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1BB
7.5.1 ENERGIA CINETICA
Be define como Energía cinética de un cuerpo de
masa m cuando tiene una velocidad v al escalar i
K = '¿mW E c 7.25
7.5.2 IRABAJO (UNA DIMENSION)
Igualmente se define como el trabajo realizado
por una fuerza F sobre un cuerpo entre las
posiciones y x a :
W = Fd x Ec 7.2É>
7.5.3 TEOREMA DEL TRABAJU Y LA ENERGIA CINETICA
La Ec 7.24 queda :
K - K- = w Ec 7.27
A este Ultimo enunciado se le conoce como
teorema del trabajo y la energía cinética
Expresa que, cuando la fuerza resultante actúa
200
Expresa que, cuando la -fuerza resultante actúa
sobre una partícula en una trayectoria limitada
por dos posiciones ( xra y x en este caso ), su
trabajo W es igual al cambio que hay en la
energía cinética de la partícula entre los dos
puntos.
7.5.4 DIMENSIONES Y UNIDADES DE TRABAJO Y ENERGIA
LFL] = [Fuerza .Long i tud j = [mLU-2 ]
Las unidades correspond i entes al sistema
internacional son:
[N.m] = Julio - J
En otros sistemas:
[Dina.cm] = ergio (Un julio = 10^ Ergios)
[Lbf.pie] = Ibf.pie (Un Julio =
O.7376Lbf.pie)
Otras unidades de energía son
201
E1 ec trónvo 1 tio = eV = 1.602x10*"' Julios
Kilovatio-hora = Kw-hr = 3.6X10a Julios
Caloría = 4.186 Julios
Volviendo a la Ec 7.27 la solución al caso de fuerza
dependiente de la posición tiene implícita en ésa
igualdad la primera integral del movimiento. En
efecto, encontrar la velocidad de la partícula del
valor de la energía cinética es muy simples
v = ±(2K/m)'í = ±(21 W+K0]/m)'¿ Ec 7. 2B
La escogencia del signo depende del análisis
cuidadoso de la situación física del problema.
Ejemplo 7.9
Hallar la velocidad a la que sale despedido un bloque
de masa 0.5 Kg cuando le empuja un resorte
inicialmente comprimido por él 10 cm. en un arreglo
como el mostrado en la figura (contante del resorte =
k = 100 N/m ):
202
0-1 m-
v=1 4 m / s i —
Figura 7.10
Cloque empujado por rer.orte
Inicialmente se calculará el trabajo hecho por
resorte entre la posición inicial x 0 = -0.1 m y x
O.O mí
W = (-kx ' )dx • = C-'^kx *jlVc Ec 7,
W = 'íkxn2 = 100N/m ) (-0. lm )2
W = Julios
Por la Ec 7.28:
1*73
Por la Ec 7.30:
dx ' / (2tO,5-50x2+0] )'í=t-to= dx ' / ( 1-lOOx2 )'<£;( a )
La solución de esta integral es sencilla haciendo un
cambio conveniente de variable
u = are SenlOx -> Sen u ~ lOx
(Cos u du)/ÍO = dx ; (b)
( 1-lOOx2 = ( l-Sen2 u ) '4 = Cos u; (c)
Reemplazando (b) y (c) en (a): A A
dx ' / ( 1-lOOx2 =
f\ du = u =t-t
(Cosudu)/Cosu
A " d x ' /1 -100x2 ) 4 = are Sen lOx [ ito = t - tc
178
are SenlOx-arc SenlOxe = t - t 0
Como t D = O s; x Q = -0.1 m,
are SenlOx = t + are Sen (-1) = t + 3n/4
Aplicando la función Seno a ambos lados.
lOx = Sen ( t +3ii/4)
x = 0.1 Sen(t+3n/4)
Que es la respuesta buscada.
En los ejemplos anteriores se presenta un nuevo
concepto para analizar el problema del movimiento: el
resorte, al ser comprimido tiene la propiedad de
comunicarle energía cinética al bloque cuando se le
libera. Dónde estaba ésa energía antes de hacerse
evidente con el movimiento del bloque ?.
Una situación similar ocurre si se deja caer un
objeto desde cierta altura sobre la superficie de la
178
tierra. De nuevo el cuerpo adquiere energía de
movimiento. Uuién le dió ésa energía?. Dónde estaba
antes de que se produjera la caída?
Es obvio que deben haber otras formas de energía
diferentes a la de movimiento que justifiquen la
aparición súbita de esta última en los casos
ejemplarizados; es una clase de energía virtual o en
potencia que se denominará Energía potencial. Su
definición formal se hará un poco mas adelante;
sinembargo, la novedad del concepto de energía está
en que mediante él se podrá estudiar el movimiento de
los cuerpos como una consecuencia de sus intercambios
de energías. Se verá además que, mediante este
enfoque, puede llegar a omitirse el uso de la segunda
ley de Newton para el cálculo de velocidades y
trayec torias.
La importancia de estos conceptos amerita un estudio
mas formal de ellos:
7.5.5 DEFINICION GENERAL DE TRABAJO
178
Las fuerzas que afectan a una partícula, en el
caso mas general, no actuaran en direcciones
paralelas o anti para 1e1 as a su trayectoria. En
la figura siguiente se considera una partícula,
ubicada en el punto P, posicionada por el vector
r en un marco de referencia inercial, que se
mueve en la trayectoria definida por la curva C
bajo la acción de una única fuerza F. En un
intervalo de tiempo diferencial dt la partícula
sufre un desplazamiento diferencial dr, tangente
a la trayectoria en P.
