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VECTORES EN R2 Y R3(Clase 01)(Clase 01)

10 de Mayo de 2011

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1

(Clase 01)(Clase 01)Departamento de Matemática Aplicada

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2

6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

Definamos el vector comoun segmento de rectadirigido.

(Definición geométrica de un vector)

Vectores

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

Sean P y Q dos puntos delespacio. El segmento derecta dirigido PQ, es elsegmento de recta que vadel punto inicial P al puntofinal Q.

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 4

6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

((Definición algebraica de un vectorDefinición algebraica de un vector))

Un vector v en el plano XY es un par ordenadode números reales (a,b), donde a y b sellaman componentes del vector.

Vectores en el plano

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

(a,b) v = (a,b) se llama vectorde posición, cuyo puntoinicial es el origen (0,0)

θ

y

x

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

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6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

Dirección: ángulo medido enθ

22 bav +=�

Magnitud: Se denota por v

v= (a,b)con:

Magnitud y dirección

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

Dirección: ángulo medido enradianes, que forma el vector con elsemieje positivo de las X (abscisas).

θ

0a ,a

btan ≠=θ ππππθθθθ 20 <≤

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

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6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

B

R = A+B

Método del triángulo

x

z

y

Suma de vectores

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

A

B

R = A+B

A

Método del triángulo

Método del paralelogramo

Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma:

O bien

Suma de vectores

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

A�

B�

C�

Suma de vectores

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

D�

El vector resultante de la suma de todos ellos será:

A�

B�

C�

R�

Suma de vectores

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

D�

DCBAR�����

+++=

R�

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

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6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

Ley Conmutativa

ABBAR +=+=Ley

AsociativaDiferencia

Propiedades de la suma de vectores

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

AsociativaC)BA)CBAR�������

++=++= ((B-AR���

=

)B(-AR���

+=A B A

-BR

z(x1,y1,z1)

(x2,y2,z2)A�

Propiedades de la suma de vectores

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

xy

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=

�

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2. Definición algebraica de un vector

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4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

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6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

= v·2v2

��

��

Es otro vector que se obtiene de la siguienteforma:

Si k >0 ( 2 por ej.)

=− v·2v2

��

��

Si k < 0 ( -2 por ej.)

Producto de un vector por un escalar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

==

=

vdesentidov2desentido

v.dirv2.dir

v·2v2

��

��

=−=−

=−

vacontrario)v2(sentido

v.dir)v2(.dir

v·2v2

��

��

v·2� v·2

�

−

A�

B�

AB��

21=

Producto de un vector por un escalar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

B

A�

B�

AB��

41−=

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

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6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

El conjunto de todas las ternas ordenadas de númerosreales recibe el nombre de espacio numéricotridimensional, y se denota por R3. Cada ternaordenada (x; y; z) se denomina punto del espacionumérico tridimensional.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Espacio tridimensional

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

x y

z

plano xz

plano yzplano xy

origen

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

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6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

p(a1,a2,a3)z

y

a�

a

a2

a3

Vector en R3

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero22

23

22

21 aaaa ++=�

xa1

módulo de a :

vector a = (a1,a2,a3) de R3

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 23

6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

a�

at�

),,( 321 tatataat =�Producto de un escalar con un vector

Suma de dos vectores

Operaciones

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

a�

b�

ba�

� +

),,( 332211 babababa +++=+�

�

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido

332211 ,, babababa ===↔=�

�

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

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6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.

a

aaa

a

aua ��

�

�),,( 321==1=u�

Vectores unitarios

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

)1,0,0()0,1,0()0,0,1( === kyj,i�

��

Nota: En R3 existen tres vectores que nos permitenrepresentar cualquier otro vector como unacombinación lineal de ellos. Se les llamanvectoresvectores canónicoscanónicos y se representan por

z

Los vectores i, j y k son unitarios y estándirigidos en la dirección de los ejes x, yy z respectivamente.

Vectores unitarios i, j y k

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x

z

y

i

jk

1. Definición geométrica de un vector

2. Definición algebraica de un vector

3. Magnitud y dirección

4. Suma de vectores

5. Propiedades de la suma de vectores

6. Producto de un vector por un escalar

Puntos a tratar

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6. Producto de un vector por un escalar

7. Espacio tridimensional

8. Vector en R3

9. Operaciones

10.Vectores unitarios

11.Paralelismo

Dos vectores son paralelos entre sí si todas suscomponentes son proporcionales.

Ejemplo:

),,( 321 aaau =� ),,( 321 bbbv =�Dado:

Paralelismo

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

),,( 321 aaau = ),,( 321 bbbv =Dado:

vu �� // kb

a

b

a

b

a ===3

3

2

2

1

1

vku �� =

Pensamiento de hoy

“Todo el mundo desea saber,pero pocos están dispuestos apagar el precio”.

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 30

pagar el precio”.

Juvenal