(1.a) introducciÓn: concepto de investigaciÓn operativa ... · asignatura investigaciÓn...

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística

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(1.a) INTRODUCCIÓN: CONCEPTO DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA

• INTENTO DE DEFINICIÓN DE I.O.

• OBJETIVOS DE LOS MODELOS EN I.O.

• CICLO METODOLÓGICO DE LA I.O.

• PRESENTACIÓN DE UN CASO DE ESTUDIO.

• PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA. Programa de la asignatura. Bibliografía. Material Docente. Sesiones de laboratorio. La I.O. en los Estudios de Estadística.

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• Mejorar la comprensión de como trabaja y se comportael sistema modelizado

• Adquisición de conocimiento sobre el sistema que serepresenta (modeliza)

• Sustitución del sistema real en la realización deexperimentos para responder a preguntas del tipo:¿Qué pasaría si? (What if questions / El modelo comoplataforma experimental)

• Utilización del modelo como ayuda a la toma dedecisiones (cuantitativas) por medio de las respuestasa las preguntas ¿Qué pasaría si? ⇒ Identificar losvalores de las variables de decisión del sistema queproporcionan la solución que optimiza la función deutilidad

OObbjjeettiivvooss ddee llooss MMooddeellooss eenn IIOO

1. Definición/Identificación del problema.

2. Planificación del estudio.

3. Recogida de Datos.

4. Formulación de los modelos.

5. Construcción de los modelos.

6. Ejecuciones de prueba de los modelos.

7. Validación de los modelos.

8. Experimentación con los modelos. Ensayo dealternativas

9. Análisis de los resultados.

10. Implementación de las soluciones en el sistema real.

Ciclo metodológico de la I.O.

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Identificar elproblema

Planificación delestudio

Recogida de datos

Formular eImplementar el

modelo

Pruebasdel

modeloValidar elmodelo

Ensayo dealternativasAnálisis deresultados

ResultadosInsatisfactorios

Ciclo metodológico de la I.O.

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Implementar lassoluciones

SISTEMA REAL

MODELO(s)

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PRESENTACIÓN DE UN CASO DE ESTUDIO.

AMPLIACIÓN DE UN EMPRESA DE TRANSPORTES.

Se quiere ampliar la flota de camiones para cubrir un nuevomercado.El número óptimo de vehículos operativos es de 20.

La legislación obliga a hacer una revisión de los motores cada 14semanas.

La empresa dispone de un taller propio para las reparaciones yrevisiones con capacidad para atender un solo motorsimultáneamente.

Se quiere saber el número de vehículos a adquirir para podermantener 20 vehículos operativos en un 98% del tiempo.

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• La firma vendedora proporciona ladistribución de probabilidades deltiempo τ entre fallos de un motor.

E[τ] ≈35 semanas

• En las condiciones actuales lasreparaciones y las revisiones puedenhacerse en el taller en un tiempo xde distribución exponencial.

E[x] ≈0,5 semanas• Existe la posibilidad de reducir los

tiempos en el taller invirtiendo elequivalente a 2 vehículos.

E[x] ≈0,2 semanas

Para decidir:

• El número de vehículos a comprar y• si es conveniente mejorar las prestaciones del taller.

Estudiar:

1. La afluencia en el tiempo de incidencias (revisiones,reparaciones) en el taller.

2. Número de vehículos no operativos en el taller (y que deben sercubiertos para mantener 20 vehículos en servicio).

Herramientas para el estudio:

• Procesos de renovación.• Teoría de Colas.• Técnicas de simulación.

Máquina 1

Máquina 2τ1

τ2

τN=2 N=3 N=5

N=20 N=50Palm(1943)

τ1 τ2 τ3 τk-1 τk … …

t

Tiempo entre incidencias (revisión o avería) de un motor: τ ≤ 14

Tiempo entre averías de un motor: τ'P(τ' ≥14) = 0,88

Simulación de 1000 períodos:

P(τ' ≥14) = 0,88→ 88% de las incidencias: revisiones

Inconveniente: Tras las primeras n14 semanas se esperan• N=1 17 revisiones simultáneamente• N=2 14 revisiones simultáneamente• N=3 13 revisiones simultáneamente• ….

Las llegadas en grupo (revisiones) no pueden asumirse por eltaller.

Solución: adelantar la primera revisión de cada motor; seasume que una nueva revisión podrá iniciarse después dehaber terminado la anterior.