( a ) ( b )
Figura 7.11
Trabajo de una fuerza en una trayectoria
178
El vector fuerza puede descomponerse en dos
componentes perpendiculares, una de ellas
paralela a la dirección de dr; puesto que la
componente perpendicular F M no modifica la norma
de la velocidad (recordar que solo la fuerza
tangencial lo hace), ella no debe intervenir en
el cambio de energía cinética de la partícula en
el intervalo de tiempo considerado. Como se ha
dicho que F es única o resultante, su trabajo
sobre la partícula entre las posiciones r y r+dr
debe ser igual al cambio de su energía cinética;
la conclusión es que sólo la componente
tangencial de la fuerza hace trabajo sobre la
par tícula.
dW = F T dr Ec 7.31
Que se puede expresar como
dW = Fdr Cosf Ec 7.32
O también como
178
dW = F dr Ec 7.33
Expresiones que permiten el cálculo del trabajo
en un desplazamiento infinitesimal. Para ttl
cálculo del trabajo en la trayectoria AB se debe
realizar la suma de los trabajos diferenciales
consecutivos en cada punto de la trayectoria que
una A con B.
^AB = F A . d r 1 + F 2 . d r 3 + F 3 . d r 3 +
W. F . dr = dr Ec 7.34
En donde F x , F 2 , , etc, son los valores de la
fuerza en los puntos 1,2,3, etc de la curva.
Ejemplo 7.11
Calcular el trabajo necesario para mover a
velocidad constante una masa cerca de la
superficie de la tierra, desde un nivel de
referencia cero hasta otro de altura h sobre el
primero.
178
El diagrama de cuerpo libre del problema es:
Y nP
I X
W
Figura 7.12
Trabajo contra el peso de un objeto
£ F v i = ma , = O (Movimiento a velocidad
constante )
F - W = 0
F = W = mg
F = mgj
F.dr =
= mg h
mgj.dy j = C mg dy]j.j =|mgyj 0
178
Es de anotar que la fuerza w = -mgj hizo un
trabajo igual pero de signo contrario -mgh. El
trabajo total que obró sobre la masa es,
consecuentemente, cero. Resultado compatible con
el teorema del trabajo y la energía cinética
pues la velocidad no cambia en el problema.
El ejemplo anterior ilustra un caso particular
para el cálculo del trabajo cuando interviene
una fuerza constante:
O B F.dr = F- dr " F. ( r_ Ec 7.35
En casos mas complejos se deberá conocer la
dependencia de la fuerza en cada punto de la
trayectoria. Si ésta está definida por la
función a(t) en el intervalo limitado por los
puntos inicial y final, el vector a'(t) dt será
tangente a la trayectoria en todo punto. La Ec
7.34 es equivalente a:
W = r> P
F.dr = A o
F<a(t).a'(t) dt Ec 7.36
2 0 1
a ( t )
es una función definida en R 3 .
Ejemplo 7.12
Sobre una partícula actúa una fuerza F = [(y*-
x2 ) , 3xy ] =My2-x2 )i+3xyj . Hallar el trabajo
efectuado por la fuerza al moverse la partícula
entre los puntos (0.0) y (2,4) siguiendo las
trayectorias señaladas en la figura.
Figura 7.13
Trabajo entre dos puntos por varias trayectorias
2 0 2
< * ) Se encontrarán las expresiones paramétricas para
las trayectorias y :
Para Cí : a(t) = (0,0) +[(2,0) - (0,0)]t =
(2t,0)
a (t)- (2,0)
F(a(t))= [(0®-(2t)2) , (3)(2t)(O)] = (-
4t2 ,0)
Para C = : a(t) - (2,0) +[(2,4) - (2,0)}t =
(2,4t)
a'(t)= (0,4)
F ( a ( t) ) = [ ( 22 — ( 4t) 2 ) , (3)(2)(4t)] = ( 16t2-
4,241)
O < t < 1 en ambos casos. La sucesión de puntos
de las rectas C^ y C 3 recorridos en el sentido
señalado se obtiene al asignar valores entre
cero y uno al parámetro que define a(t) en cada
178
caso.
Aplicando la Ec 7.36 para el cálculo del trabajo.
Para Ci :
W = (-4t* ,0).( 2 , 0 ) d t
W = <-8t* )dt =-(8/3) t3 (c
W = -(8/3) Julios
Para C-. :
W = (16t2 — 4 , 241) . (0 ,4)dt
178
W = i i 961 dt = 49t2 I..
W = 48 Julios
WTcrr_ = — ( 8 /3 ) +48 = 45.3 Julios
( b)
Para la trayectoria (b) la expresión paramétrica
es :
«(t) = ( t, t2 ) para 0<t<2
a (t)= (i,21)
F ( a ( t) ) = t(t"-t') , ( 3 ) ( t) { t2 ) J
La Ec 7.36 :
n T-W = < t ^ t 2 , 3tT- < 1 , 2 t ) d t
A-» w = ( 7t --t2 )dt = 7 t/ 5 - t 73
W = 42.1 Julios
178
7.5.6 FUERZAS CUNSERVAÍIVAS
Cuando el trabajo realizado por una fuerza sobre
una partícula no depende de la trayectoria sino
de los valores inicial y final de las posiciones
de la partícula, se dice que la fuerza es del
tipo conservativo.
En la figura 7.14 se representan trayectorias en
el plano xy recorridas por una partícula bajo la
acción de una fuerza F.
