
La resistencia dc de un conductor sólido a una determinada temperatura está dada por:
A
lRdc
La resistencia del conductor es afectada por tres factores:
-- Constructivos, ejemplo al ser espiralado la longitud termina siendo algo mayor.-- Efecto skin, aumenta del orden del 2% debido a este fenómeno.-- Incremento con la temperatura, dentro de los rangos normales de utilización el comportamiento es líneas y puede ser determinado por:
1
212 tT
tTRR
Dado los factores arriba, la resistencia del conductor es mejor determinada por la hoja de datosdel fabricante, el que normalmente la determina por el ensayo:
2I
PR p
ac
Donde R1 y R2 son las resistencias de los conductores a t1 y t2 (°C) respectiva-Mente, T constante de temperatura (228 para Al y 234.5 para el Cu).
Cálculo de la capacitancia:
Las líneas de transporte tienen las siguientes capacitancias asociadas:
.
qa qbqc
qg
-qa-qb
-qc
-qg
Conductores imágenes con carga igual y de signo contrario a los originales, sirven para modelar el efecto de la tierra la que impone una superficie equipotencialcero.
Las tensiones referidas a tierra son función de las cargas y están dadas por:
qg
qc
qb
qa
PggPgcPgbPga
PcgPccPcbPca
PbgPbcPbbPba
PagPacPabPaa
Vg
Vc
Vb
Va
0
Donde [P] se le conoce como la matriz de los coeficientes potenciales de Maxwell y está dada por:
'
ln2
1
:diagonal la de fuera y
2
ln2
1
:diagonal la de elementos los Para
0ij
0ii
ij
ijP
r
hP
i
i
Rescribiendo el sistema de ecuaciones y realizando la siguiente partición:
qg
qc
qb
qa
PggPgcPgbPga
PcgPccPcbPca
PbgPbcPbbPba
PagPacPabPaa
Vc
Vb
Va
0
[Vabc]
P00 P0n
Pn0 Pnn
[0]
qabc
qn
qabcPPPPVabc
qgzqabcP
qgPqabcPVabc
nnnn
nnn
n
:qg eliminamos serie impedancia la a teAnalogamen
0
01
000
0
000
[Pabc]
La capacitancia de línea está dada entonces por:[Cabc]=[Pabc]-1
Observación:1 - [Cabc] es una matriz nodal Los elementos de la diagonal Cii es la suma de las
capacitancias entre la fase i y el resto de las fases. y los elemento C ij son el negativo de la capacitancia entre las fase i y la j.
2 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, al igual que en el cálculo de la impedancia se utilizan las formulas ya presentadas del radio medio geométrico .
v
qC Sabiendo que por definición la capacitancia está dada por:
Cálculo de la impedancia serie:
.
b
bl
Ib
RbLbb
c
cl
Ic
RcLcc
a
al
Ia
RaLaa
g
gl
Ig
RgLg
a b c
g
tierra
Lac
Lcg
LbgLag
Lab Lbc
Corriente de retorno por tierra
Problema: determinación de la impedancia de una línea de transmisión AC en funciónde la frecuencia, considerando el retorno por tierra.
Lo resuelve Carson (Bell) en 1926 para líneas telefónicas, su método es directamente aplicable alíneas de potencia.
En 1976 Gary (EDF), propone una aproximación donde la tierra es substituida por un conjuntode conductores ficticios de retorno por tierra localizados a una profundidad compleja. Esto es la distancia entre los conductores ficticios y los reales son ¡Números Complejos!.
En 1981 Deri (U. de Budapest) demuestra la correlación entre el método de Carson y el de Gary validando este último.
Fines de los 90 aparecen los métodos basados en elementos finitos.
