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ACTIVIDAD N°6 TRABAJO COLABORATIVO N°1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería
Programa de Ingeniería Industrial
Curso de Cálculo Diferencial
ACTIVIDAD DE TRANSFERENCIA UNIDAD 1
DIANA CATALINA USUGA PATIÑO
FRANCIA ESMERALDA VEGA CC. 52331568
LUISA FERNANDA CADAVID TORRES
SANDRA YINETH SERRATO MERCHAN CC. 1.129.535.751
Marzo 30 de 2011 Barranquilla, Colombia
INTRODUCCION
Las sucesiones nos resultan de gran utilidad práctica, en particular cuando trabajamos
con datos relacionados con el crecimiento de la población mundial, el aumento del
consumo de electricidad, o el incremento de un capital en función del tiempo. En
Ingeniería, Administración y otras áreas también se nos presentan aplicaciones, que
podemos manejar mediante el concepto de sucesión, con el entendimiento de de los
básicos conceptos de sucesiones y progresiones podemos generalizar, formular y
delimitar las series de datos generadas, es decir, para cada formulación matemática se
establece la cota o límite establecido del comportamiento de la función. En
matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una
función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a
determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este
concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia,
continuidad, derivación, integración, entre otros.
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación
moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las
bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él
estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber
expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática. La primera
presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los
1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar
con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a
Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
FASE 1:
1. Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:
a.
n Un Un Un
1
2
3
4
5
b.
n Vn Vn Vn
1
2
3
4
5
c.
n Wn Wn Wn Wn
2
1
3
4
5
6
2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.
a.
b.
3. Demostrar que
es absolutamente creciente.
Una sucesión es creciente a partir de si y solo si, para todo natural mayor que
se cumple: es decir,
Usando el común denominador
Si evaluamos para n = 3 ya que y observamos el signo:
Como se cumple que para cualquier
Podemos concluir que la sucesión es estrictamente creciente.
4. Demostrar que es estrictamente decreciente.
Una sucesión es decreciente a partir de si y solo si, para todo natural mayor que
se cumple: es decir,
Sabemos que
O bien sea:
Sabemos que el denominador común para esta diferencia de quebrados es
entonces,
Sacando factor común se tiene:
Simplificando
Se observa que siempre es mayor que cero, por tanto
siempre es
negativo, se concluye que la serie es estrictamente decreciente.
5. Hallar la mínima cota superior de
Una sucesión es acotada superiormente, si y sólo si, existe un número real M tal que para todo natural n del conjunto I se cumple que se dice que M es una cota superior de la sucesión. Empezaremos por hallar el sentido de la sucesión evaluando el signo de
Se cumple que por tanto
es siempre negativa, por
tanto
es decreciente. Esto quiere decir que su máximo valor se encuentra
en el inicio de la serie, esto es cuando n = 1.
Evaluando
para n = 1, se tiene.
Ahora si decimos que M=3 es una cota superior de la serie
para todo
numero natural se debe verificar que .
⇒
⇔
⇔
Esto demuestra que M = 3 es la mínima cota superior de
FASE 2:
6. Hallar la cota superior e inferior, determinar si es acotada:
Se empieza realizando la siguiente transformación:
Y se analizan los valores extremos de la sucesión, cuando , cuando n
crece indefinidamente tiende a cero, por tanto .
Por tanto iniciaremos con los valores M = 2 y m = 1.
Una sucesión es acotada cuando lo es superiormente e inferiormente; es decir, cuando
admite una cota superior M y una cota inferior m, se cumplirá entonces para todo
natural que .
Se empieza por demostrar que M = 2 es una cota superior.
Puesto que
⇔
⇔
Ahora decimos que m =1 es una cota inferior.
Puesto que se tiene: y ⇒
⇔
⇔
Por tanto se cumple que , por tanto la sucesión es acotada.
7. Para la sucesión determinar si es una progresión aritmética, y si
lo es, hallar la diferencia común y el primer término.
La forma general de una progresión aritmética es , si se
compara el ejercicio propuesto con la forma general, se nota que son
idénticamente iguales, por tanto la sucesión es una progresión
aritmética, en donde el primer término , y la diferencia común .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
8. Dada la progresión aritmética donde el primer término es 3 y la relación de
recurrencia es , hallar la suma de los 7 primeros términos.
= 3 = = = = = Se observa que -4 se repite veces para cada valor de en la progresión aritmética, Por tanto la forma general es:
Donde: La suma de los 7 primeros términos de la progresión aritmética se define como:
Evaluando para n = 7, se tiene.
La suma de los 7 primeros términos de la progresión es -63
9. Una progresión aritmética tiene como primer término 1, el n-enésimo término
es 15, la sumatoria de los n-primeros términos es 200. Hallar el número de
términos n incluidos en la suma y la diferencia común d.
