1ª jornada

1ª Jornada

SISTEMAS DE NUMERACIÓN, SENTIDO NÚMERICO Y

PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá LandetaMtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

Enero 2011

Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá LandetaMtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

• Egipcio• Babilonio• Maya• Romano• Multiplicación y división

La matemática babilónica

1800-1900  a. C

Actividad1: ¿Podrías descifrar la siguiente tableta matemática?

Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá LandetaMtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

Actividad1: Desciframiento y análisis de una tableta numérica babilónica.

1. Observa las figuras.2. ¿Existe algún valor

numérico asociado a cada figura?

3. ¿Qué patrón de numeración sigue la tabla?

4. ¿Qué competencias se desarrollan?

• Este sistema apareció por primera vez alrededor de 1800-1900  a. C. También se piensa que es el primer sistema de numeración posicional

• Los babilonios usaban “cuñas” para representar los números

Sabías que ….

Su sistema numérico era de base 60

Convirtiendo a su equivalente en decimal:1x603= 21600057x602= 20520046x601= 276040+600= 40

424000

+

Se cree que adoptaron el número 60 como base debido a que el 60, es un número compuesto de muchos factores fue elegido como base debido a su factorización 2×2×3×5, que lo hace divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, y 30. y esto hace que trabajar con fracciones sea mucho más sencillo. De hecho, es el entero más pequeño divisible por todos los enteros del 1 al 6

Sabías que ….

Calcularon la raíz de 2

Conocían el “Teorema de Pitágoras” mil años antes que el lo redescubriera

Tablilla Plimpton 322

Interpretación decimal

La matemática egipcia

3100 a. C. – 332 a. C.

Consultado en: http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto

Los matemáticos egipcios usaron símbolos para representar números

Los símbolos se podían repetir para representar números más grandes

• Cálculos Matemáticos

Fue un sistema decimal por yuxtaposición

Tableta con números

El sistema egipcio no era posicional

Las operaciones de multiplicación y división de los egipcios están basadas en el hecho de que cualquier número

natural se puede representar por medio de una suma de potencias de 2.

Sabías que ….

“Cualquier número natural se puede expresar por medio de una suma de potencias de 2”

1 20 1

2 21 2

3 21+20 2+1

4 22 4

5 22+20 4+1

6 22+21 4+2

7 22+21+20 4+2+1

8 23 8

9 23+20 8+1

10 23+21 8+2

11 23+21+20 8+2+1

12 23+22 8+4

13 23+22+20 8+4+1

14 23+22+21 8+4+2

15 23+22+21+20 8+4+2+1

Tenían un método para multiplicar39 × 26 26(20) 26×1 26 1

52 26(21) 26×2 52 2

104 26(22) 26×4 104 4

208 26(23) 26×8 208

416 26(24) 26×16 416

832 26(25) 26×32 832 32

1014 39

39 × 26 = 1014

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Actividad2: Multiplicación en el Antiguo Egipto

Ejemplo: 15 x 85= 1275

85 1170 2340 4680 8

15

85 170 340 680 1275

+

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Actividad2: Multiplicación en el Antiguo Egipto

Otro ejemplo: 44 x 16=

16 132 264 4

128 8256 16512 32

44

64 128 512 704

+

Tenían un método para dividir1014 / 39 39(20) 39×1 1

78 39(21) 39×2 2

156 39(22) 39×4 4

312 39(23) 39×8 8

624 39(24) 39×16 16

1014 26

Esto es: 39x2 + 39x8 + 39x16 = 39 x (2 + 8 + 16) = 39 x 26 =1014De donde: 1014 ÷ 39 = 26

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Actividad3: División en el Antiguo Egipto. Ejemplo 2

133 ÷ 19 19(1) 1

38 19(2) 2

76 19(4) 4

133 7

Esto es: 19x1 + 19x2 + 19x4 = 19 x (1 +2 + 4) = 19 x 7 =133De donde: 133 ÷ 19 = 7

++

Utilizaban algunas fracciones

La matemática maya

1000 a. C. – 1687 d. C.

