1 transporte de_partículas_3
Post on 16-Jul-2015
138 Views
Preview:
TRANSCRIPT
TRANSPORTE DE PARTÍCULAS
Héctor René Vega-Carrillo
Universidad Autónoma de Zacatecas
Apdo. Postal 336, 98000 Zacatecas, Zac. México
Buzón electrónico: fermineutron@yahoo.com
Portal: http://www.uaz.edu.mx/neutron/fermi.html
Facebook: http://www.facebook.com/neutron.hadron
Teoría de Blindajes y Laboratorio de Ing. Nuclear 2012
Contenido
• Origen • Transporte de radiación • Elementos de la ecuación de Transporte • Métodos de solución • Códigos • Métodos Monte Carlo • Componentes de una simulación MC • Números aleatorios • Experimentos
• En 1872 Boltzman, formuló la ecuación de Transporte con el fin de determinar el coeficiente de difusión de un gas.
• En la formulación supuso que las moléculas se comportaban como esferas elásticas.
Origen
La Ecuación de Transporte de la Radiación
• En el transporte de la radiación la densidad de flujo de partículas (flujo) es la función más importante.
• El número de partículas, por unidad de área y de tiempo, en el punto r, cuyas direcciones de viaje yacen en el espacio comprendido entre W y W + d W y que tienen energías entre E y E + dE.
dEdtEr WW ,,,
Sistema Espacio - Fase
• Las partículas cuya energía y dirección se encuentre entre E y E+dE y entre W y W +dW se pueden encontrar en el dV mediante los siguientes procesos,
Han “nacido” en dV
Han sido dispersadas hacia dV
Se encontraban en dV pero con E´ y W´, al sufrir una interacción entraron en fase.
• Las partículas cuya energía y dirección se encuentre entre E y E+dE y entre W y W +d W se pueden remover del dV mediante los siguientes procesos,
Son absorbidas
Han sido dispersadas fuera del dV
Se encontraban en fase dentro del dV, as sufrir una interacción cambiaron de fase:
E => E´
W => W´
Elementos de la Ecuación de Transporte
• En estado estacionario, las pérdidas son iguales a las ganancias.
• Fugas netas
• Pérdidas por absorción
• Término fuente
• Ganancias por dispersión
dEddVEr WWW ,,
dEddVErErt WW ,,´,
dEddVErS WW,,
dEddVErdEdEEpErS WWWWW ´´,,)´,´(´,
Haciendo el balance
Pérdidas = Ganancias
W
WWWWWWWW´ ´
,,´´´´,,´,´´,,,,,,E
St ErSdEdErEEpErErErEr
Ecuación integrodiferencial de Boltzman
Métodos de Solución de la Ecuación de Transporte
• Método de Armónicos Esféricos
• Método de las Ordenadas Discretas, Sn
• Método de Momentos
• Teoría de Difusión
• Monte Carlo
Método de los Armónicos Esféricos
• Los términos con dependencia angular se expresan como expansiones de armónicos esféricos como las funciones de Legendre.
• Se aplican en casos en Estado Estacionario, una velocidad, una dimension y medios homogéneos
-1 -0.5 0.5 1
z
-1
-0.5
0.5
1
Pn z
z
1
2
3z2
2
3z
2
5z3
2
3
8
15z2
4
35z4
8
15z
8
35z3
4
63z5
8
Polinomios de Legendre
• La ecuación se convierte en,
• En esta ecuación,
1
1
´),(´),(),(),(),( dxxSxxx
St
),( x
0
)()(),(j
jj Pxx
0
)()(),(j
jj PxSxS
es el coseno director respecto al eje x
es la Densidad de flujo angular, que junto con el término fuente, se expresa separando la parte espacial de la angular, y ésta se representa mediante los Polinomios de Legendre
)(ˆ Cosi W
Método de las Ordenadas Discretas (Método Sn)
• El nombre Sn se obtiene de la técnica básica que utiliza, donde el ángulo sólido se divide en n segmentos.
• Utiliza diferencias finitas, donde el espacio-fase se divide en un número finito de puntos discretos.
• La densidad de flujo en cada punto se relaciona con las densidades de flujo de los puntos adyacentes.
• La ecuación integrodiferencial de Boltzman se sustituye por un sistema simultáneo de ecuaciones en diferencias que se resuelve mediante iteraciones.
Método de Momentos
• Se basa en la definición formal de los momentos,
• Se aplica en problemas con medios homogéneos e infinitos con fuentes planas, líneas o puntuales.
,)(
b
a
n
n dxxfxM
• Los momentos se aplican a manera de una Transformada.
• Las funciones se separan en su parte angular y espacial.
• La parte angular se expresa en expansiones de polinomios Legendre.
Teoría de Difusión
• Es una aproximación al problema de transporte donde se desprecian los detalles de las direcciones de las partículas.