Figura 7.14
Tuerza conservativa
216
Si,
O B F . dr Ir'or» ei F. dr POR CI Ec 7.37
Sin importar cuáles sean las trayectorias C^ o
C = , entonces F es conservati va . (Jomo :
F.dr fe F.dr
La ecuación anterior quedará.
F.dr for» ci F.dr = O = F .dr
Ec 7.3B
Donde significa que la integral se calcula
sobre una trayectoria cerrada. Las
Ecuaciones./.37 y .7.38 son equivalentes y
definen matemáticamente el concepto de fuerza
conservativa.
178
7.5.7 ENERGIA POTENCIAL
A toda fuerza conservativa se le puede asociar
una Energía potencial definida por :
dU = -F.dr Ec 7.39
Donde U es una cantidad escalar con dimensiones
de energía. Integrando la igualdad anterior,
U - L W F. dr = - W | ^ Ec 7.40
Generalmente se asigan el valor UR = O cuando la
posición está definida por el vector r.
Ejemplo 7.13
Demostrar que el peso es una fuerza
conservativa. Hallar la energía potencial
asociada a ésa fuerza.
178
La integral del trabajo que hace el peso entre
dos posiciones cercanas a la superficie de la
tierra es:
rv ( O , O , —mg ).dr =
Donde (0,0,-mg) es el peso 5 suponiendo que el
eje zz' es perpendicular a la superficie de la
tierra.
El vector dr es, en coordenadas cartesianas
(dx,dy,dz). La integral de trabajo entre A y B
queda :
El (0,0,-mg).(dx,dy,dz) =
« \J
E»
(-mg d z)
( ~mg ) dz
w AB = ( ~mg ) [ z ] 2<=> =(-mg)(z _ -z _ ) Ec 7.41
178
Que es el mismo resultado encontrado para el
ejemplo 7.10, sólo que, en este caso, no se
limitó la trayectoria a una sola dimensión. La
Ec 7.41 es mucho mas general y de ella se
concluye que , no importando que trayectoria
siga una partícula afectada por su peso(cerca a
la supeficie de la tierra), el trabajo que
efectúa esta fuerza sobre ella depende solamente
de la diferencia de alturas entre los puntos
inicial y final de la, trayectoria.
Consecuentemente, la fuerza es conservativa.
Para el cálculo de la energía potencial asociada
al peso se dirá que el nivel de referencia es Z,
= O, asignándosele a tal punto la energía
potencial de referencia cero.
Por la Ec 7.40:
U B " U„ = = U r, - - ( -mg ) z B
Suprimiendo el subíndice B, se tendrá:
2 1 0
U = mgz Ec 7.41
De igual manera se puede demostrar que la fuerza
elástica es conservativa y tiene una energía
potencial asociada dada por :
Con un nivel de referencia x = *„ = 0 (Cuando el
resorte esta sin deformar) para el cual U,^,
O(Ver el ejemplo 7.8 y la Ec 7. 29).
8 RELACION ENTRE ENERGIA POTENCIAL Y FUERZA
La Ec 7.39, que relaciona amboss conceptos es
equivalente a las tres ecuaciones escalares
siguientes i
U = '¿kx* Ec 7.42
(SU/6x) =-F Ec 7.43.a
(6U/6y) F. V Ec 7.43.b
21 1
(6U/6z) »-F. Ec 7.43.e
Para F = F„ Í -M- I K - < F,, F
Ej empio 7.14
Una partícula se mueve en una región en donde la
energía potencial es de la forma (a) U - 2x2
;<b) Ü =4yT ;(c) U = 5xy . Expresar la fuerza
asociada a la energía potencial en cada caso.
(a)
SU/ 6 x = 6/6 x(2x2) ~ d / d x ( 2 x2 ) -- 4x = -F„
6U/6y = 6/6y(2x2 ) = O = ~F„
6U/6z = 5/6z(2x2) = O — -F.
F = —4 x i = (-4 x,U,O)
( b) 6U/6x = 8/Sx(4y7) = O ~ -F ,,
212
6U/6y = = 12y2= -F
SU/ 6 7 ~ 6/67(4y") - O = ~F„
F = — 1 2y? j = (O,-12 y2 ,0)
(c )
6U/Sx = 6/5 x(5xy) = 5y = -F,r
6U/ 6 y = 6/Sy(5xy) - 5x = F v.
6U/6z = 6/6/(5xy) = O = F
F = -5y i -5x j = (-5y,-5x,O)
7.5.9 ENERGIA MECANICA
Para una partícula se define como su energía
mecánica a la suma de sus energías potencial y
cinética :
E ~ Energía mecánica — K * U Ec 7.44
178
7.5.IO PRINCIPIO DE CONSERVACI UN DE LA ENERGIA
MECANICA EN SISIEMAS CONSERVATIVOS
En un sistema en donde sólo actúen fuerzas
conservativas la energia mecánica no depende del
tiempo; es una constante. Para el estudio del
movimiento la medida de su valor constituye un
dato valiosa para la solución del problema: la
energía mecánica es una constante del movimiento
de los sistemas conservati vos.
K + E = constante Ec 7.45,a
A- K + u = 0 Ec 7.45.b
Donde /\ K y U son las diferencias de
energías cinéticas y potenciales del estado
final y el estado inicial de la partícula u
sistema.
Ejemplo 7.15
178
Estudiar la caída libre de un cuerpo desde el
punto ds vista energético.Datos numéricos :
Altura inicial ~ z„ = 10<> m.