Los matemáticos mayas usaron punto, rayas y un símbolo para el cero

Inventaron un símbolo para representar el cero

Con solo puntos y rayas representaban grandes números

Podían representar grandes cantidades

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Actividad4: Aritmética Maya (Aspectos a considerar)

Solo utilizaban 3 símbolos (un punto, una barra y una concha para el cero).

Utilizaban varias posiciones para expandir y expresar cantidades grandes.

Los valores se colocaban verticalmente.

Es un sistema base 20.

(20)4

(20)3

(20)2

(20)1

(20)0

= 3 x 160,000 = 480,000

= 10 x 8,000 = 80,000

= 6 x 400 = 2,400

= 13 x 20 = 260

= 17 x 1 = 17

+

562,677

•••

••••

—• •

—

← Lugar de los “jbok`s” 1 jbok = 202 = 400

← Lugar de los “vinik`s” 1 vink = 201 = 20

← Lugar de las unidades 1 unidad = 200

Su sistema era posicional

De base 20

¿Qué número representa la imagen de arriba? R= 1387

Usaron su matemática para hacer cálculos complicados

Los sacerdotes mayas podían predecir fenómenos astronómicos

Diseñaron la rueda calendárica

La rueda calendárica tenia 52 años(18,980 días)

La matemática Romana

750 a.C. – 476 d. C.

Los matemáticos Romanos usaron letras en su sistema de numeración

Los matemáticos romanos no usaron el cero

Numeración romana hasta el 100

Sumas y restas con números romanos

Para sumar con números romanos sigamos las siguientes reglas:

• Debemos descomponer números como IX en VIIII• Agrupamos los números de igual valor X con X, V con V

etcétera.• Hacemos sumas internas. Por ejemplo si aparece IIIII lo

reemplazamos por V.• Una vez que hemos calculado, ya sea sumando o

restando símbolos volvemos a respetar las reglas , esto es , por ejemplo cambiamos VIIII por IX, XXXX por XL etcétera.

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Actividad5: Reflexión sistemas de numeración

Completa la siguiente tabla.

Sistema numérico

¿Es posicional? Base del sistema Representa el número 25d

Babilónico

Egipcio

Maya

Romano

¿Cuándo un sistema numérico se considera posicional?

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Significado geométrico de los algoritmos de las operaciones con fracciones.

Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá LandetaMtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

Significado geométrico de las sumas con fracciones.

21

Si a un medio le agregamos un tercio tenemos cinco sextos.

65

31

21

31

Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá LandetaMtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

Significado geométrico de las sumas con fracciones.

32

Si a dos tercios le agregamos un quinto tenemos trece quinceavos.

1513

51

32

51

Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá LandetaMtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

Significado geométrico de las multiplicaciones con fracciones.

Se interpreta: De un tercio dame un medio, obteniéndose un sexto (que es la intersección de las dos figuras)

31

31

21x

21

x =61

Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá LandetaMtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

Significado geométrico de las multiplicaciones con fracciones.

Se interpreta: De un tercio dame dos quintos, obteniéndose dos quinceavos (que es la intersección de las dos figuras).

31

31

52x

52

X =152

Elaborado por: M. en Ed. Mat. Miguel Ángel Alcalá LandetaMtra. Sandra Verónica Roldán Meneses.Prof. Fortino Del Carmen Cervantes

Actividad6: Realiza las siguientes operaciones geométricamente.

f)

g)

h)

i)

j)

2

1

3

1

43

32

32

64

41

52 2

173

a)

b)

c)

d)

e)

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Actividad7: Elaboración de un plan de clase por parte de los profesores.

En equipo de 5 personas.

El plan de clase debe ser entregado digitalmente.

Se expondrá el último sábado.

Se compartirán con el resto del grupo; favor de traer memoria USB.