1.la geometría del espacio euclidiano 2.funciones vectoriales 3.diferenciación 4.integrales...
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1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
2: D R R
3
3
Definición
La gráfica de la función es el lugar
geométrico de los puntos del espacio
euclidiano
, , , , ,G x y z x y z x y
R
R
Representación implícita:
, , 0
Representación explícita:
,
Representación paramétrica o vectorial:
, , ,
F x y z
z f x y
x X u v y Y u v z Z u v
Si tenemos una representación explícita
,
es muy fácil pasar a una representación
paramétrica.
Se toman e como los parámetros
y nos queda
ˆˆ ˆ, ,
z f x y
x y
r u v ui vj f u v k
2
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r X Y Zi j
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ku
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2 2 2 2 2
2 2 2
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sin cos cos cos 0
cos sin sin sin cos
cos cos ,sin cos ,sin cos sin cos cos sin
cos cos ,sin cos ,cos s
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u v u v v
R u v u v u v v u v v
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f x y f x yr ri k j k
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i j k
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22
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x y x x yf
y
r r f f f fi j k
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22
ˆˆ ˆ, , ,
ˆ 1
z f x y r x y xi yj f x y k
r r f fn
x y x y
v
n̂
ˆcosv S v n S
• Necesitamos describir las superficies y sus características, principalmente debemos ser capaces de calcular el vector normal.
• Necesitamos un campo escalar o un campo vectorial, que son las funciones que vamos a integrar
• Necesitamos calcular la función a integrar sobre la superficie
• Finalmente, debemos proyectar el campo “sobre” la normal a la superficie
3
3
:
,
es una superficie en cuya
descripción paramétrica es
, con ,
R T T
D
r rdS r u v dudv
u v
R T
r u v u v T
R R
R
31 1: , ,x y z xyz R R
Superficie sobre la cual calcularemos la integral
, 0 0 1 0 1z f x y x y
Superficie sobre la cual calcularemos la integral
, 0
, , ,0 0 1 0 1
z f x y
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, , ,0 0 1 0 1
z f x y
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0,0,1
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v
,
, , ,0 0 1 0 1
z f x y
r u v u v u v
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0,
0,0,1
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r r
u
r
u
v
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31 1
,
: , ,
, , ,0 0 1 0 1
1
R T T
r rdS r u v dudv
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r u v u v u v
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0 0 0R T
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32 2: , ,R R x y z x y z
Superficie sobre la cual calcularemos la integral
, 0 0 1 0 1z f x y x y
32 2
,
: , ,
, , ,0 0 1 0 1
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1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0
1 11
2 2
R T
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ududv vdudv udu dv vdv du
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2 2
, ,
: , , 3
, , 2 , 0
R T
U x y z dS
U R R U x y z z
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Gráfica
3
2 2
, ,
: , , 3
, , 2 , 0
R T
U x y z dS
U U x y z z
R T x y z z x y z
R R
2 2
2 2
22
2 2 2 2
, , ,
, , ,2
2 2, 2 2
ˆ 1
ˆ 1 2 2 1 4 4
R T T
r x y x y x y
x x y x
r r f fn
x y x y
n x y x y
r rU x y z dS U r x y dxdy
x y
2
2
2 22 2 2 2
2 2
3 2 1 4 4
Esta integral doble es muy complicada en coordenadas
cartesianas, hay que pasar a coo
, , ,
rdenadas polares.
R T
x
T
x
R T
UdS x y x y
r r
d
U x y z dS U r x y d
y
xdyx y
dx
2
2
2 22 2 2 2
2 2
2 22 2
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3 2 1 4 4
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3 2 1 4
x
x
x y x y dxdy
x y
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2 22 2
0 0
2 22 2
0 0
22 2
0
3 2 1 4
3 2 1 4
6 2 1 4
37 1116
20 10
d d
d d
d
2 2
3
, , ; , , 2 , 0
: , , 3
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R T
R T T
R T
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U R R U x y z z
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x y
U x y z dS
3 3
3
Sea un campo vectorial
:
sea es una superficie en cuya
descripción paramétrica es
, con ,
F
F
R T R
r u v u v T
D R R
3
ˆ,
es una superficie en cuya
descripción paramétrica es
, con ,
R T T
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R
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2 2 2
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F R R F x y z x x y z
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cos cos cos ,sin cos ,sin
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2 2 2/ 2 2
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cos cos cos ,sin cos ,sin
cos cos 2cos sin coscos
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u v u v u v vdudv
v u v u v v
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2 2 2
22 2
0
cos cos 2cos sin sin cos sin
cos 2cos sin sin cos sin cos
cos 2cos sin sin 0
vdv u u u u du v vdv du
u u u u du u u u
u u u u du
/ 2 2 / 2 2
3 2 2 2
0 0 0 0
/ 22
0
cos cos 2cos sin sin cos sin
0 2 cos sin
S T
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vdv u u u u du v vdv du
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: , , , 2 ,
cos cos sin cos sin
0,2 0, / 2
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F R R F x y z x x y z
x u v y u v z v
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0
2 3
/ 22
0
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1cos sin sin
3
1cos sin
3
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v vdv v
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, , 1, 0
: , , , 2 ,
cos cos sin cos sin
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x u v y u v z v
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3 3 2
Sea el campo vectorial:
: , , , , 3A R R A x y z z x y z
2 2
Sea la superficie definida por el cilindro
16
situada en el primer octante
entre 0 y 5
x y
z z
Calcular integral de superficie
3 3 2
Sea el campo vectorial:
: , , , , 3A R R A x y z z x y z
2 2
Sea la superficie definidida por el cilindro
16
situada en el primer octante
entre 0 y 5
x y
z z
2, , 16 ,
0,4 0,5
r u v u u v
u v
2, , 16 , 0,4 y 0,5r u v u u v u v
2, , 16 ,
0,4 0,5
r u v u u v
u v
2
,1, ,0
16
,0,0,1
r u v u
u u
r u v
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2, , 16 ,
0,4 0,5
r u v u u v
u v
2 2
ˆˆ ˆ
1 0 , 1,016 16
0 0 1
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2
2
, , 16 , 0,4 y 0,5
, 1,016
r u v u u v u v
r r u
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3 3 2
2
2
ˆ,
: , , , , 3
, , 16 ,
0,4 0,5
, 1,016
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u v
A R R A x y z z x y z
r u v u u v
u v
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20 0
4 5
20 0
4 5 4 5
20 0 0 0
4
20
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, , 3 16 , 1,016
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16
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uv u u v dudv
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udu vdv udu dv
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, , 16 , 0,4 y 0,5
,1,016
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2
20 0
4 5
20 0
4 5 4 5
20 0 0 0
4
20
ˆ,
, , 3 16 ,1,016
16
16
25 2540 4 40 90
2 216
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uv u u v dudv
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uvdu dv u
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