Velocidad inicial =
= Om/s
Gravedad = 9 . 8 m/s5
Energía mecánica inicial = E^ ~ Ka + U0 = 0 +
mq z 0
Como la energía es una constante del movimiento,
al ser el peso una fuerza conservât iva, en todo
punto de la trayectoria debe ser la misma.
E = = mqzD
Si z es la altura sobre el nivel del piso de un
punto arbitrario de la trayectoria, su velocidad
podrá obtenerse de:
E = K + U = 'ítnv2 + U
v ~ ± t 2 ( E U) /m Ec /.46
178
v - ~f 2 (E - mgí )/mJ'í
La expresión anterior equivale a la primera
integración del movimiento y permite saber el
valor de la velocidad en función de la altura;
se tomó el signo negativo para la velocidad al
suponer el sentido creciente de la altura sobre
la superficie de la tierra como sentido positivo
de 1 eje z .
Debe observarse que e^ta ecuación es una
modificación ríe la te f. aJ introducir en ella
los conceptos de energía mecánica y energía
potenc ia1 .
dz/dt = v - 2 (E - mqz)/mjvj»
L d z ' ] / t 2 ( E ~ mgz ' ) /mT4¡ = A t
d t tío
Teniendo en cuenta que E = mqz n ; t - O.
(m/2)'«( -2/mg ) t (mqz^ mqz ) Tí |a
178
t* = (2/mg* ) (mgzQ - mgj )
Z » z 0 - '4gt»
Para obtener la dependencia de la velocidad
respecto del tiempo basta con derivar la última
igualdad.
7.5.11 UESCR1PUIUN CUALITATIVA DEL MUV1MIENTO CUN
GRAFICAS DE ENERGIA
Las Ecuaciones 7.43 permiten predecir, mediando
como elemento de análisis la gráfica de energía
potencial en función de posición, el
movimiento de una partíacula confinada a ésa
región de potencial en una forma cualitativa.
En la figura 7.15 se representa la función
energía potencial que afecta a una partícula en
una región unidimensional del espacio. E 1 P E = y E 3 representan los valores de distintas energías
mecánicas que podría tener la partícula.
Evidentemente, deben ser líneas horizontales de
energía constante, como debe ser para el sistema
conservativo referido.
21 7
tJU)
F igura 7 - 1 í>
Movimprtto según curva de potencial
Partícula con energía E t:
La línea que representa la
energía mecánica corta la de
potencial en los puntos 1 y 1",
restringiendo el movimiento al
espacio comprendido entre ^ y
x a.' • tun E_, cualquier a otra
región está prohibida pues los
valores de la energía cinética
sólo son positivos* K=E-U) en el
rango descrito. Los valores de
2 i e
energía cinética negativa son
clásicamente imposibles.
x.i V denominan puntos de
retorno; en ellos U=E . La
energía cinética será por lo
tanto cero y la velocidad estará
cambiando de sentido o signo,
pasando momentáneamente por el
valor cero. Las "fuerzas que
afectan a )a partícula tienen en
ésos puntos sus máximos valores (
F = -dU/dx :son los valores de
las pendientes a la curva de
potencial con signo cambiado) y
están dirigidas hacia el punto de
equilibrio del movimiento, que es
aquel en donde la tangente a la
curva de potencial es t:ero(
kl movimiento es pues oscilatorio
entre y , alrededor de C
Partícula con energía
219
Se tendrán en este caso dos
posibilidades de movimiento. El
primero, entre los puntos 2 y 2
, de características similares al
descrito para K¿ . Si se encuentra
en el. punto L'_., en el cual E-, es
tangente a Ja curva de potencial,
la partícula está en una posición
de equilibrio estable pues allí
la fuerza que actúa sobre ella es
cero ( f = -dü/dx =tg(0) ^O ) y
las fuerzas que aparecerían ante
un desp1 azamiento de la partícula
a un lado u otro de ésta posición
generaría fuerzas dirigidas hacia
C =, llamadas recuperadoras, que
restablecerían el equilibrio.
Los puntos como C x y C 3, ubicados
en mínimos matemáticos de la
curva de potencial son de
equilibrio estable.
178
Partícula con energía
En punto C,,es también de
equilibrio pero inestable pues, a
pasar de que en él también hay-
fuerza cero, los desplazamientos
alrededor de ésa posición
propiciarían la aparición de
fuerzas que alejarían a la
partícula de tal punto de
equilibrio. En los puntos de
equilibrio inestable,
contrariamente a los de estable,
la concavidad de la curva señala
hacia abajo.
7.5.12 ENERGIA POTENCIAL GRAVITAIÜRIA
La fuerza gravitacional
vecino a la tierra es
central, dirigida hacia
que afecta a un cuerpo
una fuerza de carácter
el centro de la tierra.
F = -Gmli/r 2 r
La energía
fuerza es :
178
potencia] asociada a este tipo de
Figura 7.16
Energía potencial gravítatoria
U( r) - U ( r ~ ) = -GmM dr'/r'z ( r . r )
= -GmM ( 1/R - 1/r
Tomando como r^^- a un punto situado a una
distancia infinita del centro de la tierra tal
que Up^pS O, se tiene que ;
178
U(r) = -GmM/r Ec 7.47
En la gráfica se describe la forma de la función
que tiene validez para puntos pur encima de su
superficie ( r > R t =radio de la tierra). M es
la masa de la tierra y m la del cuerpo situado
cerca a alia.