• Así, el balance de partículas, por unidad de volumen es,
trJtrtrStrnt
a ,,,,
n es la densidad de neutrones [cm-3], J es la densidad de corriente [cm-3 – seg-1]
• Mediante la Ley de Fick,
• En estado estacionario la ecuación de Difusión es,
• Esta se puede expresar y resolver para multigrupos de energía y multiregiones.
tr
D
rDrJ
3
1
),()(
02 SD a
Códigos
• MORSE
• ANISN/PC
• DORT-PC
• DOORS
• TDTORT
• DOMINO
• DO
• EXTREME
• DIF-3D
• PN
• QAD
• MOD-5
Algunos de los códigos que se utilizan para resolver la ecuación de transporte de neutrones son:
Método Monte Carlo • Consiste en construir un modelo matemático de un
problema físico y tomar muestras del modelo para obtener una respuesta aproximada del problema.
• Aún a pesar de que se han utilizado los métodos Monte Carlo por largo tiempo, su aplicación se volvió relevante durante la 2ª Guerra Mundial. – Capacidad de cómputo
– Necesidad de resolver problemas de difusión de neutrones
• El nombre del método proviene de la capital del principado de Mónaco.
• Los MMC son técnicas estocásticas.
• Se basan en el uso de número aleatorios y la probabilidad estadística para simular los problemas.
• Se necesita determinar la función acumulada de la densidad de probabilidad de un evento, ésta se muestrea mediante número aleatorios.
• Cada simulación es seguida y el resultado es contabilizado (tally, o estimado).
Componentes de una simulación Monte Carlo
• Funciones de Densidad de Probabilidad (fdp) – El sistema físico o el problema matemático debe describirse mediante un conjunto de fdp.
• Generador de números aleatorios – Una fuente de numeros aleatorios uniformemente distribuidos.
• Regla de muestreo – Se debe definir el cómo y sobre qué fdp se hará el muestreo.
• Contar (or tallying) – Las salidas, sobre las cantidades de interés, que se deben acumular.
• Estimación del Error – Se debe determinar un estimado del error estadístico (varianza) como una función del número de historias.
• Técnicas de Reducción de Varianza – En ciertos problemas el tiempo de cómputo suele ser muy largo, en tal caso se deben utilizar, cuidadosamente, técnicas de reducción de varianza.
• Vectorización y cómputo en paralelo – De ser posible utilizar algoritmos que permitan que los métodos Monte Carlo se utilicen en sistemas avanzados de cómputo.
Números Aleatorios
• Se pueden obtener de fenómenos físicos,
– Tiempos de decaimiento de material radiactivo.
– Ruido eléctrico de una resistencia o un semiconductor.
– Ruido acústico.
• Su obtención es lenta, por tanto su uso no es práctico.
Función Densidad de Probabilidad
• Una función (o distribución) de Densidad de Probabilidad es una función f que está definida en un intervalo (a, b) y tiene las siguientes propiedades:
Existen dos tipos de números aleatorios
• Pseudoaleatorios: Se comportan como aleatórios, pero se obtiene mediante técnicas deterministas.
– se repiten
– son predecibles
• Aleatorios: Se generan en forma no determinista.
– no se repiten
– no son predecibles
Números Pseudoaleatorios • Medianto algoritmos se pueden obtener una
buena cantidad de números cuyo comportamiento es tan bueno como los aleatorios.
• En 1939 Kendall y Babington-Smith utilizaron una máquina para generar 100,000 dígitos aleatorios.
• En 1955 la empresa RAND publicó una tabla con 1 000 000 de dígitos aleatorios.
• ERNIE es una máquina que genera números aleatorios cuyo uso es seleccionar los números ganadores de la lotería del Reino Unido.
Características deseables en los generadores de números aleatorios
• Uniformidad
– Muestras independientes
– Distribución contínua
• Que tengan un periodo largo
• Que no exista correlación seriada
• Que los genere en forma rápida
Características de los xs
• Su función de distribución es la función constante de amplitud unitaria.
• Para cada valor x, existe la misma probabilidad de seleccionar un número entre 0 y 1.
• Con el primer y segundo momento (Teorema del Valor Medio para distribuciones continuas) se determina el promedio y la varianza.
2
1)(
1
0
1
0
dx
dxxfx
x
12
1
)(
)(
1
0
1
0
2
2
dxxf
dxxfxx
4 6 8 10
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
100 200 300 400 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
500 1000 1500 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n = 10 n = 500
n = 2000 n = 10000
n = 50 000 n = 500 000
Generador lineal congruente
• Más utilizados
• Periódo máximo de 2n para números de n-bits
• Xn+1=( aXn + c ) mod m
• a, c, m son constantes
• X0 es la “semilla”
Portales sobre xs
• http://www.math.grin.edu/~stone/events/scheme-workshop/random.html
• http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q210.html
• Sitio con generadores de números aleatorios
http://www.agner.org/random/
Experimentos
• Forme dos equipos.
• Nombre un líder para cada equipo.
• Experimentos
– Sopa
– Palillos
top related