14 semanas

Revisión 1er Motor

Revisión 2o Motor

Revisión 3er Motor

….

Revisión 19o Motor

Revisión 20o Motor0,7 0,7 0,7

Análisis de los tiempos entre llegadas.

A LO LARGO DE 600 SEMANAS.

11% DE LLEGADAS CON τ = 0.7

τ = 0.678 Sτ=0.592

Si se excluyen los τ = 0.7τ = 0.676 Sτ=0.628

Un 11% aproximadamente de los tiempos entre llegadas al tallermantienen el decalaje inicial de 0,7 semanas.Esta fracción no es uniforme en el tiempo.A partir de la semana ∼ 300 los tiempos entre llegadas sonexponenciales.

Distribución del Número de llegadas con τ=0.7 por años(Número total de llegadas por año ~80)

Se procede a un análisis aproximado para cada año mediante unmodelo de colas tipo G/M/1.

Se adopta una distribución de los tiempos entre llegadas τ paracada año del tipo:

Población Sistema de Espera

Exterior

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Distribución del tiempo depermanencia en el taller

W=1,43 σw=1,25

Ocupación media

Opción: no renovar tallerE[x] ≈0,5 semanas

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Distribución del tiempo depermanencia en el taller

W=0,25 σw=0,26Ocupación media

Opción: renovar tallerE[x] ≈0,2 semanas

CONCLUSIONES.

Es aconsejable mejorar el taller para conseguir que eltiempo x de revisión o reparación sea E[x]=0,2 semanas.

Deben comprarse 2 vehículos extra;Se mantendrán 20 vehículos en servicio con unaprobabilidad >0,98

El efecto de pérdida de sincronismo en las llegadasocasiona una mayor ocupación del taller.

⇒ Tras el 6º año debería comprarse otro vehículoadicional ó:

⇒ Volver a reestructurar las revisiones.

ASIGNATURA INVESTIGACIÓN OPERATIVA ESTOCÁSTICA

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U P C

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DOCENCIA DE LA ASIGNATURA IOE

DINÁMICA DE LAS SESIONES DE LABORATORIO• Sesiones de 2 h. en Aula de PC's (25 estudiantes). Exposición de Contenidos (~1/2 h.

inicial)• Cada sesión <-> 1 Práctica en grupos de 2.• Guión + Cuestionario ( entregado al final de la sesión )• Resolución (guiada) de la práctica.

EVALUACIÓN DE LAS ASIGNATURA• Examen Parcial al final del 1er bloque liberatorio.• Examen Final.• Peso del Laboratorio en la Nota Final: 30%

MATERIAL DOCENTE• Resúmenes o apuntes de Teoría + Transparencias.

• Ejercicios de soporte en las sesiones de Teoría.

• Enunciados de Problemas (con y sin Sol.)

• Software (Guiones de uso).

• Guiones+Cuestionarios de Prácticas de Laboratorio.

• Exámenes de cursos anteriores.

Página WEB( Avisos y Programación de las sesiones )

SESIONES:( siguiendo el reparto de créditos )

• TEORIA

• PROBLEMAS

• LABORATORIO

SIM

Preparación para laLCTE

IOE+IOD

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística Cadenas de Markov. Introducción

CADENA de MARKOV FINITA ( I Finito )

1. Propiedad Markoviana:

El proceso ha tomado una secuencia de valores: x0 , x1, x2, … xk-1=j ∈ I

=

=Ρ=

=

======Ρ

+

−−−−

+

iXjX

xXxXxXxXiXjX

k

k

kkkkk

k

1

00112211

1

,,,,, K

para todo valor k y toda secuencia de estados x0 , x1, x2, … xk-1= j , xk= i ∈ I.

2. Estacionariedad:

Para todo par de estados Iji ∈, se cumple:

pijk

kiX

jXiX

jX =

=

=Ρ=

=

=Ρ +

0

11 K,,,, 210=k

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CADENA de MARKOV FINITA.

Las probabilidades pij forman una matriz de Probabilidades de Transición: Para I={0,1,2,3,…M}

Mipppp

pp

ij

M

jij

MMM

M

,...,,,,, 21001Ρ0

0

000

=≥=

= ∑

=L

MOM

L

(Matriz estocástica) .

Diagrama de transiciones:

i

j

pij > 0

pji = 0