Reemplazando la Ec 7.46 en la Ec 7.47 se
describe la velocidad de un cuerpo que se mueve
bajo la influenc ia de la tierra:
v = ±[2(E + GmM/r)/m ] Ec 7.49
Si el cuerpo de masa m esté sobre la superficie
de la tierra en reposo,
E = U = -GmM/Rt Ec 7.50
corresponde al valor minimo de la energía del
cuerpo. Todo cuerpo lanzado hacia arriba desde
la tierra superara ése valor de energía al
adicionarle su energía cinética de salida;
alcanzará la energía mecánica cero cuando esta
178
última sea igual al valor de la Ec 7.5o.
'írnv» = ~OmM/Rfc
v = (2M6/Rt,)'4 = 1.13x10 * m/s = 40700 Km/hr
y establece que para que un cuerpo pueda salir
de la atracción de la tierral que sea lanzado
hacia arriba y no regrese mas), se requiere que
en la superficie se le imprima una velocidad de
al menos 40 700 fc'm/hr .
Un objeto que salga de la tierra con una
velocidad menor caerá de nuevo a ella. El punto
de retorno, es decir, donde su velocidad se
vuelve cer o se encuentra igualando la energía
cinética a cero:
K - E + GmH/r - O
r - - ((3mM / E )
t 1 cálculo no considera la del aire
224
7.5.13 ENERGIA POTENCIAL ELECTROSI Al ICA
Análogamente al tratamiento anterior se
demues tra que la energia pò tene i a 1
electrostática está dada por
U(r) = kqtq_,/'r Ec 7.51
La convención para nivel y energía potencial de
referencia es la misma. En este caso la energía
potencial es positiva si las cargas son del
mismo signo y negativa en caso contrario.
7.5.12 PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA ENERGIA.CASO
GENERAL
Una partícula puede estar sometida a fuerzas de
tipo conservativo o no conservativo. Las últimas
son las que no cumplen la definición de las
primeras (Ees.7.37 ó 7.38); su ejemplo mas común
son las fuerzas de fricción. El tratamiento
desde el punto de vista energético de los casos
en los que aparecen todo tipo de fuerzas se basa
en el siguiente razonamiento:
2 2 5
Sea F la fuerza resultante que actúa sobre una
particu1 a.
Fe es la suma de las fuerzas conservativas y Fnc
la suma de las no conserva tivas.Así:
F = Fe + Fnc
El trabajo que hace la fuerza resultante está
dado por la Ec 7. 77:
W F.dr = (Fe +Fnc) . dr
-K* = O n
Fe.dr + Fnc. dr
Ec 7.52 Wc I « + Wnc
Donde Wc es el trabajo hecho por las fuerzas
conservativas y Wnc es el que hacen las no
conservativas.
A cada una de las fuerzas conservativas, o a su
2 2 6
suma ,SP le puede asociar una energía potencial
( o una suma de energías potenciales ) de
acuerdo con la Ec 7.40.
B K« -K« = ~< um - + Wnc | «
Que llamando A K Y A " a Jas variaciones de
las energías cinética y potencial
respectivamente, se tiene:
» A. K + A U - Wnc Ec 7.53
La expresión es conocida como la ley de la
conservación de la energía y establece que la
suma de las variaciones de energías cinética y
potencial de una partícula es igual al trabajo
realizado por las fuerzas no conservativas entre
dos puntos de su trayectoria . Si no hay fuerzas
no conservativas la Ec 7.53 se reduce a la Ec
7.45.
FJ 7 - 16
227
v H
Figura 7.17
Sistema masa-resorte.ftnálisis energético
Un cuerpo de masa 10 Kq. comprime a un
resorte situado en la base de un plano
inclinado que hace 37 0 con la horizontal
tal como se muestra esquemáticamente en la
figura. El resorte, cuando esta sometido a
una fuerza de 500 N se comprime 20 mm. Si se
liberó el cuerpo habiéndosele forzado a
comprimir el resorte 20 cm., calcular,
(a) Si entre el cuerpo y el plano no hay
fr ícción:
228
a.l.La energía potencial del sistema cuando
el resorte está comprimido.
a.2.La energia potencial cuando cuerpo y
resorte pasan por la posición de equilibrio
de 1 ú1 timo.
a.3.La energía potencial al momento de
deterse el cuerpo en la parte superior del
plano.
a.4.Las expresiones generales de la
posición, velocidad y aceleración del
cuerpo en función del tiempo.
(b) Si el coeficiente de fricción entre el
cuerpo y el plano es de pK = O.2. Cuánto sube
por el plano?
Nivel de referencia para energía potencial ceros
Cuando cuerpo y resorte pasan por la posición de
equilibrio del último.
178
Expresión general para la energía potencial:
^ — ^oRAvirorrniii + ^RUOÍTIC« ( * )
(#)Sólo aparece para ~0.2<x<0 m
ü = mgx Sen3 7° > '4 kx?= 59 x + 1.5x10"
j u1 ios (* *)
a. 1
U = 59(-0.2) + 1.5x10a (-0.2)« = 588.2 Julios
a.2
U = O pues x - O
a._3
La energía mecánica se conserva y es igual a
calculada en a.l:
588.2 = ü + K ; pero K = O
230
588.2 = mqy = U
a. A
Desde el punto de vista energético se parte de
la ec.7.46 con E = 588.2 Julios y U dada por la
Ec (**):
v = ±[2(E - U } / m j
=[2(588.2 -59x -1.5*10"x*)/10J*
Ecuación que permite el cálculo de la velocidad
en función de la posición sobre el plano
inclinado para el rango -0.2 < x 1 O. El cálculo
analítico de la posicion en estfcí rango e=
complicado y resulta de la integración de la
expresión v = dx/dt integrando dx/v = dt ,
siendo v la función anterior.