La caída de tensión de cada conductor en un tramo de longitud l está dada por:
Ig
Ic
Ib
Ia
ZggZgcZgbZga
ZcgZccZcbZca
ZbgZbcZbbZba
ZagZacZabZaa
l
Vgg
Vcc
Vbb
Vaa
l
l
l
l
Donde, por el método de profundidad compleja, los elementos de Z están dadospor:
))(2
ln2
( 0
i
iii r
phwjRz
)ln2
())(2
ln2
(''
022
0
ik
ik
ik
ikkiik d
dwj
d
Xphhwjz
Siendo:
i
k
k’
i’ k’’
i’’
p Plano ‘espejo’ complejo
ikx
ih
khikd ''
p2
p2
i’ , k’ conductores simétricos respecto al plano de tierrai’’ , k’’ conductores simétricos respecto al plano complejo
La profundidad compleja está dada por:
0
jwp Donde es la resistividad del terreno en m.
0 Permeabilidad del espacio libre = kmH / 10..4 4
R es el dato de la resistencia del conductor dadopor el fabricante, según a la frecuencia que sehaga el cálculo requerirá corrección por efecto skin
conductor. del geométrico medio radioir
ikd
2
1
0
0
1
2212222
2111111
21
21
21
Ig
Ig
Ic
Ib
Ia
zzzzz
zzzzz
zzzzz
zzzzz
zzzzz
Vcc
Vbb
Vaa
l
ggggcgbgag
ggggcgbgag
cgcgcccbca
bgbgbcbbba
agagacabaa
l
l
l
Eliminación de (los) cables de guardia, variando el caso anterior suponiendo dos cables deguardia:
[Vabc-Vabcl]z00 z0n
zn0 znn
Iabc
Ig
Produce:
IabczzzzVabcVabc
IabczzzIabczVabcVabc
IabczzIg
Ig
IgzIabcz
IgzIabczVabcVabc
nnnnl
nnnnl
nnn
nnn
nl
:ecuación primera la en dosustituyen
:eliminar podemos donde De
0
01
000
01
000
01
0
000
[0]
[zabc]
1 - Cuando una fase está formada por un haz de subconductores, a los efectos de los cálculos se usará el GMR (radio medio geométrico) equivalente, estos están dados por:
Consideración adicional:
Matriz impedancia de fase
4 3
3 2
* 09.1 :oressubconduct 4
* :oressubconduct 3
* :oressubconduct 2
drGMR
drGMR
drGMR
ii
ii
ii
Siendo ri el radio medio geométrico de los subconuctores (dado por el fabricante) y d la separación entre los mismos.
Función zser:
Esta función calcula la impedancias serie de una línea de transmisión:
Argumentos de entrada:• Matriz coordenadas de los conductores y cables de guardia en m (estos al final).• Vector datos del conductor: radio en mm, resistencia en /km, nro. subconductores y separación en cm, radio interno en mm (solo para efecto skin).• Vector datos del cable de guardia: radio en mm, resistencia en /km radio interno en mm (solo para efecto skin).• Resistividad del terreno .m.• Frecuencia en Hz.
Argumentos de salida, matrices de impedancia en Ohmios:• Secuencia• Traspuesta• Fases• Conductores y cables de guardia (antes de la eliminación de Ig).
. .
29m
20m
10m
7m
=100 .m
Conductor:radio (GMR)= 15.19 mmResis. = 0.0234 /kmHaz de 3 subconductores separados 40cm
Cable de guardia:radio (GMR)= 4.75 mmResis. = 3.75 /km
Datos de entrada para la función:
xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29];datc=[15.19 0.0234 3 40];datn=[4.75 3.75];ro=100;f=60;
[z012,zt,zabc,z]= zser(xy,datc,datn,ro,f)
Matriz de impedancia traspuesta
A
B
C
i
k
m
m
i
k
k
m
i
La impedancia traspuesta está dada por:
]][[][ 1012 AZAZ t
Donde la matriz [A] vale :
2
2
1
