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1.2

Funciones y grafícas

Presentación 2

MATE 3002

Correspondencias entre conjuntos

Una ecuación y un gráfica expresa la idea de una

correspondencia entre dos conjuntos.

Ejemplo: Si vemos un relámpago y determinamos el

tiempo (en segundos) que transcurre en lo que se oye

el trueno, podemos determinar a qué distancia (en

millas) se encuentra el relámpago de nosotros si

multiplicamos el tiempo transcurrido por 1

5 .

Esto es, y = 1

5 x , donde y se mide en millas y x en

segundos.

Correspondencias entre conjuntos (cont.)

y = 1

5 x , donde y se mide en millas y x en segundos.

Correspondencias entre conjuntos

Ejemplos de correspondencias:

Cada libro en la biblioteca le corresponde un

número de páginas

A cada estudiante le corresponde un número de

identificación

Cada correspondencia es entre dos conjuntos, D y R…

Ej. D = título del libro R = número de páginas

Ej. D = estudiante registrado R = número de

identificación

Correspondencias entre conjuntos (cont.)

En cada correspondencia, el primer conjunto se denomina el

dominio y el segundo conjunto se conoce como el rango,

campo de valores, imagen, o alcance.

Para cada miembro, o elemento, en el dominio, hay un miembro

del rango que le corresponde.

Por ejemplo, cada estudiante registrado tiene un número de

identificación, cada libro tiene cierta cantidad de páginas.

Cuando en una correspondencia, a cada elemento del dominio le

corresponde un único elemento del rango , esa correspondencia

se llama una función.

Otro ejemplo de una correspondencia

que NO es una función Ejemplo: Dueños de automóviles:

Conjunto D: personas

Conjunto R: tipos de carro

Dominio: el conjunto de todas las personas que

son dueños de al menos un carro.

Rango: Conjunto de todo tipo de automóvil que

le pertenece a alguna persona.

Regla de correspondencia:

d D «es dueño de un auto de marca» r R

Otro ejemplo de una correspondencia

que ES una función Ejemplo: Años en los que ha habido elecciones

presidenciales en Estados Unidos:

Dominio: el conjunto de todos los años

eleccionarios.

Rango: conjunto de todos los presidentes

electos en Estados Unidos.

Regla de correspondencia:

año D «se eligió» presidente R

Función

Se define una función, f , desde D a R como una

regla de correspondencia que asigna a cada elemento

x de D exactamente un elemento, y, de R :

Es importante recordar que NO cualquier

correspondencia entre dos conjuntos es una función .

x1 x2

y1

y2

x3

Ejemplo

Determine si la siguiente correspondencia es una función.

a.

Helen Mirren

Jennifer Hudson

Leonardo DiCaprio

Jamie Foxx

The Queen

Blood Diamond

Dreamgirls

The Departed

Solución:

Ejemplo

Determine si la correspondencia representada en la siguiente tabla representa una función.

b.

6

6

3

3

0

36

9

0

.

Ejemplo

Determine si la siguiente correspondencia es una

función.

c) {(9, 5), (9, 5), (2, 4)}

Ejemplo (continuación)

Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.

d. {(–2, 5), (5, 7), (0, 1), (4, –2)}

Ejemplo (continuación)

Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.

e. {(–5, 3), (0, 3), (6, 3)}

Ejemplo gráfico de una correspondencia

Nombre los pares ordenados

de la grafica.

Enumere los miembros del

dominio

Enumere los miembros del

rango.

¿Representa una función?

Ejemplo matemático de una función

Las ecuaciones se pueden

utilizar para describir

funciones.

Ej. y = ½ x + 1

Algunos pares ordenados

que representan soluciones

de la ecuación son:

x y

-4

x y

-4 -1

x y

-4 -1

x y

-4 -1

-2

x y

-4 -1

-2 0

x y

-4 -1

-2 0

0

x y

-4 -1

-2 0

0 1

x y

-4 -1

-2 0

0 1

2

x y

¿ y = ½ x + 1 es una función ?

Notación de funciones

Los valores de entrada (miembros del dominio) se sustituyen

por x en la ecuación.

Los valores de salida (miembros del rango) son los valores

resultantes.

Cuando una ecuación representa una función usamos una

notación especial.

f (x) se lee “f de x,” o “f en x,” o “el valor de f en x.”

Por ejemplo: f(x) = ½ x + 1;

Cuando evaluamos una función:

f(4) = ½(4) + 1 = 3

Ejemplo

Para f(x) = 2x2 x + 3, determinar cada uno de los

siguientes valores.

a. f (0) b. f (–7)

Gráficas de funciones

Trazamos las gráficas de funciones igual que

trazamos las gráficas de ecuaciones .

1. Hallamos los pares ordenados (x, y), o (x, f (x))

2. Localizamos los puntos

3. Completamos la gráfica uniendo los puntos con

una curva que sigue el mismo patrón.

Ejemplo

Trazar la gráfica de f (x) = x2 – 5 .

x

3

2

–1

0

1

2

3

f (x) (x, f (x))

Ejemplo

Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función

a. f (4) b. f (–1)

Ejemplo

Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función

b. f (–1)

Prueba de la línea vertical

Si es posible dibujar una línea vertical que

cruce una gráfica más de una vez, entonces la

gráfica NO representa una función.

Ejemplo

Indique cuáles de la siguientes gráficas (a) - (c) (en rojo)

son gráficas de funciones?

Ejemplo (cont.)

Indique cuáles de la siguientes gráficas (d) - (f) (en rojo)

son gráficas de funciones?

Hallar el dominio de una función

Si las entradas y salidas de una función, f , son

números reales y la regla de correspondencia se da con

una fórmula, entonces

• el dominio es el conjunto de todos los números

reales para los cuales la expresión está definida

(produce un número real)

• si al sustituir un valor en la expresión, NO se

produce un número real, decimos que la expresión

NO está definida para ese valor, y el valor NO

pertenece al dominio de la función.

Ejemplo

Evaluar la función en los valores dados y determinar si los valores dados pertenecen al dominio de la función.

a. f (1) b. f (3)

f (x) 1

x 3

Ejemplo

Evaluar la función en los valores dados y determinar si

pertenecen al dominio de la función o no.

ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7

𝑥 − 2

Ejemplo

Describir el dominio de:

ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7

𝑥 − 2

Ejemplo

Trace la gráfica de

Identifique el dominio y rango.

Determine si es la gráfica de una función.

𝑦 = 𝑥 − 1

x

3

1

0

1

2

5

10

y (x, y)

Ejemplo

Trace la gráfica de

Identifique el dominio y rango.

Determine si es la gráfica de una función.

.

( ) 4f x x

x

6

4

-3

0

5

y (x, y)