Para el rango x>0 el término cuadrático de la
energía potencial de la Ec.(#*) desaparece al
perder el contacto el cuerpo y el resorte. La
velocidad, según la misma ec.7.46 queda:
178
v = L 2 ( 5BB. 2 - 59x)/10]'4 = dx/dt
d x / C 2 ( 588 . 2 - 59x)/10]'í = dt
Que integrada entre K 0 = O y X, t„ = O y t (Se
desprecia el corto intervalo de tiempo que
demora el resorte en recuperar su longitud al
ser liberado ), se tiene:
i-t
(-2/11 .8) ( 117.6 - 11. Bx I = t - O | Vto
(117.6 - 1 1 . 8 x ) = 10.9 - 5 . 91
Elevando al cuadrado la igualdad anterior y
despejando x se tiene:
x = 10.8t - 2.95 t*
dx/xt = v «= ÍO.B - 5.9 t
d*x/dt2 = dv/dt = a = -5.9 m/s2
Que son las respuestas solicitadas en a.4.
178
Verifique que el resultado es el mismo si el
problema se trata desde el punto de vista del
caso 2, de fuerza neta constante.
Diagrama de cuerpo libre Ej.7.16
Del diagrama de cuerpo libre (el bloque ya no
está bajo la acción del resorte):
X F v ± =ma^ = O = N - w Cos 37 0
f = N = -0.2 * w Cos 37° = -1.6 N
La Ec 7.53 queda para el problema:
\ N
Figura 7.IB
K-, - Kx U 3 - Un= f( x s. - >< j. ) Ec . i
2 3 3
Donde en el punto dos el cuerpo se detiene, es
decir alcanza el mayor desplazamiento sobre el
plano inclinado. El punto uno es el definido por
las condiciones iniciales del problema.Así:
K 3 = = O
Ux = 588.2 J
ü 3 = mg<y 3 -yx ) = mq ( x= - x x ) Sen 37?
La Ec.i queda s
-588.2 = —(mq -f)(xa ) = -<98+1.é>) ( £ ~ *)
x=-x x - 5.9 di R e s p . 2 . b
178
c n r n u L u e
IRANSFURMACIDNES ENTRE MARCOS DE REFERENCIA
Al estudiar el movimiento de los cuerpos, se comenzó
por referenciarlo a un sistema de coordenadas fijo a
un cuerpo rígido, denominado marco de referencia.
Seguidamente se respondió a la pregunta de si existe
alguna condición en cuanto a los marcos de referencia
que se fueran a utilizar.
Vale decir si tiene importancia, por ejemplo que el
movimiento de una piedra que cae a la tierra sea
medido desde un automóvil que se desplaza sobre la
calzada, o desde la calzada misma. Las relaciones
matemáticas que se encontrarán para describir el
movimiento serán las mismas en ambos casos?.
En el capítulo 4 (Secciones 4.7 y 4.8) se absolvió
esta inquietud mediante la formulación de el
principio clásico de relatividad y la definición de
los marcos de referencia inerciales al postular la
178
primera ley de Newton .Un resumen de esto se hará a
con tinuac ión.
1 PRINCIPIO CLASICO ÜE RELATIVIDAD.
Todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas
para todos los observadores que se muevan unos
respecto a los otros a velocidad constante.
Este principio no se demostró ; solo la
experimentación respalda su veracidad.
2 MARCOS DE REFERENCIA INERCIALES
Los marcos de referencia en donde se cumple la
primera ley de Newton son los referidos en 8.1 y se
llaman marcos de referencia inerciales(MRI). A menudo
se especifica que tales marcos están fijos o se
mueven con velocidad uniforme respecto a las
estrellas lejanas.
La respuesta a la pregunta formulada arriba respecto
del movimiento de la piedra que cae es la de que se
pueden utilizar las mismas leyes físicas para obtener
178
la descripción de su movimiento desde el auto o la
calzada, mientras estén referidas a MRIs, es decir,
si la velocidad relativa de estos marcos de
referencia u observación es constante.
Se debe recordar que la descripción del movimiento de
un cuerpo se hace conociendo su posición en todo
tiempo, es decir, una función r (t). A parir de allí
queda definida su v(t) y su a(t).
8.3 TRANSFORMACIONES DE GALILEO.
Figura B.l
Transformaciones de Gal i leo
178
Si se tiene resuelto el problema del movimiento de un
cuerpo al conocer r (t) desde un MRI , y se requiere
"traducir" esta información a otro MRI, qué debe
hacerse?. Para ello se estudiará la figura 8.1 que
describe los puntos de vista de un observador B fijo
a la tierra y otro, S', que se mueve respecto a ella,
en relación con sus medidas de los desplazamientos de
un móvil cualquiera.
Ambos observadores están analizando el movimiento de
una partícula, que, en la pareja de instantes
ilustrados, definen los vectores PU = r para S y P'G'
= r' para S'. La relación entre ambas medidas está
dada por los vectores señalados r
r = u t + r' Ec 8.1
como r - xi + yj + zk = (x,y,z)
y r'= x ' i + y'j « z'k = (x',y',z')
Si se hace además coincidir el eje x con la dirección
de u entonces u = ui y la relación 8.1 se puede
escribir como tres ecuaciones simultáneas!