Para la solución de este ejercicio se tienen las siguientes ecuaciones:
Sabemos que:
Incógnitas:
De la ecuación 2 despejamos y obtenemos:
Reemplazamos este valor en la ecuación 1 y se tiene:
Despejamos n de la ecuación:
Reemplazando los valores conocidos, calculamos el valor de n:
Ahora calculamos el valor de r, de la ecuación 2:
Por tanto la forma completa de la progresión aritmética será:
10. Calcular la suma de:
a. Los 60 primeros números naturales.
Esta es una progresión aritmética de la forma en donde:
b. Los múltiplos de .
Se sabe que los múltiplos de son el conjunto de todos los números
naturales que terminen en 5 o en 0, que sean menores o iguales a 180, entonces
definimos la progresión aritmética de la forma
Resolviendo el valor de para se tiene:
Ahora evaluamos la suma de los primeros 36 múltiplos de 5 con r =5 y se
tiene:
c. Los 10 primeros múltiplos de 9.
Análogamente al ejercicio anterior planteamos la siguiente ecuación:
ahora resolvemos la sumatoria de esta progresión
aritmética de la forma:
Donde:
FASE 3:
11. Hallar los seis primeros términos de la progresión geométrica dada por la
sucesión
n 1 2 3 4 5 6
12. Demostrar que la sucesión
converge a cero.
Sabemos que: = , por tanto
Simplificando el término obtenemos:
Este resultado demuestra que la sucesión
no converge a cero, ya que es
una sucesión constante, cuyo único valor para todo valor de es 1/4.
13. Mostrar que la sucesión
tiene como límite -1/3
Para poder asegurar que la sucesión converge a
, es necesario que para todo
escojamos un natural N tal que, si n > N, entonces L
En nuestro caso:
L ⇔
Efectuando la operación indicada:
L ⇔
L ⇔
L ⇔
Debemos por lo tanto hallar un natural N tal que, si n > N, se cumpla que:
Si ⇔
Por tanto
Ahora despejamos n de:
Si tomamos para N el mayor entero contenido en
se cumplirá la condición
requerida.
, si entonces L
Y podemos asegurar que la sucesión
converge a -1/3.
14. Demostrar que la sucesión
no es convergente, justifique.
Recordando que
, por tanto:
Para demostrar que esta sucesión es creciente y tiende a mas infinito, es necesario
que para todo real B, por grande que sea, determinemos el natural N tal que, si
n>N, entonces
Ya que Si y ⇒ .
Por esta razón demostraremos que la sucesión diverge a más infinito + .
De acuerdo con la definición, necesitamos que para todo real , por grande que
sea, hallar un numero natural tal que, si n>N, entonces
Examinemos la desigualdad:
⇔
Aplicando logaritmos en ambos lados de la ecuación y recordando que
ln ln
⇔ ln ln
ln
ln
Por consiguiente, si le asignamos a N el mayor entero contenido en
se cumple
la condición requerida:
, si ⇒
Y podemos concluir que la sucesión diverge hacia mas infinito . Recordando que Si y ⇒ . con esta ley
demostramos que
es divergente hacia más infinito ., es decir, no
es convergente.
15. Demuestre que la sucesión converge a -1.
Para poder asegurar que la sucesión converge a es necesario que para todo escojamos un natural N tal que, si n > N, entonces L
En nuestro caso:
L ⇔
Efectuando la operación indicada:
L ⇔
Sabemos que:
Por tanto sabemos que:
Además:
Por tanto:
Entonces:
Ahora evaluamos L
L ⇔
L ⇔
L ⇔
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad para eliminar el radical del lado izquierdo de la desigualdad, se tiene:
Destruyendo el radical y efectuando la operación indicada obtenemos:
Dejando las n en el lado izquierdo, se tiene:
Si tomamos para N el mayor entero contenido en
se cumplirá la condición
requerida.
, si entonces L
Y podemos asegurar que la sucesión converge a -1.
CONCLUSION
El trabajo que hemos desarrollado nos permite llegar a las siguientes conclusiones:
Durante el desarrollo del trabajo podemos identificar clases de sucesiones.
Demostrar analíticamente cuando una sucesión es acotada superiormente e
inferiormente.
Pudimos desarrollar diferentes enlaces de conocimientos en los diversos
actividades o ejercicios para el desarrollo del trabajo.
Manejamos la capacidad analítica del pensamiento humano en los factores de los
temas.
Profundización de los diferentes temas aptos para el desarrollo de los próximos
trabajos.
REFERENCIAS
PROTOCOLO ACADÉMICO, CALCULO DIFERENCIAL UNAD. Primer Semestre 2011. Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería.
MODULO CÁLCULO DIFERENCIAL. Jorge Eliecer Rondón Duran. Universidad Nacional Abierta a Distancia. Bogotá D.C. 2010.
http://www.math.com.mx/docs/pro/pro_0005_Funciones_2_Limites.pdf
Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970#613#182#5
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