1
111
][
aa
aaA Siendo: 1201a
)(3
1
)(3
1:Donde
3
1
imkmikm
mmkkiis
smm
msm
mms
t
iiimik
mimmmk
kikmkk
kkkikm
ikiiim
mkmimm
mmmkmi
kmkkki
imikii
t
zzzz
zzzz
zzz
zzz
zzz
Z
zzz
zzz
zzz
zzz
zzz
zzz
zzz
zzz
zzz
Z
La línea de transmisión en si es un elemento desequilibrado en un sistema de transporte debido a las distancias, y por lo tanto inductancias, no uniformesPara transformarlo en un elemento equilibrado se recurre a torres de transposiciónCon las mismas se logra que cada conductor a lo largo del recorrido de la línea pase por las tres fases estando en cada una de ellas los mismos kilómetros:
Matriz de impedancia de componentes de secuencia
a) Modelos
zx
yx yx Vr
Ir
Vs
Is I(x)
V(x+ x)
+
-
+
-
V(x)
I(x + x)
x x
l
+
-
+
-
Línea con parámetros distribuidos de largo l :
j
ee
xV
xVzy
xVyx
xIz
xVy
xxVyx
xIxxI
xxVxyxIxxI
xIz
xIzx
xVxxV
xIxzxVxxV
xx
:comoexpresar puede se npropagació de constante la donde AAV(x)
:es solución cuya 0)(dx
V(x)d
orden segun de ldiferencia ecuación siguiente la a llegamos zy haciendo )( dx
V(x)d
:)( por corriente la de derivada la dosustituyen d
)(d
dx
V(x)d
:tensión la Derivando
)( dx
dI(x)
: 0x para )( )()(
)( )()(
:corriente la Para
)( dx
dV(x)
0x límite el Tomando
)( )()(
)( )()(
21
22
2
22
2
2
2
Constante de atenuaciónConstante de fase
)cosh(D )(sinh1
C
)(sinh B )cosh(A
Donde
DC
BA
:matricial forma la en mosrepresenta lo si además ,)( y )( ,x Para
)cosh( )(sinh1
)(
)(sinh )cosh()(
:como reescribir pueden se ecuaciones las as,hyperbolic funciones las doReconocien
22
1)(
22)(
:terminos oreagrupand y doSustituyen
2
2
. Ay Aconstates las halladasser pueden condición esta conIr yVr 0,x Para
como conocida :siendo
)(1
)(
)(d
)(d1)(
: corriente la Para
2
1
21
21
21
llZc
lZcl
Ir
Vr
Is
Vs
IslIVslVl
IrxVrxZc
xI
IrxZcVrxxV
Iree
Vree
ZcxI
Iree
ZcVree
xV
ZcIrVrA
ZcIrVrA
I(x)V(x)
stica caracteríimpedanciay
zZc
eAeAZc
xI
eAeAzx
xV
zxI
xxxx
xxxx
xx
xx
Dado el siguiente modelo :
Z
Y/2
Ir+
-
VrY/2
+
-
Vs
IzIs
:iarequivalenc de forma tal de Y e Zhallar entonces es idea La
2
14
1
:Vs y por dosustituyen ,2
:por dada está entrada de corriente La
2
1
:por dosustituyen ,
:entrada de tensión la y ,2
:por dada está serie rama la en corriente La
IrZY
VrZY
YIs
IzVsY
IzIs
IrZVrZY
Vs
IzZ IzVrVs
VrY
IrIz
2tanh
Zc
2Y
:a llegamos )sinh(
1)(cosh
2tanh identidad la usando )h(cos
2
ZY1
y )sinh(
:Haciendo
l
l
lll
lZcZ
Ir
VrZY
ZY
Is
Vs
21
4
ZY1
Z2
1
Ir
VrZY
ZY
Is
Vs
21
4
ZY1
Z2
1
Ir
Vrll
Zc
ll
Is
Vs
).cosh().(sinh1
).(Zc.sinh).cosh(
Recapitulando:
Dado los parámetros z e y de una línea de transmisión se puede relacionar la corrientey tensión de salida con la corriente y tensión de entrada mediante la expresión:
km en long. ,zy , y
zZc
:Siendo
)cosh(D )(sinh1
C
)(sinh B )cosh(A
Donde
DC
BA o
DC
BA-1
l
llZc
lZcl
Is
Vs
Ir
Vr
Ir
Vr
Is
Vs
Además la línea se puede representar por el siguiente modelo :
Ir+
-
Vr
+
-
Vs
IsZ=Zc sinh ( l)
2tanh
Zc
1
2
lY
2tanh
Zc
1
2
lY
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