178
X = X ' + u t
y = y ' Ec 5.8.2
z = z '
t = t'
Se ha encontrado
de coordenadas
Galíleo.
Ejemplo 8.1;
Una partícula tiene una posición dada por
x - 30t + 10t = en sistema S
Encuentre la expresión para la posición medida por un
observador que se mueve en la dirección x positiva a
la velocidad de 100 m/s. Suponga que t = t = O
cuando S y S' coinciden.
lo que se llama una transformación
conocidas como Galileanas o de
178
x = 301 + 10t= = x' + ut = x + lOOt
x' = - 701 + 10t= Respuesta
Utilizando las ecuaciones 8.2, haciendo su derivada
respecto del tiempo se tendré:
dx/dt - dx'/dt' + u = dx'/dt u Tomando t = t'
Pero
dx/dt = velocidad instanténtanea en la dirección x
medida desde S
dx'/dt'= velocidad instantánea en la dirección de x
medida desde S
Luego:
Aná1ogamen te:
241
Ees.8.3
V Z = V . '
Las ecuaciones 8.3 se llaman usualmente
transformaciones de velocidad de Galileo.
Ejemplo 8.2:
Los puntos A y B están separados 4 kilómetros sobre
la misma orilla de un río. Dos hombres deben recorrer
tal distancia y regresar, partiendo desde A. El
primera de ellos camina por la orilla a una velocidad
de 4 kilometros/hora ; el segundo, que parte
simultáneamente con el primero, lo hace por el río en
un bote que desarrolla 6 km/hora respecto del agua.
(a)Encuentre la expresión de la posición,para el
viaje de ida, en función del tiempo, de cada una de
los hombres, medida desde A.
178
(b) cuál es la velocidad relativa entre el caminante
y el hombre del bote cuando comienzan sus viajes?
(c) Cuánto tiempo demora cada uno para hacer el viaje
completo?
Rio
3
B orilla
Figura 8.2
Gráfica del ejemplo B.2
(a)
i) Posición del caminante desde la orilla (Sistema S)
178
x =( 4 km/h ) t para 0<x<4 Km (o sea a la
ida )
como el recorrido es de 4 kilómetros, cuando se esté
en B
x B = 4 Km
xB = 4(km/h). t„
ts = lh
Es decir el caminante luego de una hora llega al
punto B. Este es el mismo tiempo que gastará a su
regreso. El tiempo total para la ida y el regreso del
caminante es 2 horas.
ii)Posición del hombre del bote! Para este caso es
más conveniente encontrar primero la ecuación de la
posición respecto del rio (Sistema S').
178
El río se considera como un sistema S' que se mueve
respecto de la orilla a 4km/h en la dirección
positiva del eje x de S, que en este caso representa
la orilla, con su origen de coordenadas en A.
La posición del botero desde 5' es
x = 6(km/h) . t
Aplicando las transformaciones de Galileo s
x = x ' + ut
x = <¿»t' ) + 41;
y como t = t '
x = 10 ( k m / h ) t
Que es la posición del bote desde A(orígen del
sistema S).
(b)Derivando la última ecuación se tiene;
2 4 5
dx/dt = d(lOKm/hr. t)/dt = 10Km/hr = v„,5e tiene la
velocidad del hombre del bote desde S. Que es
equivalente los a las velocidades relacionadas por
las correspondientes transformaciones de galileot
vK = v'„ + u = é> km/h + 4 km/h = ÍO km/hr.
Donde vM = & km/h es la velocidad del bote desde S
(el río)
y u = 4km/h es la velocidad relativa entre el río y
la ori1 la.
Consecuentemente, la velocidad respecto a la orilla
en el regreso del bote será dada por;
v„ = vM + u = - 6km/h + 4 km/h = - 2 km/h.
Donde el signo se interpreta como el cambio de
sentido de la trayectoria del bote que ahora va en la
dirección negativa del eje x' (o x).
(c)En la parte (a) se calculó el tiempo de 2 hr para
el caminante. Para el botero se utilizarán las
velocidades relativas para las dos partes de su
178
desplazamiento, esto es 10 Km/hr aguas abajo y -
2km/hr aguas arriba:
tiempo para la ida (Aguas abajo):
x„ = 4 km = 10 km/hr. tB
tB = 2/5 hr.
tiempo para el regreso:se debe tener en cuenta que
parte de un punto situado a 4 km a la derecha del
sistema de coordenadas S , es decir, la expresión
para la posición del botero al regreso medido desde A
(orígen de S) es:
x = 4km -2km/hr t
La posición final del botero es x^ = O
x<* = O = 4km -2km/hr t^
tA = 2 hr
El tiempo total para el hombre del bote es
178
tA+t„ _ (2/5 + 2) hr = 2.4 hr
la velocidad relativa entre los dos hombres
bote regresa y el caminante aún no ha
Cuál es
cuando el
1 1 egado a B?
Que sucederia si
respecto del agua?
el bote solo desrrollara 4km/h
Derivando de nuevo las ecuaciones B.3 .Be debe
recordar que u = velocidad relativa entres S y S' es
constan te.:
Ees.8.4
= a«'
Que corresponden a las transformaciones de Galileo
para aceleraciones. Las Ees.8.4 son la expresión
escalar de la ecuación vectorial:
2 4 8
a = a Ec 8.5
La aceleraciones de una misma partícula, medidas en
marcos de referencia inerciales, son las mismas. Como
la causa del movimiento puede entenderse, a la luz de
la segunda ley de Newton, como el efecto de las
fuerzas resultantes externas a la partícula, cuyos
valores se calculan por la expresión matemática de
dicha ley : F = m a ; las fuerzas, medidas desde MRIs
son las mismas. Las leyes de fuerzas que rigen los
fenómenos físicos serán entonces las mismas para
observadores en MR Is. La física clásica es pues la
misma en los marcos de referencia inerciales.
8.4 FUERZAS FICTICIAS
Las leyes de Newton tienen aplicación solamente para
observadores en marcos de referencia inerciales. En
marcos de referencia acelerados se hace necesaria la
introducción de fuerzas ficticias o seudofuerzas,
1 1 amadas asi porque rio son producidas por ninguna de
las fuerzas de la naturaleza sino por la condición
del marco respecto del cual se hace la observación.
178
Conviene ilustrar esto con la situación rutinaria de
un auto al tomar a velocidad constante una curva de
radio R . Desde el centro de la curva, sobre la
tierra, la aceleración del auto es radial o
centrípeta dada por(Ver Sección 7.4):
a ~ <-v2/R) r Ec B.6
La tierra, pn este caso puede ser considrraHa un MRI .
Los pasajeros del auto están en un marco de
referencia acelerado, con una aceleración dada por la
expresión anterior. Dentro de él, pasajeros y objetos
se sienten desplazados por una fuerza que los trata
de sacar de la curva; desde el MRI de la tierra se
diría que tal fuerza es radial, en la dirección
contraria a la aceleración centrípeta dada por B.6.
Si el auto se mueve ahora en línea recta respecto de
la tierra, de izquerda a derecha, y frena (sufriendo
una aceleración de sentida derecha-izquierda desde un
MRI en la calzada), aparecerá de nuevo una fuerza
2 5 0
para las cosas dentro del auto, de nuevo con sentido
contrario a la aceleración vista desde el MRI. Es
decir , si
a = -a i , desde la tierra,
dentro del auto,
a' = -a' i
En los casos descritos, el observador, dentro de los
sistemas acelerados, deberá postular la existencia de
una fuerza no asociada a las cuatro fuerzas conocidas
descritas en el capítulo é>, es decir, una seudofuerza
o fuerza ficticia, para poder explicar los
movimientos que ocurren desde su punto de vista.
En la figura siguiente se utiliza una argumentación
similar a la utilizada para la demostración de las
transformaciones de Galileo, solo que para este caso
, el segundo marco se supondrá acelerado respecto del
primero, u , la velocidad relativa entre S y S' es
ahora dependiente del tiempo. Para simplificar la
situación se considerará que du/dt = A = constante; S
251
y S' están uniformemente acelerados,
u Ad t = A t Ec 8.7
En t = t,_ = O S y S coinciden en el espacio y están
quietos el uno respecto del otro.
El punto P está fijo a S y el P' lo está respecto de
S', y son el punto de partida del movimiento de una
partícula (En t = 0 P coincide con P' ) ;
Marcos de uníformemente
178
En el instante t = t = t ' el móvil fia tenido un
desp1 a2amiento r en S y r' en S . La relación entre r
y r' es :
r = PP' » r' te 8.8
PP' r\ te
u ( t ) d t = teo V.
At'dt
En donde se reemplazó la Ec 8.7 en u(t)
PP' = '¿At* Ec 8.9
Reemplazando Ec 8.9 en Ec 8.8
r - '¿At* + r' Ec 8.10
Derivando respecto al tiempo!
v = At + v Ec8.ll
a = A + a' Ec 8.12
178
La últimas tres ecuaciones son las transformaciones
para éste caso. Atendiendo a la Ec B.12, que
relaciona las aceleraciones entre marcos de
referencia no inerciales, se podrá comprender la
aparición de las fuerzas ficticias en tales
si tuac iones.
Multiplicando por la masa de la partícula en
ebservación en S y 3 :
F - F xr-r = F Ec B. 13
La fuerza observada en S' será la detectada en S
menos la masa del objeto por la aceleración de S'
respecto de S.
En el caso del auto referido al comienzo de esta
sección una fuerza ficticia que aparece es;
- m (v» /R) r en la curva, y
^ n c r ~ m a i al frenar en la recta.
178
Ejemplo 8.5;
Un cuerpo de un kilogramo de masa reposa sobre otro
de LO Kq, el cual a su vez reposa sobre una
superficie horizontal, tal como se muestra en la
figura. La fuerza externa es F = 0.2 t iN. Si el
coeficiente de fricción estático es 0.2 y el cinético
es 0.15 entre todas las superficies, encontrar el
movimiento de cada bloque en función del tiempo.
Figura 8.4
Bloques del ejemplo B.3
Del DCL. del sistema cuando está a punto de moverse!
E F,.(1 = ma,, = 0 = i l ( 0 ) = F - - f = F - j j J ^ = f - MbW
178
F = p s mg = 0.2 t
En t = [Ü.2*llKq*9.Bm/s2J/LO.2 N/sj
= 107.8 s
8p comenzará a mover el
sistema.
Para t > 107.8 s :
z F„i ~ ~ F - f = 0.2t - jjmg
a„ = O.02 t - 1.96 (i)
realizando las integraciones correspondientes se
tiene;
v„ = O.01t2 - 1.96 t
x (O.01/3) t~ - 0.98 t2 (Para t„ = O ; x(O) = O)
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